23.2 中心对称(含课题学习图案设计)

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第二十三章旋转
第8课时§23.2 中心对称 §23.3 课题学习 图案设计
中心对称这一节包括两个图形成中心对称和中心对称图形两个内容，本课时只学习两个图形成中心对称，其中包括三个内容即概念、性质以及运用性质作图．本节内容的数学本质是利用图形的全等认识图形的运动变化. 教学目标的制定是教学计划中的重要环节.目标的制定首先要依据的是课程标准的要求,即知识与能力、数学思考、问题解决、情感态度几个方面.同时对于不同的学生来说,目标的制定也应存在一定的差异.从学生的可接受度和最近发展区进行如下目标的设计：
知识与能力目标
1．了解中心对称、对称中心和对称点的概念．
2．理解中心对称的性质．
3．掌握运用中心对称的性质作图的方法．
本节教学是在学生对旋转、轴对称图形和四边形的有关概念和性质有一定认知水平的前提下开展的探究活动课.本节教材不仅巩固了学生的原知识，而且使学生掌握了中心对称图形的有关概念和基本性质，初步形成空间图形观念。通过对中心对称图形的探究，培养学生在生活中学习数学、探究问题的乐趣和习惯，进一步培养和提高学生用数学思想和方法探究实际问题的能力。所以我认为，本节教材是贯彻实施素质教育充分体现新课标精神、培养学生实践能力、体现数学美的教学载体。它不但起到了承上启下的作用，为后面学习图形的设计打下基础。
1.了解中心对称图形的概念,掌握这个概念的应用．
2.利用所学知识判断一个图形是不是中心对称图形并了解其运用
通过平移与轴对称的学习，学生已经具备了一定的用图形变换进行图案设计的知识和经验，这些是学生运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计的基础。
点击一： 中心对称的概念
在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称与轴对称有相似之处，也有区别。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称与旋转的关系：中心对称是旋转角为180°时的旋转，它是一种特殊的旋转；但旋转不一定是中心对称。
针对练习1：
1:若两个图形成中心对称，则下列说法正确的个数有（ ）
①对称点的连线必经过对称中心②这两个图形一定能完全重合③这两个图形的对应线段一定互相平行④将其中一个图形绕对称中心旋转180°后能与另一个图形重合
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
答案： D
2.如图 15-3-3 所示， △OA B 绕点O旋转 180°得到 △OCD ，
连结 AD 、 BC ，得到四边形ABCD ，则 AB________CD （填位置
关系）；与 △AOD成中心对称的是__________由此可得到 AD______ BC（填位置关系）
答案：平行；△COB；平行
点击二：中心对称的性质
性质1:关于中心对称的两个图形是全等图形
性质2:关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心所平分;反过来,如果两个图形的对应点所连线段都经过同一个点,并且被这个点平分,那么这两个图形一定关于该点中心对称,需要注意的是对称点、对称中心三点在同一直线上，且对称点到对称中心的距离相等。
注意：（1）关于中心对称的两个图形中的对应点就是对称点
（2）利用中心对称的性质可以画出一个图形以某点为对称中心的对称图形
针对练习2:
1．如图所示，找出图形的对称中心．
答案：如图．点O就是要求的对称中心．
2. 如图所示，已知和一点p，求作与关于点P成中心对称的图形．
答案：（1）连接AP，并延长AP至点，使AP=，于是得到点A的对称点；
（2）同样画出点B，C，D的对称点，，；
（3）顺次连接，，，，则四边形即为所求，如图所示．
3.如图，在方格图中画四边形ABCD关于点O的对称图形．
答案：1）连接AO并延长AO到，使，即为点A的对称点；
（2）同理作出B，C，D的对称点，，；
（3）顺次连接，，，。
四边形即为要画的图形（如图）
点击三：中心对称图形
中心对称图形是生活中较常见的图形，也是中考的易考点，对于它，我们应掌握好它的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。识别中心对称图形主要看是否存在一点，把图形绕着这个点旋转180°后能与原来的图形重合，值得注意的是中心对称图形所满足的旋转角必须是180°。中心对称图形是某个图形本身具有的特征，其对称中心在图形内部，不与其它图形发生关系。
针对练习3:
1．在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
2．下列图形是中心对称图形，而不是轴对称图形的是（ ）．
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正六边形
答案：B
3．已知下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形．其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（ ）．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）
答案：D
4．如图所示，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．
答案：D
5.请写出两个既是轴对称图形，又是中心对称图形的正多边形：___________．
答案：正六边形、正八边形
提示：边数n为偶数的正n边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
6．如图所示，将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成如图所示的四个图形，则其中是中心对称图形的是__________．
答案：图（1），（3），（4）均是轴对轴对称图形；图（2）是中心对称图形．答案：（2）
7．我国主要银行的商标设计基本上融入了我国古代钱币的图案．如图所示，我国四大银行的商标图案中，是轴对称图形，而不是中心对称图形的是_____________．
答案：图（1），（2），（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；图（3）是轴对称图形，但不是中心对称图形．答案：（3）
8．如图所示，其中是中心对称图形的是___________．
答案：（1）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；（2）只是轴对称图形；（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4）是中心对称图形．
答案：（3），（4）
点击四：对于平面直角坐标系中的对称性
