23.1 图形的旋转
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第二十三章旋转
第7课时 §23.1 图形的旋转
“图形的旋转”是继轴对称、平移之后的又一种图形基本变换，是义务教育
阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分。教材中从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用实践检验理论，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立变化观点的良好素材。同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，它不仅为本章后续学习旋转对称图形、中心对称图形做好准备，而且也为今后学行四边形”、“图形的全等”和“圆”这些知识内容的学习做好铺垫。主要学习一下内容：
1. 旋转的有关概念理解旋转变换也是图形的一种基本变换；关于图形的变换，学生已经学移与轴对称，对于图形的变换有了一定的了解。同平移与轴对称一样，旋转与实际生活联系紧密。钟表指针的转动，风车车轮叶片的转动等都是旋转的例子。
2. 通过探索和发现旋转后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度，
图形的形状和大小都没有变化；会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角；让学生得出了旋转的性质即对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，根据性质按要求作出简单平面图形旋转后的图形
3. 利用旋转的概念和性质解决简单的旋转问题
点击一：旋转的定义
在平面内，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,在旋转过程中始终保持固定不变的那个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角.理解旋转的概念应该注意一下几点(1)旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形 ；（２）旋转中心可以是平面上的任意一点，有可能在图形的外部，也有可能在图形的内部或在图形上；（３）旋转中，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度，所以任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（４）旋转不改变图形的大小和形状，旋转前、后的图形全等。
针对练习1: 如图，线段MO绕点O旋转900得到线段NO，
在这个旋转过程中，旋转中心是 ，
旋转角是 ，它等于 度.
答案：点O；；
2.如图，风车风轮的每个叶片A、B、C、D、E、F在风的吹动下
转动到新的位置.则叶片A向 方向，转动 度后与叶片B
重合；转动 度后与叶片C重合；转动 度后与叶片E重合.
由此可知，风车风轮的旋转中心是 ；旋转角是 .
答案：顺时针，60°；120°180°，点O，60°
3. 如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形
相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
4.如图，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB，
连接PQ，则⊿PBQ的形状是（ ）
（A）等边三角形 （B）等腰三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
答案：B
点击二：旋转后的对应关系
一个图形绕某点旋转后，它的点、角、线段都移到了新的位置，这些新位置上的点、角、线段与原位置上对应的点、角、线段分别称为对应点、对应角、对应线段。需要注意的是点、角、线段的一一对应关系。
针对练习2:
1. 如图，绕点O旋转450后得到，
则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；
线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；
∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.
△AOB的边OB的中点M的对应点在 .
答案：点C；OC；DC；；；点O；；OC的中点
2.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，△DEC顺时针旋转一个角度后得到△DGA
（1）途中哪一个点是旋转中心？旋转角是多少度？
（2）试指明图中旋转图形的对应线段与对应角。
答案：（1）图中△DEC是绕点D顺时针旋转90°后得到△DGA的，故旋转中心是点D，旋转角是90°
（2）图中旋转图形的对应线段是DE与DG，DC与DA,CE与AG；对应角是∠CDE与∠ADG,∠C与 ∠DAG, ∠DEC与∠G
点击三： 旋转的性质
由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前、后的两个图形是全等的，由此得到旋转的基本性质如下：
（1） 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；
（2） 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；
（3） 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
针对练习3:
1. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（ ）
A． 100 B． 150 C．200 D．250
答案：C
2. 如图，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转350，得到△A1B1C，A1B1⊥AC，则∠A的度数是__________．
答案：550；
3. 如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=150，∠C=100，E，B，C在同一直线上，则∠ABC=_______，旋转角度是________．
答案：1550、250
点击四：利用旋转作图
