3.6三元一次方程组及其解法 课件（共32张PPT）-2026-2027学年沪科版数学七年级上册（新教材）

(共32张PPT)
沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.6三元一次方程组及其解法第3章一元一次方程3.6三元一次方程组及其解法练习题讲解在前面章节中，我们系统学习了一元一次方程、二元一次方程组的定义与解法，掌握了“消元转化”的核心数学思想。本节我们进一步拓展方程体系，学习三元一次方程组及其解法。当实际问题中存在三个相互关联的未知量，且具备三组独立等量关系时，二元方程组无法满足求解需求，此时就需要用到三元一次方程组。本节核心解题思想依旧是消元，通过逐步消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，最终实现化繁为简、逐层求解，是方程组知识体系的延伸与升华。首先掌握三元一次方程组的基础定义，需同时满足三个条件：方程组中一共含有三个未知数；每个方程中未知数的次数均为1；所有方程均为整式方程。由三个及以上三元一次整式方程组成的方程组，即为三元一次方程组。三元一次方程组的解是一组同时满足方程组中所有方程的未知数数值，具有唯一性。辨别三元一次方程组时，重点排查未知数次数、分式结构、未知数个数，杜绝概念混淆，为后续解题奠定基础。解三元一次方程组的核心方法为逐步消元法，整体解题思路固定、步骤规范。标准解题流程分为三步：第一步，观察方程组三个方程的系数特征，选取最容易消去的未知数，利用代入消元或加减消元法，消去同一个未知数，得到只含两个未知数的二元一次方程组；第二步，熟练运用二元一次方程组的解法，求出两个未知数的值；第三步，将求得的两个数值回代到原方程组中，求出第三个未知数的值，最终得到三元方程组的完整解。解题关键是：全程消同一个未知数，切忌随意更换消元对象，导致解题混乱。基础经典例题：解三元一次方程组$$\begin{cases} x+y+z=6 \\ x-y=1 \\ 2x+z=7 \end{cases}$$。观察方程组发现，第二个方程不含字母$$z$$，可直接利用该方程结合另外两式消去$$z$$，简化计算。第一步，由第一个方程得$$z=6-x-y$$，代入第三个方程，得$$2x+(6-x-y)=7$$，化简得$$x-y=1$$，与第二个方程一致；第二步，联立$$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y+z=6 \end{cases}$$，结合已知条件求解，由$$x=y+1$$，代入化简可解得$$x=2，y=1$$；第三步，回代得$$z=3$$。最终方程组的解为$$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \\ z=3 \end{cases}$$。进阶通用例题：解三元一次方程组$$\begin{cases} x+y=3 \\ y+z=5 \\ x+z=4 \end{cases}$$。本题为对称型三元方程组，是考试常见题型，适合用加减消元法整体求解。第一步，将三个方程左右两边分别相加，得$$2x+2y+2z=12$$，化简得$$x+y+z=6$$；第二步，用整体式分别减去三个原式，依次消元求解：减去第一式得$$z=3$$，减去第二式得$$x=1$$，减去第三式得$$y=2$$。最终解得$$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{cases}$$。整体消元法可大幅简化对称型方程组的计算过程，高效解题。综合解题易错总结：解三元一次方程组的高频错误集中三点。第一，消元不统一，解题过程中随意更换消去的未知数，无法形成二元方程组，导致解题失败；第二，加减消元时符号出错、漏乘常数项，回代计算时运算失误；第三，求出两个未知数后，遗漏求解第三个未知数，解题步骤不完整。核心解题技巧：优先消去系数最简单、有缺项的未知数，固定消元目标；对称型方程组优先整体相加，快速求出三数之和，简化运算；全程规范步骤，不跳步、不省略，做完后逐一代入检验。三元一次方程组的学习，完善了初中“一元—二元—三元”的方程求解体系，核心传承的消元转化思想，是代数解题的重要核心思维。熟练掌握三元一次方程组的解法，不仅能解决含三个未知量的实际应用题，更能提升多层级化简、逻辑推理和精准运算的能力，为后续高中多元方程、线性方程组的学习筑牢基础，是初中代数知识体系中不可或缺的重要环节。会列二元一次方程组解决调配与配套问题.
知道列表能帮助我们弄清题意、找出等量关系.
培养学生方程中“数学建模”的思想，进一步培养分析问题和解决问题的能力.
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一次方程的问题，在我国数学史上占有重要的地位.我国古代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”.
“方程”中的第一题：
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，
实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.
问上、中、下禾实一秉各几何 ”
探索新知
下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
x + 2y = 1，
y + 2z = 2，
z + = 3.
a + b + c = 1，
a - b = 4，
4a – 2b + c = 7.
x2 - 4 = 0，
y + 1 = x，
x – z = -3.
-x + y + 3z = -1，
x – y + z = 3，
2x + m - z = 0.
A.
B.
C.
D.
B
三元一次方程组满足的条件：
（1）方程组中一共含有三个未知数；
（2）每个方程必须是一次方程；
（3）含有三个方程；
（4）必须是整式方程.
解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？
思 考
x + y + 2z = 3, ①
-2x - y + z = -3, ②
x + 2y - 4z = -5. ③
解方程组：
例
1
解: 先用加减消元法消去 x.
② + ①×2，得
y + 5z = 3. ④
③ - ①，得
y - 6z = -8. ⑤
④ - ⑤，得
11z = 11.
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.
z = 1. ⑥
将⑥代入④，得
y = -2.
