24.2与圆有关的位置关系
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第二十四章 圆
第10课时 §24. 2与圆有关的的位置关系
点和圆的位置关系是圆的位置关系中的第一种基本的位置关系，是学习后两种位置关系的基础。包括三种位置关系即点在圆上、点在圆内、点在圆外。
直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．本节主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。有以下三个目标：a. 理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念b. 直线和圆三种位置关系的判定与性质c. 能运用以上知识解决相关问题
本节教材是本单元的第三节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变。通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。使学生了解圆与圆位置关系的意义，熟悉性质判定。
点击一： 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：设点到圆心O 的距离为d，圆的半径为r，点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径,d>r；点在圆上：点到圆心的距离等于半径,d=r；点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径,d圆心是圆内一个特殊点，到圆上各点的距离等相等，而除圆心外，圆内各点与圆上各点的距离都有最大值和最小值。
要作一个圆经过A、B、C三点（A、B、C三点不在同一条直线上），就要确定一个点，使它到这三个点的距离相等，到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，两垂直平分线的交点到A、B、C三点得距离相等，此交点即为所求作的圆心。因为两直线相交只有一个交点，所以过不再同一直线上的三点A、B、C只能确定一个圆。
三角形的外接圆和三角形的外心：过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形，三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心在锐角三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部；任何一个三角形都有一个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。
针对练习1:
1．圆上各点到圆心的距离等于_______，到圆心的距离大于半径的点都在_______．
答案：半径 圆外
2．外心不在三角形的外部，这个三角形的形状是_______．
答案：直角三角形或锐角三角形
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心；以为半径画圆，则A，B，C，M四个点中，在⊙O上的是________，在⊙O内的是______，在⊙O外的是______．
答案：M A、C B
4．AB、CD是⊙O的互相垂直的两直径，点P为直径AB所在直线上一点，且∠COP=60°，则点P在⊙O的________．（填“内部”、“外部”或“圆上”）
答案：内部
5．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0．9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，这个导火索的长度是18cm，那么点导火索的人每秒跑6.5m_______安全．（填“是”或“否”）
答案：是
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
答案：A
7．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点距离都小于⊙O的半径;
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径;
C．⊙O上有两点到点P的距离最小;
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
答案：B
8．⊙O的半径为5cm，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙外
答案：A
9．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
10．如图，已知一条直线L和直径L外两定点A、B，且AB在L两旁，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个
答案：D
11．在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为（-1，-4），试判断点P（3， -1）与圆O的位置关系．
答案：点P在⊙O上
12．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=6cm，CD为中线，以C为圆心，以为半径作圆，则点A、B、D与⊙C的关系如何？
答案：点A、B、D分别在⊙O外，内、上
13．已知线段MN=6cm，点P是MN的中点，分别以M、N为圆心，r1、r2为半径画圆，若点P在⊙M内，又在⊙N外，则r的范围是________，r的范围是________．
答案：r2>3cm o14．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的半径为（ ）
A． B． C．或 D．a+b或a-b
答案：C
15．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
答案：（1）顶角A为90°时，点A在⊙D上．
（2）顶角A大于90°，且小于180°时，点A在⊙D内．
（3）顶角A大于0°，且小于90°时，点A在⊙D外．
点击二：直线和圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线a的距离为d，那么：
直线a与⊙O相离 d﹥r
直线a与⊙O相切 d=r
直线a与⊙O相交 d﹤r
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，也就是一条直线满足两个条件：经过半径的外端点；垂直于这条半径
另外还有两种切线的识别方法：（1）如果有一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线。（2）如果圆心到一条直线的距离等于这个圆的半径，那么这条直线是圆的切线。
切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
注意：切线和切线长是有区别的：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上一条线段的长，可以度量。经过圆外一点，可以作两条直线与该圆相切。
三角形的内切圆和三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等，且在三角形的内部，找三角形的内心时，只需画出两条角平分线，其交点即是该三角形的内心。
针对练习2:
1. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为
A. B. C.2 D.2
答案：C
2. 若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC= ° ．
答案：30°或150°
3. 如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 ．
答案：＜∠POC＜
4. 如图4，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移 个单位．
答案：2或4或6或8
5. 如图1，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
答案：B
6. 如图3，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，
连接BC，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是（ ）
A. AC＞AB B. AC=AB
C. AC＜AB D. AC=BC
答案：B
7. 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为
A． B．
C． D．
答案:D
8. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是【 】
A． B．1 C．2 D．
答案:B
9. 如图，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，
且∠MBN =70°，则= ．
答案：40°
点击三：圆和圆的位置关系
两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系
图形 外离 外切 外离 内切 内含
性质及判定 d>R+r d=R+r R-r公共点个数 没有 一个 两个 一个 没有
2.两圆相切及相交时的对称性
两个圆一定组成一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。当两圆相切时，切点一定在连心线上；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
针对练习3:
1. 如图，，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
答案：B
2. 两个圆的半径分别为4cm和3cm，圆心距是7cm，则这两个圆的位置关系是（ ）．
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
答案：C
3. 如图是小明同学的眼镜，则两镜片所在两圆的位置关系是
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
答案：A
4. 两圆外切，圆心距为16cm，且两圆半径之比为5∶3，那么较小圆的半径是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm
答案：C
5. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x满足不等式组，则两圆的位置关系是（ ）.
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
答案： C
6. 已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是( )
(A)内切 (B)外切 (C)相交 (D)相离
答案：C
7. 相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm。
8. 已知和外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
答案：D
类型之一：点和原的位置关系
例1在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 .