学习了旋转的概念和特征后，作一个图形绕某一旋转中心旋转后的图形是必不可少的．简单的旋转作图分为以下几步：（1）确定旋转角和旋转方向；根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形上一对对应点，把他们与旋转中心所连线段的夹角作为旋转角，并由此确定旋转方向；（2）确定每对对应点（3）确定旋转后的图形，按照原图的形状连接上述对应点，即可得到旋转后的图形
针对练习4:
1.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴；
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
解：
答案：（1）如图；
（2）如图；
（3）成轴对称，对称轴如图；
（4）成中心对称，对称中心坐标．
2. 如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
答案：如图．三步各计2分，共6分．
类型之一：旋转的定义
例1：下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】根据旋转的定义，知A、B是组合图形显然不成立，C是轴对称图形不是旋转对称图形。
【解答】D
例2：如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点逆时针旋转；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
【解析】本题作为一道图形变换题，主要考察动手操作能力和设计美丽图案能力。需要熟悉轴对称和中心对称图形的性质，解题的关键要注意图形每一条边都要绕着点O旋转90°，同时找准对应点。
【解答】（1）只要做出原四边形四个顶点关于直线AB 的对称点，连接这些对称点即可。
类型之二：旋转中的计算问题
例3：如图1所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A’OB’，那么AB扫过的区域的面积是 。
【解析】AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA’的面积－扇形ODD’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。
【解答】AB扫过的区域的面积是。
例4：如图3所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A’B’C，则∠AB’C的度数是 。
【解析】根据旋转的性质可以知道∠BCB’是旋转角，它的度数应该是30°，∠AB’C可以看成是∠ACB和∠BCB’的和，所以∠AB’C=120°＋30°=150°。
【解答】∠AB’C的度数是150°
例5：如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。
【解析】由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。
【解答】DH的长是。
类型之三： 作旋转图形
（一）、利用对应点旋转的角度相等，对应点到旋转中心的距离相等作图
例6．如图1，画出△ABC绕点O，逆时针旋转90°后的△A′B′C′．
【解析】：假设△A′B′C′已经作出，则A′，B′，C′的对应点分别为A，B，C，且∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都是旋转角，均为90°，OA′=OA，OB′=OB，OC′=OC．
【解答】：如图2，（1）连接OA，OB，OC．
（2）分别以OA，OB，OC为一边作∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=90°．
（3）分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′=OA，OB′=OB，OC′=OC．
（4）连接A′B′，B′C′，C′A′．
△A′B′C′就是△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形．
（二）、利用对应边相等，对应角相等作图
例7．如图3，画出△ABC绕点C旋转30°后的图形．
【解析】：绕点C旋转，则只需确定点A和B的对应点A′，B′，按顺时针旋转30°后应有∠B′CB=∠A′CA=30°，且CB′=CB，CA′=CA，A′B′=AB，∠B′CA′=∠BCA，∠B′=∠B，∠A′=∠A．
【解答】：如图4，（1）分别以CB，CA为一边作∠B′CB=∠A′CA=30°．
（2）分别在射线CB′，CA′上截取CB′=CB，CA′=CA．
（3）连接A′B′．则△A′B′C′就是△ABC绕点C顺时针旋转30°后的图形．
(三)、利用对称与旋转的关系作图
例8．如图5，线段AB绕点O旋转，端点A旋转到点D，试画出旋转后的线段．
【解析】：一个图形经过两次对称后即可看成一次旋转．可以通过两次作对称图形的方法，作出旋转后的图形．
【解答】：如图6，（1）作射线OC．
（2）以OC所在直线为对成轴作出线段AB的对称图形A′B′．
（3）连接OA′，OD，作∠A′OD的平分线OF，
（4）以OF所在直线为对称轴作出线段A′B′的对称线段DE．
则线段DE就是线段AB绕O点旋转后的图形．
类型之四：综合应用
“旋转”是现实生活和生产中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷的形式之一，它不仅是探索图形一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具.在近几年的中考试题中，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的中考题层出不穷。
例9.如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解析】：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
【解答】：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
例10.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明．
图2-1 图2-2 图2-3
分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
【解析】：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.
∴ OD+OE=0C．
图3结论：OE-OD=OC.
评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.
