1.2 常用逻辑用语
复习目标 1. 了解命题的概念.2. 理解全称量词与存在量词的意义，能对含有全称量词与存在量词的命题进行否定.3. 理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
常用逻辑用语
活动一基础引入
1 [2026铜川一模]下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. x∈R，e－x+2≥0
B. x∈R，x＋|x|≤0
C. 任何实数都有算术平方根
D. 任意两个无理数之和仍为无理数
2 [2026安顺一模]设a，b∈R，则“2a>2b”是“|a|>b”的( )
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 (多选)[2025内江六中月考]设全集为U，A，B，C是非空集合，则下列选项中是B A的充要条件是( )
A. A∪B＝B B. B∩( UA)＝
C. (B∩C) (A∩C) D. B (A∩B)
4 [2025中山纪念中学月考]已知集合A＝{x|x2－4x>0}，B＝{x|a－1
5 若命题“ x∈R，mx2－2mx－4>0”是假命题，则实数m的取值范围为________．
活动二典例悟法
题组一 充分条件与必要条件的应用
1 已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
1 在例1的条件下，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
2 在例1的条件下，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是____________．
1. “x∈A”是“x∈B”的充分条件即A B，要注意集合A有可能为空集．
2. 注意区间端点值的检验．
2 已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是________．
1 已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0，若p是q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是____________．
2 已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是________．
1. 设条件p，q对应的集合分别为A，B，则“p是q的充分且不必要条件”即“A是B的真子集”，要注意包含有空集的情况．
2. 含绝对值的不等式|f(x)|≤a，a≥0 －a≤f(x)≤a.
题组二 存在性问题与恒成立问题
3 命题“ x0∈R，2x－3ax0＋9<0”的否定为______________________．
1 若命题“ x0∈R，2x－3ax0＋9<0”为真命题，则实数a的取值范围是____________．
2 若命题“ x0∈R，2x－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
4 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x2∈[2，3]， x1∈，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
存在性问题与恒成立问题往往最终转化为求最大值与最小值的问题或值域的包含关系问题．
1 [2024新课标Ⅱ卷·2]已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则下列结论中正确的是( )
A. p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
2 [2023新课标Ⅰ卷·7]记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则下列结论中正确的是( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1．2 常用逻辑用语
1. A 解析：对于A，含有全称量词，易知y＝ex>0，所以 x∈R，e－x+2≥0，故A正确；对于B，不含有全称量词，故B错误；对于C，含有全称量词，易知负数没有算术平方根，故C错误；对于D，含有全称量词，如，－是无理数，而－＋＝0，且0是有理数，故D错误．
2. C 解析：因为an>0，所以若数列{an}为等比数列，设公比为q(q>0)，则ln an＋1－ln an＝ln ＝ln q为常数，所以{ln an}为等差数列，即充分性成立；反之，若{ln an}为等差数列，设公差为d，则ln an＋1－ln an＝d，得＝ed为常数，故{an}为等比数列，即必要性成立．故“{an}为等比数列”是“{ln an}为等差数列”的充要条件．
3. BD 解析：B A的Venn图如图所示．对于A，由Venn图可知，当B A时，A∪B＝A，故A错误；对于B，由Venn图可知，B∩( UA)＝ 等价于B A，故B正确；对于C，当(B∩C) (A∩C)时，取A＝{0}，B＝{1}，C＝{2}，此时A∩C＝ ，B∩C＝ ，满足条件，但B A不成立，故C错误；对于D，由Venn图可知，B (A∩B)等价于B A，故D正确．故选BD.
4. (－∞，－1]∪[5，＋∞) 解析：由x2－4x>0，解得x>4或x<0，所以A＝(－∞，0)∪(4，＋∞).又“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件，所以B?A，所以a＋1≤0或a－1≥4，解得a≤－1或a≥5，即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞).
5. [－4，0] 解析：若命题“ x∈R，mx2－2mx－4>0”是假命题，则命题“ x∈R，都有mx2－2mx－4≤0”是真命题．当m＝0时，不等式即为－4≤0，恒成立，符合题意；当m≠0时，要使得 x∈R，mx2－2mx－4≤0恒成立，则解得－4≤m<0.综上，实数m的取值范围为[－4，0].
例1 解析：由x2－6x＋8<0，得(x－2)(x－4)<0，解得20，则B＝(a，3a)，则解得≤a≤2；③若a<0，则B＝(3a，a)，与A B矛盾，舍去．综上，实数a的取值范围是.
变式训练1 {0} 解析：因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B A.①若a＝0，则B＝ ，则B A成立；②若a>0，则B＝(a，3a)，则无解，舍去；③若a<0，则B＝(3a，a)，与B A矛盾，舍去．综上，实数a的取值范围是{0}．
变式训练2 ∪[4，＋∞) 解析：①若a＝0，则B＝ ，所以A∩B＝ 成立；②若a>0，则B＝(a，3a)，则3a≤2或4≤a，所以0例2 [9，＋∞) 解析：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0，得1－m≤x≤1＋m.因为p是q的充分且不必要条件，所以且等号不同时成立，解得m≥9，所以实数m的取值范围是[9，＋∞).