【解析】判断点与圆的位置关系，只需根据点到圆心的距离d与圆的半径R的大小关系,即（1）点在圆上 d= R （2）点在圆外 d> R （3）点在圆内 d< R ，本题中d=3,R=5，显然d< R，则点P在圆内。
【解答】点P在圆内
类型之二：过三点的圆
例2已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．
【解析】 确定一个圆要同时具备两个条件：①圆心：确定圆的位置②半径：确定圆的大小。要确定一个点是否在一个圆上，只需证明点到圆心的距离是否等于半径。
【解答】证明：点在的平分线上
又
，
又于点，
过三点确定一圆，又
是所在的圆的直径．
点是所在的圆的圆心．
类型之三：直线和圆的位置关系
例3：⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
【解析】 直接利用圆心到直线l的距离d与圆的半径R的大小关系来判断即可
【解答】A
类型之四：切线的性质与判定
例4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【解析】（1）连结OD，由切线的性质得OD⊥DE,∴OD∥AC，又∵AB=AC，∴∠OBD＝∠ODB=∠A=∠C，∴△ABC是等边三角形
（2）由（1）得，∠BDC=90 ，在Rt△ACD中，AD＝AC, 在Rt△ADE中, AE＝AD,故有AE =AC则
【解答】证明：（1）连结OD得OD∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB
∴∠OBD=∠A ∴BC＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC是等边三角形
(2)连结CD，则CD⊥AB ∴D是AB中点
∵AE＝AD=AB ∴EC=3AE ∴．
【总结】本题是关于圆的证明题，主要考点涉及切线的性质，等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识。
例5：如图，在中，，平分交于点，点在边上且．
（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
【解析】（1）过点E作圆的半径OE，易证OE∥BC,则OE⊥AC,故直线AC与圆相切；（2）认真观察图形，易得△ADE∽△AEB，可得AE2=AD*AB,求的半圆的半径，再通过△AOE∽△ABC，则BC得长易求。
【解答】
【总结】判断直线是否为圆的切线有三种方法：①定义：直线和圆有唯一的公共点（一般不用）②不知道直线上有没有点在圆上时，用d= R来证③已知有一个点既在直线上又在圆上时，只要把圆心和这点连起来，证垂直即可。
类型之五： 三角形的内切圆
例6
类型之六：圆和圆的位置关系
例7：已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A 外离 B 外切 C 相交 D 内切
【解析】8-6＜７＜８＋６，即R-r【解答】C
例8：张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）.由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化.当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间时，称为“冲”.另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”.已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）.
（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）.
（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由.
（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”.）
答案：
类型之七：圆中动手操作型中考题
课程标准指出：同学们的数学学习应当是现实的、有意义的．在自主探索和合作交流的过程中，要真正掌握数学知识与技能．近年来各地中考题中纷纷出现了与圆有关的动手操作题．下面结合具体题目，进行说明．
一、巧测直径
例9： 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图1所示，则这个小孔的直径AB是______毫米．
【解析】连接OA，因为OC＝9－6＝3，在Rt△AOC中，
．根据垂径定理，得．
例10： 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图2（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图2（1）（单位：cm）．
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图2（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．
图2（2）是过球心O及A、B、E三点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图2（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图2（2），
因为AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD，
所以四边形ACDB是矩形．
因为CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，
所以OE⊥CD．
所以OE⊥AB．所以PA＝PB．
所以PE＝AC．
因为AB＝CD＝16，所以PA＝８．
因为AC＝BD＝4，所以PE＝4．
在Rt△OAP中，
由勾股定理，得OA2＝PA2＋OP 2，
即OA2＝82＋（OA－4）2．
解得OA＝10．所以这种铁球的直径为20cm．
二、妙定中点
例11：如图3，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【解析】本题是一道设计新颖独特的开放性作图题，用“无刻度单位的直角三角板”作弦的中点，又把问题放到一个有趣的脸谱中，去找两耳连线的中点D，增强了题目的趣味性．
解：如图4，画TH的垂线l交TH于D，则点D就是TH的中点．依据是垂径定理（还有其它方法，请同学们探讨）．
三、巧探圆心
例12：如图5，有一个未知圆心的圆形工件，现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画法．
【解析】本题可利用90°的圆周角所对的弦为直径来解决．
解答：（1）作圆周角∠BAC，交圆于B，C两点，使∠BAC＝90°，
则BC为圆的直径．
（2）作圆周角∠EDF，交圆于E、F两点，使∠EDF＝9０°，
则EF为圆的直径．
（3）EF与BC的交点即为圆心O．
1.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（ ）。A
A、 B、 C、 D、
2.如图，已知是的圆周角，，则圆心角HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是（ ）D
A． B. C. D.
3.已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）C
（A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切
4.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．C
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
5.如图2，中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为（ ）C
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6.如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则PA的长等于（ ）D
A．4 cm B．16 cm
C．20 cm D．cm
7.如图，内切于，切点分别为．
已知，，连结，
那么等于（ ）B
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.如图1，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，
AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，
则⊙O的直径等于 。
9.如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
4－
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，
AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。
11.如图6，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
点D是⊙O上一点，则∠BDC = ．
60°
12.如图，点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3，设AB是过点P的⊙O内的弦，且AB⊥OP，则弦AB长是________。
8
13.如图，已知是的直径，弦，
，，那么的值是
．
14.如图，点P在的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切于点C，连结BC。
（1）求的正弦值；
（2）若的半径r＝2cm，求BC的长度。
解：（1）连结OC，因为PC切于点C，
（或：在）
(2)连结AC，由AB是直
15.如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点．若，，．
求：（1）的半径；
（2）的值；
（3）弦的长（结果保留两个有效数字）．
解：（1）是的切线，，
，．
（2），，．
（3），，，，
，．
16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC。
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)如果CD＝6，tan∠BCD＝，求⊙O的直径。
17.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
解：(1)不同类型的正确结论有：
①BC=CE ;②= ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;等
(2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．
在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．
解得R＝5．∴⊙O的半径为5．
