27．2 相似三角形
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第二十六章二次函数
第20课时 §27．2 相似三角形
相似三角形是研究几何图形形状特征的重要的理论基础，在我们的日常生活中有着广泛的应用．熟练地掌握相似三角形的特征，正确地利用相似三角形的知识解决有关的实际问题是学好这些知识的关键，所以在学习时应注意把握好以下几个方面．
一、相似三角形的概念
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．其中对应边的比叫做相似比．也就是说，在△ABC和△A′B′C′中，若有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，，就有△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′，若，则k称为这两个三角形的相似比．相似比应讲究一个顺序性，如果△ABC∽△A′B′C′，它的相似比是k，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，特别地，当△ABC≌△A′B′C′时，此时的相似比k＝1，反过来，相似比k＝1，则△ABC≌△A′B′C′．
由此可知，相似三角形的本质特征是形状相同，但大小不一定相同．
书写两个三角形相似时，应注意和书写全等三角形一样，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找到相似三角形的对应角和对应边．
二、判定两个三角形相似的常用方法
识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三．相似三角形的性质及其在实际生活中的应用
相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方．
利用相似三角形这些重要性质可以解决实际应用问题．具体地，要把所学知识与具体的实物联系在一起，发挥丰富的想象能力，通过正确地画出几何图形，并将已知与未知融入其中，同时利用对应边成比例的知识列出关系式，构造出方程，这样可以降低处理问题的难度，从而使问题获解．
四、常见的相似三角形的基本图形
解相似三角形中的有关习题时，及时识别基本图形，从中寻找求解的条件是解决问题的关键．那么与相似三角形有关的常见的基本图形有哪些呢？一般来说有以下几种情形：
1．平行线型
平行线型的基本图形常见的有两种．一种是如图1的“A型”图，即有公共角的对边平行；另一种是如图2的“X型”图，即对顶角的对边平行，都可以推出两个三角形相似．就是说，如图1中，若DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；如图2中，若AB∥CD，则有△AOB∽△DOC．
2．相交线型
相交线型就是公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长相交，其中再有一对角相等，或其公共（或对顶）角的两边对应成比例，就可以判定两个三角形相似．
相交线型的基本图形常见的有下列几种：一是如图3，若∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED，则△ABC∽△ADE；二是如图4，若∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，则△ACD∽△ABC；三是如图5，若∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC；四是如图6，若∠A＝∠D或∠B＝∠C，则△AOB∽△DOC．
3．母子直角三角形型
母子直角三角形型就是说，直角三角形斜边上的高分得的两个小直角三角形与原直角三角形相似．即如图7，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，此时有∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，则Rt△ADC∽Rt△CDB∽Rt△ACB．
4．旋转型
旋转型的特点是将其中的一个图形旋转一定的角度，就可以得到平行线型或相交线型，如图8，若添加一定的条件则有△A′B′C′∽△ABC．
点击一：相似三角形的判定
（1）四种三角形相似的判定方法：
1．平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两条边与另一个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（2）识别和掌握常见的基本图形是寻找和发现相似三角形的有效途径之一
确定两个三角形相似的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，其次对下面几个常见的基本图形要熟悉，并且在解题过程中要注意从复杂的图形中观察出这些基本图形，从而使问题化难为易．如图1，相交线型．
图1
（1）因为∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，所以△ACD∽△ABC．
（2）因为∠A＝∠A，∠AED＝∠B，所以△AED∽△ABC．
（3）因为∠AOD＝∠COB，∠D＝∠B，所以△ADO∽△CBO．
（4）因为∠ACB＝９０°，CD⊥AB，所以△ADC∽△ACB∽△CDB．
（5）因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以△BDH∽△BEC∽△AEH∽△ADC．
如图2、图3，平行线型
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．
如图4，旋转型△ABC∽△A′B′C′．
另外如图5，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，可知△ABC∽△CBD∽△ACD．根据相似三角形对应边成比例得出：CD 2＝BD·AD，BC 2＝BD·AB，AC 2＝AD·AB，熟悉这几个式子，对于直角三角形中的有关计算可方便很多．
图5
针对练习1：
1.如图6，是平行四边形，则图中与相似的三角形共有（ ）
(A)１个 (B)２个
(C)３个 (D)4个
答案：B
2．在△ABC中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要△ABC使与△DEF相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
答案：答案不唯一，如∠A=∠D；BC=10，EF=5．
3．如图3，已知△ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作∠ADE，使∠ADE的另一边与AB相交于点E，且△ADE∽△ABC，其中AD的对应边为AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
答案：作∠ADE=∠B即可．
4．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°，如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE
的长．
答案：（1）∵∠ADC=45°+∠EDC=45°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD，又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCE；（2）或1．
点击二：相似三角形的性质
（1） 相似三角形对应边成比例，对应角相等；
（2） 相似三角形周长比等于相似比
（3） 相似多边形周长比等于相似比
（4） 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
（5） 相似三角形面积比等于相似比的平方
（6） 相似多边形面积比等于相似比的平方
针对练习2：
1.如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ）
A．4:5 B．16：25 C．196：225 D．256：625
答案：D
2. 如图所示，D为AB边上一点，AD∶DB=3∶4，DE∥AC交BC于点E，则S△BDE∶S△AEC等于（ ）
A．16∶21 B．3∶7 C．4∶7 D．4∶3
答案：A
3.把一个三角形放大成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么，面积扩大为原来的 倍；如果面积扩大为原来的10倍，那么，边长扩大为原来的 倍．
答案：100，
4.相似多边形周长的比等于 ，面积的比等于 ．
答案：相似比；相似比的平方
5. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且S△ADE= S梯形DFGE= S梯形FBCG，试求DE∶FG∶BC．
答案：１∶∶
6.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长的比．如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．
答案：１∶３，54cm2
7.. 如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.
