24.3 正多边形和圆
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第二十四章 圆
第11课时 §24.3 正多边形和圆
正多边形是一种特殊的多边形，它是一些类似于圆的性质。例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合。正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数是也是中心对称图形，而且绕中心旋转360°/n，都能和原来的图形重合。课件正多边形和圆有很多内在联系。本节主要介绍正多边形和圆的关系、正多边形的有关计算等内容。会利用圆内接正多边形的性质来解决实际问题。
点击一： 正多边形和圆的关系
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作 出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
针对练习1:
1.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 （结果保留根号）．
答案：
2.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
答案：
3.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是
答案：108°
4.如图，正六边形内接于圆，圆的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．
答案：100-150
5.下列说法：
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②计算的结果为1；
③正六边形的中心角为60；
④函数的自变量的取值范围是≥3．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
6.图3是对称中心为点的正八边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处）把这个正八边形的面积等分．那么的所有可能的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
7.边长为的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
点击二：正多边形的有关计算
正n边形的内角和是（n-2）·180°，它有n个相等的角，因此正n边形每一个内角的度数是（n-2）·180°/n
正n边形有n个相等的中心角，而这些中心角度的和是360°，因此正n边形每个中心角的度数是360°/n
正n边形有n个相等的外角，而这n个相等的外角的和是360°，因此正n边形每个外角的度数是360°/n，很容易看出：正n边形的中心角与它的外角度数大小相等。
正六边形的边长等于它的半径；正n边形共有n·（n-3）/2
针对练习2:
1．正六边形的内切圆和外接圆的直径的比是 。
答案：
2．正n边形的一个内角与正（n+2）边形的一个内角之和为255 ，那么 n= 。
答案：6
3．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长的比是 。
答案：
8．已知正六边形边长为a，则它的内接圆面积 。
答案：
9．正八边形有 条对称轴。
答案：8
10．正三角形、正四边形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为S3、S4、S6，用大于号连接S3、S4、S6，应为 。
答案：S6>S4>S3
11．若一个圆的周长与正方形的周长相等，则圆面积与正方形面积之比为（ ）C
A． B. C. 4 D.
12．下列多边形中，是正多边形的是（ ）C
A．菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形
13．下列说法正确的是（ ）D
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．不是正多边形的多边形，它的各边都不相等
C．圆的外切多边形中，各边相等的多边形是正多边形
D．对角线相等的菱形是正多边形
14．边长为2a的正方形的外接圆的周长和内切圆的周长分别是（ ）C
A．， B. ，
C．， D. ，
类型之一：正多边形的计算
例2已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6．
【解析】n=6 =30°，又半径为R a6 、r6． P6、S6．
学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．
【解答】作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．
∵∠GOB= ，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°= ，
∴ ．
【点评】如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6= Pn rn．
【拓展】已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．
学生以小组进行研究，并初步归纳：
； ； ； ；
； ．
上述公式是运用解直角三角形的方法得到的．
通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素．
1.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为 ( )
(A) 1. (B)2 . (C)1 . (D)2 3.
答案：A
2. 一个正多边形的中心角为36°,则它的边数是______.
答案：10
3.正方形的边心距与半径的比值为________.
答案：
4. 已知正三角形的边长为a,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,则r a R 等于______.
答案：1 2 2
5.如图2,要把边长为b的正三角形的纸板剪去三个三角形,得到正六边形,则正六边形的周长为______.
答案：2b
6. 若正六边形的面积是cm2，则这个正六边形的边长是 。
答案：4 cm
7. 一个正多边形的边长为a，面积为S，则它的边心距是 。
答案：
8. 边长为a的正三角形的外接圆面积等于（ ）
A． B. C. D.