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例11.如图3，（1）在方格纸上如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答旋转中心，旋转方向和旋转的角度）．
（2）图3中的图形B是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形B绕点P顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影不要涂错位置，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长为1个单位长度）．
【解析】：图形的平移要确定平移的方向和平移的距离，在平移过程中，图形的大小、形状都不发生变化．图形的旋转必须明确旋转中心、旋转方向和旋转角．明确图形中每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．图形大小和形状不变．
【解答】：（1）将图形A向上平移4个单位长度得到图形B，将图形B以P为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C．
（2）如图4所示．图形很漂亮．
评注：利用网格特征进行图形的平移、旋转变换，进而设计出一些图案，是中考中的一个热点，在学习时应注意这方面题型的训练．
1.下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动; B．拧开自来水水龙头
C．运动过程中篮球的滚动 D．空中下落的物体
【解析】B
2.如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【解析】B
3. 如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】D
4.将图1按顺时针方向旋转90°后得到的是（ ）
【解析】 A
5. 如图，在中，，且点的坐标为（4，2）．
①画出向下平移3个单位后的；
②画出绕点逆时针旋转后的，并求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
【解答】(1)图略;
(2)图略．点A旋转到点A2所经过的路线长=
6. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，
已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解答】D
7. 如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC 上 两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接 ，下列结论：①△≌△；②△∽△；③； ④其中正确的是【 】
A．②④； B．①④； C．②③； D．①③．
【解答】B
8. 如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】B
9．如图1所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( )
A．30° B．60° C．72° D．90°
【解析】D
10.如图2，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )．
A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
【解析】C
11.如图3，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．
【解析】D
12. 如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是( )
(A)25°． (B)30°． (C)35°． (D)45°．
【解析】D
13. 如图4，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上)，则∠A′CO的度数为( )
(A)22°． (B)52°． (C)60°． (D)82°．
【解析】D
14. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将△ABC绕B点顺时针旋转一周，则线段AC所扫过的面积为( )
(A)π． (B)3π． (C)9π． (D)6π．
【解析】C
15. 如图9，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( )
【解析】B
16. 如图10，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为______．
【解析】135°
17. 如图13，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为______cm2．
【解析】4
18. 如图15，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30o后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为______平方单位．
【解析】
19.如图16，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是______cm．
【解析】(提示：AB′=－6，平移距离=AB′·tan30°)
20. 在如图18的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
【解析】如图2，点A所经过的路线长为
21. 如图20，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解析】(1)略；(2)直角三角形；(3)∵∠ADO=α－60°，∠AOD=190°－α，∴∠DAO=50°．若α－60°=190°－α，则α=125°；若α－60°=50°，则α=110°；若190°－α=50°，则α=140°．故当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形
1. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后，重叠部分的面积为( )
A. B.
C. D.
【解析】B
2. 如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到
△P′AB，则∠PAP′的度数为________．
【解析】60°
3.等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
【解析】120°
4.如图5，四边形为正方形，为正方形外一点，
经过旋转后到达的位置，那么旋转中心是 ，
旋转角是 度。
【解析】点B，顺时针旋转
5.分析图6中①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分
【解析】
6.如图7，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A＝15°，∠C＝10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC＝＿＿＿，旋转角度是＿＿＿
【解析】155°，25°
7.P是等边内部一点，、、的大小之比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是 .
【解析】2:3:4
8.如图9，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。
【解析】
9. 如图10所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，
那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，
∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。
【解析】全等，旋转角为60°，∠CAE=40°，∠E=110°，∠BAE=110°
10. 如图11，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1.
(1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1 ；
(2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转 得到梯形A2B2C2D2 ，请你画出梯形A2B2C2D2．
11. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1）画出向平移4个单位后的；
(2）画出绕点顺时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长．
【解析】
（1）画出．
（2）画出△．
连结，，．
点A旋转到所经过的路线长为．
1. 把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？请证明你的发现．
【解析】在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变．
【答案】∵△ABC是等腰直角三角形，O为斜边中点，
∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH＝∠CGK，因此△CGK可以看作是由△BGH绕点O顺时针旋转而得，故BH＝CK，，
∴，
即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为4．
【评注】在本例中，利用旋转变换的特征，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积，实现了特殊到一般的转化，体现了一个重要的数学思想-----转化思想，希望同学们深刻领会，主动运用．
2.如图21，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图21－①中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
(2)继续旋转至如图21－②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图21－③的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
【解析】(1)连结DB，则BD⊥AC、∠DBA=45°、DB=DC．∵∠MDN=90°，∴∠BDM=∠CDN，于是△DMB≌△DNC．故DM=DN；四边形DMBN的面积不发生变化．因为S四DMBN=S△DBC=S△ABC=．(2)DM=DN仍然成立，因为同理可证△DMB≌△DNC．(3)DM=DN仍然成立
课时作业：
A等级
1. 如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）．
A．120° B．90° C．60° D．30°
答案：A
2.如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
3.已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（ ）
答案：A
4.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则旋转后的图中，全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
答案：C
5.如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
6.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转，则完成一次变换．图-2，图-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A．上 B．下 C．左 D．右
答案：C
7.将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）．
答案：A
8.如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 cm，的面积 cm2．
答案：2，18
9.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 .
答案：90o
10.如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为 ．
答案：3
11.如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP 重合，如果AP=3，那么线段的长等于 ____________．
答案：
12.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为 ．
答案：
13.将直角边长为5cm的等腰直角绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
答案：
B等级
14. 如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点，
△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，
⑴旋转中心是哪一点？
⑵旋转了多少度？
⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了
什么位置？
答案：点A；（2）36°；（3）AE的中点
15. 如下的图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？
答案：基本图形是其中一个菱形，通过5次旋转得到。每次旋转了60度，旋转中心是整个图案的中心。
16. 如图，⊿是由⊿绕某一中心旋转一定角度得到的，请你找出这个旋转中心.