18.如图8，已知：内接于，点在的延长线上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明：如图9，连结．
，．
，．
，．
是的切线．
（2）解：，．
是等边三角形，．
，，．
19.如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10。
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。
20.如图12，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
21.如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，且的半径长为，求和的长度．
（1）证明：是的直径，是的切线，
．
又，．
易证，．
．．
是的中点，．．
（2）证明：连结．
是的直径，．
在中，由（1），知是斜边的中点，
．．
又，．
是的切线，．
，是的切线．
（3）解：过点作于点．，．
由（1），知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，
四边形是矩形，．
，易证．
，即．
的半径长为，．
．解得．．
，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（负值舍去）．．
［或取的中点，连结，则．易证，
，故，．
由，易知，．
由，解得．
又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）．］
一、认认真真，书写快乐
1．已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆有惟一一个公共点，则圆心到直线l的距离是 厘米．
2．两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ．
3．在图1中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 ．
4．⊙O的半径为6cm，⊙O的一条弦长为6cm，则以O为圆心，cm为半径的圆与该弦的位置关系是 ．
5．直角坐标系中，⊙O′的半径是4cm，圆心O′的坐标是（2，0），则点P（-2，1）与⊙O′的位置关系是 ．
二、仔仔细细，记录自信
6．已知⊙O的半径为r，点P到点O的距离大于r，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部
C．一定在⊙O的上 D．不能确定
7．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是（ ）
A．CD经过AB与⊙O的公共点
B．CD过圆心O
C．CD既过圆心O，又过AB与⊙O的公共点
D．CD必须是直径
8．已知两圆的半径分别为3cm和4cm，两个圆的圆心距为10cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
9．已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
10．如图2，∠AOB=30°，P为边OA上的一点，且OP=5，若以P为圆心，r为半径的圆与OB有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ）
A．r=5 B．
C． D．或
三、平心静气，展示智慧
11．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离分别是(1)4厘米；(2)5厘米；(3)6厘米时，直线l和圆分别有几个公共点 分别说出直线l与圆的位置关系．
12．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE=120°，∠EOF=150°，求△ABC的三个内角的度数．
13．为了测量一个圆形铁环的半径，小明同学采用了如下方法：将铁环竖直放在一个水平面上，再用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺（三角板也竖直放，并且要和圆在同一个平面内）．按图4所示放置，并用刻度尺得到相关的数据（如图中的PA，其中P为切点）进而就可求出铁环的半径．当测得PA=10cm，则铁环的半径为多少？
14．如图5(1)，一个圆球放置在V形架中．图5(2)是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B．如果⊙O的半径为cm，∠C=60°，求BC的长是多少？
参考答案：
一、1．10 2．7或3 3．外离 4．相切 5．点在圆外
二、6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
三、11．（1）两个，相交 ；（2）一个，相切；（3）0个，相离．
12．，，
13．．
14．6cm．
1．如图1，已知三角形ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：①________，②________，③________．
【解析】本题主要考查切线的判定，所加条件必须能证明AB⊥EF．
【解答】①∠CAE=∠B；②AB⊥FE；③∠BAC+∠CAE=90°；④∠C=∠FAB；⑤∠EAB=∠FAB等．
2．如图2，在△ABC中，∠A的平分线AM与BC交于点M，且与△ABC的外接圆O交于点D．过D作⊙O的切线交AC的延长线于E，连接DC，求证：___________．
要求：请根据题目所给的条件和图形，在题中的横线上写出一个正确的结论，并加以证明（在写结论和证明时都不能在图中添加其它字母和线段）．按证明结论时需要用到的已知条件的多少给分，若用足已知条件而证得结论即可得满分．
【解析】本题是一道开放性较强的试题，根据要求，可以得出难以程度不同的结论，使不同层次的考生都可能得到分．
【解答】（1）用部分条件得到的结论：
∠DAB=∠DAE；∠DAE=∠DCB；∠DAE=∠CDE；∠DAB=∠DCB；ED2=EC·EA，CM·BM=DM·AM等．
（2）用全条件得到的结论：
∠DAB=∠CDE；∠CDE=∠DCB；CB//DE；，；AC·AD=AE·AM；
ED·MC=AC·EC等．
3．如图3，AD切⊙O于点A，直径BC交AD于D，AE⊥BD于E．请你根据图形将线段成比例的式子写出来(至少写4个，一个比例式和由它变形得出的比例式按一个计算)，并证明其中的一个比例式成立．
【解析】题中条件：①∠BAC=90°；②∠OAD=90°；③AC和AB分别是∠EAD内、外角的平分线(易证)；④∠DAC=∠DBA，从原图中可分离出如下四个基本图形：
由图4（1）得Rt△ABC∽Rt△EBA∽Rt△EAC，可得六个比例式；
由图4（2）又可得六个不同的比例式；
由图4（1）和（2）可得AE2=BE·EC=OE·ED，又可得1个比例式；
由AC，AB分别是∠AED内、外角的平分线，由角平分线的性质又可得三个不同的比例式；
由图4（4）可知△ABD∽△CAD，又可得3个不同的比例式．
综上可知共有19个不同的比例式．
（请你写出来所有的比例式，并选出一个给出证明，相信你能行！）
4.如图1，⊙O是以∠ACB为直角的的内切圆，切点分别是D，E，F．
（1）填空：当 时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）．
（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r=1，DE，AC的延长线相交于点G，求GF的长．
【解析】（1）欲证EF∥AB，须∠CEF =∠B①或∠CFE =∠A②；由已知⊙O是以∠ACB为直角的的内切圆，根据切线长定理知，∠CEF=∠CFE，若∠A =∠B③或AC=BC④，则可证得EF∥AB．
（2）．
5．已知：如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC．
（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
【解析】（1）依据给定的条件进行观察、探索，猜想结论．如，①△ADE∽△ABD；②△ADE∽△ACO；③△BDE∽△CBO等．
①证明：∵AC切⊙O于点D，∴∠ADE =∠ABD．
∵∠A =∠A，∴△ADE∽△ABD．
（2）．
6．如图3，∠BAC=90°，AB=AC．直线l与以AB为直径的圆相切于B．点E是圆上异于A，B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于点F．当E在什么位置时，相应的F位于线段AB上，位于线段BA延长上，位于线段AB延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．
【解析】（1）．
（2）设点M是半圆AEB的中点．
1 当E在上时，F在直线AB上；
2 当E在上时，F在BA的延长线上；
3 当E在下半圆上时，F在AB的延长线上．
连接BE．
∵AB为直径，AC，BD是切线，∠CEF = 90°，
∴∠AEB = 90°，∠CAE =∠FBE，∠DBE =∠BAE．
又∵∠CEA =∠FEB，∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE．
∴＝，＝．∴＝．
∵AC = AB，∴BD = BF．
7．如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不运动至M，C)，以AB为直径作⊙O，过点P作切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长．
（2）请连接OF，OP，求证：OF⊥OP；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H(如图乙)．是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是） 如果存在，试求此时BP的长；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1），（2）略．
（3）存在．
∵∠EOF=∠AOF ，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF，
∴当∠EHG=∠EFO=2∠EOF，
即∠EOF=30°时，Rt△EOF∽Rt△EHG．
此时∠EOF=30°，，
∴BP=OB·tan60°=．
课时作业：
A等级
1.如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离和 ．
答案：相交
2.如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），的半径为1，的半径为2，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移 个单位．
答案：2，4，6，8
3.如图，奥运五环旗上的五个环可以近似地看成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位置关系有 或者 ．
答案：相交；外离
4.已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 .
