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第一章
1.1 集合的概念及其运算
集合与常用逻辑用语
复习目标 1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义．3．理解并能求两个集合的并集与交集，及在给定集合中一个集合的补集．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一 基础引入
1 [2025苏州期初调研]已知集合A＝{x|2≤x＜6}，B＝{x|x2－4x＜0}，则A∩B等于 ( )
A．(0，6) B．(4，6)
C．[2，4) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C
【解析】方法一：由题意，得B＝{x|0＜x＜4}，所以A∩B＝[2，4)．
方法二：令x＝5，可知5 B，则排除A，B，D．故选C．
2 [2026盐城一中月考]已知全集U＝R，A＝{x|－3
A. {x|－3C. {x|－3A
【解析】由题意，得阴影部分表示的集合为A∩( UB).因为B＝{x|0≤x<2}，所以 UB＝{x|x<0或x≥2}．又A＝{x|－33 [2025泰州月考]已知全集U＝{x|x＜10，x∈N}，A U，B U，A∩( UB)＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，A∩B＝{3}，则下列结论中不正确的是 ( )
A．8∈B
B．集合A的不同子集的个数为8
C．{9} A
D．6 U(A∪B)
D
【解析】由题意，得U＝{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．由A U，B U，A∩( UB)＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，A∩B＝{3}，作出Venn图如图所示．由图可知，A＝{1，3，9}，B＝{0，2，3，5，8}，故A，C正确；集合A的不同子集的个数为23＝8，故B正确；因为 U(A∪B)＝{4，6，7}，所以6∈ U(A∪B)，故D错误．
4 [2026石家庄外国语学校月考]已知集合A＝{λ，2，－1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}．若A∪B的所有元素之和为12，则实数λ的值为_____．
－3
【解析】由集合元素的互异性可知λ≠－1且λ≠2.当x＝λ时，y＝λ2；当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝1.若λ＝1，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；若λ＝－2，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；若λ≠1且λ≠－2，则B＝{1，4，λ2}，所以λ2＋λ＋6＝12，解得λ＝－3或λ＝2(舍去).综上，λ＝－3.
5 [2025上海虹口区复旦大学附属复兴中学月考]若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}的子集只有两个，则实数a的值为_________．
活动二 典例悟法
题组一 集合中元素的性质
(1) [2025贵州部分学校联考]已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a＋2}，若B A，则实数a的取值构成的集合为 ( )
A．{－1} B．{0，2}
C．{－1，0} D．{－1，0，2}
1
B
【解析】由B A，得a＋2＝2或a＋2＝a2．当a＋2＝2时，解得a＝0，此时A＝{1，2，0}，B＝{1，2}，符合题意；当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1．当a＝2时，A＝{1，2，4}，B＝{1，4}，符合题意；当a＝－1时，a2＝a＋2＝1，不符合集合的互异性，舍去．综上，实数a的取值构成的集合为{0，2}．
(2) (多选)[2025安阳三模]已知非空数集M具有如下性质：①若x，y∈M，则∈M；②若x，y∈M，则x＋y∈M，则下列说法中正确的有 ( )
A．－1∈M
B．2 025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M
D．若x，y∈M，则x－y∈M
BC
解题一定要注意集合中元素的互异性．
题组二 集合的运算
[2025苏北七市二模]设集合U＝R，M＝{x|x＞1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≤－1}等于 ( )
A． U(M∩N) B． U(M∪N)
C．M∪( UN) D．N∪( UM)
2
B
【解析】方法一：由题意，得M∩N＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|x＞－1}， UM＝{x|x≤1}， UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则 U(M∩N)＝{x|x≤1或x≥2}，故A错误； U(M∪N)＝{x|x≤－1}，故B正确；M∪( UN)＝{x|x≤－1或x＞1}，故C错误；N∪( UM)＝{x|x＜2}，故D错误．
方法二：由 UM＝{x|x≤1}， UN＝{x|x≤－1或x≥2}，易得( UM)∩( UN)＝{x|x≤－1}，故 U(M∪N)＝{x|x≤－1}．
方法三：如图，在数轴上表示出集合M，N及{x|x≤－1}，易得{x|x≤－1}＝ U(M∪N)．
1 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤ 0}.