答案：D
9. 下列命题中假命题是（ ）
图几7-4-12
A． 正五边形的对角线都相等
B． 正多边形的外角等于中心角
C． 正三角形绕它的中心每旋转120 ，就能和原三角形重合一次
D． 一个正方形绕它的中心旋转360 ，最多能和原正方形重合3次
答案：D
10.下面命题中，
i） 正多边形既有一个外接圆，又有一个内切圆，且这两个圆一定为同心圆；
ii） 边数相等的正多边形都是相似多边形；
iii） 有奇数条边的正多边形是中心对称图形；
iv） 有偶数条边的正多边形是对称图形，但不是中心对称图形。
正确的有（ ）
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
11.在下列图形中
i） 各角相等的圆内接多边形；
ii） 各边相等的圆内接多边形；
iii） 各角相等的圆外切多边形；
iv） 各边相等的圆外切多边形，其中必为正多边形的有（ ）
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
12. 如图几7-4-19，设计院设计边长为1 km的正方形生活小区，为了美化环境，开辟四角（均为全等的等腰直角三角形）建立绿化区，使得余下的部分是正八边形，试求绿化区的面积，并计算绿化区的面积占生活小区总面积的百分数（精确到1%）。
图几7-4-18
答案:在正方形ABCD中，AB=1千米，八边形EFGHLMNP为正八边形.
设EF=FG=x km，则FB=BG=，
∵
∴ ，
解得 。
∴ 绿化区的面积=
绿化区面积占生活区总面积的百分数为.
一、认认真真，书写快乐
1．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ．
2．边长为a的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 ．
3．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 ．
4．如图1，正六边形与正三角边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
二、仔仔细细，记录自信
5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连接五等分点而得到（如图2）．五角星的每一个角的度数为（ ）
A．30° B．35° C．36° D．37°
6．如果正六边形的外接圆半径为R，那么这个正六边形的边长为（ ）
A． B．R C．2R D．3R
7．一个正方形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆的面积比是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶9 D．9∶25
8．如图3，在三个同样大小的正方形中，分别画一个内切圆，面积为S1（图甲所示）；画四个半径相等的两两外切、且与正方形各边都相切的圆，这四个圆的面积之和为S4（图乙所示）；画九个半径相等相互外切、且与正方形各边都相切的圆，这九个圆的面积之和为S9（图丙所示）；则S1、S4和S9的大小关系是（ ）
A．S1最大 B．S4最大 C．S9最大 D．一样大
三、平心静气，展示智慧
9．（1）如图4，计算边长为a的正方形中的阴影部分面积分别为 ．
（2）通过计算观察阴影部分面积的求法规律是 ．
（3）请你再设计一个使阴影部分面积与图形中阴影部分面积值相等的一个图形（只需用尺规画图，不写作法）．
10．如图5(1)有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24m的正六边形ABCDEF(如图5(2))，点O为中心（下面各题结果精确到0.1m)．
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
四、拓广探索，游刃有余
11．如图6(1)、图6(2)、图6(3)、…、图6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．
（1）求图6(1)中∠MON的度数；
（2）图6(2)中∠MON的度数是 ，图6(3)中∠MON的度数是 ；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
参考答案：
一、1．1：2：3 2．；； 3． 4．
二、5．C 6．B 7．B 8．D
三、9．解：（1）；；；
（2）阴影部分面积的求法规律是；
（3）略．
10．地基的中心到边缘的距离约为3.5m；塑像底座的半径最大约为0.9m．
四、11．解：（1）．（2）；．
（3）通过以上计算及存在的规律答容易确定．
1.已知如图1，正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（ ）
Ａ．cm Ｂ．5cm Ｃ．5cm Ｄ．10cm
【解析】正多边形的边数6，边长10cm，所以∠AOH=30 ，AO=10，所以OH=，AO=5，故选Ｃ．
2.一幅美丽的图案，在某个顶点处有四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
Ａ．正三角形 Ｂ．正四边形 Ｃ．正五边形 Ｄ．正六边形
【解析】这是由多个正多边形镶嵌的问题，在某一顶点处这三个已知的正多边形各内角的和是270 ，因此，另一个角应为90 ，所以另一个为正方形．故选Ｂ．
3.如图2，点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为л，则图中阴影部分的面积为（ ）
Ａ．л Ｂ．л
Ｃ．л Ｄ．л+
【解析】图中阴影部分是不规则图形，连接OC，OD，CD，由于C，D是半圆O的三等分点，所以CD∥AB，△ACD的面积等于△OCD的面积，因此，阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，易求扇形COD的圆心角为60 ，半径为1，面积为л，故选Ａ．
4.如图1，有六个矩形水池环绕．矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是 米（所有管道都在同一平面内，结果保留根号）．
【解析】：本题是一道和正多边形有关的实际问题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型，即画出如图2所示的这正六边形。所要解决的实际问题就转化为求点P到六边形六条边的距离和。为此只需要过点P作PH⊥AB于H，利用勾股定理求到PH即可。