答案：6m
8.一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1米，从桶盖小口斜伸入桶内，一端到底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8米，则桶内油面高度是多少？（提示：见图）
答案：0.64米
9. 小玲用下面的方法来测量教学大楼AB的高度∶ 如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米
答案：13.44米
10. 如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE=2，BC=5，S△ABC=20，求S△ADE．
答案：
11.两个相似三角形面积的比为9∶16，其中小三角形的周长为36cm，求另一个三角形的周长
答案：48
12. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，△ABE、△ACF都是等边三角形，则等于（ ）
A．AB∶AC B．AD2∶DC2
C．BD2∶DC2 D．AC2∶AB2
答案：B
13. 在△ABC中，BC=15cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则这个三角形的最长边是（ ）
A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm
答案：B
14. 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们的面积的比是（ ）
A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶4
答案：D
15. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD=0．55m，则梯子的长为 ．
答案：4.4m
16.. 两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
(1)若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为 和 ；
(2)若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为 和 ．
答案：（1）80cm，40cm；(2）560cm2，140cm2
点击三： 利用相似解决实际问题
针对练习2:
1.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
Ａ．米 Ｂ．7米
Ｃ．8米 Ｄ．9米
答案：C
2.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 （ ）
A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米
答案：C
3.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0. 5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
答案：A
4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
答案：B
5.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
答案：C
6.已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）
A．10cm，25cm，30cm B．10cm，30cm，36cm或10cm，12cm，30cm
C．10cm，30cm，36cm D．10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm
答案：D
类型之一：相似三角形的判定
例1．如图7，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F．证明:DE 2＝BE·CE．
图7
解析：由于DE 2＝BE·CE中的三条线段在同一条直线上，因此，要考虑比例式中哪一条线段可用它的等量代换．由于EF垂直平分AD，于是有AE＝DE，故只需要说明AE 2＝BE·CE，即要说明，由此可考虑说明△AEB∽△CEA．
解：连结AE．
因为EF垂直平分AD，所以AE＝DE，∠DAE＝∠4．
因为∠3＝∠DAE－∠2，∠1＝∠2，所以∠3＝∠4－∠1．∵∠B＝∠4－∠1，
所以∠B＝∠3．又∠BEA＝∠AEC，所以△BEA∽△AEC．
所以．则AE 2＝BE·CE．所以DE2＝BE·CE．
点评：说明比例式或等积式的一般方法是：（1）由相似三角形或平行线直接去得；（2）寻找“过渡比”；（3）把要说明的比例式中的某线段用它的等量代换后，再说明这个比例式．
例2．如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．DE⊥AC于E，F为DE的中点，证明：AF⊥BE．
图8
解析：由等腰三角形的性质知∠ADB＝90°，要说明AF⊥BE，只需说明∠1＝∠2，即要说明△AFD∽△BEC．易知∠ADF＝∠BCE，下面只要说明明，这是解决本题的关键．
解：因为AB＝AC，AD是中线，所以AD⊥BC，所以∠1＋∠3＝90°．
因为DE⊥AC，所以∠BCE＝∠ADF且△DAC∽△DFC．
所以，即．则．
因为F为DE的中点，所以DF＝DE，2DC＝BC．
所以，且∠C＝∠ADF．所以△AFD∽△BEC，∴∠1＝∠2．
则∠2＋∠4＝90°．所以AF⊥BE．
类型之二：相似三角形的性质
例3：如图1，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长．
解析：（1）应把三角形与四边形面积关系转换成两个相似三角形对应边关系；（2）可通过设CE为x，根据周长相等列方程解答．
解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，∴S△ECF:S△ACB＝1:2
又∵EF∥AB ∴△ECF∽△ACB，
∴且AC＝4，∴CE＝．
（2）设CE的长为x，
∵△ECF∽△ACB， ∴ ， ∴CF=．
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得=
解得，∴ CE的长为．
点评：解答此类问题应充分应用相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．涉及相似图形面积问题，往往转换成对应边的比来解答．
类型之三：相似三角形在实际问题中的应用
例4： 某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米，AE=1500米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？
图1
解析： 要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于的方向铺设．要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度．
解答：(1)如图1，过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．
（2）由△ABE∽△CFE，得，
所以 CF=(米)．
由△BHE∽△CFE，得，所以BH=(米)，
由△ABE∽△DGA，得，所以DG=(米)，
所以B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000(元)，300×800=240000(元)，1020×800=816000(元)．
例5：如图2，小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！，我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．
图2
解析：本题是一道和生活实际问题有关的试题，设计新颖，具有创新和探索性．我们可以利用相似三角形的有关知识解决．
解答：（1）小胖的话不对． 小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图3所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
因为OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，所以△OBP∽△ABC，所以，
又因为此跷跷板是标准跷跷板，BO=OA，，
因为AC=1米，所以OP=0.5米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．
如图4所示，BD=a米，AE=a米 图3
因为BO=OA，所以BO+a=OA+a，即DO=OE．所以，
同理可得△DOP∽△DEF．所以，由OP=0.5米，
得EF=1米． 图4
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高．
（2）方案一：如图5所示，保持BO长度不变．将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半．使AE=OA，则．
由得所以EF=1.25米．
图5
方案二：如图6所示，
只将支架升高0.125米．
因为 ，
△B′O′P′∽△B′A′C′，
又O′P′=0.5+0.125=0.625米．
所以，
所以A′C′=1.25米． 图6
例6 ：如图7，在水平的桌面上两个“E”，当点P1、P2、0在一直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．
（1）图中b1、b2、l1、l2满足怎样的关系式？
（2）若b1=3．2cm，b2=2cm，①号“E”的测试距离l1=8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？
图7
解析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型．从已知图形可得P1D1//P2D2，由平行可得△P1D10∽△P2D20，借助相似三角形的特征列出比例式可解决问题．
解答：（1）因为P1D1//P2D2，所以△P1D10∽△P2D20，所以，即
（2）因为，且b1=3.2cm，b2=2cm，l1=8m，
所以（注：可不进行单位换算），l2=5cm．
即②号“E”的测试距离是l2=5cm．
例7：如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米
解析：在同一时刻，物长与影长成正比，从而有BC﹕AC＝EF﹕DF，在由AC＝0.5米，DF＝15米，BC＝1.6米，可求得大楼的高度.