若A∪B＝B，求实数a的取值范围为________________________．
2 [2025安庆二模]已知集合A＝{x|0＜x＜a＋1}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若B A，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
C
【解析】因为B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝(1，2)，B A，且A＝{x|0＜x＜a＋1}，所以a＋1≥2，解得a≥1．故实数a的取值范围为[1，＋∞)．
1．求集合的交、并、补运算时，可借助数轴的直观性．
2．求某集合的子集时，要注意空集和集合本身也是它的子集．
3．利用函数不等式的思想理解集合之间的包含关系．
[2025三明永安一中、沙县一中联考]已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合N＝{x|x2－ax＋3a－5＝0}．若M∪N＝M，则实数a的取值集合为 ( )
A． B．{2，10}
C．{a|2≤a＜10} D．{a|2＜a≤10}
3
C
利用根与系数的关系的思想理解方程的根与集合中元素之间的关系．
1 [2025全国二卷·3]已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B等于 ( )
A．{0，1，2} B．{1，2，8}
C．{2，8} D．{0，1}
D
【解析】因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．
2 [2024新课标Ⅰ卷·1]已知集合A＝{x|－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B等于 ( )
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
A
3 [2023新课标Ⅱ卷·2]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则实数a的值为 ( )
A．2 B．1
B
【解析】因为A B，所以a－2＝0或2a－2＝0．若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上，a＝1．
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Thank you for watching1．1 集合的概念及其运算
复习目标 1. 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2. 理解集合之间包含与相等的含义.3. 理解并能求两个集合的并集与交集，及在给定集合中一个集合的补集．
集合
活动一基础引入
1 [2025苏州期初调研]已知集合A＝{x|2≤x<6}，B＝{x|x2－4x<0}，则A∩B等于( )
A. (0，6)
B. (4，6)
C. [2，4)
D. (－∞，0)∪[2，＋∞)
2 [2026盐城一中月考]已知全集U＝R，A＝{x|－3A. {x|－3C. {x|－33 [2025泰州月考]已知全集U＝{x|x<10，x∈N}，A U，B U，A∩( UB)＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，A∩B＝{3}，则下列结论中不正确的是( )
A. 8∈B B. 集合A的不同子集的个数为8
C. {9} A D. 6 U(A∪B)
4 [2026石家庄外国语学校月考]已知集合A＝{λ，2，－1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}．若A∪B的所有元素之和为12，则实数λ的值为________．
5 [2025上海虹口区复旦大学附属复兴中学月考]若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}的子集只有两个，则实数a的值为________．
活动二典例悟法
题组一 集合中元素的性质
1 (1) [2025贵州部分学校联考]已知集合A＝{1，2，a2}，B＝{1，a＋2}，若B A，则实数a的取值构成的集合为( )
A. {－1} B. {0，2}
C. {－1，0} D. {－1，0，2}
(2) (多选)[2025安阳三模]已知非空数集M具有如下性质：①若x，y∈M，则∈M；②若x，y∈M，则x＋y∈M，则下列说法中正确的有( )
A. －1∈M
B. 2 025∈M
C. 若x，y∈M，则xy∈M
D. 若x，y∈M，则x－y∈M
解题一定要注意集合中元素的互异性．
题组二 集合的运算
2 [2025苏北七市二模]设集合U＝R，M＝{x|x>1}，N＝{x|－1A. U(M∩N) B. U(M∪N)
C. M∪( UN) D. N∪( UM)
1 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围为____________．
2 [2025安庆二模]已知集合A＝{x|0A. (－∞，0] B. (－∞，2]
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
1. 求集合的交、并、补运算时，可借助数轴的直观性．
2. 求某集合的子集时，要注意空集和集合本身也是它的子集．
3. 利用函数不等式的思想理解集合之间的包含关系．
3 [2025三明永安一中、沙县一中联考]已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合N＝{x|x2－ax＋3a－5＝0}．若M∪N＝M，则实数a的取值集合为( )
A. B. {2，10}
C. {a|2≤a<10} D. {a|2利用根与系数的关系的思想理解方程的根与集合中元素之间的关系．
1 [2025全国二卷·3]已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B等于( )
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
2 [2024新课标Ⅰ卷·1]已知集合A＝{x|－5A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
3 [2023新课标Ⅱ卷·2]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则实数a的值为( )