变式训练1 (－∞，－9]∪[9，＋∞) 解析：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0，得[x－(1＋m)][x－(1－m)]≤0.设集合A＝[－2，10]，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0}．因为p是q的充分且不必要条件，所以A?B.①若m>0，则B＝[1－m，1＋m]，则且等号不同时成立，解得m≥9；②若m＝0，则B＝{1}与A?B矛盾，舍去；③若m<0，则B＝[1＋m，1－m]，则且等号不同时成立，解得m≤－9.综上，实数m的取值范围是(－∞，－9]∪[9，＋∞).
变式训练2 (0，3] 解析：由p：|1－|≤2，解得－2≤x≤10.由q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m.设集合A＝[－2，10]，B＝[1－m，1＋m].因为q是p的充分且不必要条件，所以B?A，所以且等号不同时成立，解得m≤3，所以0例3 x∈R，2x2－3ax＋9≥0
变式训练1 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：由题意，得Δ＝9a2－4×2×9>0，解得a>2或a<－2.故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
变式训练2 [－2，2] 解析：因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，则 Δ＝9a2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2].
例4 (－∞，1] 解析：当x∈时，f′(x)＝1－＝<0，所以f(x)在区间上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝1＋4＝5.因为g(x)＝2x＋a在区间[2，3]上单调递增，所以g(x)min＝g(2)＝4＋a.因为 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以f(x)min≥g(x)min，所以5≥4＋a，解得a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1].
变式训练 解析：由例4可知f(x)max＝f＝，g(x)max＝g(3)＝8＋a.因为 x2∈[2，3]， x1∈，使得f(x1)≥g(x2)，所以f(x)max≥g(x)max，所以≥8＋a，解得a≤，故实数a的取值范围是.
链接高考
1. B 解析：对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
2. C 解析：方法一：若为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，所以为等差数列，所以甲是乙的充分条件；反之，若为等差数列，则－＝＝为常数，设为t，即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，所以Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，所以为等差数列，所以甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的充要条件．
方法二：若为等差数列，设数列的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，所以＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，所以为等差数列，所以甲是乙的充分条件；反之，若为等差数列，设其公差为D，则＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，所以Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，n≥2，两式相减，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式也成立．又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，所以{an}为等差数列，所以甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的充要条件．(共34张PPT)
第一章
1.2 常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语
复习目标 1．了解命题的概念．2．理解全称量词与存在量词的意义，能对含有全称量词与存在量词的命题进行否定．3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一 基础引入
1 [2026铜川一模]下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. x∈R，e－x+2≥0 B. x∈R，x＋|x|≤0
C. 任何实数都有算术平方根 D. 任意两个无理数之和仍为无理数
A
2 [2026安顺一模]设a，b∈R，则“2a>2b”是“|a|>b”的（ ）
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
A
3 (多选)[2025内江六中月考]设全集为U，A，B，C是非空集合，则下列选项中是B A的充要条件是 ( )
A．A∪B＝B B．B∩( UA)＝
C．(B∩C) (A∩C) D．B (A∩B)
BD
【解析】B A的Venn图如图所示．对于A，由Venn图可知，当B A时，A∪B＝A，故A错误；对于B，由Venn图可知，B∩( UA)＝ 等价于B A，故B正确；对于C，当(B∩C) (A∩C)时，取A＝{0}，B＝{1}，C＝{2}，此时A∩C＝ ，B∩C＝ ，满足条件，但B A不成立，故C错误；对于D，由Venn图可知，B (A∩B)等价于B A，故D正确．故选BD．
4 [2025中山纪念中学月考]已知集合A＝{x|x2－4x＞0}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}．若“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是_________________________．
(－∞，－1]∪[5，＋∞)
【解析】由x2－4x＞0，解得x＞4或x＜0，所以A＝(－∞，0)∪(4，＋∞)．又“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件，所以B?A，所以a＋1≤0或a－1≥4，解得a≤－1或a≥5，即实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．
5 若命题“ x∈R，mx2－2mx－4＞0”是假命题，则实数m的取值范围为____________．
[－4，0]
活动二 典例悟法
题组一 充分条件与必要条件的应用
已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}. 若
“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是________．
1
1 在例1的条件下，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则实数a的取值范围是______．
{0}
2 在例1的条件下，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围
是______________________．
1．“x∈A”是“x∈B”的充分条件即A B，要注意集合A有可能为空集．
2．注意区间端点值的检验．
2
[9，＋∞)
是q的充分且不必要条件，则实数m的取值范围是__________________ __________．
(－∞，－9]∪
[9，＋∞)
(0，3]
1．设条件p，q对应的集合分别为A，B，则“p是q的充分且不必要条件”即“A是B的真子集”，要注意包含有空集的情况．
2．含绝对值的不等式|f(x)|≤a，a≥0 －a≤f(x)≤a．
题组二 存在性问题与恒成立问题
3
x∈R，
2x2－3ax＋9≥0
4
(－∞，1]
存在性问题与恒成立问题往往最终转化为求最大值与最小值的问题或值域的包含关系问题．
1 [2024新课标Ⅱ卷·2]已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3＝x，则下列结论中正确的是 ( )
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
B
【解析】对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
谢谢观看
Thank you for watching