两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点P′（-x,-y）.两个点关于原点对称，可理解为它们的横坐标与纵坐标分别互为相反数，第一象限的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。
针对练习4:
1.在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A （2，3） B （-2，3） C （-2，-3） D（-3，2）
答案：B
2.点P（-2，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A (-2,1) B (-3,1) C (2,1) D (2,-1)
答案：D
3.若点A（n,2）与B(-3,m)关于原点对称，则n- m等于（ ）
A -1 B-5 C 1 D 5
答案：D
4. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，
又是关于坐标原点O成中心对称的图形，若点A的坐标是（1,3），
则点M和点N的坐标分别为　　　（　　）　
（A） M（1，－3），N（－1，－3）
（B） M（－1，－3），N（－1，3）
（C） M（－1，－3），N（1，－3）
（D） M（－1， 3），N（1，－3）
答案：　C　
点击五：图案设计
图案的设计与日常生活息息相关，它通常是利用基本图形的变换来进行图案设计，图形之间基本变换关系有轴对称，平移、旋转、组合这四种基本形式，但较多图形的形成都是经过组合变化而成的，其组合形成一般有以下几种形式：先平移后旋转；先旋转后平移；先旋转后做轴对称；先平移后做轴对称；先做轴对称后平移。
简单图案的设计步骤：（1）整体构思。图案的设计要突出主题，即设计图案的意思简洁、自然、别致。确定整幅图案的形状和基本图形；构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成；再运用平移、旋转、轴对称等方式，实现由基本图案到各部分图案的有机组合并作出草图。（2）具体作图。根据草图，运用尺规作图的方法准确的作出图案（3）对图案进行适当的修饰。
针对练习5:
1. 下面四个图案中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
答案：D
2. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
答案：C
3. 下列四副图案中，不是轴对称图形的是
　　
答案：A
4. 对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，
其中，可以看作是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
类型之一：中心对称的识别与特征
例1 如图，已知△ABC及AC上一点O，以O为对称中心作出与△ABC成中心对称的图形
【解析】中心对称的作图思路与平移、旋转作图相同，两个图形成中心对称，其实是对应点关于中心对称，因此可以根据对应点的连线被对称中心平分这一特征作图。
【解答】（1）在OC上截取OA′=OA
（2）延长OA 到C′，使OC′=OC；
（3）连接BO并延长到B′,使OB′=OB
(4)连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为所求的三角形
例2：小明把如图1（1）所示的扑克牌放在一张桌子上，请一位同学避开他任意将其中一张牌倒过来，如图1（2），然后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是（　　）
　　A．方块5 B．梅花6 C．红桃7 D．黑桃8
　【解析】本题实际上考查了中心对称图形的有关性质．观察图1（1）和图1（2）没有什么变化，说明倒过来的图形是中心对称图形，而中心对称图形只有方块5，所以选Ａ．
【解答】A
例3：已知：如图5，．
　　（1）画出，使与关于直线MN对称；
　　（2）画出，使与关于点O中心对称；
　　（3）与是对称图形吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．
　【解析】把一个图形绕一定点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于中心对称．成中心对称的两个图形，连接对称点的线段都经过对称中心，并被对称中心平分．
　　本题主要考查中心对称以及轴对称图形的作法，作ABCD关于直线MN的轴对称四边形，关键是作出顶点A，B，C，D的对称点．同样作出关于点O的对称图形，应先作出顶点A，B，C，D的对称点，然后顺次连接．
【解答】（1）、（2）如图6所示，（3）与是轴对称图形，对称轴为直线EF．
类型之二：中心对称图形
例4：如图，下列分子结构模型平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】根据轴对称和中心对称的定义，上图中除第一个平面图是轴对称图形而不是中心对称图形外，其它三个既是轴对称图形又是中心对称图形
【解答】C
【点评】本题主要考查轴对称、轴对称图形、中心对称图形的定义，要求同学们在学习中加强对基本概念的理解和运用。
例5：下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（ ）
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A． 　 B． C． D．
【解答】D
【点评】求解本题一定要注意中心对称图形的概念中的一个关键性的字眼就是图形本身绕着自身的某一点旋转180°后还要与自身重合。
类型之三： 关于原点对称点的坐标问题
在平面直角坐标系中，利用“关于原点对称的两个图形上的点的坐标符号相反”这个特点，可以识别两个图形是否关于原点对称，也可以作出一个图形关于原点对称的图形．请看几例．
　　例6：　在图1所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为________；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为________．
　　【解析】观察直角坐标系内的四个三角形，其中三角形①、②，各顶点的坐标分别关于y轴对称；观察三角形①、③，这两个三角形对应顶点的坐标符号相反，根据点的坐标特征，可知①、③这两个三角形关于原点对称．
　　【解答】分别填 ①、②，①、③．
　　例7：　如图2，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…．对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标．
　　【解析】本题是一道和对称有关的探索题，是中心对称的拓展题．由于对称是按有关规律循环的，所以解决问题的关键是找出循环规律．如图2，标出P1到P7各点，可以发现P7和P1点重合．
　　【解答】P2的坐标为（1，-1），P7的坐标为（1，1），因为100除以6余4，所以点P100和点P4的坐标相同，所以P100的坐标为（1，-3）．
