22.2 降次-解一元二次方程

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第二十二章 一元二次方程
第5课时　　§22.2 降次——解一元二次方程
本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是《一元二次方程》一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础， 本节的主要内容是一元二次方程的解法。这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。主要学习下列四个内容：
1. 配方法
配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法．它是一元二次方程的解法的通法．因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法．因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例1、例2.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.配方及二次项系数是1的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2，【当堂检测】中的第3，5题，【课时作业】中的第4，5，6，7，8，9，10，12题，【选做题】中的第1，2题，【备选题目】中的第1，2题。
2. 公式法
此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、 [当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
3. 因式分解法
利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例4，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
4. 整体思想和数感
整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计[拓展应用]的例1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计 [备选题目]的问题。
点击一：利用直接开平方法解一元二次方程
用此法可解形如、或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
针对练习1: 方程（x－5）2＝6的解是 .
A. 5+,5+ B. -5+,-5+
C. 5+6,5- D. -5+,-5-
【解析】方程两边开平方,得x－5＝±，x＝5±.
【答案】5+6,5-
点击二：利用配方法解一元二次方程
配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。任何一个形如的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。
针对练习2: 解下列方程：
(1)x2－12x+5=0;
(2)x2-2x-8=0;
答案： (1)移项，得x2－12x=－5,
配方，得x2－12x+36=－5+36,(x－6)2=31，
解这个方程，得x－6=±.
即x1=6+,x2=6－.
(2) 移项，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,
配方，得(x-1)2=9.
解这个方程，得x-1=±3,
即x1=4,x2=-2.
点击三：利用公式法解一元二次方程
我们可以通过配方法推导出求一元二次方程的解的公式，称为求根公式。用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出的值，若≥0，将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的根；若＜0，则原方程没有实数根。
针对练习3: 用公式法解方程.
(1)5x+2=2x2；
(2)t2+4t-2=0.
【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.
【解答】(1)∵a=2,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=25+16=41>0.
∴x=.∴x1=,x2=.
(2)∵a=,b=4,c=-2,
∴b2-4ac=16+12=28>0.∴t=.
∴t1=,t2=-.
点击四：利用因式分解法解一元二次方程
当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。如使方程x（x-3）=0的条件是x=0或x-3=0，x的两个值都可以使方程成立，所以方程x（x-3）=0有两个根。
针对练习4: 用分解因式法解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：（1）；
（2）；
（3）．
类型之一：直接开平方法
例1．方程（X—2）2=9的解是______
【解析】本题利用直接开平方法，把（x-2）看成是一个整体。
【解答】
类型之二：配方法
例2用配方法解下列一元二次方程：
（1）x2+12x=9 964； （2）9x2-12x=1
【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成（ax+b）2的形式．
对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可．对于第（2）小题，联想公式（a+b）2=a2+2ab+b2，应在方程两边都加上4，才能把左边的式子化成（ax+b）的形式．
【解答】（1）x2+12x=9 964．
两边都加上36，得x2+12x+36=9 964+36．
即（x+6）2=10 000．
∴ x+6=100，或x+6=-100．
解得x1=94，x2=-106．
（2）9x2-12x=1．
两边都加上4，得9x2-12x+4=1+4，即（3x-2）2=5．
∴ 3x-2=，或3x-2=-．
解得 x1=，x2=．
类型之三：公式法
例3解下列方程：　
（1）2＋x－6＝0；（2）＋4x＝2；
（3）5－4x－12＝0；（4）4＋4x＋10＝1－8x．
【解析】把一元二次方程化成一般形式，然后计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a， b， c的值代入求根公式x= (b2-4ac≥0)就可得到方程的根．
【解答】（1）这里a＝2，b＝1，c＝－6，
－4ac＝－4×2×（－6）＝1＋48＝49，
所以，
即．
（2）将方程化为一般式，得
＋4x－2＝0．
因为－4ac＝24，
所以．
即．
（3）　因为－4ac＝256，
所以．
得．
（4）　整理，得
4＋12x＋9＝0．
因为－4ac＝0，
所以，
即．
类型之四：因式分解法
例4：解方程
1.x2－25=0
2.(x+1)2=(2x－1)2
3.x2－2x+1=4
4.x2=4x
【解答】1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
类型之五：综合应用
例5. 阅读理解．
例如：因为，
所以．
所以方程用分解因式法解得
．
又如：．
所以．
所以方程用分解因式法解得
．
一般地，．
所以，即的解为．
请依照上述方法，用分解因式法解下列方程：
（1）；（2）．
【解答】（1）；
（2）．
1. 解下列方程：
(1)x2-25=O； (2)16x2一49=0； (3)(x一5)2-36=0； (4)4(6x一1)2=3
【解析】（1）利用开平方法可解形如x2=a(a≥0)的方程．(2)如果把x一5看作一个字母y,就变成解方程y2=36了.也就是说，如果一个一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子的平方,另一边是一个非负的常数,那么这个一元二次方程就可以用开平方法来解,即形如(x-a)2=b(b≥0)的一元二次方程都可以用开平方法来解.