A. 2 B. 1 C. D. －1
1．1 集合的概念及其运算
1. C 解析：方法一：由题意，得B＝{x|0方法二：令x＝5，可知5 B，则排除A，B，D.故选C.
2. A 解析：由题意，得阴影部分表示的集合为A∩( UB).因为B＝{x|0≤x<2}，所以 UB＝{x|x<0或x≥2}．又A＝{x|－33. D 解析：由题意，得U＝{x|x<10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．由A U，B U，A∩( UB)＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，A∩B＝{3}，作出Venn图如图所示．由图可知，A＝{1，3，9}，B＝{0，2，3，5，8}，故A，C正确；集合A的不同子集的个数为23＝8，故B正确；因为 U(A∪B)＝{4，6，7}，所以6∈ U(A∪B)，故D错误．
4. －3 解析：由集合元素的互异性可知λ≠－1且λ≠2.当x＝λ时，y＝λ2；当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝1.若λ＝1，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；若λ＝－2，则B＝{1，4}，此时A∪B的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；若λ≠1且λ≠－2，则B＝{1，4，λ2}，所以λ2＋λ＋6＝12，解得λ＝－3或λ＝2(舍去).综上，λ＝－3.
5. 0或 解析：因为集合A的子集只有两个，所以集合A只有一个元素．当a＝0时，A＝，满足题意；当a≠0时，Δ＝9－4a＝0，解得a＝.综上，实数a的值为0或.
例1 (1) B 解析：由B A，得a＋2＝2或a＋2＝a2.当a＋2＝2时，解得a＝0，此时A＝{1，2，0}，B＝{1，2}，符合题意；当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，A＝{1，2，4}，B＝{1，4}，符合题意；当a＝－1时，a2＝a＋2＝1，不符合集合的互异性，舍去．综上，实数a的取值构成的集合为{0，2}．
(2) BC 解析：对于A，假设－1∈M，令x＝y＝－1，则＝1∈M，x＋y＝－2∈M；令x＝－1，y＝1，则＝－1∈M，x＋y＝0∈M；令x＝1，y＝0，则不存在，即y≠0，与0∈M矛盾，所以－1 M，故A错误；对于B，因为集合M非空，所以取任意元素x∈M，根据性质①，得＝1∈M，根据性质②，得1＋1＝2∈M，所以1＋2＝3∈M，…，2 024∈M，2 025∈M，故B正确；对于C，因为1∈M，x∈M，所以∈M.因为y∈M，∈M，所以＝xy∈M，故C正确；对于D，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1 M，故D错误．故选BC.
例2 B 解析：方法一：由题意，得M∩N＝{x|1－1}， UM＝{x|x≤1}， UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则 U(M∩N)＝{x|x≤1或x≥2}，故A错误； U(M∪N)＝{x|x≤－1}，故B正确；M∪( UN)＝{x|x≤－1或x>1}，故C错误；N∪( UM)＝{x|x<2}，故D错误．
方法二：由 UM＝{x|x≤1}， UN＝{x|x≤－1或x≥2}，易得( UM)∩( UN)＝{x|x≤－1}，故 U(M∪N)＝{x|x≤－1}．
方法三：如图，在数轴上表示出集合M，N及{x|x≤－1}，易得{x|x≤－1}＝ U(M∪N).
变式训练1 ∪(3，＋∞) 解析：由题意，得B＝{x|x2＋x－6≤0}＝[－3，2].因为A∪B＝B，所以A B.①当A＝ ，即2a>a＋3时，解得a>3；②当A≠ ，即a≤3时，有解得－≤a≤－1.综上，实数a的取值范围是[－，－1]∪(3，＋∞).
变式训练2 C 解析：因为B＝{x|x2－3x＋2<0}＝(1，2)，B A，且A＝{x|0例3 C 解析：由题意，得M＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}．因为M∪N＝M，所以N M.当N＝ 时，有Δ＝a2－4(3a－5)<0，解得2链接高考
1. D 解析：因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．
2. A 解析：因为A＝{x|－3. B 解析：因为A B，所以a－2＝0或2a－2＝0.若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上，a＝1.