．
图1 图2
解：如图2，作PH⊥AB于H，由于ABCDFEF是正六边形，所以PB=AB=4米，BH=AB=2米，在Rt△BPH中，利用勾股定理可得PH=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 米，2×6=。
所以从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米。
总结：求正多边形的半径、边心距等问题，主要是将构造直角三角形，将多边形问题转化为三角形问题解决。
5.如图3是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
【解析】：本题是一道与正六边形有关的计算题.两个正六边形,要求重叠部分面积与阴影部分面积之比,只要找到重叠部分面积、阴影部分面积与正六边形ABCDEF面积的关系即可解决问题.
解: 如图3,连结OA、OB、OC，设OA交AB于K，OE交CD于H，
因为∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，
∠COH=120°-∠KOC，
所以∠AOK=∠COH，
又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，
所以△AOK≌△COH，
所以S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，
所以S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC。
S五边形OKBCH：S阴影=. 图3
即重叠部分面积与阴影部分面积之比。
总结：本题通过利用正六边形的有关性质，构造全等三角形，将不规则图形的面积用同一个三角形的面积表示出来体现了一种数学思想——转化思想。这也是解决正多边形有关问题常用到的数学思想。
课时作业：
A等级
1．下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
2．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ）
A．36° B．18° C．72° D．54°
3．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形。
4．同一圆的内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，周长最大的是（ ）
5．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．⊙O的内接正三角形与正六边形面积之比为（ ）
A．： B．1： C．1：2 D．1：
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
8．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积．
9．如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，需搭设简易防雨棚，这防雨棚的高度最低应为_______米．（取1.73，结果精确到0.1米）
10．已知：如图，⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形．
11．现有树12棵，把它栽成三排，要求每排恰好为5棵，如图所示，就是一种符合条件的栽法，请你再给出三种不同的栽法．
12．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
13．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，使BC=AB，过C作⊙O的切线CD，D为切点， 过B作⊙O的切线BE，交CD于E．求DE：CE．
答案：
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．略 9．3．5
10．由∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB，得
11．略 12．略
13．解：连结OD，∵AB是直径，∴AB=2OB，
又∵AB=2BC，∴OB=BC，
∵OD=OB，∴OD=OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，∴∠C=30°，
∵△ODE≌△OBE（HL），
∴DE=BE，
∵BE⊥OC，∠C=30°，
∴BE=EC，
∴DE=CE，即DE：CE=1：2．
B等级
一、选择题
1．若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（）.
（A）4 （B）6 （C）8 （D）12
2、 下列说法：①各边相等的圆内接多边形必为正多边形；②各角相等的圆内接多边形必为正多边形；③各边相等的圆外切多边形必为正多边形；④各角相等的圆外切多边形必为正多边形.其中正确的个数是（）.
(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个
3．若正三边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于( ).
(A) (B) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 (C) (D)
4、如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（ ）。
A、52° B、60° C、72° D、76°
5. 如图，ABCD是⊙O的内接正方形，PQRS是半圆的内接正方形，那么等于（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. D. 2:5
6、如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ）
A. 6：1 B. C. 3：1 D.
7、 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A. B. C. D.
