22.3 实际问题与一元二次方程

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第二十二章 一元二次方程
22.3 实际问题与一元二次方程
列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．主要学习下列两个内容：
1. 列一元二次方程解决实际问题。一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键. 主要设置了【典例引路】中的例1、例2、例4.【当堂检测】中的第1、2题，【课时作业】中的第1，2，11题.
2. 一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是和，那么．主要设置了【典例引路】中的例3.【当堂检测】中的第4题，【课时作业】中的第6、7题.
点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤
应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：
(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.
(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).
(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.
(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.
(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.
(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.
针对练习1: 某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　）
A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363
C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300
【解析】B 设平均增长百分率为x，由题意知基数为300公顷，则到2004年底的绿化面积为：300+300x=300（1+x）（公顷）；到2008年底的绿化面积为：300（1+x）+300（1+x）x=300（1+x）2公顷，而到2008年底绿化面积为363公顷，所以300(1＋x)2=363．
点击二：一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系。一般地，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是和，那么．
针对练习2: 先阅读，再填空解题：
(1)方程：x2-x-2=0 的根是：x1=-3, x2=4，则x1+x2=1，x1·x2=12；
(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=, x2=3，则x1+x2=，x1·x2=；
(3)方程x2-3x+1=0的根是：x1= , x2= .
则x1+x2= ，x1·x2= ；
根据以上（1)(2)(3）你能否猜出：
如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.
【解析】本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.
【解答】③
猜想
∵一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0，且m，n，p为常数)的两个实数根是
∴，
【评注】本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系.关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0，且m，n，p为常数)的两根为x1，x2，那么由方程①，②，③的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法.
类型之一：建立一元二次方程模型解应用题
例1甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.
【解答】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为?（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x1=16，x2=-2.
经检验：x1=16，x2=-2都是原方程的根，但x2=-2不合题意，舍去.
∴当x=16时，x+4=20.
答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【解析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利(40―x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润×售出商品的总量，可列出方程．
【解答】设每件衬衫降价x元，
依题意，得(40―x)(20+2x)=1200，
整理得：x2―30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
类型之二：一元二次方程的根的判别式的应用
例3阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如是方程的两根，求的值.解法可以这样：则
.
请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值.
【解析】先由公式x1+x2=,x1x2=,求出x1+x2,x1x2,再化+化为, (x1-x2)2化为(x1+x2)2-4x1x2.
【答案】 ∵x1+x2=4, x1x2=2. (1)+===2. (2) (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×2=8.
【感悟】本题属于阅读理解题,解此类问题关键理解材料中知识与方法,从中获得知识迁移.
类型之三：综合应用
例4. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？
【解析】本题是以商场经营为素材的利润问题，解题的关键是理解降价与销售数量增加量之间的关系，根据每天盈利的计算，即“每天盈利＝每件的利润×销售数量”作为等量关系列方程或列函数关系式，第（2）的第②小题，考查了函数及其图象，并用图象确定商场获利润不少于2160元的x的取值范围，体现了数形结合的数学思想。
【解答】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）
⑵ ①依题意得：
（100-80-x）（100+10x）＝2160
即x-10x+16=0 -
解得：x=2,x=8
经检验：x=2,x=8都是方程的解，且符合题意.
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.
②依题意得：y=（100-80-x）（100+10x）
∴y= -10x+100x+2000=-10(x-5)+2250
画草图（略）
观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160
∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．
1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是( )
A.偶数 B.奇数 C.偶数或奇数 D.不一定是整数
【解析】A 设这个数为x.由题意,得x2=2x,解得x1=0,x2=2.故选A.
2. 在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1 400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1 400=0 D.x2-65x-350=0
【解析】B 上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,∴2(80+x)·x+2(50+x)·x+80×50=5 400.
3. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．
【解析】这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n．对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n．
【解答】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，
即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．
答：这两个月的平均增长率是10%．
4. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
Ａ．2005 Ｂ．2003 Ｃ．-2005 Ｄ．4010
【解析】B 由于所求的两根代数式非对称，故只用韦达定理难于解决，结合根的定义，把化为对称式．因为是方程的根，故，从而，所以=2005＋α＋β，而α＋β＝-2，故＝2003.
1. 从一块正方形的铁片上剪掉2 cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm2，则原来铁片的面积是( )
A.64 cm2 B.100 cm2 C.121 cm2 D.144 cm2
【解析】A 本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x-2)=48，解得x1=-6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.
2. 如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？
【解析】等量关系为：长×宽=450，如果设AB为x米，那么BC的长可表示为(60-2x)米，根据矩形的面积公式可列出方程.
【解答】设AB的长为x米，则BC=(60-2x)米.
根据题意，得x(60-2x)=450.解得x=15.即AB=15米.
答：AB为15米时，所围成的矩形面积是450平方米.
3. 某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是( )
A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%
【解析】D 降低百分率与增长率问题类似,这里依据的基本等量关系为基础数×(1-降低率)降低次数=降低后的数量.
5. 某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是( )
A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%
【解析】D 降低百分率与增长率问题类似，这里依据的基本等量关系为基础数×(1－降低率)降低次数=降低后的数量.设平均每次降低成本的百分率为x.由题意，得100(1－x)2=81.
解得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)，∴x=10%.
6. 已知、是方程的两个根，那么的值是（ ）
A.1 B.5 C.7 D.
【解析】C 根据根与系数的关系， ，，又因为 =，所以=7.
7. 某两位数的十位数字是方程x2－8x=0的解，则其十位数是___________.
【解析】解方程x2－8x=0，得x1=0，x2=8，由于两位数的十位数字不能为0，
∴x=0(舍去).∴十位数字为8.
【答案】8
8. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
【解析】人数×人均旅游费用=付给旅行社的总费用，可设这次共有名员工去天水湾风景区旅游，由于1000×25=2500<2700，所以员工人数肯定超过25人，由于人数比25增加了(x-25)人，因此每人均费用比1000元降低了20(x-25)元，即此时人均费用为[1000-20(x-25)]元。
【解答】设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游．
因为，所以员工人数一定超过25人．
可得方程． 整理，得，
解得． 当时，，故舍去；
当时，，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
【评注】此题以对话形式呈现新颖，别致，这类问题的解决通法是设出未知数后，用未知数与给出的一组数据做比较，比较的目的就利用规律表示出相等关系，进而得到方程，解出方程后，还需判断解是否符合实际题意。
1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.
【解析】本题是数字问题中的最基本的问题，难度不大，等量关系比较明显：新的两位?数×原来的两位数=736,关键是如何表示出两个两位数和整理方程，要注意检验是否求得的解都符合题意.
【解答】解设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x），
由题意,得［10x+(5-x)］［10(5-x)+x］=736.
整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.
当x=2时5-x=3,符合题意，原两位数是23.
当x=3时5-x=2符合题意，原两位数是32.
2.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
(2)若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.
【解析】对于工作效率的问题，要理解工作量、工作时间、工作效率之间的关系.
【解答】(1) 设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x-10)天.
根据题意,有，
解得x1=3(舍去)，x2=20.
∴乙队单独完成需要 2x－10=30(天).
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.
(2) 设甲队每天的费用为y元，则由题意有
12y+12(y－150)=138 000，解得y=650 .
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000.
∵ 13 000 <15 000，
∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.
3. 有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺
【解析】本题是一道实际问题,解决此题可画出相应的几何图形,通过设未知数,根据勾股定理,列出方程解决.
【解答】设竹竿长为x尺。
则：（x―4）2+（x―2）2=x2 ,
x1=10 , x2=2（不合题意舍去）
所以竹竿长为10天。
【评注】本题是根据直角三角形三边关系,构造方程解决问题的,充分体现了数学结合思想在解决实际问题中的应用.