【解答】（1）移项,得x2=25.
∵x是25的平方根，∴x=±，即x=±5。
∴x1=5,x2=-5.
（2）移项，得16x2=49,x2=.
∴x1=,x2=-.
(3)移项，得(x一5)2=36，即x一5=6或x一5=一6，
∴x1=11, x2=-1.
(4)方程两边都除以4，得(6x一1)2=，
6x-1=±3,
6x-1=3或6x-1=-3,
6x=4或6x=-2,
∴x1=,x2=-
2. 用配方法解下列方程：　
（1）；（2）．
【解析】配方法是以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法．即把一元二次方程的常数项移到方程的右边，把左边配成一个完全平方式，此时，如果右边是一个非负数，就可以通过直接开平方法求出方程的解来．
【解答】（1）移项，得
．
方程左边配方，得
，
即 ．
所以 x－3＝±4．
得 ．
（2）　移项，得
．
方程左边配方，得
，
即．
所以．
得x．
【点评】配方法本身是一种方法，它是公式法的基础，是一种基本的代数方法．它以配方为手段，而以直接开平方法为基础，适用于任何特点的一元二次方程，但过程较繁；
3. 已知方程3x2+4x=0,下列说法正确的是( )
A.只有一个根x= B.只有一个根x=0
C.有两个根,x1=0,x2=- D.有两个根,x1=0,x2=
【解析】C ∵b2-4ac=42-4×3×0=16,∴x==,x1=0,x2=-.
4. 用分解因式法解下列一元二次方程：
(1)(x-1)(x+3)=12; (2)(3x-1)2=4(2x+3)2.
【解析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再分解因式；(2)先将方程右边的代数式移到左边，再用平方差公式分解因式.
【解析】(1)x2+3x-x-3-12=0,x2+2x-15=0,
(x-3)(x+5)=0,x-3=0或x+5=0.
∴x1=3,x2=-5.
(2)(3x-1)2-［2(2x+3)］2=0,
［3x-1+2(2x+3)］［3x-1-2(2x+3)］=0,
(3x-1+4x+6)(3x-1-4x-6)=0,
(7x+5)(-x-7)=0,7x+5=0或-x-7=0,
∴x1=-,x2=-7.
1. 一元二次方程x2-9=0的根为( )
A. x=3 B. x=-3
C. x1=3,x2=-3 D. x1=0,x2=3
【解析】C 可解形如x2=a(a≥0)的方程.
2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 B.2x2-7x-4=0化为(x-)=
C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x-4x-2=0化为(x-)2=
【解析】C 检验的办法是把配方后的结果展开对照.
3. 解方程．
【解答】移项，得，
配方，得，．
解这个方程，得，
即．
4. 用公式法解方程.
(1)5x+2=2x2；
(2)t2+4t-2=0.
【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.
【解答】(1)∵a=2,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=25+16=41>0.
∴x=.∴x1=,x2=.
(2)∵a=,b=4,c=-2,
∴b2-4ac=16+12=28>0.∴t=.
∴t1=,t2=-.
5. 已知一元二次方程 x2－2x＋1=0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＋x1·x2的值是 .
A.3 B.2 C.－3 D.－2
【解析】由根与系数的关系，得：x1＋x2=2 ，x1·x2=1 。 ∴x1＋x2＋x1·x2=2＋1=3 。
【答案】3
6. 解方程2－12＝2008．
【解析】此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法．原方程变为：2－12＋36＝2044，
即 (－6) 2＝2044，
两边开方，得－6＝±，
∴ ＝6＋2，＝6－2．
【评注】当方程含未知数的项与完全平方式相近并且常数项又较大时，常采用配方法解这个方程．
7. 方程2x(x-3)=5(x-3)的根是（ ）
A.x= B.x=3
C.x1=,x2=3 D.x=
【解析】C 2x(x-3)=5(x-3)，2x(x-3)-5(x-3)=0，(x-3)(2x-5)=0,x-3=0或2x-5=0，∴x1=3,x2=.
8. 阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝．
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．
【解析】易知上述解一元二次方程用的是换元法，换元的目的是将原方程变形为较简单易解的方程，解出换元后的未知数还应代入所换元的关系式，求出原方程的解。本题通过换元，达到了降次的目的。
【解答】(1)换元法
(2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0
解得y1＝3，y2＝－2
当y＝3时，x2＝3
∴x＝±
当y＝－2时，x2＝－2不符合题意，舍去.