解：根据题意画出图形，如图2所示，因在同一时刻，物长与影长成正比，所以BC﹕AC＝EF﹕DF，所以1.6﹕0.5＝EF﹕15，所以EF＝48.
答：他所住楼房的高度为48米.
例8：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
分析：本题是一道设计新颖的实际问题，具有创新性和探索性；解决此类问题的关键是从实际问题中画出符合题意的数学图形：（1）根据实际问题画出图形如图3（1），只要求出QH的长度，然后判断是否大于2米即可解决问题.（2）如图3（2），由QH＝3.6米，并借助相似三角形的性质可求得支点A在PQ上的位置.
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，
∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米）
∴QH＝2.4＞2（米）．
故狮子能将公鸡送到吊环上．
（2）当支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上
如图，△PAB∽△PQH，
∴QH＝3AH＝3.6（米）.
例9：如图5所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
（1）请你在图5中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM.
分析 这是一道有关影子问题，由此我们可以联想到平行光线，从而得到相似三角形，这样即可使问题获解.
解（1）如图6所示，CP为视线，点C为所求位置.
（2）因为AB∥PQ，MN⊥AB于M，所以∠CMD＝∠PND＝90°.
又∠CDM＝∠PDN，所以△CDM∽△PDN，所以＝，
而MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，即＝，
所以CM＝16（m），即点C到胜利街口的距离CM为16m.
一、选择题
1．如图1,在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=30 ，
∠C=120 ，则∠A= （ ）.C
（A）60 （B）45 （C） 30 （D） 20
图1
2．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角 （ ）.
（A）都扩大为原来的5倍 （B）都扩大为原来的10倍
（C）都扩大为原来的25倍 （D）都与原来相等
3．如图2，点E是□ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，AC是□ABCD的对角线，则图中相似三角形共有 （ ）.
（A）2对 （B）3对 （C）4对 （D）5对
图2
4．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（ ）．
（A）7.5 （B）6 （C）5或6 （D）5或6或7.5
5．如图3，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有（ ）
（A）4对（B）3对 （C）2对 （D）1对
图3
6．如图4，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，E分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上.B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼高BE为15米，甲楼高AD为（ ）米(小明身高忽略不计).
（A）40 （B）30 （C）15 （D）20
图4
二、填空题
7．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．
8．如图5，AD=DF=FB，DE//FG//BC，且把△ABC分成面积为S1、S2、S3的三部分，则S1：S2：S3=_______. .
图5 图6
9．如图6所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为 米．（不计宣传栏的厚度）6
10．如图7，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在_______.
图7
三、解答题
11．如图8,在ABC中,AD=DB,∠1=∠2,试说明△ABC∽△EAD.
图8
12．如图9,已知△ABC中，点F是BC的中点，DE//BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由.
图9
13．如图10，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED. 若BC=12，DC=7，BE∶EC=1∶2，求AB的长.
图10
14．如图11，小明画了一个锐角△ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形，他说的对吗？请你判定一下，如果正确，就其中的一对进行说理.
图11
15．如图12，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）
表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
图12
16．如图13,小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！,我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
图13
答案：
一、1．C 2.B 3.D 4. D（提示：题目中并未说明边长为2的边与△ABC的哪一边是对应边，因此要分类讨论，分三种情况分别求出△DEF的另两边，可得△DEF的周长为5或6或7.5，故选D）． 4.D 5.A 6.B
二、7．5，20； 8.1:3:5； 9. 6； 10.P3处
三、11. 因为AD=DB,所以∠B=∠BAD,
又因为∠AED=∠B+∠2,∠BAC=∠BAD+∠1,∠1=∠2,所以∠AED=∠BAC,
所以△ABC∽△EAD..
12. DG=GE.
因为DE//BC，所以∠ADG=∠B，∠AGD=∠AFB，所以△ADG∽△ABF，所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
同样△AGE∽△AFC，所以，所以，又F是BC的中点，所以DG=GE.
13. 因为AB∥DC，且∠B=90°，所以∠AEB+∠BAE=90°及∠C=90°.
所以∠AEB+∠CED=90°. 故∠BAE=∠CED. 又 ∠B=∠C =90°
所以△EAB∽△DEC. 所以.
又BE∶EC=1∶2，且BC=12及DC=7， 故. 所以
14. 小明的说法不正确，因为图形中存在着四对相似三角形.它们分别是：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP.
如说明△CBE∽△CAD的理由是：
因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠CEB=∠CDA=90°，
又∠C=∠C，
所以△CBE∽△CAD.
15. 假设存在这样的t使两个三角形相似.
（1）当时，△QAP∽△ABC，此时，解得t=1.2；
（2）当时，△PAQ∽△ABC，此时，解得t=3.
所以当t=1.2或t=3时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
16. 解：（1）小胖的话不对． 小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1
米高”，情形如图1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
因为OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，所以△OBP∽△ABC，所以,
又因为此跷跷板是标准跷跷板，BO=OA，，
因为AC=1米，所以OP=0.5米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米． 图1
如图2所示，BD=a米，AE=a米
因为BO=OA，所以BO+a=OA+a，即DO=OE．所以，
同理可得△DOP∽△DEF．所以，由OP=0.5米，
得EF=1米.
