24.1圆

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第二十四章 圆
第9课时　　§24. 1 圆
圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见。在小学我们已经学过圆这种基本的几何图形并能计算圆的周长和面积。
早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载,，原文为“圆，一中同长也”，这是给圆的定义，他的意思是说从中心到周界各点有相同的长度。
现实生活中，路上行驶的各种车辆，都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？为什么不能做成椭圆形或者四边形的？这一节就学习圆的相关元素的知识，主要学习一下知识：
（1） 理解圆及其基本元素：弦、弧（劣弧、优弧）、圆心角、圆周角等概念。
（2） 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（3） 理解垂径定理及其推论，并用其性质解决实际问题
（4） 了解弧、弦、圆心角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题
（5） 探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的关系
点击一： 圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。
圆弧：袁尚任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，同圆和等圆的半径相等。
同心圆：圆心相同半径不相等的两个圆叫做同心圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，等弧包含：两弧的长度相等；两弧的度数相等。
注意：直径是弦而弦不一定是直径；半圆是弧而弧不一定是半圆；两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
针对练习1:
1.已知△ABC中，∠C=90°,AC=4㎝，AB=5㎝，CD⊥AB于D，以C为圆心，3㎝为半径作⊙C，则点A在⊙C_______，点B在⊙C_______，点D在⊙C_________（填“上”或“内”或“外”）。
答案：外,上,内
2.已知：点M为⊙O内一点，且过点M最长的弦为10㎝，最短的弦为6㎝，则OM的长为__________________。
答案：4cm
3.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用______次,就可找到圆形工件的圆心。
答案： 2
4.下列判断正确的是（ ）
A. 等长的两条弧是等弧 B. 半径相等的两个半圆是等弧
C. 弧是半圆 D. 在半径不等的两圆上，可能存在等弧
答案：B
点击二： 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧，此定理我们把它叫做垂径定理。
注意：（1）垂径定理可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心②垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：a平分弦b 平分弦所对的劣弧 c平分弦所对的优弧
（2）这里的垂径可以是过圆心且垂直于弦的直线或线段（包括直径、半径）
（3）垂径定理是由圆的对称性推到出来的，随意把任意一条垂直于直径的弦的两个端点看成轴对称点，它们的对称轴是过圆心且垂直于弦的直线。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
注意：此推论的两个条件为（1）要有直径（2）此直径要平分弦（非直径），两个条件缺一不可。
针对练习2:
1. 如图3，已知的半径为5，点到弦的距离为3，则上
到弦所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
2. 如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是 cm的管道．
14．如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线滚动，则点从开始至结束所走过的路线长为　　（结果保留准确值）．
答案：
答案：50
3. 如图，是⊙的弦，于点，若，，则⊙O的半径为 cm．
答案：5
4. 如图，的半径，设，为上一动点，则点到圆心的最短距离为 cm．
答案：6
点击三： 弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角就是顶点在圆心的角，关于圆心角，应该明确两点：①角的顶点在圆心②角的两边是两条半径所在的射线。
在每一个圆中，每一个圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们虽对的其余各组量也相等。
针对练习3:
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等
答案：D
2. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
答案：A
3.如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）
A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
答案： D
点击四：圆周角
顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角必须有两个特征(1)顶点在圆上;(2)角的两边都和圆相交,二者缺一不可.
圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.这个定理里面有两方面的意义:圆心角和圆周角存在关系的前提条件是它们对应着同一条弧;对应着同一条弧的圆周角是圆心角的一半(数量关心).
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
针对练习4:
1.如图,已知圆心角∠AOB＝100°,则圆周角∠ACB的度数为
A.50° B.100° C.80° D.200°
答案：A
2. 已知圆中一条弧所含圆周角为75°,则这条弧的度数是
A.105° B.150° C.210° D.300°
答案：C
3. 一条弧所含的圆周角为120°,那么它所对的圆心角是
A.60° B.120° C.180° D.240°
答案：B
4. 在⊙O中，如果弦AB所对的圆心角为70°，那么劣弧AB所对的圆周角是
A．140° B．70° C．35° D．145°
答案：C
5. 如图,已知AB和CD是⊙O中两条相交的直径,连AD、CB那么α和β的关系是
　
答案：D
6. 在⊙O中,若弦AB所对的圆心角为50°,那么劣弧AB所对的圆周角为_______.
答案：25°
7. 如图AB为直径,∠BED＝40°则∠ACD＝______．
　
答案：50°
8.
