25.3 用频率估计概率(含课题学习键盘上字母的排列规律)

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第二十五章概率初步
第15课时　§25.3 用频率估计概率
§25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律
在我们的日常生活中存在着大量随机事件，我们如何确定某些随机事件发生概率的大小呢？这节我们主要学习通过实验体会“某一随机事件发生的频率无限的接近于概率”这一重要规律，以及运用随机事件出现的频率估计随机事件发生概率的大小这一重要方法．
一、关于在实验中感悟“频率稳定于概率”这一规律
通过大量的课内和课外反复实验，我们发现尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验的条件不变，当实验次数很大时，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件在每次实验中发生的概率的一个估计值．例如从一副52张（没有大小王）的扑克牌中每次抽出一张，然后放回洗匀再抽，在这个实验中，我们可以发现，虽然每次抽取的结果是随机的、无法预测的随机事件，但是随着实验次数的增加，出现每一种花色牌的频率都稳定在25%左右，因此我们可以用平稳时的频率估计在每次抽出牌的概率的大小．
二、关于用频率估计概率的大小
在随机事件中，虽然每次实验的结果都是随机的、无法预测的，但是不确定事件的发生并非完全没有规律，随着实验次数的增加，隐含的规律会逐渐显现，事件出现的频率会逐渐稳定到某一个值，大量实验表明：当实验次数足够大时，事件A发生的频率会稳定到它发生的概率的大小附近，所以，我们常用频率估计事件发生的概率．用频率估计事件发生的概率时，需要说明以下几点：
　　（1）频率和概率是两个不同的概念，二者既有区别又有联系，事件发生的概率是一个确定的值，而频率是不确定的，当实验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当实验次数增大时，频率的大小波动变小，逐渐稳定在概率附近；
　　（2）通过实验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证实验在相同的条件下进行，否则结果会受到影响．在相同条件下，实验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同；
　　（3）频率和概率在实验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的、经常的，如随机抛掷一枚硬币时，理论上“落地后正面朝上”发生的概率为，可抛掷1000枚硬币，并不能保证落地后恰好有500枚正面朝上，但大量的重复实验发现，“落地后正面朝上”发生的频率就在附近波动；
　　（4）事件发生的概率需要用稳定时的频率来估计，它需要做次数足够多的实验才能较准确，要注意的是一次实验的结果是随机的、无法预测的；
　　（5）我们不但可以运用事件出现的频率来估计这一事件在每次实验中发生概率的大小，同样当我们预知某一事件在每次实验中发生的概率大小的值时，就可以知道当实验次数很大时事件出现的频率逐渐会接近于这个概率值．
　　通过这两节的学习，我们可以深刻体会到“一个随机事件在每次实验中发生的概率可以用该事件在多数次的重复实验中发生的频率来估计”这一结论，整个学习过程要以自己动手实验和探索为主，例如要确定钉尖触地的概率等问题都是无法用公式计算解决和主观臆造的，只能求助于实验，这就说明实验是预测某些随机事件发生概率的必要手段．此外，还应就实验的设计、组织、数据的记录和分析与实验结果合理性等问题和同学们展开讨论与交流，只有这样，才能理解随机事件中隐含的确定性，从而准确地求出随机事件发生的概率的大小．
点击一： 利用频率估计概率
（1） 在怎样的情况下，要通过统计频率来估计概率：①实验的所有可能结果不是有限个②各种可能结果发生的可能性不相等。
（2） 怎样利用频率来估计概率？在同样的条件下，大量重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数可以估计这个事件发生的概率。
针对练习1:
1、下列模拟掷硬币的实验不正确的是 （ ）
A、用计算器随机地取数，取奇数相当于下面朝上，取偶数相当于硬币正面朝下
B、袋中装两个小球，分别标上1和2，随机地摸，摸出1表示硬币正面朝上
C、在没有大小王的扑克中随机地抽一张牌，抽到红色牌表示硬币正面朝上
D、将1、2、3、4、5分别写在5张纸上，并搓成团，每次随机地取一张，取到奇数号表示硬币正面朝上
答案：D
2、把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子的点数为2的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
3、有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4、5、6、7、8、9，若将这六张牌背面向上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面上的数字是3的倍数的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
4、“抛出的蓝球会下落”，这个事件是 事件。（填“确定”或“不确定”）
答案：确定
5、有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为 的概率最大，抽到和大于8的概率为 。
答案：6
6、在体育测试中，2分钟跳160次为达标，小敏记录了她预测时2分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，则她在该次预测中达标的概率是 。
答案：
7. 为了调查今年有多少名学生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中有10个家庭有子女参加中考。
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？
（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？
（3）已知全市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考？
答案: （1）5% （2）约5% （3）4.5×104名
类型之一：用频率估计概率
随机事件发生的可能性的大小可以通过大量的重复实验去探索.通过频率的稳定性来揭示随机事件发生的可能性的大小，在大量的实验中，某个事件发生的频率稳定一个常数，此常数叫该随机事件发生的概率。
例1：在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只, 某学习小组做摸球实验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
⑴ 请估计：当很大时, 摸到白球的频率将会接近 ；
⑵ 假如你去摸一次, 你摸到白球的概率是 , 摸到黑球的概率是 ；
⑶ 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只
⑷ 解决了上面的问题, 小明同学猛然顿悟, 过去一个悬而未决的问题有办法了. 这个问题是: 在一个不透明的口袋里装有若干个白球, 在不允许将球倒出来数的情况下, 如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品) 请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
【解析】：本题是一道根据摸球实验频率估算概率的试题,利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,利用这个值代替概率值即可解决问题.
【解答】： (1)由表格可知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率是0.6,这时摸到黑球的概率为1-0.6=0.4.
(3)白球个数为:20×0.6=12(只),黑球个数为20×0.4=8(只)或20-12=8(只).