答案：相切
5.分别以梯形的上底、下底的长为直径作、，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是 ．
答案：相外切（如写相切不给分）
6.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和5 cm，且它们内切，则圆心距O1O2等于 cm．
答案：2
7.如图7，直线与轴、轴分别相交于两点，圆心的坐标为，与轴相切于点．若将沿轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点有 个
答案：3
8.两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是 ．
答案：内切
9.如图，在中，，cm，分别以为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：
10如图，在直角坐标系中，一直线经过点与轴、轴分别交于、两点，且，则的内切圆的半径 ；若与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，…，按此规律，则的半径 ．
答案：，
11.在平面内，的半径为5cm，点到圆心的距离为3cm，则点与的位置关系是 ．
答案：
12.如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
答案：，，如图① （提示：答案不惟一，过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；
，，如图② （提示：答案不惟一，如，，，等均可）．
13.已知，⊙的半径为，⊙的半径为，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为___________．
答案：4或14
14.相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm．
答案：答案不唯一，只要填一个大于2且小于14的实数均可
15.如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点间距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm，16cm，则此两车轮的圆心相距 cm．
答案：
16.如图是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图(1)是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是8mm.
(1) 矩形ABCD的长AB= mm；
（2）利用图(2)求矩形ABCD的宽AD.
（≈1.73，结果精确到0.1mm）
(1)
(2)
答案：解：
(1)56；
（2）如图，△O1 O2 O3是边长为8mm的正三角形，
作底边O2O3上的高O1 D.
则 O1D=O1O3·sin60°=4≈6.92.
∴ AD=2(O1D+4)=2×10.92≈21.8（mm）.
17.如图，已知为坐标原点，点的坐标为，的半径为1，过作直线平行于轴，点在上运动．
（1）当点运动到圆上时，求线段的长．
（2）当点的坐标为时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
答案：解：（1）如图，设与轴交点为
当点运动到圆上时，有两个位置
，
（2）连接，过作，垂足为
，
在中，
，
直线与相离．
B等级
1.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
答案：C
2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切
答案：B
3.如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
答案：D
4.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
Ａ．外切 Ｂ．相交 Ｃ．相离 Ｄ．内切
答案：A
5.⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
答案：A
6.在直角坐标系中，、的位置如图所示．下列四个点中，在外部且在内部的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
7.两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
8.⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D． 外切
答案：B
9.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离
C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切
答案：A
10.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
答案：B
11.已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：C
12.如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
答案：B
13.已知：的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为1cm，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
答案：C
14.已知⊙O和⊙O相切，两圆的圆心距为9cm，⊙的半径为4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5cm B．13cm C．9 cm 或13cm D．5cm 或13cm
答案：D
15.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和2cm ，圆心距O1O2 ＝ 4cm ，则两圆的位置关系是（ ）．
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
答案：D
16.右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
答案：D
17.若的半径为3cm，的半径为4cm，且圆心距，则与的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．内含
答案：B
18.已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
19.已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A．1cm B．3cm C．10cm D．15cm
答案：C
20.已知和外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
答案：D
21. 先阅读，再解答：
我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由．
答案：他的推断是正确的．
因为“两点确定一条直线”，设经过两点的直线解析式为
由，得解得
经过两点的直线解析式为
把代入中，由，可知点不在直线上，
即三点不在同一直线上
所以三点可以确定一个圆．
C等级
1.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
答案：解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；
当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．
（2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
4 ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．
所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．
2.如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．
（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想的形状，并给出证明；
（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
答案：解：（1）在上
证明：过点，
．
又的半径也是，
点在上．
（2）是等边三角形
证明：，
．
是的直径，是的直径，
即，在上，在上．
连结，则是的中位线．
．
，则是等边三角形．
（3）仍然成立．
证明：由（2）得在中所对的圆周角为．
在中所对的圆周角为．
当点在点的两侧时，
在中所对的圆周角，
在中所对的圆周角，
是等边三角形．
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．
3.已知：如图，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．
答案：证明：点在的平分线上
又
，
又于点，
过三点确定一圆，又
是所在的圆的直径．
点是所在的圆的圆心．
A
B
（图4）
P
B
A
O
图1
A
B
O
C
图3
45°
x
y
O
1
1
B
A
O2
O3
O1
A
B
C
D
E
1
2
3
A
D
B
O
C
E
C
B
D
A
E
●
太阳
图2
A
·O
P
C
B
D
O
A
F
C
B
E
B
A
C
D
O
图1
B
A
C
D
O
图6
A
C
B
D
O
图8
图9
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
图12
O
D
G
C
A
E
F
B
P
O
D
G
C
A
E
F
B
P
Ｈ
A
B
C
D
E
M
·
OO
图2
图3
（1）
（2）
（3）
（4）
G
F
E
D
C
B
A
· O
图1
图2
图3
A
B
C
D
E
F
O
·
M
·
图甲
M
P
D
C
B
A
O
E
F
图乙
M
P
D
C
B
A
G
O
H
E
F
A
B
O
x
y
B
A
P
l
x
y
M
O1
O2
B
O
图①
图②
D
图①
图②
D
A
B
O1
O2
O3
O1
O2
O3
D
A
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y
x
O
A
l
y
x
O
C
P1
P2
P
M
2
1
1
2
1
1
x
O
A
B
y
A．
B．
C．
D．
O2
O3
O1
A
B
N
M
O2
O1
N
M
B
A
图（1）
O2
O1
N
M
B
A
图（2）
O2
O1
N
M
B
A
图（1）
O2
O1
N
M
B
A
图（2）
A
B
C
D
E
1
2
3
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第二十四章 圆
第10课时 §24. 2与圆有关的的位置关系
点和圆的位置关系是圆的位置关系中的第一种基本的位置关系，是学习后两种位置关系的基础。包括三种位置关系即点在圆上、点在圆内、点在圆外。
直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．本节主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。有以下三个目标：a. 理解直线和圆相交、相切、相离的有关概念b. 直线和圆三种位置关系的判定与性质c. 能运用以上知识解决相关问题
本节教材是本单元的第三节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变。通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。使学生了解圆与圆位置关系的意义，熟悉性质判定。
点击一： 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：设点到圆心O 的距离为d，圆的半径为r，点在圆的外部：点到圆心的距离大于半径,d>r；点在圆上：点到圆心的距离等于半径,d=r；点在圆的内部：点到圆心的距离小于半径,d
要作一个圆经过A、B、C三点（A、B、C三点不在同一条直线上），就要确定一个点，使它到这三个点的距离相等，到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，两垂直平分线的交点到A、B、C三点得距离相等，此交点即为所求作的圆心。因为两直线相交只有一个交点，所以过不再同一直线上的三点A、B、C只能确定一个圆。