如图,在⊙O中∠AOB＝∠ACB,则∠A＋∠B＝________度．
答案：120
9.
如图OA、OB是⊙O的半径,∠AOB＝40°,∠OBC＝50°, 则∠ACB＝______度
∠OAC＝______度.
答案：20,30
类型之一：圆的定义
例1 下列说法中，正确的是（ ）
A 长度相等的弧是等弧 B 两个半圆是等弧 C 半径相等的弧是等弧 D直径是圆中最常的弦
【解析】等弧存在于同圆或等圆中，且能重合，所以ABC都不正确，而直径是圆中最长的弦，随意D正确
【解答】D
类型之二：垂径定理
例2已知：如图2，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP与E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长.
【解析】要求圆心O到AP的距离及EF的长，过点O 作OG⊥AP于G。在Rt△AOG中，∠PAC=30°，根据垂径定理即可求解。
【解答】过点O作OG⊥AP于点G，连接OF
∵DB=10，∴OD=5，∴AO=AD＋OD=3＋5=8，
∵∠PAC=30°，∴OG=AO=×8=4
∵OG⊥EF，∴EG=GF，
∵GF==3，
∴EF=6（cm）
【点评】在圆中，涉及到弦长、半径、圆心角、弧的计算或证明等问题时，常常作出弦的垂线，利用垂径定理构造直角三角形来解决问题。
例3下列说法中，正确的是（ ）
A 过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B 弦的垂线平分它所对的两条弧
C 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
D 垂直弦的直径平分弦所对的两条弧
【解析】本题易犯的错误是护士垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“不是直径”这个条件。
【解答】D
类型之三：弧、弦、圆心角之间的关系
例4：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB＝DC，△ABC与
△DCB全等吗？为什么？
．
【解析】要证明△ABC≌△DCB,已经具备的条件是AB=DC。BC是公共边，还需证明AC=BD或∠ABC=∠BCD，根据弧、弦、圆心角之间的关系,由AB=DC,得AB⌒=⌒DC,故AC⌒=⌒BD，所以AC=BD
【解答】∵AB=DC,
∴AB⌒=⌒DC
∴AB⌒+⌒BC=⌒DC+⌒BC
即AC⌒=⌒BD
∴AC=BD
又∵BC=BC
∴△ABC≌△DCB,
类型之四：圆周角
例5. 如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的关系，并给予证明．
【解析】（1）角是的圆周角，转化为求圆心角的度数；连接OB，在△AOB中， ∠AOB的度数易求（2）方法一；由（1）的解答先求出（用含的关系式表示出来）再求+；方法二：连结OB得等腰△AOB，∠AOB=2，作OD⊥AB, ，的关系易得；方法三：延长AO，得到直径AE，在△AEB中，∠E=∠C=∠, ∠ABE=90度，∠EAB=，则得，的关系
【解答】（1）解：连接，则，
．
．
．
（2）答：与之间的关系是
证一：连接，则．．
．
．
．
证二：连接，则．
过作于点，则平分．
．
在中，，
．
证三：延长交于，连接，
则．
是的直径，．
，
．
类型之五：圆的性质综合题
例6．如图，边长为3的正△ABC中，M，N分别位于AC，BC上，且AM=1，BN=2． 过C，M，N三点的圆交△ABC的一条对称轴于另一点O，求证：点O是正△ABC的中心．
【解析】此题考察的是圆与等边三角形、全等三角形、轴对称等有关知识，在解题中要综合运用所学知识来解决问题．
如图，连接AO．
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1．
∵CD是正△ABC的一条对称轴，
∴∠ACO=∠NCO，∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．
∴∠MAO=∠NCO=30．
∴O是正△ABC两个内角平分线的交点．
∴点O是正△ABC的中心．
1.如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点, ，则的度数为 ．
答案：69°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠COB=70°，则∠A=_____度．
答案：35
3.如图，已知是的直径，是弦，．过圆心作交于点，连接，则．
答案：30
4.如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是 .
答案：30°≤x≤90°
5.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心在格点上，则的正切值等于 ．
答案：
6.如图，为的直径，点在上，，则 ．
答案：
7.如图，中，，则的度数为 ．
答案：
8.如图，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 .