8、先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为 （ ）
A、（ B、（ C、（ D、
二、填空题1、判断题（正确的填√，错误的填×）
（1）．连结圆的n等分点的n边形必为正n边形． （ ）
（2）．正n边形中心角的度数等于每个外角的度数. （ ）
（3）．矩形是正多边形. （ ）
（4）．正多边形必有一个外接圆，也必有一个内切圆. （ ）
2、如图，有一个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个图形纸片的最小半径是 。
3. 若正四边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于 .
4. 一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为________________。
5. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________。
6、.如图这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为_____，这样的滚珠最多能放______颗.
三、综合题
1. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
2、.
3、已知正六边形ABCDEF，如图24-91所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
4、已知：如图，正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，
过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12.
（1）求弦MN的长；（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数.
5、已知⊙O的半径为R，求它的内接正三角形ABC的内切圆的内接正方形DEFG的面积.
C等级
1.（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．
①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
答案：（1）①证法一：与均为等边三角形，
，
且
，
即
．
证法二：与均为等边三角形，
，
且
可由绕着点按顺时针方向旋转得到
．
②，，．
（2）①
②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，
，即．
．
，，
，
证法二：同上可证 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
，如图，延长交于，
，
证法三：同上可证 ．
．
，
即
证法四：同上可证 ．
．如图，连接，
．
即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown
注意：此题还有其它证法，可相应评分．
O
·
中心角
半径R
边心距r
A
B
C
D
E
O
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｆ
Ｅ
P
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第二十四章 圆
第11课时 §24.3 正多边形和圆
正多边形是一种特殊的多边形，它是一些类似于圆的性质。例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合。正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数是也是中心对称图形，而且绕中心旋转360°/n，都能和原来的图形重合。课件正多边形和圆有很多内在联系。本节主要介绍正多边形和圆的关系、正多边形的有关计算等内容。会利用圆内接正多边形的性质来解决实际问题。
点击一： 正多边形和圆的关系
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作 出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
针对练习1:
1.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 （结果保留根号）．
答案：
2.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
答案：
3.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是
答案：108°
4.如图，正六边形内接于圆，圆的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．
答案：100-150
5.下列说法：
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②计算的结果为1；
③正六边形的中心角为60；
④函数的自变量的取值范围是≥3．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
6.图3是对称中心为点的正八边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处）把这个正八边形的面积等分．那么的所有可能的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
7.边长为的正六边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
点击二：正多边形的有关计算
正n边形的内角和是（n-2）·180°，它有n个相等的角，因此正n边形每一个内角的度数是（n-2）·180°/n
正n边形有n个相等的中心角，而这些中心角度的和是360°，因此正n边形每个中心角的度数是360°/n
正n边形有n个相等的外角，而这n个相等的外角的和是360°，因此正n边形每个外角的度数是360°/n，很容易看出：正n边形的中心角与它的外角度数大小相等。
正六边形的边长等于它的半径；正n边形共有n·（n-3）/2
针对练习2:
1．正六边形的内切圆和外接圆的直径的比是 。
答案：
2．正n边形的一个内角与正（n+2）边形的一个内角之和为255 ，那么 n= 。
答案：6
3．同圆的内接正n边形与外切正n边形边长的比是 。
答案：
8．已知正六边形边长为a，则它的内接圆面积 。
答案：
9．正八边形有 条对称轴。
答案：8
10．正三角形、正四边形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为S3、S4、S6，用大于号连接S3、S4、S6，应为 。
答案：S6>S4>S3
11．若一个圆的周长与正方形的周长相等，则圆面积与正方形面积之比为（ ）C
A． B. C. 4 D.