三角形的外接圆和三角形的外心：过三角形三个顶点可以画一个圆并且只能画一个圆，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形，三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心在锐角三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部；任何一个三角形都有一个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。
针对练习1:
1．圆上各点到圆心的距离等于_______，到圆心的距离大于半径的点都在_______．
答案：半径 圆外
2．外心不在三角形的外部，这个三角形的形状是_______．
答案：直角三角形或锐角三角形
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心；以为半径画圆，则A，B，C，M四个点中，在⊙O上的是________，在⊙O内的是______，在⊙O外的是______．
答案：M A、C B
4．AB、CD是⊙O的互相垂直的两直径，点P为直径AB所在直线上一点，且∠COP=60°，则点P在⊙O的________．（填“内部”、“外部”或“圆上”）
答案：内部
5．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0．9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，这个导火索的长度是18cm，那么点导火索的人每秒跑6.5m_______安全．（填“是”或“否”）
答案：是
6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
答案：A
7．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点距离都小于⊙O的半径;
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径;
C．⊙O上有两点到点P的距离最小;
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
答案：B
8．⊙O的半径为5cm，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙外
答案：A
9．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以点C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
10．如图，已知一条直线L和直径L外两定点A、B，且AB在L两旁，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个
答案：D
11．在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为（-1，-4），试判断点P（3， -1）与圆O的位置关系．
答案：点P在⊙O上
12．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=6cm，CD为中线，以C为圆心，以为半径作圆，则点A、B、D与⊙C的关系如何？
答案：点A、B、D分别在⊙O外，内、上
13．已知线段MN=6cm，点P是MN的中点，分别以M、N为圆心，r1、r2为半径画圆，若点P在⊙M内，又在⊙N外，则r的范围是________，r的范围是________．
答案：r2>3cm o
A． B． C．或 D．a+b或a-b
答案：C
15．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
答案：（1）顶角A为90°时，点A在⊙D上．
（2）顶角A大于90°，且小于180°时，点A在⊙D内．
（3）顶角A大于0°，且小于90°时，点A在⊙D外．
点击二：直线和圆的位置关系
直线和圆的三种位置关系：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线a的距离为d，那么：
直线a与⊙O相离 d﹥r
直线a与⊙O相切 d=r
直线a与⊙O相交 d﹤r
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，也就是一条直线满足两个条件：经过半径的外端点；垂直于这条半径
另外还有两种切线的识别方法：（1）如果有一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线。（2）如果圆心到一条直线的距离等于这个圆的半径，那么这条直线是圆的切线。
切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
注意：切线和切线长是有区别的：切线是直线，不可以度量；切线长是切线上一条线段的长，可以度量。经过圆外一点，可以作两条直线与该圆相切。
三角形的内切圆和三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等，且在三角形的内部，找三角形的内心时，只需画出两条角平分线，其交点即是该三角形的内心。
针对练习2:
1. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为
A. B. C.2 D.2
答案：C
2. 若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC= ° ．
答案：30°或150°
3. 如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范围是 ．
答案：＜∠POC＜
4. 如图4，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移 个单位．
答案：2或4或6或8
5. 如图1，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
答案：B
6. 如图3，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，
连接BC，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是（ ）
A. AC＞AB B. AC=AB
C. AC＜AB D. AC=BC
答案：B
7. 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为
A． B．
C． D．
答案:D
8. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是【 】
A． B．1 C．2 D．
答案:B
9. 如图，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，
且∠MBN =70°，则= ．
答案：40°
点击三：圆和圆的位置关系
两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系
图形 外离 外切 外离 内切 内含
性质及判定 d>R+r d=R+r R-r
2.两圆相切及相交时的对称性
两个圆一定组成一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。当两圆相切时，切点一定在连心线上；当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
针对练习3:
1. 如图，，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
答案：B
2. 两个圆的半径分别为4cm和3cm，圆心距是7cm，则这两个圆的位置关系是（ ）．
A、内切 B、相交 C、外切 D、外离
答案：C
3. 如图是小明同学的眼镜，则两镜片所在两圆的位置关系是
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
答案：A
4. 两圆外切，圆心距为16cm，且两圆半径之比为5∶3，那么较小圆的半径是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．10cm
答案：C
5. 已知两圆的半径分别是5和6，圆心距x满足不等式组，则两圆的位置关系是（ ）.
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
答案： C
6. 已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是( )
(A)内切 (B)外切 (C)相交 (D)相离
答案：C
7. 相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm。
8. 已知和外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
答案：D
类型之一：点和原的位置关系
例1在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是 .
【解析】判断点与圆的位置关系，只需根据点到圆心的距离d与圆的半径R的大小关系,即（1）点在圆上 d= R （2）点在圆外 d> R （3）点在圆内 d< R ，本题中d=3,R=5，显然d< R，则点P在圆内。
【解答】点P在圆内
类型之二：过三点的圆
例2已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．
【解析】 确定一个圆要同时具备两个条件：①圆心：确定圆的位置②半径：确定圆的大小。要确定一个点是否在一个圆上，只需证明点到圆心的距离是否等于半径。
【解答】证明：点在的平分线上
又
，
又于点，
过三点确定一圆，又
是所在的圆的直径．
点是所在的圆的圆心．
类型之三：直线和圆的位置关系
例3：⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
【解析】 直接利用圆心到直线l的距离d与圆的半径R的大小关系来判断即可
【解答】A
类型之四：切线的性质与判定
例4. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）△ABC是等边三角形；
（2）．
【解析】（1）连结OD，由切线的性质得OD⊥DE,∴OD∥AC，又∵AB=AC，∴∠OBD＝∠ODB=∠A=∠C，∴△ABC是等边三角形
（2）由（1）得，∠BDC=90 ，在Rt△ACD中，AD＝AC, 在Rt△ADE中, AE＝AD,故有AE =AC则
【解答】证明：（1）连结OD得OD∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB
∴∠OBD=∠A ∴BC＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC是等边三角形
(2)连结CD，则CD⊥AB ∴D是AB中点
∵AE＝AD=AB ∴EC=3AE ∴．
【总结】本题是关于圆的证明题，主要考点涉及切线的性质，等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识。
例5：如图，在中，，平分交于点，点在边上且．
（1）判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长．
【解析】（1）过点E作圆的半径OE，易证OE∥BC,则OE⊥AC,故直线AC与圆相切；（2）认真观察图形，易得△ADE∽△AEB，可得AE2=AD*AB,求的半圆的半径，再通过△AOE∽△ABC，则BC得长易求。
【解答】
【总结】判断直线是否为圆的切线有三种方法：①定义：直线和圆有唯一的公共点（一般不用）②不知道直线上有没有点在圆上时，用d= R来证③已知有一个点既在直线上又在圆上时，只要把圆心和这点连起来，证垂直即可。
类型之五： 三角形的内切圆
例6
类型之六：圆和圆的位置关系
例7：已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A 外离 B 外切 C 相交 D 内切
【解析】8-6＜７＜８＋６，即R-r
例8：张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）.由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化.当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间时，称为“冲”.另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”.已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）.