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高．
一、认认真真，书写快乐
1．已知两个相似三角形的面积比为4∶9，那么这两个三角形对应边的比为 ．
2．厨房角柜的台面是三角形（如图1），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ．
3．如图2，铁道口栏杆的短臂OB长为1.2m，长臂OA长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m．
4．为了测量出高80cm的油桶里油面的高度，某同学利用一根100cm长的细木棒，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端到小口．抽出木棒，量得棒上粘油部分的长为80cm，则桶内油面的高为 cm．
二、仔仔细细，记录自信
5．下列命题中，不正确的命题是（ ）
A．两个三角形的两角对应相等，则这两个三角形相似
B．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
C．两个三角形的两边对应成比例，则这两个三角形相似
D．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似
6．如图3，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB
C．△ABE∽△CBD D．△BDC∽△BD C′
7．已知：如图4，DE∥BC，EF∥AB，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.5
三、平心静气，展示智慧
9．如图5，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长是多少？
10．如图6，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中共有相似三角形多少对？
（2）探究DB、BC、CE之间的关系，并说明理由．
四、拓广探索，游刃有余
11．王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
12．某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上（如图7所示），它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
参考答案：
一、1．2：3 2． 3．4 4．64
二、5．C 6．C 7．B 8．D
三、9．正方形零件的边长是48mm．
10．解：（1）图中共有相似三角形3对；
（2）．理由略．
四、11．解：由于本题对这个等腰三角形没有明确给出是锐角三角形还是钝角三角形，因此解答时，应进行分类讨论．
（1）当等腰三角形为锐角三角形时，．
（2）当等腰三角形为钝角三角形时，．
12．简解：（1）过分别作的垂线段，，，分别交于，，，即为所求的造价最低的管道路线，图形如图所示．
（2）三厂所建自来水管道的最低造价分别是
（元），（元），
（元）．
1．如图1，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．C
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图2所示）．已知桌面的直径米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）．B
Ａ．平方米 Ｂ．平方米 Ｃ．平方米 Ｄ．平方米
3．如图3，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点．若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为 ．3
4．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米．3858千米
5．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图4，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．10米
6．汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯时，为避免上楼时墙角碰头，设计墙角到楼梯的竖直距离为1.75m．他量得客厅高，楼梯洞口宽，阁楼阳台宽．请你帮助汪老师解决下列问题：
（1）要使墙角到楼梯的竖直距离为1.75m，楼梯底端到墙角的距离是多少米？
（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？
【解】（1）根据题意有，，又，
．
，得（m），．
（2）设楼梯应建个台阶，则
解得．楼梯应建15个台阶．
7.如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形，并说明理由．
解：
答案：解：△EAF∽△EBC（或△CDF∽△EBC，或△CDF∽△EAF）．
理由如下：
在ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠B．
又∵∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBC．
8.如图，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG
和 FB的比例中项吗？为什么？
答案：解：（1）的数量关系是．
理由如下：．
又，
（SAS）．
．
（2）线段是线段和的比例中项．
理由如下：，．
．
又，
．
．
即线段是线段和的比例中项．
9.如图，在中，的延长线与的延长线相交于点，点在上，且．不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形（不包括） ；
（2）找出三对相似三角形（不包括全等三角形），分别是 、 、 ；
（3）找出两对全等三角形，分别是 、 ，并选出其中一对进行证明．
答案：（1）、、（写出其中一个即可）．
（2）、HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown、、、（写出其中三对即可）．
（3）、、、
（写出其中的两对即可）．
选择．
证明：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
又，
．
10. 如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由．
答案：（1）设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；
（2）设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=，同样有（cm）,x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形．
课时作业：
A等级
1.如图，中，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，两点分别在边上，且与不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使．（不再添加其他的字母和线段）
答案：或HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown或
2.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA＝4，OD＝6，则与的周长比是 ．
答案：
3.如图，D、E分别是的边AB、AC上的点，则使∽的条件是 ．
答案：，或，或
4.如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
答案：或或
5.如图，D、E两点分别在△ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．
答案：∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）
6.如图，分别是的边上的点，，，则 ．
答案：
7.将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：
8.如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．
答案：
9.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ．
答案：
10.如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 对
答案：6
11.在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 ．
答案： ； 9∶16 或 ； 9∶25
或 ； 16∶25
12.如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
答案：10.5
13.如图，点D、E分别是AB、AC边上的中点，若，则= ．
答案：3
B等级
1.如图，在中，，，点为的中点，于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
2.已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54
答案：C
3.如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
答案：B
5.如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△； ②△∽△； ③； ④其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案：B
6.如图，为的直径，交于点，交于点，，．现给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案：C
7.在平面上，四边形的对角线与相交于，且满足．有下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4）．若只增加其中的一个条件，就一定能使成立，这样的条件可以是（ ）
A．（2）、（4） B．（2） C．（3）、（4） D．（4）
答案：D
8.如图，分别为正方形的边，，，上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：A
9.如图，中，，，，是上一点，作于，于，设，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
10.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：C
C等级
1.如图，一落地晾衣架两撑杆的公共点为，cm，cm．若撑杆下端点所在直线平行于上端点所在直线，且cm，则 cm．
答案：60
2.上小学五年级的小丽看见上初中的哥哥小勇用测树的影长和自己的影长的方法来测树高，她也学着哥哥的样子在同一时刻测得树的影长为5米，自己的影长为1米．要求得树高，还应测得 ．
答案：自己的身高
3.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约
为 m．
答案：4.8
4.如图，四边形是平行四边形．O是对角线的中点，过点的直线
分别交AB、DC于点、，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，
请选出其中一对加以证明．
答案：解：（1） AEH与DFH．
（或AEH与BEG， 或BEG与CFG ，或DFH与CFG）
（2）OE=OF．
证明：四边形是平行四边形，
∥CD，
，
，
△△，
．
5.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N.