　　例8：　如图3，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4）， B（5，6），C（7，1），请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标．（不要求写出作法)，以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1．
　　　【解析】：本题是一道旋转作图题，根据旋转的特征，可以先确定点A，B，C顺时针方向旋转后的对应点A1，B1，C1．然后顺次连接A1B1，B1C1，C1A1即得旋转90°后的三角形．
　　【解答】如图4，连接OA，OB，OC，分别根据网格的特点作出A，B，C绕原点顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1．然后顺次连接A1B1、B1C1、C1A1．则△A1B1C1为所作三角形．
类型之四：图案的设计
例9. 如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）。
【解析】本题答案不唯一，只要符合条件即可
【解答】如下图
例10. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
（注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
【解析】按要求作图，需要读懂题意，弄清作图的要求
【解答】（本题答案不唯一）
1．下面4个图案中，是中心对称图形的是（ ）
答案：A
2．下列图形中，绕某个点旋转180°后能与自身重合的有（ ）
①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形．
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
3．下列说法中正确的是（ ）
A．两个能够互相重合的图形一定成中心对称
B．成中心对称的两个图形一定能够互相重合
C．把一个图形绕着某一点旋转一定的角度，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形一定成中心对称
D．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，那么这两个图形关于这一点成中心对称
答案：B
4．如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
答案：C
5. 3张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180 后得到如图（2）所示，
则她所旋转的牌从左数起是 （ ）
A．第一张
B．第二张
C．第三张
D．第四张
答案：A
6. 如图4，已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三
角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 个．
答案：
7.下列图形中，不是中心对称图形的是
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形
答案：A
8.已知是的对称中心，是的中心，请写出一个与有关的结论： ．
答案：答案不唯一，参考举例：，，
9.图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④矩形，⑤梯形，⑥圆．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是_______．
答案：①④⑥
10.如图，将两张完全相同的正方形透明纸片完全重合
地叠放在一起，中心是点．按住下面的纸片不动，将上
面的纸片绕点逆时针旋转，所得重叠部分的图形（ ）
A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
B．是轴对称图形但不是中心对称图形
C．是中心对称图形但不是轴对称图形
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
答案：D
11.下列图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
答案：B
12.在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形4个四边形中，顺次连接每个四边形的四边中点，所得图形是中心对称图形但不是轴对称图形，则这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
答案：A
13. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1．
（1）平移已知直角三角形，使直角顶点与点重合，画出平移后的三角形．
（2）将平移后的三角形绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形．
（3）在方格纸中任作一条直线作为对称轴，画出（1）和（2）所画图形的轴对称图形，得到一个美丽的图案．
14. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2。
一、选择题
1．下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
答案：D
2．
答案：D
3．下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（ ）
A．（l）（2） B．（l）（2）（3） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3（4）
答案： C
4．下列图形中，是中心对称的图形有（ ）
①正方形 ；②长方形 ；③等边三角形； ④线段； ⑤角； ⑥平行四边形。
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
5．在平面直角坐标系中，点P（2，—3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（—2，3） C．（—2，—3） D．（—3，2）
答案：B
6．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为（ ）
答案：D
A． B． C． D．
二、填空题
7．下列大写字母A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z旋转90°和原来形状一样的有 ，旋转180°和原来形状一样的有 ．
答案：O X ； H I O X
8．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，它的旋转中心是____________，经过20分钟，分针旋转了____________。
答案：表盘中心 120°
9．如图23—A—7所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为________三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=____________。