（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）.
（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由.
（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”.）
答案：
类型之七：圆中动手操作型中考题
课程标准指出：同学们的数学学习应当是现实的、有意义的．在自主探索和合作交流的过程中，要真正掌握数学知识与技能．近年来各地中考题中纷纷出现了与圆有关的动手操作题．下面结合具体题目，进行说明．
一、巧测直径
例9： 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图1所示，则这个小孔的直径AB是______毫米．
【解析】连接OA，因为OC＝9－6＝3，在Rt△AOC中，
．根据垂径定理，得．
例10： 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图2（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图2（1）（单位：cm）．
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图2（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．
图2（2）是过球心O及A、B、E三点的截面示意图．已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD．请你结合图2（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图2（2），
因为AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD，
所以四边形ACDB是矩形．
因为CD与⊙O切于点E，OE为⊙O的半径，
所以OE⊥CD．
所以OE⊥AB．所以PA＝PB．
所以PE＝AC．
因为AB＝CD＝16，所以PA＝８．
因为AC＝BD＝4，所以PE＝4．
在Rt△OAP中，
由勾股定理，得OA2＝PA2＋OP 2，
即OA2＝82＋（OA－4）2．
解得OA＝10．所以这种铁球的直径为20cm．
二、妙定中点
例11：如图3，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
【解析】本题是一道设计新颖独特的开放性作图题，用“无刻度单位的直角三角板”作弦的中点，又把问题放到一个有趣的脸谱中，去找两耳连线的中点D，增强了题目的趣味性．
解：如图4，画TH的垂线l交TH于D，则点D就是TH的中点．依据是垂径定理（还有其它方法，请同学们探讨）．
三、巧探圆心
例12：如图5，有一个未知圆心的圆形工件，现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画法．
【解析】本题可利用90°的圆周角所对的弦为直径来解决．
解答：（1）作圆周角∠BAC，交圆于B，C两点，使∠BAC＝90°，
则BC为圆的直径．
（2）作圆周角∠EDF，交圆于E、F两点，使∠EDF＝9０°，
则EF为圆的直径．
（3）EF与BC的交点即为圆心O．
1.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（ ）。A
A、 B、 C、 D、
2.如图，已知是的圆周角，，则圆心角HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是（ ）D
A． B. C. D.
3.已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）C
（A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切
4.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．C
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
5.如图2，中，弦的长为cm，圆心到的距离为4cm，则的半径长为（ ）C
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6.如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则PA的长等于（ ）D
A．4 cm B．16 cm
C．20 cm D．cm
7.如图，内切于，切点分别为．
已知，，连结，
那么等于（ ）B
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8.如图1，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，
AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，
则⊙O的直径等于 。
9.如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
4－
10.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，
AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。
11.如图6，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
点D是⊙O上一点，则∠BDC = ．
60°
12.如图，点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3，设AB是过点P的⊙O内的弦，且AB⊥OP，则弦AB长是________。
8
13.如图，已知是的直径，弦，
，，那么的值是
．
14.如图，点P在的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切于点C，连结BC。
（1）求的正弦值；
（2）若的半径r＝2cm，求BC的长度。
解：（1）连结OC，因为PC切于点C，
（或：在）
(2)连结AC，由AB是直
15.如图，是的切线，为切点，是的弦，过作于点．若，，．
求：（1）的半径；
（2）的值；
（3）弦的长（结果保留两个有效数字）．
解：（1）是的切线，，
，．
（2），，．
（3），，，，
，．
16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC。
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)如果CD＝6，tan∠BCD＝，求⊙O的直径。
17.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)请写出五个不同类型的正确结论；
(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．
解：(1)不同类型的正确结论有：
①BC=CE ;②= ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;等
(2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=BC=4．
设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2．
在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2．
解得R＝5．∴⊙O的半径为5．
18.如图8，已知：内接于，点在的延长线上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明：如图9，连结．
，．
，．
，．
是的切线．
（2）解：，．
是等边三角形，．
，，．
19.如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形ABCD的周长为10。
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积。
20.如图12，是的内接三角形，，为中上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
证明：（1）在中，．
在中，．
，（同弧上的圆周角相等），．
．．
在和中，
．．
（2）若．
．
，又
21.如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，且的半径长为，求和的长度．
（1）证明：是的直径，是的切线，
．
又，．
易证，．
．．
是的中点，．．
（2）证明：连结．
是的直径，．
在中，由（1），知是斜边的中点，
．．
又，．
是的切线，．
，是的切线．
（3）解：过点作于点．，．
由（1），知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，
四边形是矩形，．
，易证．
，即．
的半径长为，．
．解得．．
，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（负值舍去）．．
［或取的中点，连结，则．易证，
，故，．
由，易知，．
由，解得．
又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）．］