答案：连结AA'，BB'，CC'；分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线交于点O，点O就是旋转中心
17.如图，△ACD、△ECB都是等边三角形，画出△ACE以
点C为旋转中心顺时针方向旋转60°后的三角形。
答案：.连结DB，△DCB即是所求三角形。
18.在矩形AGFE中，△AEF绕点A旋转得到△ABC.连结AC、AF和CF.连结AC、AF和CF，得△ACF.请你猜想一下△ACF是一个什么三角形？证明你的猜想是正确的.
答案：等腰直角三角形。提示：AF=AE，∠FAE=90
C等级
1. 某车站的钟楼上装有一个电子报时钟，每一分钟的刻度处都有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯？
答案：13只
2.在如图的12×24的方格形纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一ΔABC. 现先把ΔABC分别向右、向上平移8个单位和3个单位得到ΔA1B1C1；再以点O为旋转中心把
ΔA1B1C1按顺时针方向旋转90 得到ΔA2B2C2. 请在所给的方格形纸中作出ΔA1B1C1和
ΔA2B2C2.
3.在同一平面内，△ABC与△关于直线m对称，△与△关于直线对称，且有，则△可以通过一次 变换直接得到△．
答案：平移
4.把是直角的绕点沿顺时针方向旋转，点转到点得，则以下列结论错误的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5.下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）
答案：A
6.如图所示，在图甲中，Rt△绕其直角顶点每次旋转，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形点每次旋转，旋转二次得到右边的图 ( )
下列图形中，不能通过上述方式得到的是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
7.如图，平面直角坐标系中，△为等边三角形，其中点、、的坐标分别为、、．现以轴为对称轴作△的对称图形，得△，再以轴为对称轴作△的对称图形，得△．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△旋转到△的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△的位置发生变化时，△、△与△之间的对称关系始终保持不变．
①当△向上平移多少个单位时，△与△完全重合？并直接写出此时点的坐标；
②将△绕点顺时针旋转，使△与△完全重合，此时的值为多少？点的坐标又是什么？
答案：解：（1）点、的坐标分别为、．
（2）能通过一次旋转将△旋转到△的位置，所旋转的度数为；
（3）①当△向上平移2个单位时，△与△完全重合，此时点的坐标为（如图1）；
②当，△与△完全重合，此时点的坐标为（如图2）．
8.在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
（1）图中的格点是由格点通过哪些变换方法得到的？
（2）如果以直线为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出格点各顶点的坐标，并求出的面积．
答案：解：（1）方法较多，如：先向右平移5小格，使点
移到点，再以为中心，顺时针方向旋转
得到．
（2）．
如图，显然格点在上，
则
．
9.如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FE平分∠BFE，则∠GFH的度数满足（ ）
A． Ｂ．
C． D．随着折痕位置的变化而变化
答案：Ｂ
A
B
C
D
E
G
B
C
B1
A
A1
A
B
C
E
F
A
O
B
A
O
B
图2
①
②
③
图1
图3
图4
图5
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图1－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图1－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
A
F
E
D
C
B
图1
图2
图3
图2
图4
图8
(A) (B) (C) (D)
图9
图10
图13
图15
图16
图2
图18
图20
(第1题)
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图13
图1
图2
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
N
N
N
E
E
F
E
F
F
M
M
M
图21-①
图21-②
图21-③
图1
图2
A B C D
A
B
C
D
A
C
D
G
F
E
众
志
成
城
图-1
成
城
众
志
图-2
志
成
城
众
第1次变换
城
众
志
成
图-3
成
城
众
志
第2次变换
…
（A）
（B）
（C）
（D）
A
B
E
G
C
D
A
B
C
E
F
A
C
B
A
P
C
B
A
B
C
O
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
O
B
甲
B
O
A
A
O
C
B
B
O
乙
y
x
A
B
C
O
A
B
C
O
y
A
B
C
y
图1
图2
A
B
C
E
D
F
b
a
A
B
C
E
D
F
Ｇ
Ａ
Ａ
Ｈ
Ｅ
Ｄ
Ｇ
Ｃ
Ｆ
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第二十三章旋转
第7课时 §23.1 图形的旋转
“图形的旋转”是继轴对称、平移之后的又一种图形基本变换，是义务教育
阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分。教材中从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用实践检验理论，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立变化观点的良好素材。同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，它不仅为本章后续学习旋转对称图形、中心对称图形做好准备，而且也为今后学行四边形”、“图形的全等”和“圆”这些知识内容的学习做好铺垫。主要学习一下内容：
1. 旋转的有关概念理解旋转变换也是图形的一种基本变换；关于图形的变换，学生已经学移与轴对称，对于图形的变换有了一定的了解。同平移与轴对称一样，旋转与实际生活联系紧密。钟表指针的转动，风车车轮叶片的转动等都是旋转的例子。
2. 通过探索和发现旋转后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度，
图形的形状和大小都没有变化；会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角；让学生得出了旋转的性质即对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，根据性质按要求作出简单平面图形旋转后的图形
3. 利用旋转的概念和性质解决简单的旋转问题
点击一：旋转的定义
在平面内，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,在旋转过程中始终保持固定不变的那个定点叫做旋转中心,图形转动的角叫做旋转角.理解旋转的概念应该注意一下几点(1)旋转的范围是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形 ；（２）旋转中心可以是平面上的任意一点，有可能在图形的外部，也有可能在图形的内部或在图形上；（３）旋转中，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度，所以任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；（４）旋转不改变图形的大小和形状，旋转前、后的图形全等。
针对练习1: 如图，线段MO绕点O旋转900得到线段NO，
在这个旋转过程中，旋转中心是 ，
旋转角是 ，它等于 度.