将 y，z 的值代入①，得
x = 3.
所以
x = 3，
y = -2，
z = 1.
y + 5z = 3. ④
y - 6z = -8. ⑤
巩固练习
解下列三元一次方程组：
（1）
x + 3y + 2z = 2， ①
3x + 2y - 4z = 3，②
2x–y = 7. ③
解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④
③×8 + ④，得 21x = 63，
两边都除以 21，得 x = 3.
把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1.
把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①，
得 z = 1.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 3.
y = -1，
z = 1
（2）
x + y - z = 2， ①
2x - y + 3z = 2， ②
x–4y - 2z = -6. ③
① + ②，得 3x + 2z = 4. ④
①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤
④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1.
把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5.
把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①，
得 y = 1.5.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 1，
y = 1.5，
z = 0.5
解三元一次方程组的思路：
三元一次
方程组
二元一次
方程组
二元一次
方程组
消元
消元
解三元一次方程组的一般步骤：
（1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两个未知数的二元一次方程组.
（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值.
（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程.
（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值.
（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一次方程组的解.
某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
例
2
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份，
请根据题意列出方程组；
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得
5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35. ③
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（2）由①得 x = 7-y-2z. ④
将④代入②③，得
y + 3z = 7， ⑤
2y – z = 0. ⑥
解这个方程组，得
y = 1，
z = 2.
将 代入④，得 x = 2.
y = 1，
z = 2
所以
x = 2，
y = 1，
z = 2.
答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数.
例
3
解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得
x + y = 3， ①
y + z = 6， ②
x + z = 7. ③
①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5.
1. 解下列方程组：
【教材P128 习题3.6 第1题】
x + y + z = 3，
x + 2y + 3z = 6，2x + y + 2z = 5；
（1）
x + 2y = 9，
y - 3z = -5，
-x + 5z = 14.
（2）
x = 1，
y = 1，
z = 1.
x = 1，
y = 4，
z = 3.
2x - 2y + z = 0，
2x + y - z = 1，
x + 3y - 2z = 1.
（3）
2x + 3y + z = 11，
x + y + z = 6，
3x - y - z = -2.
（4）
x = 0，
y = -1，
z = -2.
x = 1，
y = 2，
z = 3.
2. 甲、乙、丙三个数的和为 44，甲的两倍比乙大 10，乙的 等于丙的 ，求这三个数.
【教材P128 习题3.6 第2题】
解: 设甲、乙、丙三个数分别为 x，y，z.
根据题意，得 解方程组，得
x = 14，
y = 18，
z = 12.
x + y + z = 44，
2x - y = 10，
y = z.
答: 甲、乙、丙三个数分别为 14，18，12.
3. 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x = -1 时 y = 0，当 x = 2 时 y = 3，当 x = 5 时 y = 60. 求 a，b，c 的值.
【教材P128 习题3.6 第3题】
解：根据题意，得 解方程组，得
a = 3，
b = -2，
c = -5.
a - b + c = 0，
4a + 2b + c = 3，
25a + 5b + c = 60.
故 a = 3，b = -2，c = -5.
4. 某饮食方案要求每天食谱中包含 100 单位的脂肪、200 单位的蛋白质、400 单位的淀粉. 现有三种食品 A，B，C，每份(50 g)含脂肪、蛋白质和淀粉量如下表.
试用 A，B，C 三种食品配餐以满足方案要求.
食品 脂肪/单位 蛋白质/单位 淀粉/单位
A 2 7 17
B 2 4 7
C 10 16 30
【教材P128 习题3.6 第4题】
解: 设每天食谱中 A，B，C 三种食品的份数分别为 x，y，z.
根据题意，得 解方程组，得
x = 8，
y = 12，
z = 6.
2x + 2y + 10z = 100，
7x + 4y + 16z = 200，
17x + 7y + 30z = 400.
答:每天食谱中 A 种食品 8 份，B 种食品 12 份，C 种食品 6 份.
知识点1 三元一次方程（组）的有关概念
1. 下列方程组是三元一次方程组的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 若 是一个三元一次方程，
则( )
A
A. , B. ,
C. , D. ,
返回
知识点2 三元一次方程组的解法
3. 解方程组 若要使运算简便,消元的方法
应选( )
B
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 以上说法都不对
返回
4. 已知三元一次方程组 经过步骤
和消去未知数 后,得到的二元一次方程组
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
知识点3 三元一次方程组的应用
5.已知单项式与 是同类项，
则___,____, ___.
4
6
返回
6. 某电器公司计划装运甲、乙、丙三种家
电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能
装同一种家电）,下表所示为甲、乙、丙三种家电被每辆汽车
满载时装运的台数及利润.
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种家电共190台到 地销售
（每辆汽车均满载）,问装运乙、丙两种家电的汽车各有多少辆
【解】设装运乙家电的汽车有辆，装运丙家电的汽车有 辆.
依题意，得解得
答：装运乙家电的汽车有5辆，装运丙家电的汽车有3辆.
（2）计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台到 地
销售（每辆汽车均满载）,如何安排装运，可使公司获得36.6
万元的利润
甲 乙 丙
每辆汽车满载时装运的台数 40 20 30
利润/（万元/台） 0.05 0.07 0.04
设安排辆汽车装运甲家电，辆汽车装运乙家电， 辆汽车
装运丙家电.依题意，得
解得
答：安排15辆汽车装运甲家电，3辆汽车装运乙家电，2辆汽
车装运丙家电.
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