12．下列多边形中，是正多边形的是（ ）C
A．菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形
13．下列说法正确的是（ ）D
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．不是正多边形的多边形，它的各边都不相等
C．圆的外切多边形中，各边相等的多边形是正多边形
D．对角线相等的菱形是正多边形
14．边长为2a的正方形的外接圆的周长和内切圆的周长分别是（ ）C
A．， B. ，
C．， D. ，
类型之一：正多边形的计算
例2已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6．
【解析】n=6 =30°，又半径为R a6 、r6． P6、S6．
学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．
【解答】作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．
∵∠GOB= ，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°= ，
∴ ．
【点评】如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6= Pn rn．
【拓展】已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．
学生以小组进行研究，并初步归纳：
； ； ； ；
； ．
上述公式是运用解直角三角形的方法得到的．
通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素．
1.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为 ( )
(A) 1. (B)2 . (C)1 . (D)2 3.
答案：A
2. 一个正多边形的中心角为36°,则它的边数是______.
答案：10
3.正方形的边心距与半径的比值为________.
答案：
4. 已知正三角形的边长为a,其内切圆半径为r,外接圆半径为R,则r a R 等于______.
答案：1 2 2
5.如图2,要把边长为b的正三角形的纸板剪去三个三角形,得到正六边形,则正六边形的周长为______.
答案：2b
6. 若正六边形的面积是cm2，则这个正六边形的边长是 。
答案：4 cm
7. 一个正多边形的边长为a，面积为S，则它的边心距是 。
答案：
8. 边长为a的正三角形的外接圆面积等于（ ）
A． B. C. D.
答案：D
9. 下列命题中假命题是（ ）
图几7-4-12
A． 正五边形的对角线都相等
B． 正多边形的外角等于中心角
C． 正三角形绕它的中心每旋转120 ，就能和原三角形重合一次
D． 一个正方形绕它的中心旋转360 ，最多能和原正方形重合3次
答案：D
10.下面命题中，
i） 正多边形既有一个外接圆，又有一个内切圆，且这两个圆一定为同心圆；
ii） 边数相等的正多边形都是相似多边形；
iii） 有奇数条边的正多边形是中心对称图形；
iv） 有偶数条边的正多边形是对称图形，但不是中心对称图形。
正确的有（ ）
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
11.在下列图形中
i） 各角相等的圆内接多边形；
ii） 各边相等的圆内接多边形；
iii） 各角相等的圆外切多边形；
iv） 各边相等的圆外切多边形，其中必为正多边形的有（ ）
A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：B
12. 如图几7-4-19，设计院设计边长为1 km的正方形生活小区，为了美化环境，开辟四角（均为全等的等腰直角三角形）建立绿化区，使得余下的部分是正八边形，试求绿化区的面积，并计算绿化区的面积占生活小区总面积的百分数（精确到1%）。
图几7-4-18
答案:在正方形ABCD中，AB=1千米，八边形EFGHLMNP为正八边形.
设EF=FG=x km，则FB=BG=，
∵
∴ ，
解得 。
∴ 绿化区的面积=
绿化区面积占生活区总面积的百分数为.