答案：点O；；
2.如图，风车风轮的每个叶片A、B、C、D、E、F在风的吹动下
转动到新的位置.则叶片A向 方向，转动 度后与叶片B
重合；转动 度后与叶片C重合；转动 度后与叶片E重合.
由此可知，风车风轮的旋转中心是 ；旋转角是 .
答案：顺时针，60°；120°180°，点O，60°
3. 如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形
相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B
4.如图，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB，
连接PQ，则⊿PBQ的形状是（ ）
（A）等边三角形 （B）等腰三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
答案：B
点击二：旋转后的对应关系
一个图形绕某点旋转后，它的点、角、线段都移到了新的位置，这些新位置上的点、角、线段与原位置上对应的点、角、线段分别称为对应点、对应角、对应线段。需要注意的是点、角、线段的一一对应关系。
针对练习2:
1. 如图，绕点O旋转450后得到，
则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；
线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；
∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.
△AOB的边OB的中点M的对应点在 .
答案：点C；OC；DC；；；点O；；OC的中点
2.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，△DEC顺时针旋转一个角度后得到△DGA
（1）途中哪一个点是旋转中心？旋转角是多少度？
（2）试指明图中旋转图形的对应线段与对应角。
答案：（1）图中△DEC是绕点D顺时针旋转90°后得到△DGA的，故旋转中心是点D，旋转角是90°
（2）图中旋转图形的对应线段是DE与DG，DC与DA,CE与AG；对应角是∠CDE与∠ADG,∠C与 ∠DAG, ∠DEC与∠G
点击三： 旋转的性质
由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前、后的两个图形是全等的，由此得到旋转的基本性质如下：
（1） 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；
（2） 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；
（3） 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
针对练习3:
1. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（ ）
A． 100 B． 150 C．200 D．250
答案：C
2. 如图，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转350，得到△A1B1C，A1B1⊥AC，则∠A的度数是__________．
答案：550；
3. 如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=150，∠C=100，E，B，C在同一直线上，则∠ABC=_______，旋转角度是________．
答案：1550、250
点击四：利用旋转作图
学习了旋转的概念和特征后，作一个图形绕某一旋转中心旋转后的图形是必不可少的．简单的旋转作图分为以下几步：（1）确定旋转角和旋转方向；根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形上一对对应点，把他们与旋转中心所连线段的夹角作为旋转角，并由此确定旋转方向；（2）确定每对对应点（3）确定旋转后的图形，按照原图的形状连接上述对应点，即可得到旋转后的图形
针对练习4:
1.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴；
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
解：
答案：（1）如图；
（2）如图；
（3）成轴对称，对称轴如图；
（4）成中心对称，对称中心坐标．
2. 如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线AB的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽．
答案：如图．三步各计2分，共6分．
类型之一：旋转的定义
例1：下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】根据旋转的定义，知A、B是组合图形显然不成立，C是轴对称图形不是旋转对称图形。
【解答】D
例2：如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点逆时针旋转；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
【解析】本题作为一道图形变换题，主要考察动手操作能力和设计美丽图案能力。需要熟悉轴对称和中心对称图形的性质，解题的关键要注意图形每一条边都要绕着点O旋转90°，同时找准对应点。
【解答】（1）只要做出原四边形四个顶点关于直线AB 的对称点，连接这些对称点即可。
类型之二：旋转中的计算问题
例3：如图1所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A’OB’，那么AB扫过的区域的面积是 。
【解析】AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA’的面积－扇形ODD’的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。
【解答】AB扫过的区域的面积是。
例4：如图3所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A’B’C，则∠AB’C的度数是 。
【解析】根据旋转的性质可以知道∠BCB’是旋转角，它的度数应该是30°，∠AB’C可以看成是∠ACB和∠BCB’的和，所以∠AB’C=120°＋30°=150°。
【解答】∠AB’C的度数是150°
例5：如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是 。
【解析】由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。
【解答】DH的长是。
类型之三： 作旋转图形
（一）、利用对应点旋转的角度相等，对应点到旋转中心的距离相等作图
例6．如图1，画出△ABC绕点O，逆时针旋转90°后的△A′B′C′．
【解析】：假设△A′B′C′已经作出，则A′，B′，C′的对应点分别为A，B，C，且∠AOA′，∠BOB′，∠COC′都是旋转角，均为90°，OA′=OA，OB′=OB，OC′=OC．
【解答】：如图2，（1）连接OA，OB，OC．
（2）分别以OA，OB，OC为一边作∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=90°．
（3）分别在射线OA′，OB′，OC′上截取OA′=OA，OB′=OB，OC′=OC．
（4）连接A′B′，B′C′，C′A′．
△A′B′C′就是△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形．
（二）、利用对应边相等，对应角相等作图
例7．如图3，画出△ABC绕点C旋转30°后的图形．