课时作业：
A等级
1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ）
A、10% B、20% C、120% D、180%
2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( )
A、200(1+x)2=1000 B、200+200×2x=1000
C、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）
A、20％ B、30% C、50% D、120%
4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )
A、±15 B、15 C、-15 D、11
5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。
6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 。
7、高温煅烧石灰石(CaCO3)可以制取生石灰(CaO) 和二氧化碳(CO2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石 万吨。
8、解方程+=7时，利用换元法将原方程化为6y2—7y+2=0，则应设y=_____。
9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。
10、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为 。
B等级
11.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
12.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
13.若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个解，则c2＝ ．
14.一元二次方程的根为　　　　。
15.已知x=1是关于x的一元二次方程2x2 +kx-1=0的一个根，则实数k的值是 .
16.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
17.解方程：
18.解方程：．
19.(2008 湘潭中考)阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例是方程的两根，求的值.解法可以这样：则. 请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值.
20.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．
C等级
21.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
22.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
23.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
24.若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( )
A.2 B.1 C.-1 D.3
25.三角形两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是( )
A.24 B.24或8 C.48 D.8
26.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
27.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
28.如图，在Rt△ABC中，∠B=900，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后，P，Q间距离等于4厘米．
29、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
30、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是-9和-1.你能找出正确的原方程吗 若能,请你用配方法求出这个方程的根.
课前预习
如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD＇的位置，则∠ADD＇的度数是（　　）
Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45
答案：
课时作业：
1.B
2.D
3.A
4.A
5、20%；
6、10%；
7、400；
8、
9、
10、12cm、4cm；
11.【解析】C 本题考察了一元二次方程的根与系数的关系。=-（）=
【评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，满足b2－4ac≥0时， x1+x2=－,x1x2=.
12.【解析】A 本题考查了一元二次方程的根的情况. ，由于a、b、c分别是三角形的三边，根据三边的关系可得<0，所以方程没有实数根.
【评注】判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有根，就是判定b2-4ac与0的大小关系.如果b2-4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根；b2-4ac＜0，方程无实数根。
13.【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义。把x＝1代入一元二次方程x2＋x＋c＝0，得到1+1＋c＝0，所以c＝-2.
【答案】-2
【评注】能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.所以将已知的方程的根代入原方程是成立的.
14.【解析】本题主要考查了应用一元二次方程求根公式求出根.根据求根公式x====.所以，.
【答案】，
【评注】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0);（2）确定a、b、c的值；（3）求b2-4ac的值；（4）当b2-4ac≥0时，则将a、b、c及b2-4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2-4ac＜0，则方程无实数根.
15.【解析】把x=1代入2x2+kx-1=0的一个根，∴2×12+k-1=0,∴k=-1.
【答案】-1
【评注】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以将方程的根代入方程的左右两边就可以使方程成立.如果已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.
16.【解析】本题考查一元二次方程根的判别式的运用.如果有两个实数根，则（-2）2-4m≥0,所以.
【答案】
【评注】当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.本题中方程有两个实数根，可能相等，可能不相等，所以b2-4ac≥0.
17.【解析】本题考察了一元二次方程及其解法，本题可使用公式法或配方法两种方法解得结果。
【解答】HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．
所以原方程的解为：，．
【评注】用公式法求解时，化成一般形式是前提，确定各项系数是基础，计算的值和代入公式是关键。
18.【解析】本题考查分式方程的解法，本题运用的是换元法，这是一种重要的数学思想方法.
【解答】设则原方程可化为2y2+y-6,解得，y2=-2,
即，，解得，．
经检验，，是原方程的根．
【评注】分式方程往往是通过转化为整式方程来求解的，在解方程之后要注意检验分式方程.
19.【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系及乘法公式的变形应用.从方程可得出,想办法把要求的式子与化成用表示形式,再整体代入即可
【解答】
（1）
（2）
【评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，满足b2－4ac≥0时，由求根公式知x1=,x2=,∴x1+x2=－,x1x2=，即两根之和为-，两根之积为.运用此结论解某些有关的题时较为简便.