答案：＜∠POC＜
9.如图，点HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown在以为直径的上，若，则 度．
答案：62
10.如图，于，若，则 ．
答案：30
11.如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
答案：3
12.如图，的直径过弦的中点，，则 度．
答案：50
13.如图，中，弦的延长线相交于点，如果，，那么 ．
答案：
14.如图，四边形中，，若，则 度．
答案：38
15.如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ．
答案：55°
16.如图，已知是上的三个点，且，，．如果是线段上的点，且点到直线的距离为2，那么 cm．
答案：
17.如图，在⊙O中，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60 ，则∠B= ．
答案：
18.如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
19.如图，已知是的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，斜边与交于点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
20.如图，在中，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）
A． B．
C．5 D．48
答案：D
21.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°,则∠BAC =（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
答案：B
22.如图，在中，圆心角，则圆周角等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
A． B. C. D.
答案：D
23.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．5 个
答案：D
24.如图：点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若，则的度数是（ ）
A．18° B．30°
C．36° D．72°
答案：C
25.下列各图中，∠1大于∠2的结果是（ ）
答案：B
26.如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点（不与两点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
27.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（ ）
A．∠BOD＝∠BAC
B．∠BOD＝∠COD
C．∠BAD＝∠CAD
D．∠C＝∠D
答案：D
28.如图，内接于圆，，，是圆的直径， 交于点，连结，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：B
29.如图，是直径，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
30.如图，是的直径，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
31.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
32.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50o，则∠C的度数是（ ）
A．50o B．40o C．30o D．25o
答案：D
33.下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
答案：B
1．圆内接五边形各边相等，各边所对的圆心角的度数是 ．
2．如图1，在⊙O中，，∠B=70°，则∠C= ．
3．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是 ．
4．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD=48°，则∠BAC= ．
5．如图2所示，弦AB过圆心O，∠A=30°，⊙O的半径长为，弦CD⊥AB于E，则CD的长为 ．
6．下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
7．在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）
A．AB=2CD B． C． D．
8．下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弦相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图3，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB的度数为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
10．已知：如图4，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．如图5，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦求∠AOC与∠COF的度数．
12．如图6，一座圆弧形的拱桥，它所在圆的半径为10米，某天通过拱桥的水面宽度AB为16米，现有一小帆船高出水面的高度是3.5米，问小船能否从拱桥下通过？
13．如图7，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：△AEC≌△DEB；
(2)点B与点C关于直线OE对称吗 试说明理由．
参考答案：
1． 2． 3． 4． 5．
6．A 7．B 8．A 9．C 10．D
11．解：因为，
所以，
所以．
12．先算出拱桥高出水面的高度为米，，因此可以通过．
13．解：因为，所以．
所以，即，
所以．
在与中，，，，
所以．
（2）点与点关于直线对称．
理由略．
，且AC=CD=DE=EF=FB，
垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，由垂径定理可解决一些实际问题．现举例说明．
　一、实际计算问题
1.　如图1，在直径为130mm的圆铁片上切去一块高为32mm的弓形铁片．求这个弓形铁片弦AB的长．
　　解：将实物图转化为几何图形，如图2，则有CD=32mm，，OC⊥AB于D，
　　因为OC⊥AB，根据垂径定理，得AB=2AD．
　　在Rt△ADO中，∠ADO=90°，OA=OC=65mm，OD=OC-CD=65-32=33(mm)，
　　所以 (mm)，
　　所以弦AB的长为56×2=112(mm)．
2.　今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？
　　分析：如图4，将实物图（图3）转化为几何图形，则BE表示锯道，CD表示锯深，求⊙O的直径是多少？
　　解：如图4，设圆木的半径OB=x寸，
　　则OC=（x-1）寸，寸，
　　在Rt△OCB中，由勾股定理得x2=（x-1）2+52，
　　解得x=13．
　　所以圆木半径是13寸，直径为26寸．
二、弧形物体平分问题
3.　如图5，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具？
　　分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．
　　作法：如图6，用表示自行车内胎的一部分．
　　（1）连接AB．
　　（2）作AB的垂直平分线CD，交于点E，则点E为的中点．从点E处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．
三、判断问题
4.　某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗
　　分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图7几何图形，实际问题就转化为求FN的长度．
　　解： 设圆心为O，连接OA、0B，作OD⊥AB于D，交圆于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．
　　设OA=r，则OD=OC-DC=r-2.4，，
　　在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，
　　即r2=3.62+（r-2.4）2，解得r=3.9，
　　在Rt△OHN中，．
　　所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1，
　　因为2.1米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．
四、求弦长
5.如图，点在以为直径的上，于，设．
（1）求弦的长；
（2）如果，求的最大值，并求出此时的值．
答案：解：（1）连结，
所以，
得．
（也可以根据求解） 4分
（2）由于，所以，
得，所以的最大值为25，此时
课时作业：
A等级
一、选择题
1．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ）
A、1∶2∶3∶4 B、1∶3∶2∶4 C、4∶2∶3∶1 D、4∶2∶1∶3
2．已知圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
3． 如图1，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC
等于 ( )
A．150° B．130° C．120° D．60°
（图1） （图2）
4．如图2，⊙中，弦相交于，则下列结论正确的是（ ）
A．PA·AB＝PC·PD B． PA·AB＝PC·CD
C．PA·PB＝PC·PD D． PA·PD＝PC·PB
5．一条弦分圆为1∶5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B．1500 C．300或1500 D．不能确定
6．下列命题是真命题的是（ ）.