求证：（1）；
（2）
答案：
证明：（1）四边形和四边形都是正方形
（2）由（1）得
∴AMN∽CDN
6.如图，内接于，是的边上的高，是的直径，连接， 与相似吗？请证明你的结论．
答案：解： △ABE与△ADC相似．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°
∵∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC
又∵∠AEB=∠ACD, ∴△ABE∽△ADC
7.如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：解法一：矩形中，，，
．
，，．
．
解法二：矩形中，．
，，．
8.把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
问AF与BE是否垂直？并说明理由．
答案：AF⊥BE．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴ ＝tan60°．
∴ △DCA∽△ECB．
∴ ∠DAC＝∠EBC．
∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．
∴ ∠BFD=90°．
∴ AF⊥BE．
9.如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD的中点，CE的延长线交AB于F，求AF∶AB的值．
答案：解：过点A作AM∥BC交CF的延长线于M．（如右图）
∴∠M＝∠ECD
∵AE＝DE，∠AEM＝∠DEC．
∴△AEM≌△DEC
∴AM＝CD＝BC
∵AM∥BC
∴△AMF∽△BCF
∴＝
∴＝，即BF＝2AF
∴AB＝BF+AF＝3AF
∴AF∶AB＝1∶3
10. 已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
答案：解：（1）取中点，联结，
为的中点，，．
又，．
，得；
（2）由已知得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
解得，即线段的长为；
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得；
②当时，，．
．又，．
，即，得．
解得，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown（舍去）．即线段的长为2．
综上所述，所求线段的长为8或2．
Ａ
Ｂ
C
D
E
F
图6
图3
A
B
D
C
E
图4
图1
图2
A
B
C
D
E
F
图3
3（1）
3（2）
图6
步行街
图5
胜利街
光明巷
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
图1
图2
A
B
C
F
E
D
图3
图3
上海
台湾
香港
5.4cm
3.6cm
3cm
2米
9.6米
图4
A
B
C
D
E
F
A
D
H
E
M
C
F
G
B
1
2
O
A
B
C
D
E
D
A
C
B
A
E
C
D
B
E
C
D
A
F
B
A
G
E
H
F
J
I
B
C
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
A
E
C
B
D
A
B
C
M
N
A．
B．
C．
D．
A
B
C
A
B
C
E
D
O
A
D
C
P
B
E
6米
4米
h米
0.8米
A
C
D
E
B
O
A
B
D
C
E
F
A
B
D
C
E
F
F
E
C
D
B
A
M
B
A
D
M
E
C
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A
D
C
备用图
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第二十六章二次函数
第20课时 §27．2 相似三角形
相似三角形是研究几何图形形状特征的重要的理论基础，在我们的日常生活中有着广泛的应用．熟练地掌握相似三角形的特征，正确地利用相似三角形的知识解决有关的实际问题是学好这些知识的关键，所以在学习时应注意把握好以下几个方面．
一、相似三角形的概念
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．其中对应边的比叫做相似比．也就是说，在△ABC和△A′B′C′中，若有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，，就有△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，读作△ABC相似于△A′B′C′，若，则k称为这两个三角形的相似比．相似比应讲究一个顺序性，如果△ABC∽△A′B′C′，它的相似比是k，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，特别地，当△ABC≌△A′B′C′时，此时的相似比k＝1，反过来，相似比k＝1，则△ABC≌△A′B′C′．
由此可知，相似三角形的本质特征是形状相同，但大小不一定相同．
书写两个三角形相似时，应注意和书写全等三角形一样，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找到相似三角形的对应角和对应边．
二、判定两个三角形相似的常用方法
识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三．相似三角形的性质及其在实际生活中的应用
相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方．
利用相似三角形这些重要性质可以解决实际应用问题．具体地，要把所学知识与具体的实物联系在一起，发挥丰富的想象能力，通过正确地画出几何图形，并将已知与未知融入其中，同时利用对应边成比例的知识列出关系式，构造出方程，这样可以降低处理问题的难度，从而使问题获解．
四、常见的相似三角形的基本图形
解相似三角形中的有关习题时，及时识别基本图形，从中寻找求解的条件是解决问题的关键．那么与相似三角形有关的常见的基本图形有哪些呢？一般来说有以下几种情形：
1．平行线型
平行线型的基本图形常见的有两种．一种是如图1的“A型”图，即有公共角的对边平行；另一种是如图2的“X型”图，即对顶角的对边平行，都可以推出两个三角形相似．就是说，如图1中，若DE∥BC，则有△ADE∽△ABC；如图2中，若AB∥CD，则有△AOB∽△DOC．
2．相交线型
相交线型就是公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长相交，其中再有一对角相等，或其公共（或对顶）角的两边对应成比例，就可以判定两个三角形相似．
相交线型的基本图形常见的有下列几种：一是如图3，若∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED，则△ABC∽△ADE；二是如图4，若∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，则△ACD∽△ABC；三是如图5，若∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC；四是如图6，若∠A＝∠D或∠B＝∠C，则△AOB∽△DOC．
3．母子直角三角形型
母子直角三角形型就是说，直角三角形斜边上的高分得的两个小直角三角形与原直角三角形相似．即如图7，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，此时有∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，则Rt△ADC∽Rt△CDB∽Rt△ACB．
4．旋转型
旋转型的特点是将其中的一个图形旋转一定的角度，就可以得到平行线型或相交线型，如图8，若添加一定的条件则有△A′B′C′∽△ABC．
点击一：相似三角形的判定
（1）四种三角形相似的判定方法：
1．平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．如果一个三角形的两条边与另一个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（2）识别和掌握常见的基本图形是寻找和发现相似三角形的有效途径之一
确定两个三角形相似的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，其次对下面几个常见的基本图形要熟悉，并且在解题过程中要注意从复杂的图形中观察出这些基本图形，从而使问题化难为易．如图1，相交线型．
图1
（1）因为∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，所以△ACD∽△ABC．
（2）因为∠A＝∠A，∠AED＝∠B，所以△AED∽△ABC．
（3）因为∠AOD＝∠COB，∠D＝∠B，所以△ADO∽△CBO．
（4）因为∠ACB＝９０°，CD⊥AB，所以△ADC∽△ACB∽△CDB．
（5）因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以△BDH∽△BEC∽△AEH∽△ADC．
如图2、图3，平行线型
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC．
如图4，旋转型△ABC∽△A′B′C′．
另外如图5，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，可知△ABC∽△CBD∽△ACD．根据相似三角形对应边成比例得出：CD 2＝BD·AD，BC 2＝BD·AB，AC 2＝AD·AB，熟悉这几个式子，对于直角三角形中的有关计算可方便很多．