一、认认真真，书写快乐
1．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ．
2．边长为a的正六边形的边心距是 ，周长是 ，面积是 ．
3．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 ．
4．如图1，正六边形与正三角边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
二、仔仔细细，记录自信
5．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连接五等分点而得到（如图2）．五角星的每一个角的度数为（ ）
A．30° B．35° C．36° D．37°
6．如果正六边形的外接圆半径为R，那么这个正六边形的边长为（ ）
A． B．R C．2R D．3R
7．一个正方形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆的面积比是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶9 D．9∶25
8．如图3，在三个同样大小的正方形中，分别画一个内切圆，面积为S1（图甲所示）；画四个半径相等的两两外切、且与正方形各边都相切的圆，这四个圆的面积之和为S4（图乙所示）；画九个半径相等相互外切、且与正方形各边都相切的圆，这九个圆的面积之和为S9（图丙所示）；则S1、S4和S9的大小关系是（ ）
A．S1最大 B．S4最大 C．S9最大 D．一样大
三、平心静气，展示智慧
9．（1）如图4，计算边长为a的正方形中的阴影部分面积分别为 ．
（2）通过计算观察阴影部分面积的求法规律是 ．
（3）请你再设计一个使阴影部分面积与图形中阴影部分面积值相等的一个图形（只需用尺规画图，不写作法）．
10．如图5(1)有一个宝塔，它的地基边缘是周长为24m的正六边形ABCDEF(如图5(2))，点O为中心（下面各题结果精确到0.1m)．
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
四、拓广探索，游刃有余
11．如图6(1)、图6(2)、图6(3)、…、图6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．
（1）求图6(1)中∠MON的度数；
（2）图6(2)中∠MON的度数是 ，图6(3)中∠MON的度数是 ；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
参考答案：
一、1．1：2：3 2．；； 3． 4．
二、5．C 6．B 7．B 8．D
三、9．解：（1）；；；
（2）阴影部分面积的求法规律是；
（3）略．
10．地基的中心到边缘的距离约为3.5m；塑像底座的半径最大约为0.9m．
四、11．解：（1）．（2）；．
（3）通过以上计算及存在的规律答容易确定．
1.已知如图1，正六边形的边长为10cm，则它的边心距为（ ）
Ａ．cm Ｂ．5cm Ｃ．5cm Ｄ．10cm
【解析】正多边形的边数6，边长10cm，所以∠AOH=30 ，AO=10，所以OH=，AO=5，故选Ｃ．
2.一幅美丽的图案，在某个顶点处有四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ）
Ａ．正三角形 Ｂ．正四边形 Ｃ．正五边形 Ｄ．正六边形
【解析】这是由多个正多边形镶嵌的问题，在某一顶点处这三个已知的正多边形各内角的和是270 ，因此，另一个角应为90 ，所以另一个为正方形．故选Ｂ．
3.如图2，点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为л，则图中阴影部分的面积为（ ）
Ａ．л Ｂ．л
Ｃ．л Ｄ．л+
【解析】图中阴影部分是不规则图形，连接OC，OD，CD，由于C，D是半圆O的三等分点，所以CD∥AB，△ACD的面积等于△OCD的面积，因此，阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，易求扇形COD的圆心角为60 ，半径为1，面积为л，故选Ａ．
4.如图1，有六个矩形水池环绕．矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是 米（所有管道都在同一平面内，结果保留根号）．
【解析】：本题是一道和正多边形有关的实际问题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型，即画出如图2所示的这正六边形。所要解决的实际问题就转化为求点P到六边形六条边的距离和。为此只需要过点P作PH⊥AB于H，利用勾股定理求到PH即可。
．
图1 图2
解：如图2，作PH⊥AB于H，由于ABCDFEF是正六边形，所以PB=AB=4米，BH=AB=2米，在Rt△BPH中，利用勾股定理可得PH=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 米，2×6=。
所以从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米。
总结：求正多边形的半径、边心距等问题，主要是将构造直角三角形，将多边形问题转化为三角形问题解决。
5.如图3是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
【解析】：本题是一道与正六边形有关的计算题.两个正六边形,要求重叠部分面积与阴影部分面积之比,只要找到重叠部分面积、阴影部分面积与正六边形ABCDEF面积的关系即可解决问题.