答案：直角 6cm
10．△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转____________度后能与原来图形重合．
答案：120
11．如图23—A—8，△ABC绕点A旋转后到达△ADE处，若∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，则∠DAE＝__________，∠CAE＝__________。
答案：120°
12．如图23—A—9，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm， △ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则图中的____________是旋转中心，旋转角是___________。答案：点A 90°
三、作图题（12分）
13．在图23—A—10中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90度．
（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对
应字母；
（2）能否把两次变换合成一种变换，如
果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．
答案:如图
（2）能，将△ABC绕CB、C”B”延长线的交点顺时针旋转90度。
四、解答题
14．观察如图23—A—11所示的图形是否有其中一个图形，是另一个图形经旋转得到的．
答：有。将图形顺时针或（逆时针）旋转72°、144°、216°。
15．你能分析出图23—A—12中旋转的现象吗？
答案:图①由基本图形绕中点O顺时针（逆时针）旋转90°、180°、270°得到的．
图②由基本图形绕中O顺时针（逆时针）旋转90°、180°、270°得到的．
16．已知如图23—A—13，△ABC是等腰直角三角形，∠C直角．
（1）画出以A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形．
（2）指出面ABC三边的对应线段．
答案:①如图11一26所示
②AB与AB′，AC与AC′，BC与BC′分别为对应边．
17.如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。
答案: 旋转角为60°，∠CAE=40°，∠E=110°，∠BAE=110°。
18．如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90 ,AB=AD,AE⊥BC于E,旋转后能与重合。
（1）旋转中心是哪一点
（2）旋转了多少度
（3）若AE=5㎝,求四边形AECF的面积。
答案:（1）A点；（2）旋转了90度；（3）由旋转的性质可知，四边形AECF是正方形，所以四边形AECF的面积为25cm2。
19. 已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.
(1) 如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;
(2) 若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
答案:
（1）不相等，用图2即可说明；
（2）BE=DG。理由：连接BE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB，∠∠DAG=∠BAE，AG=AE，∴ADG≌ABE（SAS），∴BE=DG。
20. 如图11-19所示是一种花瓣图案，它可以看作是一个什么“基本图案”形成的，试用两种方法分析其形成过程．
图11-19
答案:
方法一：可看作整个花瓣的六分之一部分，图案为绕中心O依次旋转60°、120°、180°、240°、300°而得到整个图案．
方法二：可看作是绕中心O依次旋转60°、120°得到整个图案的．
方法三：可看作整个花瓣的一半绕中心O旋转180°得到的，也可看作是花瓣的一半．经过轴对称得到的．
1. 如图8所示，在网格中建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形绕坐标原点按顺时针方向旋转后得到四边形．
（1）直接写出点的坐标；
（2）将四边形平移，得到四边形，若，画出平移后的图形．（友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦！）
【答案】（1） 2分
（2），描对一个点给1分． 6分
画出正确图形（见图1） 8分
2. 拼图与设计：
（1）如图22－1，四边形是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形，为了节省材料，他准备在剩余的六块砖中（如图22－2所示①②③④⑤⑥）挑选若干块进行铺设，请你在下列网格纸上帮他设计3种不同的铺法示意图．
（2）师傅想用（1）中的④号砖四块铺设一个中心对称图形，请你把设计的图形画在下面的方格中．（要求：以点为对称中心）
【答案】
（1）
注：正确画出以上四个图形中的任意三个，每个得3分．（没有标出砖块的序号，不扣分）
9分
（2）答案不唯一，正确画出一种即可得3分（下列设计供参照） 12分
课时作业：
A等级
1.下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）
Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．
答案：C
2.下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③
答案：Ｂ
3.若一个图形绕着一个定点旋转一个角（）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如左图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，旋转对称图形个数有（ ）
Ａ． 1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ． 4
答案：Ｃ
4.下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
答案：Ｄ
5.下列图形中，中心对称图形是（ ）
答案：Ｂ
6.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
　　Ａ．　　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．
答案：A
7.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
答案：A
8.下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B. C. D.