图5
针对练习1：
1.如图6，是平行四边形，则图中与相似的三角形共有（ ）
(A)１个 (B)２个
(C)３个 (D)4个
答案：B
2．在△ABC中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要△ABC使与△DEF相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
答案：答案不唯一，如∠A=∠D；BC=10，EF=5．
3．如图3，已知△ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作∠ADE，使∠ADE的另一边与AB相交于点E，且△ADE∽△ABC，其中AD的对应边为AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
答案：作∠ADE=∠B即可．
4．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°，如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE
的长．
答案：（1）∵∠ADC=45°+∠EDC=45°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD，又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABD∽△DCE；（2）或1．
点击二：相似三角形的性质
（1） 相似三角形对应边成比例，对应角相等；
（2） 相似三角形周长比等于相似比
（3） 相似多边形周长比等于相似比
（4） 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
（5） 相似三角形面积比等于相似比的平方
（6） 相似多边形面积比等于相似比的平方
针对练习2：
1.如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ）
A．4:5 B．16：25 C．196：225 D．256：625
答案：D
2. 如图所示，D为AB边上一点，AD∶DB=3∶4，DE∥AC交BC于点E，则S△BDE∶S△AEC等于（ ）
A．16∶21 B．3∶7 C．4∶7 D．4∶3
答案：A
3.把一个三角形放大成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么，面积扩大为原来的 倍；如果面积扩大为原来的10倍，那么，边长扩大为原来的 倍．
答案：100，
4.相似多边形周长的比等于 ，面积的比等于 ．
答案：相似比；相似比的平方
5. 如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且S△ADE= S梯形DFGE= S梯形FBCG，试求DE∶FG∶BC．
答案：１∶∶
6.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长的比．如果S△AEF=6cm2，求S△CDF．
答案：１∶３，54cm2
7.. 如图，两根电线杆相距Lm，分别在高10m的A处和15m的C处用钢索将两杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.
答案：6m
8.一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1米，从桶盖小口斜伸入桶内，一端到底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8米，则桶内油面高度是多少？（提示：见图）
答案：0.64米
9. 小玲用下面的方法来测量教学大楼AB的高度∶ 如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米
答案：13.44米
10. 如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE=2，BC=5，S△ABC=20，求S△ADE．
答案：
11.两个相似三角形面积的比为9∶16，其中小三角形的周长为36cm，求另一个三角形的周长
答案：48
12. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，△ABE、△ACF都是等边三角形，则等于（ ）
A．AB∶AC B．AD2∶DC2
C．BD2∶DC2 D．AC2∶AB2
答案：B
13. 在△ABC中，BC=15cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则这个三角形的最长边是（ ）
A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm
答案：B
14. 如果两个等腰直角三角形斜边的比是1∶2，那么它们的面积的比是（ ）
A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶4
答案：D
15. 如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD=0．55m，则梯子的长为 ．
答案：4.4m
16.. 两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm．
(1)若它们的周长和是120cm，则这两个三角形的周长分别为 和 ；
(2)若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为 和 ．
答案：（1）80cm，40cm；(2）560cm2，140cm2
点击三： 利用相似解决实际问题
针对练习2:
1.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（ ）
Ａ．米 Ｂ．7米
Ｃ．8米 Ｄ．9米
答案：C
2.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 （ ）
A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米
答案：C
3.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A．0. 5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
答案：A
4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
答案：B
5.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
答案：C
6.已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似．要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）
A．10cm，25cm，30cm B．10cm，30cm，36cm或10cm，12cm，30cm
C．10cm，30cm，36cm D．10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm
答案：D
类型之一：相似三角形的判定
例1．如图7，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F．证明:DE 2＝BE·CE．
图7
解析：由于DE 2＝BE·CE中的三条线段在同一条直线上，因此，要考虑比例式中哪一条线段可用它的等量代换．由于EF垂直平分AD，于是有AE＝DE，故只需要说明AE 2＝BE·CE，即要说明，由此可考虑说明△AEB∽△CEA．
解：连结AE．
因为EF垂直平分AD，所以AE＝DE，∠DAE＝∠4．
因为∠3＝∠DAE－∠2，∠1＝∠2，所以∠3＝∠4－∠1．∵∠B＝∠4－∠1，
所以∠B＝∠3．又∠BEA＝∠AEC，所以△BEA∽△AEC．
所以．则AE 2＝BE·CE．所以DE2＝BE·CE．
点评：说明比例式或等积式的一般方法是：（1）由相似三角形或平行线直接去得；（2）寻找“过渡比”；（3）把要说明的比例式中的某线段用它的等量代换后，再说明这个比例式．
例2．如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．DE⊥AC于E，F为DE的中点，证明：AF⊥BE．
图8
解析：由等腰三角形的性质知∠ADB＝90°，要说明AF⊥BE，只需说明∠1＝∠2，即要说明△AFD∽△BEC．易知∠ADF＝∠BCE，下面只要说明明，这是解决本题的关键．
解：因为AB＝AC，AD是中线，所以AD⊥BC，所以∠1＋∠3＝90°．
因为DE⊥AC，所以∠BCE＝∠ADF且△DAC∽△DFC．
所以，即．则．
因为F为DE的中点，所以DF＝DE，2DC＝BC．
所以，且∠C＝∠ADF．所以△AFD∽△BEC，∴∠1＝∠2．
则∠2＋∠4＝90°．所以AF⊥BE．
类型之二：相似三角形的性质
例3：如图1，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长．
解析：（1）应把三角形与四边形面积关系转换成两个相似三角形对应边关系；（2）可通过设CE为x，根据周长相等列方程解答．
解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，∴S△ECF:S△ACB＝1:2
又∵EF∥AB ∴△ECF∽△ACB，
∴且AC＝4，∴CE＝．
（2）设CE的长为x，
∵△ECF∽△ACB， ∴ ， ∴CF=．
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得=