A、垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B、经过半径外端的直线是圆的切线
C、直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
D、到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
7．⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程
x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
二、填空题
8．如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，
则∠ABD= °.
9．在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC= ；
若O为△ABC的内心，∠BOC= ．
10．如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，
CD＝8，则AB＝ .
（图3） （图4） （图5）
11．如图4，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知，那么 度.
12．如图5，已知PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝6，BP＝4，
则⊙O的半径为 .
13．边长为2的等边三角形ABC内接于⊙Ｏ，则圆心Ｏ到△ABC一边的距
离为__________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以
BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切
于C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD
的长为 ．
15．如图，AB是半圆的直径，直线MN切半圆于C，
AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM＝a，BN＝b，
那么半圆的直径是 .
三、解答题
16．下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图，不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）（6分）
17．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，CE切⊙O于点F，交AB的延长线于点E．
求证：EF·EC=EO·ED．（7分）
18．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．
求证：CD与⊙O相切于点E．（7分）
19．如图，已知半圆O的直径AB，将—个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于点E．
(1)求证：△ACE∽△BDE；（5分）
(2)求证：BD = DE恒成立；（5分）
20．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；（5分）
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．（5分）
课时作业答案
一、选择题
1、D 2、C 3、C 4、C 5、C 6、D 7、D
二、填空题
8、45 9、1400 1250 10、10 11、50
12、 13、 14、 15、a＋b
三、解答题
16、（略）
17、证明：连结OF
∵CD切⊙O于F
∴OF⊥CE
∵CD⊥AB
∴∠DFE＝∠CDE＝900
∵∠E＝∠E
∴△OFE∽△CDE
∴
∴
18、证明：连结OE
∵AE平分∠BAF
∴∠BAE＝∠FAE
∵OE＝OA
∴∠BAE＝∠OEA
∴∠FAE＝∠OEA
∴OE∥AD
∵AD⊥CD
∴OE⊥CD
∴CD与⊙O相切于E
19、证明：（1）∵∠CAE＝∠DBE，∠AEC＝∠BED
∴△ACE∽△BDE
（2）∵∠COD＝900
∴∠DBE＝×900＝450
∵AB为直径
∴∠BDE＝900
∴∠DEB＝∠DBE＝450
∴BD＝CD恒成立
20、（1）证明：连结AB
∵PA、PB分别与⊙O切于A、B
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
∴OP⊥AB
∵AB为直径
∴∠ABC＝900
∴BC⊥AB
∴OP∥CB
（2）解：∵OP∥CB
∴
∴
∴
∴OC＝6
　　　　 ∴⊙O的半径为6
B等级
一、填空题
1．经过一点可以作________个圆；经过两点可以作_______个圆，这些圆的圆心在这两点连线的_______上；经过不在同一直线上的三点可以作_____个圆，并且只_______圆．
2．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D 点，则弧AD所对的圆心角的度数为________．
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(1) (2) (3) (4)
3．如图2，已知⊙O中，OD⊥BC于D，∠BOD=48°，则∠BAC=_______．
4．如图3，在⊙O中，所对的圆心角有_______个；所对的圆周角有______；弧AB所对的圆心角有______个；弧AB所对的圆周角有________个．
5．如图4所示，AB是⊙O的直径，，∠A=25°，则∠BOD=_______．
6．如图5,已知AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD，并延长到C，使DC=BD，连接AC则△ABC的形状为________三角形．
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(5) (6) (7) (8)
二、选择题
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形; B．圆是中心对称图形;
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;
D．圆既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
8．已知⊙O的半径为2cm，圆心角∠AOB=90°，则弦AB的长为（ ）
A．4cm B．cm C．3cm D．2cm
9．如图6,DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连接AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形的对数有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
10．一条弧所对的圆心角是30°，则它所对的圆周角是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．不能确定
11．如图7，AB为⊙O的直径，CD为弦，其中相等的圆周角共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12．如图8，C是⊙O上的一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．70° C．105° D．150°
13．图中每张方格纸上都画有一个圆，用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）
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三、解答题
14．如图所示，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意图，并说明理由．
15．如图所示，自⊙O上一点C向弦AB作垂线段CD，求证∠ACD=∠BCO．
16．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=120°．
（1）求证△ABC为等边三角形；（2）试求∠BAD的度数．
17．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E，且BD=EC．
求证：AB=AC.