一、认认真真，书写快乐
1．已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆有惟一一个公共点，则圆心到直线l的距离是 厘米．
2．两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ．
3．在图1中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 ．
4．⊙O的半径为6cm，⊙O的一条弦长为6cm，则以O为圆心，cm为半径的圆与该弦的位置关系是 ．
5．直角坐标系中，⊙O′的半径是4cm，圆心O′的坐标是（2，0），则点P（-2，1）与⊙O′的位置关系是 ．
二、仔仔细细，记录自信
6．已知⊙O的半径为r，点P到点O的距离大于r，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部
C．一定在⊙O的上 D．不能确定
7．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是（ ）
A．CD经过AB与⊙O的公共点
B．CD过圆心O
C．CD既过圆心O，又过AB与⊙O的公共点
D．CD必须是直径
8．已知两圆的半径分别为3cm和4cm，两个圆的圆心距为10cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
9．已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离
10．如图2，∠AOB=30°，P为边OA上的一点，且OP=5，若以P为圆心，r为半径的圆与OB有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ）
A．r=5 B．
C． D．或
三、平心静气，展示智慧
11．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离分别是(1)4厘米；(2)5厘米；(3)6厘米时，直线l和圆分别有几个公共点 分别说出直线l与圆的位置关系．
12．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE=120°，∠EOF=150°，求△ABC的三个内角的度数．
13．为了测量一个圆形铁环的半径，小明同学采用了如下方法：将铁环竖直放在一个水平面上，再用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺（三角板也竖直放，并且要和圆在同一个平面内）．按图4所示放置，并用刻度尺得到相关的数据（如图中的PA，其中P为切点）进而就可求出铁环的半径．当测得PA=10cm，则铁环的半径为多少？
14．如图5(1)，一个圆球放置在V形架中．图5(2)是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B．如果⊙O的半径为cm，∠C=60°，求BC的长是多少？
参考答案：
一、1．10 2．7或3 3．外离 4．相切 5．点在圆外
二、6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
三、11．（1）两个，相交 ；（2）一个，相切；（3）0个，相离．
12．，，
13．．
14．6cm．
1．如图1，已知三角形ABC内接于⊙O，AB为直径，过点A作直线EF，要使EF是⊙O的切线，还需添加的条件是：①________，②________，③________．
【解析】本题主要考查切线的判定，所加条件必须能证明AB⊥EF．
【解答】①∠CAE=∠B；②AB⊥FE；③∠BAC+∠CAE=90°；④∠C=∠FAB；⑤∠EAB=∠FAB等．
2．如图2，在△ABC中，∠A的平分线AM与BC交于点M，且与△ABC的外接圆O交于点D．过D作⊙O的切线交AC的延长线于E，连接DC，求证：___________．
要求：请根据题目所给的条件和图形，在题中的横线上写出一个正确的结论，并加以证明（在写结论和证明时都不能在图中添加其它字母和线段）．按证明结论时需要用到的已知条件的多少给分，若用足已知条件而证得结论即可得满分．
【解析】本题是一道开放性较强的试题，根据要求，可以得出难以程度不同的结论，使不同层次的考生都可能得到分．
【解答】（1）用部分条件得到的结论：
∠DAB=∠DAE；∠DAE=∠DCB；∠DAE=∠CDE；∠DAB=∠DCB；ED2=EC·EA，CM·BM=DM·AM等．
（2）用全条件得到的结论：
∠DAB=∠CDE；∠CDE=∠DCB；CB//DE；，；AC·AD=AE·AM；
ED·MC=AC·EC等．
3．如图3，AD切⊙O于点A，直径BC交AD于D，AE⊥BD于E．请你根据图形将线段成比例的式子写出来(至少写4个，一个比例式和由它变形得出的比例式按一个计算)，并证明其中的一个比例式成立．
【解析】题中条件：①∠BAC=90°；②∠OAD=90°；③AC和AB分别是∠EAD内、外角的平分线(易证)；④∠DAC=∠DBA，从原图中可分离出如下四个基本图形：
由图4（1）得Rt△ABC∽Rt△EBA∽Rt△EAC，可得六个比例式；
由图4（2）又可得六个不同的比例式；
由图4（1）和（2）可得AE2=BE·EC=OE·ED，又可得1个比例式；
由AC，AB分别是∠AED内、外角的平分线，由角平分线的性质又可得三个不同的比例式；
由图4（4）可知△ABD∽△CAD，又可得3个不同的比例式．
综上可知共有19个不同的比例式．
（请你写出来所有的比例式，并选出一个给出证明，相信你能行！）
4.如图1，⊙O是以∠ACB为直角的的内切圆，切点分别是D，E，F．
（1）填空：当 时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）．
（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r=1，DE，AC的延长线相交于点G，求GF的长．
【解析】（1）欲证EF∥AB，须∠CEF =∠B①或∠CFE =∠A②；由已知⊙O是以∠ACB为直角的的内切圆，根据切线长定理知，∠CEF=∠CFE，若∠A =∠B③或AC=BC④，则可证得EF∥AB．
（2）．
5．已知：如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC．
（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
【解析】（1）依据给定的条件进行观察、探索，猜想结论．如，①△ADE∽△ABD；②△ADE∽△ACO；③△BDE∽△CBO等．
①证明：∵AC切⊙O于点D，∴∠ADE =∠ABD．
∵∠A =∠A，∴△ADE∽△ABD．
（2）．
6．如图3，∠BAC=90°，AB=AC．直线l与以AB为直径的圆相切于B．点E是圆上异于A，B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于点F．当E在什么位置时，相应的F位于线段AB上，位于线段BA延长上，位于线段AB延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．
【解析】（1）．
（2）设点M是半圆AEB的中点．
1 当E在上时，F在直线AB上；
2 当E在上时，F在BA的延长线上；
3 当E在下半圆上时，F在AB的延长线上．
连接BE．
∵AB为直径，AC，BD是切线，∠CEF = 90°，
∴∠AEB = 90°，∠CAE =∠FBE，∠DBE =∠BAE．
又∵∠CEA =∠FEB，∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE．
∴＝，＝．∴＝．
∵AC = AB，∴BD = BF．
7．如图甲，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不运动至M，C)，以AB为直径作⊙O，过点P作切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长．
（2）请连接OF，OP，求证：OF⊥OP；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H(如图乙)．是否存在点P使△EFO∽△EHG（其对应关系是） 如果存在，试求此时BP的长；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1），（2）略．
（3）存在．
∵∠EOF=∠AOF ，∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF，
∴当∠EHG=∠EFO=2∠EOF，
即∠EOF=30°时，Rt△EOF∽Rt△EHG．
此时∠EOF=30°，，
∴BP=OB·tan60°=．
课时作业：
A等级
1.如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离和 ．
答案：相交
2.如图，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），的半径为1，的半径为2，要使与静止的相切，那么由图示位置需向右平移 个单位．
答案：2，4，6，8
3.如图，奥运五环旗上的五个环可以近似地看成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位置关系有 或者 ．
答案：相交；外离
4.已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 .