解得，∴ CE的长为．
点评：解答此类问题应充分应用相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质．涉及相似图形面积问题，往往转换成对应边的比来解答．
类型之三：相似三角形在实际问题中的应用
例4： 某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米，AE=1500米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米．若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？
图1
解析： 要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于的方向铺设．要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度．
解答：(1)如图1，过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．
（2）由△ABE∽△CFE，得，
所以 CF=(米)．
由△BHE∽△CFE，得，所以BH=(米)，
由△ABE∽△DGA，得，所以DG=(米)，
所以B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000(元)，300×800=240000(元)，1020×800=816000(元)．
例5：如图2，小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！，我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．
图2
解析：本题是一道和生活实际问题有关的试题，设计新颖，具有创新和探索性．我们可以利用相似三角形的有关知识解决．
解答：（1）小胖的话不对． 小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图3所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
因为OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，所以△OBP∽△ABC，所以，
又因为此跷跷板是标准跷跷板，BO=OA，，
因为AC=1米，所以OP=0.5米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．
如图4所示，BD=a米，AE=a米 图3
因为BO=OA，所以BO+a=OA+a，即DO=OE．所以，
同理可得△DOP∽△DEF．所以，由OP=0.5米，
得EF=1米． 图4
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高．
（2）方案一：如图5所示，保持BO长度不变．将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半．使AE=OA，则．
由得所以EF=1.25米．
图5
方案二：如图6所示，
只将支架升高0.125米．
因为 ，
△B′O′P′∽△B′A′C′，
又O′P′=0.5+0.125=0.625米．
所以，
所以A′C′=1.25米． 图6
例6 ：如图7，在水平的桌面上两个“E”，当点P1、P2、0在一直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．
（1）图中b1、b2、l1、l2满足怎样的关系式？
（2）若b1=3．2cm，b2=2cm，①号“E”的测试距离l1=8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？
图7
解析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型．从已知图形可得P1D1//P2D2，由平行可得△P1D10∽△P2D20，借助相似三角形的特征列出比例式可解决问题．
解答：（1）因为P1D1//P2D2，所以△P1D10∽△P2D20，所以，即
（2）因为，且b1=3.2cm，b2=2cm，l1=8m，
所以（注：可不进行单位换算），l2=5cm．
即②号“E”的测试距离是l2=5cm．
例7：如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为 米
解析：在同一时刻，物长与影长成正比，从而有BC﹕AC＝EF﹕DF，在由AC＝0.5米，DF＝15米，BC＝1.6米，可求得大楼的高度.
解：根据题意画出图形，如图2所示，因在同一时刻，物长与影长成正比，所以BC﹕AC＝EF﹕DF，所以1.6﹕0.5＝EF﹕15，所以EF＝48.
答：他所住楼房的高度为48米.
例8：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
分析：本题是一道设计新颖的实际问题，具有创新性和探索性；解决此类问题的关键是从实际问题中画出符合题意的数学图形：（1）根据实际问题画出图形如图3（1），只要求出QH的长度，然后判断是否大于2米即可解决问题.（2）如图3（2），由QH＝3.6米，并借助相似三角形的性质可求得支点A在PQ上的位置.
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，
∵AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米）
∴QH＝2.4＞2（米）．
故狮子能将公鸡送到吊环上．
（2）当支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上
如图，△PAB∽△PQH，
∴QH＝3AH＝3.6（米）.
例9：如图5所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N.小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
（1）请你在图5中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM.
分析 这是一道有关影子问题，由此我们可以联想到平行光线，从而得到相似三角形，这样即可使问题获解.
解（1）如图6所示，CP为视线，点C为所求位置.
（2）因为AB∥PQ，MN⊥AB于M，所以∠CMD＝∠PND＝90°.
又∠CDM＝∠PDN，所以△CDM∽△PDN，所以＝，
而MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m，即＝，
所以CM＝16（m），即点C到胜利街口的距离CM为16m.
一、选择题
1．如图1,在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=30 ，
∠C=120 ，则∠A= （ ）.C
（A）60 （B）45 （C） 30 （D） 20
图1
2．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角 （ ）.
（A）都扩大为原来的5倍 （B）都扩大为原来的10倍
（C）都扩大为原来的25倍 （D）都与原来相等
3．如图2，点E是□ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，AC是□ABCD的对角线，则图中相似三角形共有 （ ）.
（A）2对 （B）3对 （C）4对 （D）5对
图2
4．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（ ）．
（A）7.5 （B）6 （C）5或6 （D）5或6或7.5
5．如图3，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有（ ）
（A）4对（B）3对 （C）2对 （D）1对
图3
6．如图4，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E.C，E，A三点在同一条直线上，点B，E分别在点E，A的正下方且D，B，C三点在同一条直线上.B，C相距20米，D，C相距40米，乙楼高BE为15米，甲楼高AD为（ ）米(小明身高忽略不计).
（A）40 （B）30 （C）15 （D）20
图4
二、填空题
7．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是 和 ．
8．如图5，AD=DF=FB，DE//FG//BC，且把△ABC分成面积为S1、S2、S3的三部分，则S1：S2：S3=_______. .
图5 图6
9．如图6所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为 米．（不计宣传栏的厚度）6
10．如图7，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在_______.
图7
三、解答题
11．如图8,在ABC中,AD=DB,∠1=∠2,试说明△ABC∽△EAD.
图8
12．如图9,已知△ABC中，点F是BC的中点，DE//BC，则DG和GE有怎样的关系？请你说明理由.
图9
13．如图10，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED. 若BC=12，DC=7，BE∶EC=1∶2，求AB的长.
图10
14．如图11，小明画了一个锐角△ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形，他说的对吗？请你判定一下，如果正确，就其中的一对进行说理.