20.【解析】本题考查的是一元二次方程应用问题。根据矩形面积公式很容易列出方程，解后应注意验根是否符合问题实际。
【解答】设花边的宽为x分米，
根据题意，得．
解得．
x=不合题意，舍去．
答：花边的宽为1米．
【评注】本题比较直观的表示出了矩形的面积，在列等量关系的时候要注意四周花边的宽度相同，从而得到了整个图形的长和宽.
21.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽，再根据面积为288，列方程，解出未知数的值，注意要舍去不符合实际的解。
【解答】解法一：设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为，则宽为．根据题意，得．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
【评注】有些实际问题是关于图形面积的问题，解决这些问题的时候，要根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
22.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。本题既可以直接设也可以间接设，如果间接设，可以设经过x秒时两人相距85m，然后求出时间即可求出最后的位置.
【解答】解法1：设经过x秒时两人相距85m
根据题意得：
化简得：
解得：（不符合实际情况，舍去）
当时，
∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
解法2：设甲与O处的距离为xm时，两人相距85m
则乙与O处的距离为HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
解得：（不符合实际情况，舍去 ）
当
答：当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处．
【评注】动态几何问题是数形结合思想的体现， 其实质是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要理解几何图形的运动意义或规则；第二是恰当设未知数，建立等量关系，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定未知数的取值范围。
23.【解析】本题主要考查一元二次方程的应用.利用“增长量=基数×增长率，增长后的总量=基数×（1+增长率）”计算。.
【解答】（1）设每年盈利的年增长率为x ，
根据题意得
解得（不合题意，舍去）
答：2006年该公司盈利1800万元．
（2）
答：预计2008年该公司盈利2592万元．
【评注】随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“利润问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值．
24.【解析】B 本题可以先解方程,然后代入,但此法比较复杂.简捷的方法是通过前面的总结得出x1+x2=-,x1x2=,这样容易得到原式为1.
25.【解析】B 解方程,得x1=10,x2=6.根据三角形的三边关系,知x1=10,x2=6均合题意,当三角形的三边分别为6、8、10时,构成的是直角三角形,面积为×6×8=24；当三边分别为6、6、8时,构成的是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理,求得底边上的高为2,所以面积为×8×2=8.
26.【解析】根据长方形面积公式，运用长×宽=25列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。
【解答】设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．根据题意，得
x·=125
整理，得x235x+250=O．
解这个方程，得x1=10，x2=25
当x=10时，=12.5
当x=25时，=5．均合题意
答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m．17.【解析】设平均每月的增长率为，则2月份的产量是(吨)，3月份的产量是(吨)．
27.【解答】设平均每月的增长率为，据题意得:
．
化简得，
于是．
解得(不合题意，舍去)．
所以=0．2=20％．
答：这两个月平均每月增长的百分率是20%．
28.【解析】设x秒钟后，P、Q两点间的距离等于4cm．再利用路程=时间×速度的关系，用x的代数式表示出PB与BQ长度，然后在Rt△PBQ中由勾股定理列出方程．
【解答】设x秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．
则由题意，得：AP=x，PB=6-x，BQ=2x．
在Rt△PBQ中，PQ2=PB2+BQ2
∴ (4)2=(6-x)2+(2x)2．
5x2-12x+36-32=O
5x2—12x+4=O
(5x-2)(x-2)=O
∴ x1=0.4，x2=2．
∴ AP=0.4<6，BQ=0.8<3．
或AP=2<6，BQ=4>3(不符合题意，舍去)
答：0.4秒后，P、Q间距离等于4cm．
29、（1）1000m2；（2）20%。
30、x2-10x+9=0,x1=9,x2=1。
课前预习
解析：由∠CAB=90 可知旋转角是90 ，则∠DAD＇=90 ,根据旋转特征可知△ACD＇≌△ABD，所以AD＇=AD，则△DAD＇是等腰直角三角形，那么∠ADD＇=45 .故选D.
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