【解析】：绕点C旋转，则只需确定点A和B的对应点A′，B′，按顺时针旋转30°后应有∠B′CB=∠A′CA=30°，且CB′=CB，CA′=CA，A′B′=AB，∠B′CA′=∠BCA，∠B′=∠B，∠A′=∠A．
【解答】：如图4，（1）分别以CB，CA为一边作∠B′CB=∠A′CA=30°．
（2）分别在射线CB′，CA′上截取CB′=CB，CA′=CA．
（3）连接A′B′．则△A′B′C′就是△ABC绕点C顺时针旋转30°后的图形．
(三)、利用对称与旋转的关系作图
例8．如图5，线段AB绕点O旋转，端点A旋转到点D，试画出旋转后的线段．
【解析】：一个图形经过两次对称后即可看成一次旋转．可以通过两次作对称图形的方法，作出旋转后的图形．
【解答】：如图6，（1）作射线OC．
（2）以OC所在直线为对成轴作出线段AB的对称图形A′B′．
（3）连接OA′，OD，作∠A′OD的平分线OF，
（4）以OF所在直线为对称轴作出线段A′B′的对称线段DE．
则线段DE就是线段AB绕O点旋转后的图形．
类型之四：综合应用
“旋转”是现实生活和生产中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷的形式之一，它不仅是探索图形一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具.在近几年的中考试题中，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的中考题层出不穷。
例9.如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解析】：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
【解答】：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
例10.已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，不需证明．
图2-1 图2-2 图2-3
分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
【解析】：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.
∴ OD+OE=0C．
图3结论：OE-OD=OC.
评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.
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例11.如图3，（1）在方格纸上如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A得到图形B，再由图形B得到图形C（对于平移要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答旋转中心，旋转方向和旋转的角度）．
（2）图3中的图形B是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形B绕点P顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影不要涂错位置，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长为1个单位长度）．
【解析】：图形的平移要确定平移的方向和平移的距离，在平移过程中，图形的大小、形状都不发生变化．图形的旋转必须明确旋转中心、旋转方向和旋转角．明确图形中每一点都绕着旋转中心旋转同样大小的角度，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．图形大小和形状不变．
【解答】：（1）将图形A向上平移4个单位长度得到图形B，将图形B以P为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4个单位长度得到图形C．
（2）如图4所示．图形很漂亮．
评注：利用网格特征进行图形的平移、旋转变换，进而设计出一些图案，是中考中的一个热点，在学习时应注意这方面题型的训练．
1.下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动; B．拧开自来水水龙头
C．运动过程中篮球的滚动 D．空中下落的物体
【解析】B
2.如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【解析】B
3. 如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】D
4.将图1按顺时针方向旋转90°后得到的是（ ）
【解析】 A
5. 如图，在中，，且点的坐标为（4，2）．
①画出向下平移3个单位后的；
②画出绕点逆时针旋转后的，并求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）．
【解答】(1)图略;
(2)图略．点A旋转到点A2所经过的路线长=
6. 如图，绕点逆时针旋转到的位置，
已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解答】D
7. 如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC 上 两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接 ，下列结论：①△≌△；②△∽△；③； ④其中正确的是【 】
A．②④； B．①④； C．②③； D．①③．
【解答】B
8. 如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解答】B
9．如图1所示，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( )
A．30° B．60° C．72° D．90°
【解析】D
10.如图2，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )．
A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
【解析】C
11.如图3，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．
【解析】D
12. 如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是( )
(A)25°． (B)30°． (C)35°． (D)45°．
【解析】D
13. 如图4，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上)，则∠A′CO的度数为( )
(A)22°． (B)52°． (C)60°． (D)82°．
【解析】D
14. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将△ABC绕B点顺时针旋转一周，则线段AC所扫过的面积为( )
(A)π． (B)3π． (C)9π． (D)6π．
【解析】C
15. 如图9，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( )
【解析】B
16. 如图10，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为______．
【解析】135°
17. 如图13，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为______cm2．
【解析】4
18. 如图15，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30o后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为______平方单位．