(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀; ②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率.由频率估计概率;③估算:.球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.
方案二: ①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;
②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到有标记球的次数,计算频率,由频率估算概率.
③估算:.
例2：王强与李刚两位同学在学习“概率”时．做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 6 9 5 8 16 10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率．
(2)王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．”
请判断王强和李刚说法的对错．
(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率．
【解析】：本题是一道与频率与概率有关的试题,解决问题的关键要理解概率与频率的计算方法。根据表格信息可知，抛了54次，向上的点数为3共出现了5次，向上点数为5的共出现了16次，由此可计算出相应的频率。通过列表或画数状图的方法可求到向上点数之和为3的倍数的概率。
【解答】：
（1）出现向上点数为3的频率为HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，出现向上点数为5的频率为。
（2）因为掷一次骰子点数1，2，3，4，5，6出现向上具有等可能性，所以王强说法不对，虽然投掷54次出现点数6向上的频数是HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，但频率不一定等于概率，因为掷一次骰子，点数6向上的概率是，所以李刚的说法也不正确的。
（3）通过画树状图或列表可得王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
【点评】：:通过试验来估算不确定事件发生的概率大小,通常是在试验次数越多,事件发生的频率值逐渐稳定时,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率.
类型之二：用替代物或计算器模拟实验
例3：开学前，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送2支笔和1本书．
（1）若有3支不同笔可供选择，其中黑色2支，红色1支，试用树状图表示小明依次抽取2支笔的所有可能情况，并求出抽取的2支笔均是黑色的概率；
（2）若有6本不同书可供选择，要在其中抽1本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法．
【解析】：（1）列表或画树状图求出即可（2）可通过掷骰子、抽卡片、摸球等方法来模拟实验获得结果
【解答】：（1）用分别表示2支黑色笔，表示红色笔，树状图为：
．
（2）方法不唯一，例举一个如下：
记6本书分别为，．
用普通的正方体骰子掷1次，
规定：掷得的点数为1，2，3，4，5，6分别代表抽得的书为，．
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )
A．90个 B．24个 C．70个 D．32个
2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）．
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是( )．
A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；
C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．
4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）．
A．、 B．、
C．、 D．、
5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）．
A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒
6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是（ ）．
A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；
B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；
C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的；
D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．
7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）．
A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；
B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；
C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；
D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．
8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）．
A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元
9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：
结果 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
两个正面 3 3 5 1 4 2
一个正面 6 5 5 5 5 7
没有正面 1 2 0 4 1 1
由上表结果，计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．
10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上
组别 频数 频率
46 ~ 50 40
51 ~ 55 80
56 ~ 60 160
61 ~ 65 80
66 ~ 70 30
71~ 75 10
从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________．
11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：
组别 分 组 频 数 频率
1 49.5～59.5 60 0.12
2 59.5～69.5 120 0.24
3 69.5～79.5 180 0.36
4 79.5～89.5 130 c
5 89.5～99.5 b 0.02
合 计 a 1.00
表中a=________,b=________, c＝_______；若成绩在90分以上（含90分）的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________．
12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
3的倍数的频率
（1）完成上表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？
13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜 .
(1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2) 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：
第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局
甲 5 × 4 8 1 3
乙 8 2 4 2 6 ×
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
答案：
1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B
9． ； 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
11．50,10,0.26；200
12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；
（2）0.31；
（3）0.31；
（4）0.3
13．解：(1)计分方案如下表：
n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8
M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1
(用公式或语言表述正确，同样给分.)
(2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在这次比赛中获胜．
一、填空
1．通过实验的方法用频率估计概率的大小，必须要求实验是在 的条件下进行．
2．某灯泡厂在一次质量检查中，从2 000个灯泡中随机抽查了100个，其中有10个不合格，则出现不合格灯泡的频率是 ，在这2 000个灯泡中，估计有 个为不合格产品．
3．在红桃A至红桃K这13张扑克牌中，每次抽出一张，然后放回洗牌再抽，研究恰好抽到的数字小于5的牌的概率，若用计算机模拟实验，则要在 的范围中产生随机数，若产生的随机数是 ，则代表“出现小于5”，否则就不是．
4．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是 ．
二、选择
5．公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是（ ）
A．50% B．100%
C．由各车所在单位或个人定 D．无法确定
6．实验的总次数、频数及频率三者的关系是（ ）
A．频数越大，频率越大
B．频数与总次数成正比
C．总次数一定时，频数越大，频率可达到很大
D．频数一定时，频率与总次数成反比
7．在一副（54张）扑克牌中，摸到“A”的频率是（ ）
A． B． C． D．无法估计
8．在做针尖落地的实验中，正确的是（ ）
A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的个数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要
三、解答题
9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．
10．如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”的频率
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动转盘一次，你获的铅笔的概率是多少？
参考答案：
一、1．相同或同等（意思相近即可） 2．0.1，200
3．1~13，1，2，3，4 4．0.45
二、5．A 6．D 7．B 8．B
三、9．因为P（50次摸到红球）=，
所以红球与白球共有（个）．
所以白球共有40-10=30（个）．
答：口袋中大约有30个白球．
10．（1）0.68，0.74，0.68，0.69，0.705，0.701；
（2）接近0.7；（3）0.7．
1.小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1、2、3、4、5、6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20000次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等)？并说明理由．
【解析】：本题可通过分别计算出现两个朝上面点数和为7的概率和实验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率，然后依据大量重复实验时事件发生频率与事件发生概率的差距将很小，来确定质量是否都合格．
【解答】：两枚骰子质量不都合格．同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：2、3、4、5、6、7；3、4、5、6、7、8；4、5、6、7、8、9；5、6、7、8、9、10；6、7、8、9、10、11；7、8、9、10、11、12。
∵抛两枚骰子两个朝上面点数和有36种情况，出现两个朝上面点数和为7有6次情况。
∴出现两个朝上面点数和为7的概率为．
而试验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率为．
因为多数次试验的频率应接近概率，而0.001和0.167相差很大，所以两枚骰子质量不都合格．
说明：大量重复实验时事件发生频率将趋近于稳定，且稳定在概率的附近．
2.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1）
（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率 ．
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
答案：（1）0.6，（2）0.6，（3）白球24个，黑球16个。
3.一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会可能地向左或向右落下。试问小球通过第二层A位置的概率是多少？第三层B位置的概率是多少？
答案：
4.某商场进行有奖促销活动，转盘分为5个扇形区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖及不获奖，制作转盘时，将获奖扇形区域圆心角分配如下表：
如果不用转盘，请设计一种等效实验方案（要求写清楚替代工具和实验规则）。
答案：可采用“抓阄”或“抽签”等方法替代，在一个不透明的箱子里放进36个除标号不同外，其他均一样的乒乓球，其中一个标“特”，2个标“1”，3个标“2”，9个标“3”，其余不标数字，摸出标有哪个奖次的乒乓球，则获相应等级的奖品。
课时作业：
A等级
1．以上说法合理的是（　　）
（A）小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