答案：相切
5.分别以梯形的上底、下底的长为直径作、，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是 ．
答案：相外切（如写相切不给分）
6.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和5 cm，且它们内切，则圆心距O1O2等于 cm．
答案：2
7.如图7，直线与轴、轴分别相交于两点，圆心的坐标为，与轴相切于点．若将沿轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点有 个
答案：3
8.两圆有多种位置关系，图中不存在的位置关系是 ．
答案：内切
9.如图，在中，，cm，分别以为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：
10如图，在直角坐标系中，一直线经过点与轴、轴分别交于、两点，且，则的内切圆的半径 ；若与、、轴分别相切，与、、轴分别相切，…，按此规律，则的半径 ．
答案：，
11.在平面内，的半径为5cm，点到圆心的距离为3cm，则点与的位置关系是 ．
答案：
12.如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
答案：，，如图① （提示：答案不惟一，过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；
，，如图② （提示：答案不惟一，如，，，等均可）．
13.已知，⊙的半径为，⊙的半径为，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为___________．
答案：4或14
14.相交两圆的半径分别是为6cm和8cm，请你写出一个符合条件的圆心距为 cm．
答案：答案不唯一，只要填一个大于2且小于14的实数均可
15.如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点间距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm，16cm，则此两车轮的圆心相距 cm．
答案：
16.如图是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图(1)是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是8mm.
(1) 矩形ABCD的长AB= mm；
（2）利用图(2)求矩形ABCD的宽AD.
（≈1.73，结果精确到0.1mm）
(1)
(2)
答案：解：
(1)56；
（2）如图，△O1 O2 O3是边长为8mm的正三角形，
作底边O2O3上的高O1 D.
则 O1D=O1O3·sin60°=4≈6.92.
∴ AD=2(O1D+4)=2×10.92≈21.8（mm）.
17.如图，已知为坐标原点，点的坐标为，的半径为1，过作直线平行于轴，点在上运动．
（1）当点运动到圆上时，求线段的长．
（2）当点的坐标为时，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
答案：解：（1）如图，设与轴交点为
当点运动到圆上时，有两个位置
，
（2）连接，过作，垂足为
，
在中，
，
直线与相离．
B等级
1.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
答案：C
2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切
答案：B
3.如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
答案：D
4.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
Ａ．外切 Ｂ．相交 Ｃ．相离 Ｄ．内切
答案：A
5.⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
答案：A
6.在直角坐标系中，、的位置如图所示．下列四个点中，在外部且在内部的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
7.两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
8.⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D． 外切
答案：B
9.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A．与轴相离、与轴相切 B．与轴、轴都相离
C．与轴相切、与轴相离 D．与轴、轴都相切
答案：A
10.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
答案：B
11.已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7，则两圆的位置关系是 ( )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：C
12.如图，，，两两相外切，的半径，的半径，的半径，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
答案：B
13.已知：的半径为3cm，的半径为4cm，两圆的圆心距为1cm，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
答案：C
14.已知⊙O和⊙O相切，两圆的圆心距为9cm，⊙的半径为4cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5cm B．13cm C．9 cm 或13cm D．5cm 或13cm
答案：D
15.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和2cm ，圆心距O1O2 ＝ 4cm ，则两圆的位置关系是（ ）．
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
答案：D
16.右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．相切 D．外离
答案：D
17.若的半径为3cm，的半径为4cm，且圆心距，则与的位置关系是（ ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．内含
答案：B
18.已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
19.已知半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A．1cm B．3cm C．10cm D．15cm
答案：C
20.已知和外切，它们的半径分别为2cm和5cm，则的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
答案：D
21. 先阅读，再解答：
我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由．
答案：他的推断是正确的．
因为“两点确定一条直线”，设经过两点的直线解析式为
由，得解得
经过两点的直线解析式为
把代入中，由，可知点不在直线上，
即三点不在同一直线上
所以三点可以确定一个圆．
C等级
1.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
答案：解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；
当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t -11．
（2）两圆相切可分为如下四种情况：
①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
4 ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．
所以，点A出发后3秒、秒、11秒、13秒两圆相切．
2.如图（1），两半径为的等圆和相交于两点，且过点．过点作直线垂直于，分别交和于两点，连结．
（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想的形状，并给出证明；
（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．
答案：解：（1）在上
证明：过点，
．
又的半径也是，
点在上．
（2）是等边三角形
证明：，
．
是的直径，是的直径，
即，在上，在上．
连结，则是的中位线．
．
，则是等边三角形．
（3）仍然成立．
证明：由（2）得在中所对的圆周角为．
在中所对的圆周角为．
当点在点的两侧时，
在中所对的圆周角，
在中所对的圆周角，
是等边三角形．
（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．
3.已知：如图，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．
答案：证明：点在的平分线上
又
，
又于点，
过三点确定一圆，又
是所在的圆的直径．
点是所在的圆的圆心．
A
B
（图4）
P
B
A
O
图1
A
B
O
C
图3
45°
x
y
O
1
1
B
A
O2
O3
O1
A
B
C
D
E
1
2
3
A
D
B
O
C
E
C
B
D
A
E
●
太阳
图2
A
·O
P
C
B
D
O
A
F
C
B
E
B
A
C
D
O
图1
B
A
C
D
O
图6
A
C
B
D
O
图8
图9
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
图12
O
D
G
C
A
E
F
B
P
O
D
G
C
A
E
F
B
P
Ｈ
A
B
C
D
E
M
·
OO
图2
图3
（1）
（2）
（3）
（4）
G
F
E
D
C
B
A
· O
图1
图2
图3
A
B
C
D
E
F
O
·
M
·
图甲
M
P
D
C
B
A
O
E
F
图乙
M
P
D
C
B
A
G
O
H
E
F
A
B
O
x
y
B
A
P
l
x
y
M
O1
O2
B
O
图①
图②
D
图①
图②
D
A
B
O1
O2
O3
O1
O2
O3
D
A
l
y
x
O
A
l
y
x
O
C
P1
P2
P
M
2
1
1
2
1
1
x
O
A
B
y
A．
B．
C．
D．
O2
O3
O1
A
B
N
M
O2
O1
N
M
B
A
图（1）
O2
O1
N
M
B
A
图（2）
O2
O1
N
M
B
A
图（1）
O2
O1
N
M
B
A
图（2）
A
B
C
D
E
1
2
3
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