【解析】
19.如图16，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是______cm．
【解析】(提示：AB′=－6，平移距离=AB′·tan30°)
20. 在如图18的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
【解析】如图2，点A所经过的路线长为
21. 如图20，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【解析】(1)略；(2)直角三角形；(3)∵∠ADO=α－60°，∠AOD=190°－α，∴∠DAO=50°．若α－60°=190°－α，则α=125°；若α－60°=50°，则α=110°；若190°－α=50°，则α=140°．故当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形
1. 如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后，重叠部分的面积为( )
A. B.
C. D.
【解析】B
2. 如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到
△P′AB，则∠PAP′的度数为________．
【解析】60°
3.等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
【解析】120°
4.如图5，四边形为正方形，为正方形外一点，
经过旋转后到达的位置，那么旋转中心是 ，
旋转角是 度。
【解析】点B，顺时针旋转
5.分析图6中①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分
【解析】
6.如图7，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A＝15°，∠C＝10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC＝＿＿＿，旋转角度是＿＿＿
【解析】155°，25°
7.P是等边内部一点，、、的大小之比是5:6:7，所以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角的大小之比是 .
【解析】2:3:4
8.如图9，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长为______。
【解析】
9. 如图10所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，
那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，
∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。
【解析】全等，旋转角为60°，∠CAE=40°，∠E=110°，∠BAE=110°
10. 如图11，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形A1B1C1D1.
(1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A1B1C1D1 ；
(2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转 得到梯形A2B2C2D2 ，请你画出梯形A2B2C2D2．
11. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
(1）画出向平移4个单位后的；
(2）画出绕点顺时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长．
【解析】
（1）画出．
（2）画出△．
连结，，．
点A旋转到所经过的路线长为．
1. 把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分（如图2）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？请证明你的发现．
【解析】在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变．
【答案】∵△ABC是等腰直角三角形，O为斜边中点，
∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝45°，
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH＝∠CGK，因此△CGK可以看作是由△BGH绕点O顺时针旋转而得，故BH＝CK，，
∴，
即四边形CHGK的面积在旋转过程中没有变化，始终为4．
【评注】在本例中，利用旋转变换的特征，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积，实现了特殊到一般的转化，体现了一个重要的数学思想-----转化思想，希望同学们深刻领会，主动运用．
2.如图21，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
(1)在图21－①中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
(2)继续旋转至如图21－②的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)继续旋转至如图21－③的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
【解析】(1)连结DB，则BD⊥AC、∠DBA=45°、DB=DC．∵∠MDN=90°，∴∠BDM=∠CDN，于是△DMB≌△DNC．故DM=DN；四边形DMBN的面积不发生变化．因为S四DMBN=S△DBC=S△ABC=．(2)DM=DN仍然成立，因为同理可证△DMB≌△DNC．(3)DM=DN仍然成立
课时作业：
A等级
1. 如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）．
A．120° B．90° C．60° D．30°
答案：A
2.如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
3.已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2．则旋转的牌是（ ）
答案：A
4.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则旋转后的图中，全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
答案：C
5.如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
6.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转，则完成一次变换．图-2，图-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A．上 B．下 C．左 D．右
答案：C
7.将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）．
答案：A
8.如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 cm，的面积 cm2．
答案：2，18
9.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 .