∴原方程的解为：x1＝，x2＝
【评注】此题是阅读理解题，这是近几年中考题中新出现的数学考题类型.本题在考查一元二次方程解法的同时，还考查了换元法.
1. 已知x2+8x+k2是完全平方式,则k的值是( )
A.4 B.-4 C.±4 D.16
【解析】C 形如“a2±2ab+b2”的为完全平方式,所以k2=42,满足题意的k为±4.
2. 设a、b、c都是实数，且满足(2－a)2++|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求代数式x2+x+1的值.
【解析】先求出a、b、c的值，然后即可解方程，最后求代数式的值.
【解答】由题意，得
解得
∵ax2+bx+c=0，∴2x2+4x－8=0,
即x2+2x－4=0,解得x1=－1+,x2=－1－.
当x=－1+时，x2+x+1=6－,
当x=－1－时，x2+x+1=6+.
【评注】本题综合考查了完全平方式、算术根、绝对值的非负性，一元二次方程的解法及求代数式的值的问题，解题时应注意正确地运用各知识点之间的互动关系.
3. 某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修建宽都是2米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形小场地建成草坪。
（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）
（2）已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312米2 ，试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？
【解析】虽然表示出两条道路的面积为2a米2 和2b米2，但由于两条道路有重合的部分，草坪的面积是矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x-4) 米2.
【解答】（1）这两条道路的面积分别为2a米2 和2b米2
（2）设b=x米，则a=2x米，由题意可得
x 2x-(2x+4x-4)=312
即x2-3x-154=0
(x-)2=
所以x-=或x-=-
整理得：x1=14 ,x2=-11 (舍负根)
所以b=14 ,a=28
即矩形的长为28米，宽为14米。
4. 解方程：x4-6x2+8=0(提示：设x2=y).
【解析】本题运用了换元法，将原方程降次，在解方程时遇到高次方程，常用换元法解，换元法是数学中常用的一种思想方法.
【解答】设x2=y，则原方程化为y2-6y+8=0，解得y1=2,y2=4.
当y=2时，x2=2,∴x1=,x2=-；
当y=4时，x2=4,∴x3=2,x4=-2.
课时作业：
A等级
1．一元二次方程的根是 ．
2．一元二次方程的根是 ．
3．方程的根是 ．
4．方程的根为 ．
5．方程的根为 ．
6．．
7．写出一个符合条件的一元二方程 ，使它的一个根为，另一个根在与之间．
8．已知，则的根为 ．
9．若，则 ．
10．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是方程的根，则三角形的周长为 ．
B等级
11．方程的根的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不对
12．方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
13．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
14．把方程的配方后，得（ ）
A． B． C． D．
15．已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
16．如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值以2020年比2000年翻两番．在本世纪的头二十年（2001年~2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
三、用心做一做，马到成功
18．用指定的方法解下列方程
（1）；（直接开平方法）
（2）；（配方法）
（3）．（公式法）
19．用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）．
20．请尽可能多地找出下列两个方程的相同点和不同点．
（1）；（2）．
C等级
21. 一元二次方程用配方法化成的形式为 则此方程的根为 ．
22. 若方程的左边是一个完全平方式，则的值是 ．
23. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则符合条件的一组的实数值可以是 ， ．
24. 三角形的两边长分别为3cm和6cm，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是 ．
25. 已知方程和方程的解相同，则 ．
26. 用配方法解下列方程：
（1）；
（2）．
27. 用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）．
28. 用公式法解下列方程：
（1）；
（2）．
29. 观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：
①方程，，，而；
②方程，，，而；
③方程，，，而；
④方程，，，而；
…
（1）探究规律：当方程时， ；
（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解：
①；
②．
（3）拓广应用：已知，如图，现有，的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽．
30. 观察下列方程：
①；②；③；④；⑤；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1．
（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．
（2）对于一般形式的一元二次方程，能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
课前预习
答案：
课时作业：
1．，
2．，
3．，
4．
5．，
6．，
7．答案不惟一，如
8． 9． 10．
11.B
12.D
13.B
14.A
15.C
16.B
17.B
18．（1），
（2），
（3），
19．（1）因式分解法，；
（2）公式法，；
（3）配方法，．
20．（答案不惟一，其它合理答案也对）相同点：均为一元二次方程，二次项及一次项相同．
不同点：常数项不同．
21. ，
22. 或
23. 13cm
24. （1），（2），．
25.
26. （1）；（2），．
27. （1），；（2），．
28. （1），（2），．
29. （1），
；
（2）①，②；
（3）解：将分解因式，得，因此拼出的矩形面积的长为，宽为；或长为，宽为．本题是一道结论开放题．下面仅提供一种答案供参考：如右图：
30. （1）答案不惟一，如，；
（2）能，所作的新方程为．
通过观察可以发现，．
课前预习
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