（B）抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6
（C）某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖。
（D）在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51。
2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色其他外完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的数目很可能是（　　）
（A）6 （B）16 （C）18 （D）24
3．一个密闭不透明的盒子里有若干个黑球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计黑球的个数，小刚向其中放入8个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到白球，估计盒中大约有黑球（　　）
（A）28个　　　（B）30个　　　（C）36个　　　（D）42个
4．在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替（ ）
(A)两张扑克，“黑桃” 代替“正面”，“红桃” 代替“反面”
(B)两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球
(C)扔一枚图钉
(D)人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人
5．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽。不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25％，那么其中扑克牌花色是红心的大约有______________张。
7．一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2．根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有 个黑球．
8．如图5，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的概率分别是0.04,0.2,0.36，如果最大圆的半径是1米,那么黑色石子区域的总面积约为 米2（精确到0.01米2）。
9．一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是 ．
10．甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢。你认为此规则公平吗？并说明理由。_________________________________。
11．某篮球队在平时训练中，运动员甲的3分球命中率是70%，运动员乙的3分球命中率是50%. 在一场比赛中，甲投3分球4次，命中一次；乙投3分球4次，全部命中. 全场比赛即将结束，甲、乙两人所在球队还落后对方球队2分，但只有最后一次进攻机会了，若你是这个球队的教练，问：（1）最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的机会更大？（2）请简要说说你的理由．
12．王强与李刚两位同学在学习“概率”时．做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 6 9 5 8 16 10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率．
(2)王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．”请判断王强和李刚说法的对错．
(1) 如果王强与李刚各抛一枚骰子．求出现向上点数之和为3的倍数的概率．
13．有一个“摆地摊”的赌主，他拿出2个白球和2个黑球，放在一个袋子里，让人摸球中奖，只要交1元钱，就可以从袋里摸2个球，如果摸到的2个球都是白球，可以得到4元的回报，请计算一下中奖的机会，如果全校有一半学生每人摸了一回，赌主将从学生身上骗走多少钱？
14．六个面上分别标有1、1、2、3、3、5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图6所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标。按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标。
⑴掷这样的立方体可能得到的点有哪些？请把这些点在如下给定的平面直角坐标系中表示出来。
⑵已知小明前两次掷得的两个点确定一条直线l，且这条直线经过点P（4，7），那么他第三次掷得的点也在直线l上的概率是多少？
A等级参考答案
1.D2.B3.A4.C5.A6．9 7．48 8．1.88 　9. 　10. 不公平，因为出现偶数的概率为，而出现奇数的概率为。
11．解：解法一：
最后一个三分球由甲来投，因甲在平时训练中3分球的命中率较高。
解法二：（1）最后一个3分球由乙来投，因为在本场比赛中乙的命中率更高，投入最后一个球的可能性更大。
12．解：(1)出现向上点数为3的频率为，出现向上点数为5的频率为；
(2)都错 (3)画树状图或列表或简单说理(正确)，概率P＝＝。
13．解：机会是，即有6个同学摸球有一个学生可能会中奖，赌主从6个学生身上总共可获得6×1－4＝2(元)，若全校有x名学生，将被骗走元。
14．解：每掷一次可能得到6个点的坐标分别是（其中有两个点是重合的）：（1，1）、（1，1）、（2，3）、（3，2）、（3，5）、（5，3），通过描点和计算可以发现，经过（1，1），（2，3），（3，5）三点中的任意两点所确定的直线都经过点P（4，7），所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是＝。
B等级
1、如图，小明周末到公园走到十字路口处，记不清前面哪条路通往公园，
那么他能一次选对路的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、0
2、如图，两个用来摇奖的转盘，其中说法正确的是（ ）
A、转盘（1）中蓝色区域的面积比转盘（2）中的蓝色区域面积要大，所以摇转盘（1）比摇转盘（2）时，蓝色区域得奖的可能性大
B、两个转盘中指针指向蓝色区域的机会一样大
C、转盘（1）中，指针指向红色区域的概率是
D、在转盘（2）中只有红、黄、蓝三种颜色，指针指向每种颜色
的概率都是
3、把一个沙包丢在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完