答案：A
9.下列各图中，是中心对称图形的是（ ）
答案：B
10.如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：B
11.如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）
答案：B
12.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
13.下列各图中，不是中心对称图形的是（ ）
Ａ．　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　　　Ｄ．
答案：B
14.与平面图形①有相同对称性的平面图形是( ).
答案：B
15.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
答案：C
16.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
答案：D
17.第二十九届奥运会2008年将在我国北京举行，如图是国际奥林匹克运动会旗的标志图案，它由五个半径相同的圆组成，象征着五大洲体育健儿，为发扬奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏，这个图案是（ ）
A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．中心对称图形
D．轴对称图形
答案：Ｄ
18.下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度正确的为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
19.将一张正方形纸片沿如图1所示的虚线剪开后，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（ ）
答案：D
20．某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是（ ）
答案：B
B等级
1．若点A的坐标是（a，b）且a、b满足+b2+4b+4=0，求点A关于原点O的对称点A′的坐标．
答案: 解：因为+b2+4b+4=0，
所以+（b+2）2=0．
因为≥0，（b+2）2≥0，
所以a-3=0，b+2=0．即a=3，b=-2，
所以点A的坐标是（3，-2）．
又因为点A和点A′关于点O对称，所以A′（-3，2）．
点拨：解题的关键在于求出a、b的值．
2．若x1、x2是方程5x2-4x-1=0的两个根，且点A（x1，x2）在第二象限，点B（m，n）和点A关于原点O对称，求的值．
解：因为点A（x1，x2）在第二象限，所以x1<0，x2>0．
方程5x2-4x-1=0的两个根是x1=-，x=1．
又因为点B和点A关于原点对称，所以m=，n=-1．
所以=．
点拨：依据各象限中点的符号特征区分清楚x1和x2是解决本题的关键．
3．把下列图形的序号填在相应的横线上:
①线段;②角;③等边三角形;④等腰三角形（底边和腰不等）; ⑤平行四边形; ⑥矩形; ⑦菱形; ⑧正方形.
（1）轴对称图形：__________．
（2）中心对称图形：________．
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形：________．
（4）是轴对称图形，而不是中心对称图形：_________．
（5）不是轴对称图形，而中心对称图形：________．
解：（1）①②③④⑤⑥⑦⑧ （2）①⑤⑥⑦⑧
（3）①⑥⑦⑧ （4）②③④ （5）⑤
点拨：此题的综合性很强，综合了我们在七、八、九年级所学的平面图形，关于对称的知识要全面掌握．
4．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm，以AC的中点O为旋转中心，把这个三角形旋转180°，点B旋转至B′处，求B′与B之间的距离．
解：如答图所示．
因为AC=BC=2cm，所以OC=1cm．
在Rt△BOC中，OB===（cm），
又因为OB′=OB=cm，所以BB′=2cm．
点拨：画出符合题意的图形后，由勾股定理可求出OB的长，根据中心对称图形的性质可求出OB′，则BB′=BO+OB′．
5．华丰木器加工厂需加工一批矩形木门，为了安装的需要，在木门的中心要钻一个小孔，假如你是工人师傅，你应该如何确定小孔的位置．
解：只要画出矩形木门的两条对角线，两对角线的交点即为小孔的位置（如答图所示的O点）．
点拨：矩形的两条对角线可以看作是两对对应点的连线．中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段，都过对称中心，且被对称中心平分，而矩形的两条对角线互相平分，故两条对角线的交点，必为对称中心．
6．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：CE的值．
解：如答图所示．
作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心．令BF=a，FG=b，GE=c．
因为M′C∥AM，N′C∥AN
所以a：（2b+2c）=BM：MC=1：2
所以a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1
所以：a+b=4c，所以a=c，b=c．
所以BF：FG：GE=5：3：2．
点拨：要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法．
7．魔术师把四张扑克牌放在桌子上，如图23-2-7所示，然后蒙住眼睛，请一位观众上台把其中的一张处牌旋转180°放好，魔术师解开蒙着的眼睛的布后，看到四张牌如图23-2-8所示，他很快确定了被旋转的那一张牌，聪明的同学们，你知道哪一张牌被观众旋转过吗？说说你的理由．
解：第一张扑克牌即方块4被观众旋转过．