18.如图，点P是圆上的一个动点，弦AB=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，PC是∠APB的平分线，∠BAC=30°．
（1）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
（2）当∠PAC等于多少度时，四边形PACB是梯形？说明你的理由．
课时作业2答案:
1．无数 无数 垂直平分线 一 能作一个 2．70° 3．48°
4．1 无数 1 无数 5．50° 6．等腰
7．D 8．D 9．A 10．A 11．C 12．B 13．D
14．略 15．提示：连接OB，∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=（180°-∠BOC）=90°-∠BOC，
而∠ACD=90°-∠A，∵∠BOC=2∠A，
∴∠BCO=90°-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ∠BOC=90°-∠A，∴∠ACD=∠BCO．
16．（1）证明：∵∠BOC=120°，
∴∠BAC=∠BOC=60°，
又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．
（2）∠BAD=90°
17．证明：连结OD、OE，∵BD=EC，
∴∠BOD=∠COE，
又OB=OC，OD=OE，
∴△BOD≌△COE，
∴∠B=∠C，∴AB=AC．
18．（1）∵PC是∠APB的平分线，
∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，当PC是圆的直径，
即∠PAC=90°时，四边形PACB面积最大，
在Rt△PAC中，∠APC=30°，AP=PB=AB=，
∴PC=2，
∴S四边形PACB=2S△ACP=PC·AB=×2×=．
（2）当∠PAC=120°时，四边形PACB是梯形，
∵PC是∠APB的平分线，∴∠APC=∠BPC=∠CAB=30°，
∴∠APB=60°，∴∠PAC+∠APB=180°，
∴AC∥PB．且AP与BC不平行，
∴四边形PACB是梯形，
当∠PAC=60°时，四边形PACB是梯形，
∵HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，∴AC=BC，
又∵∠BAC=30°，∴∠ACB=120°，
∴∠PAC+∠ACB=180°，
∴BC∥AP且AC与PB不平行，
∴四边形PACB是梯形．
C等级
1.如图所示，已知AB为圆O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=，求BC的长；
2. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。已知：AB，CD。
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径。
3. 已知：如图所示，Rt△ABC的两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm，为半径作圆，试判断点D与这三个圆的位置关系。
4. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
5. 等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC中点，以BC为直径作圆D。
（1）顶角A等于多少度时，A在圆D上？
（2）顶角A等于多少度时，A在圆D内部？
（3）顶角A等于多少度时，A在圆D外部？
6. 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。
7. 如图所示，圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD。
8. 圆O中若直径为25cm，弦AB的弦心距10cm，求弦长。
9. 若圆的半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离？
10. 圆内一条弦与直径的交角为30°，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？
11. 半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，最长弦是__________，
12. 如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。
答案：
1. BC=4cm　　　
2.（1）图略 （2）
3. 外、上、内　　　　　
4. C、D 　　
5. （1）；
（2）为钝角；　　　　　　　（3）为锐角。
6.
7.
8. 15cm
9.
10
11.
12.（1）证明：过O作
（2）上述结论仍成立：
如下图所示
证明略。
　　　　　　　　　　　　　
M
A
BB
N
第3题
O
B
A
图3
A
C
B
O
C
B
A
O
C
B
A
O
D
C
B
A
O
E
·
A
B
C
O
D
A
B
O
C
x
P
B
A
C
D
E
O
A
C
D
O
B
C
B
D
A
O
28°
A
65°
O
C
M
B
D
A
A
D
C
P
B
O
C
B
D
O
A
C
B
O
A
O
D
C
A
B
A
B
O
C
A
C
F
O
（B）
E
P
B
C
E
F
A
B
E
D
A
C
O
O
C
B
A
A
B
C
D
E
O
B
O
A
C
D
E
A
B
C
D
O
D
B
O
A
C
A
B
C
D
P
O
B
A
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