全一样），那么沙包落在黑色格中的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，已经翻过的牌不能再翻，那么这位获奖的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图，高速公路上有A、B、C三个出口，A、B之间路程为a千米，B、C之间的路程为b千米，决定在A、C之间的任意一处增设一个服务区，则此服务区设在A、B之间的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ，对某次投篮而言，二人同时投中的概率是 。
7、某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有 个。
8、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的概率是，则摸出一个黄球的概率是 。
9、小明、小华用四张扑克牌玩游戏（方块2、黑桃4、红桃5、梅花5），他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回。
（1）若小明恰好抽到黑桃4。
①请绘制这种情况的树状图；②求小华抽的牌的牌面数字比4大的概率。
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之则小明负；若牌面数字一样，则不分胜负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由。
10.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据。
（1）计算并完成表格；
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该盘一次，你获得洗衣粉的概率约是多少？
（4）在该转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1°）
B等级答案：
1、B 2、B 3、B 4、B 5、D
6、甲 7、18 8、
9、（1）①图略 ② （2）这个游戏公平。因为小明和小华获胜的概率都是 10、（1）0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，估计频率将会接近0.7 （3）概率约是0.7 （4）
C等级
1、在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
2、已知函数y＝x－5，令x＝、1、、2、、3、、4、、5，可得函数图象上的十个点。在这十个点中随机取两个点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、手机号码是由11位数字组成的，一个人的手机号码中位于中间的数字是0的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、以上都不对
4、有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9，任取三条线段能构成三角形的概率为（ ）
A、0.2 B、0.3 C、0.5 D、0.6
5、已知一口袋中放有黑白两种颜色的球，其中黑色球6个，白色球若干，为了估算白球的个数，可以每次从中取出一球，共取50次，如果其中有白球45个，则可估算其中白球个数为（ ）个。
A、50 B、51 C、54 D、56
6、甲、乙两人按如下规则做游戏：桌面上的七只铅笔，每次可取一支或二支，由甲先取，最后取完铅笔者获胜。如果甲获胜的概率为1，则甲第一次应取走铅笔_______支；如果桌上铅笔多于七支，仍由甲先取，若乙获胜的概率为1，则桌上至少要有铅笔__________支。
7、传统型体育彩票规定：彩票上的7位数字与开奖开出的7位数字顺序号码完全一致，则中大奖五百万元。则购买1个号码中特等奖的概率是________；为了确保中大奖五百万元，每个号码2元，则至少花________钱购买彩票。
8、从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数，构成一个两位数，恰好这个两位数大于40，此事件发生的概率是________
9、如图，两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成4个相等的扇形，利用这两个转盘做游戏，同时转动两个转盘，转盘停止后，将指针所指的两个数字
相加，其和为非负数的概率为____________。
10、某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，在这个射手这次射击中，回答下列问题：（1）射中10环或9环的概率是________；（2）不够8环的概率是________。
11、有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别划有四个不同的几何图形（如图）。小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张。
（1）用树状图（或列表法）表示两次模牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率。
12、如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形。小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”。按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性。
13、如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光。
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于＿＿＿；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率。
14、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球。
（1）列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？
（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？
C等级答案：
1、D；2、B；3、C；4、B；5、54。6、1，9；7、；两千万元；8、；9、；10、（1）0.52；（2）0.29。11、（1）树状图（或列表）略；（2）；12、（1）小夏，小秋；13、（1）；（2）；14、（1）树状图（或列表）略；；（2）6。
A1
A2
B
A2
A1
B
B
A1
A2
第1次抽取
第2次抽取
图5
图6
小明家
公园
A
B
C
第1题图1
第1题图2
第12题图
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