理由是：这四张扑克牌中后三张上的图案，都不是中心对称图形．若它们被旋转过，则与原来的图案是不同的，魔术师通过观察发现后三张扑克牌没有变化，那么变化的自然是第一张扑克牌了．由于方块4的图案是中心对称图形，旋转过的图案与原图案完全一样，故选方块4．
点拨：不认真观察和思考是不行的，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形．
8．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置．
解法一：连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心O．
解法二：连接BB′、CC′，两线段相交于O点，则O点即为对称中心．
点拨：解法一中连接AA′或BB′，然后取其中点也可得到对称中心．由定义知，对称中心即为对应点连线的中点．对所学的知识要活学活用，理解透彻．
9．如图所示，点P1在四边形ABCD的内部，点P2在边CD上，直线L在四边形ABCD外．作出四边形ABCD关于点P1对称的四边形A1B1C1D1（不写作法）．
（1）一变：作出四边形ABCD关于点P对称的四边形A2B2C2D2．
（2）二变：作出四边形ABCD关于直线L对称的四边形A3B3C3D3．
解：四边形ABCD关于点P1对称的四边形A1B1C1D2如答图所示．
（1）四边形ABCD关于点P2对称的四边形A2B2C2D2如答图所示．
（2）四边形ABCD关于直线L对称的四边形A3B3C3D3，如答图所示．
点拨：注意区别中心对称与轴对称的作图方法．
10．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD．AC，BD交于点O，且点E、F分别为OA、OB的中点，则下列关于点O成中心对称的一组三角形是（ ）C
A．△ABO与△CDO; B．△AOD与△BOC; C．△CDO与△EFO; D．△ACD与△BCD
11．如图所示，图中不是中心对称图形的是（ ）B
12．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）C
13．下面的平面图形中，不是中心对称图形的是（ ）D
A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形
14．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）D
15．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ）D
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C等级
1.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
①把向上平移5个单位后得到对应的，画出的图形并写出点的坐标；
②以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标．
答案：；
①；
②
2.如右图，方格纸中的每格都是边长为1的正方形，将绕点按顺时针方向旋转得到.
（1）在给定的方格纸中画出；
（2）的长为 ，
的长为 .
答案：（1）的位置如右图
（2）
3.如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．
（1）分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△
（不写作法）；
（3）求△ABC的面积．
答案：解： （1） A（，3），B（，1），C（，0）
（2）图略
（3）
4.如图的方格纸中，
的顶点坐标分别为、
和．
（1）作出关于轴对称的，并写出
点，，的对称点，，的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写出点，，的对称点，，的坐标；
（3）试判断：与是否关于轴对称（只需写出判断结果）．
答案：解：（1）如图，．．
（2）如图，．
．
（3）与关于y轴对称
5.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点逆时针旋转；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
答案：图略．
6.如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．
答案：如图　
7.下图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
答案：答案见图
Ａ.　　　　　　　　Ｂ.　　　　　　　Ｃ.　　　　　　　　Ｄ.
A
B
C
O
A
B
C
A
图甲（是中心对称图形
但不是轴对称图形）
B
C
图乙（是轴对称图形但
不是中心对称图形）
图丙（既是轴对称图形
又是中心对称图形）
A
B
C
A
B
C
O
O
图23—A—1
图23—A—6
图23—A—7
图23—A—8
图23—A—9
图23—A—10
图8
图1
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
①
②
③
④
⑤
⑥
图22—1
图22—2
铺法一
铺法二
铺法三
O
B
C
B
C
B
C
A
D
A
D
A
D
A
D
B
C
①
①
①
②
⑤
⑤
③
③
④
⑤
⑥
O
O
O
O
① ② ③ ④
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
A．
B．
C．
D．
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
A．
B．
C．
D．
①
A
B
C
D
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
y
x
O
A
B
C
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