答案：90o
10.如图，在平面内将绕着直角顶点逆时针旋转得到．若，，则线段的长为 ．
答案：3
11.如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP 重合，如果AP=3，那么线段的长等于 ____________．
答案：
12.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为 ．
答案：
13.将直角边长为5cm的等腰直角绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
答案：
B等级
14. 如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点，
△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，
⑴旋转中心是哪一点？
⑵旋转了多少度？
⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了
什么位置？
答案：点A；（2）36°；（3）AE的中点
15. 如下的图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？
答案：基本图形是其中一个菱形，通过5次旋转得到。每次旋转了60度，旋转中心是整个图案的中心。
16. 如图，⊿是由⊿绕某一中心旋转一定角度得到的，请你找出这个旋转中心.
答案：连结AA'，BB'，CC'；分别作AA'，BB'，CC'的垂直平分线交于点O，点O就是旋转中心
17.如图，△ACD、△ECB都是等边三角形，画出△ACE以
点C为旋转中心顺时针方向旋转60°后的三角形。
答案：.连结DB，△DCB即是所求三角形。
18.在矩形AGFE中，△AEF绕点A旋转得到△ABC.连结AC、AF和CF.连结AC、AF和CF，得△ACF.请你猜想一下△ACF是一个什么三角形？证明你的猜想是正确的.
答案：等腰直角三角形。提示：AF=AE，∠FAE=90
C等级
1. 某车站的钟楼上装有一个电子报时钟，每一分钟的刻度处都有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角内有多少只小彩灯？
答案：13只
2.在如图的12×24的方格形纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一ΔABC. 现先把ΔABC分别向右、向上平移8个单位和3个单位得到ΔA1B1C1；再以点O为旋转中心把
ΔA1B1C1按顺时针方向旋转90 得到ΔA2B2C2. 请在所给的方格形纸中作出ΔA1B1C1和
ΔA2B2C2.
3.在同一平面内，△ABC与△关于直线m对称，△与△关于直线对称，且有，则△可以通过一次 变换直接得到△．
答案：平移
4.把是直角的绕点沿顺时针方向旋转，点转到点得，则以下列结论错误的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5.下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）
答案：A
6.如图所示，在图甲中，Rt△绕其直角顶点每次旋转，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形点每次旋转，旋转二次得到右边的图 ( )
下列图形中，不能通过上述方式得到的是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：D
7.如图，平面直角坐标系中，△为等边三角形，其中点、、的坐标分别为、、．现以轴为对称轴作△的对称图形，得△，再以轴为对称轴作△的对称图形，得△．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△旋转到△的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△的位置发生变化时，△、△与△之间的对称关系始终保持不变．
①当△向上平移多少个单位时，△与△完全重合？并直接写出此时点的坐标；
②将△绕点顺时针旋转，使△与△完全重合，此时的值为多少？点的坐标又是什么？
答案：解：（1）点、的坐标分别为、．
（2）能通过一次旋转将△旋转到△的位置，所旋转的度数为；
（3）①当△向上平移2个单位时，△与△完全重合，此时点的坐标为（如图1）；
②当，△与△完全重合，此时点的坐标为（如图2）．
8.在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
（1）图中的格点是由格点通过哪些变换方法得到的？
（2）如果以直线为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出格点各顶点的坐标，并求出的面积．
答案：解：（1）方法较多，如：先向右平移5小格，使点
移到点，再以为中心，顺时针方向旋转
得到．
（2）．
如图，显然格点在上，
则
．
9.如图：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FE平分∠BFE，则∠GFH的度数满足（ ）
A． Ｂ．
C． D．随着折痕位置的变化而变化
答案：Ｂ
A
B
C
D
E
G
B
C
B1
A
A1
A
B
C
E
F
A
O
B
A
O
B
图2
①
②
③
图1
图3
图4
图5
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图1－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图1－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图1－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
A
F
E
D
C
B
图1
图2
图3
图2
图4
图8
(A) (B) (C) (D)
图9
图10
图13
图15
图16
图2
图18
图20
(第1题)
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图13
图1
图2
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
N
N
N
E
E
F
E
F
F
M
M
M
图21-①
图21-②
图21-③
图1
图2
A B C D
A
B
C
D
A
C
D
G
F
E
众
志
成
城
图-1
成
城
众
志
图-2
志
成
城
众
第1次变换
城
众
志
成
图-3
成
城
众
志
第2次变换
…
（A）
（B）
（C）
（D）
A
B
E
G
C
D
A
B
C
E
F
A
C
B
A
P
C
B
A
B
C
O
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
O
B
甲
B
O
A
A
O
C
B
B
O
乙
y
x
A
B
C
O
A
B
C
O
y
A
B
C
y
图1
图2
A
B
C
E
D
F
b
a
A
B
C
E
D
F
Ｇ
Ａ
Ａ
Ｈ
Ｅ
Ｄ
Ｇ
Ｃ
Ｆ
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