解: 如图3,连结OA、OB、OC，设OA交AB于K，OE交CD于H，
因为∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，
∠COH=120°-∠KOC，
所以∠AOK=∠COH，
又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，
所以△AOK≌△COH，
所以S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，
所以S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC。
S五边形OKBCH：S阴影=. 图3
即重叠部分面积与阴影部分面积之比。
总结：本题通过利用正六边形的有关性质，构造全等三角形，将不规则图形的面积用同一个三角形的面积表示出来体现了一种数学思想——转化思想。这也是解决正多边形有关问题常用到的数学思想。
课时作业：
A等级
1．下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
2．如果一个正多边形的每个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角等于（ ）
A．36° B．18° C．72° D．54°
3．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2：1；
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2倍；
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形。
4．同一圆的内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，周长最大的是（ ）
5．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．⊙O的内接正三角形与正六边形面积之比为（ ）
A．： B．1： C．1：2 D．1：
7．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：： B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
8．分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距和面积．
9．如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，需搭设简易防雨棚，这防雨棚的高度最低应为_______米．（取1.73，结果精确到0.1米）
10．已知：如图，⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形．
11．现有树12棵，把它栽成三排，要求每排恰好为5棵，如图所示，就是一种符合条件的栽法，请你再给出三种不同的栽法．
12．用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大？
13．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，使BC=AB，过C作⊙O的切线CD，D为切点， 过B作⊙O的切线BE，交CD于E．求DE：CE．
答案：
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．略 9．3．5
10．由∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB，得
11．略 12．略
13．解：连结OD，∵AB是直径，∴AB=2OB，
又∵AB=2BC，∴OB=BC，
∵OD=OB，∴OD=OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，∴∠C=30°，
∵△ODE≌△OBE（HL），
∴DE=BE，
∵BE⊥OC，∠C=30°，
∴BE=EC，
∴DE=CE，即DE：CE=1：2．
B等级
一、选择题
1．若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（）.
（A）4 （B）6 （C）8 （D）12
2、 下列说法：①各边相等的圆内接多边形必为正多边形；②各角相等的圆内接多边形必为正多边形；③各边相等的圆外切多边形必为正多边形；④各角相等的圆外切多边形必为正多边形.其中正确的个数是（）.
(A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个
3．若正三边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于( ).
(A) (B) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 (C) (D)
4、如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（ ）。
A、52° B、60° C、72° D、76°
5. 如图，ABCD是⊙O的内接正方形，PQRS是半圆的内接正方形，那么等于（ ）
A. 1:2 B. 1:3 C. D. 2:5
6、如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为（ ）
A. 6：1 B. C. 3：1 D.
7、 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）
A. B. C. D.
8、先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为 （ ）
A、（ B、（ C、（ D、
二、填空题1、判断题（正确的填√，错误的填×）
（1）．连结圆的n等分点的n边形必为正n边形． （ ）
（2）．正n边形中心角的度数等于每个外角的度数. （ ）
（3）．矩形是正多边形. （ ）
（4）．正多边形必有一个外接圆，也必有一个内切圆. （ ）
2、如图，有一个边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个图形纸片的最小半径是 。
3. 若正四边形的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的值等于 .
4. 一个圆内接正六边形与内接正方形面积之差为4，则此圆的面积为________________。
5. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________。
6、.如图这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为_____，这样的滚珠最多能放______颗.
三、综合题
1. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
2、.
3、已知正六边形ABCDEF，如图24-91所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
4、已知：如图，正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，
过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12.
（1）求弦MN的长；（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数.
5、已知⊙O的半径为R，求它的内接正三角形ABC的内切圆的内接正方形DEFG的面积.
C等级
1.（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．
①如图1，求证：；
②探究：如图1， ；
如图2， ；
如图3， ．
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．
①猜想：如图4， （用含的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
答案：（1）①证法一：与均为等边三角形，
，
且
，
即
．
证法二：与均为等边三角形，
，
且
可由绕着点按顺时针方向旋转得到
．
②，，．
（2）①
②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，
，即．
．
，，
，
证法二：同上可证 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
，如图，延长交于，
，
证法三：同上可证 ．
．
，
即
证法四：同上可证 ．
．如图，连接，
．
即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown
注意：此题还有其它证法，可相应评分．
O
·
中心角
半径R
边心距r
A
B
C
D
E
O
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｆ
Ｅ
P
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