图11
15．如图12，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）
表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
图12
16．如图13,小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！,我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
图13
答案：
一、1．C 2.B 3.D 4. D（提示：题目中并未说明边长为2的边与△ABC的哪一边是对应边，因此要分类讨论，分三种情况分别求出△DEF的另两边，可得△DEF的周长为5或6或7.5，故选D）． 4.D 5.A 6.B
二、7．5，20； 8.1:3:5； 9. 6； 10.P3处
三、11. 因为AD=DB,所以∠B=∠BAD,
又因为∠AED=∠B+∠2,∠BAC=∠BAD+∠1,∠1=∠2,所以∠AED=∠BAC,
所以△ABC∽△EAD..
12. DG=GE.
因为DE//BC，所以∠ADG=∠B，∠AGD=∠AFB，所以△ADG∽△ABF，所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
同样△AGE∽△AFC，所以，所以，又F是BC的中点，所以DG=GE.
13. 因为AB∥DC，且∠B=90°，所以∠AEB+∠BAE=90°及∠C=90°.
所以∠AEB+∠CED=90°. 故∠BAE=∠CED. 又 ∠B=∠C =90°
所以△EAB∽△DEC. 所以.
又BE∶EC=1∶2，且BC=12及DC=7， 故. 所以
14. 小明的说法不正确，因为图形中存在着四对相似三角形.它们分别是：△CBE∽△CAD；△AEP∽△ADC；△BDP∽△BCE；△BDP∽△AEP.
如说明△CBE∽△CAD的理由是：
因为AD⊥BC，BE⊥AC，所以∠CEB=∠CDA=90°，
又∠C=∠C，
所以△CBE∽△CAD.
15. 假设存在这样的t使两个三角形相似.
（1）当时，△QAP∽△ABC，此时，解得t=1.2；
（2）当时，△PAQ∽△ABC，此时，解得t=3.
所以当t=1.2或t=3时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
16. 解：（1）小胖的话不对． 小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1
米高”，情形如图1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
因为OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP=∠ABC，所以△OBP∽△ABC，所以,
又因为此跷跷板是标准跷跷板，BO=OA，，
因为AC=1米，所以OP=0.5米．
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米． 图1
如图2所示，BD=a米，AE=a米
因为BO=OA，所以BO+a=OA+a，即DO=OE．所以，
同理可得△DOP∽△DEF．所以，由OP=0.5米，
得EF=1米.
综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高．
一、认认真真，书写快乐
1．已知两个相似三角形的面积比为4∶9，那么这两个三角形对应边的比为 ．
2．厨房角柜的台面是三角形（如图1），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ．
3．如图2，铁道口栏杆的短臂OB长为1.2m，长臂OA长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高 m．
4．为了测量出高80cm的油桶里油面的高度，某同学利用一根100cm长的细木棒，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端到小口．抽出木棒，量得棒上粘油部分的长为80cm，则桶内油面的高为 cm．
二、仔仔细细，记录自信
5．下列命题中，不正确的命题是（ ）
A．两个三角形的两角对应相等，则这两个三角形相似
B．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
C．两个三角形的两边对应成比例，则这两个三角形相似
D．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似
6．如图3，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDB
C．△ABE∽△CBD D．△BDC∽△BD C′
7．已知：如图4，DE∥BC，EF∥AB，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（ ）
A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.5
三、平心静气，展示智慧
9．如图5，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，问加工成的正方形零件的边长是多少？
10．如图6，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中共有相似三角形多少对？
（2）探究DB、BC、CE之间的关系，并说明理由．
四、拓广探索，游刃有余
11．王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
12．某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上（如图7所示），它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
参考答案：
一、1．2：3 2． 3．4 4．64
二、5．C 6．C 7．B 8．D
三、9．正方形零件的边长是48mm．
10．解：（1）图中共有相似三角形3对；
（2）．理由略．
四、11．解：由于本题对这个等腰三角形没有明确给出是锐角三角形还是钝角三角形，因此解答时，应进行分类讨论．
（1）当等腰三角形为锐角三角形时，．
（2）当等腰三角形为钝角三角形时，．
12．简解：（1）过分别作的垂线段，，，分别交于，，，即为所求的造价最低的管道路线，图形如图所示．
（2）三厂所建自来水管道的最低造价分别是
（元），（元），
（元）．
1．如图1，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．C
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图2所示）．已知桌面的直径米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）．B
Ａ．平方米 Ｂ．平方米 Ｃ．平方米 Ｄ．平方米
3．如图3，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点．若△ABC的面积为12，则△DEF的面积为 ．3
4．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米．3858千米
5．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图4，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．10米
6．汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯时，为避免上楼时墙角碰头，设计墙角到楼梯的竖直距离为1.75m．他量得客厅高，楼梯洞口宽，阁楼阳台宽．请你帮助汪老师解决下列问题：
（1）要使墙角到楼梯的竖直距离为1.75m，楼梯底端到墙角的距离是多少米？
（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？
【解】（1）根据题意有，，又，
．
，得（m），．
（2）设楼梯应建个台阶，则
解得．楼梯应建15个台阶．
7.如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形，并说明理由．
解：
答案：解：△EAF∽△EBC（或△CDF∽△EBC，或△CDF∽△EAF）．
理由如下：
在ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠B．
又∵∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EBC．
8.如图，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G．
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由；
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG
和 FB的比例中项吗？为什么？
答案：解：（1）的数量关系是．
理由如下：．
又，
（SAS）．
．
（2）线段是线段和的比例中项．
理由如下：，．
．
又，
．
．
即线段是线段和的比例中项．
9.如图，在中，的延长线与的延长线相交于点，点在上，且．不添加辅助线，解答下列问题：
（1）找出一个等腰三角形（不包括） ；
（2）找出三对相似三角形（不包括全等三角形），分别是 、 、 ；
（3）找出两对全等三角形，分别是 、 ，并选出其中一对进行证明．
答案：（1）、、（写出其中一个即可）．
（2）、HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown、、、（写出其中三对即可）．
（3）、、、
（写出其中的两对即可）．
选择．
证明：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
又，
．
10. 如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由．
答案：（1）设正方形CDEF的边长为x，则有，得x=cm；
（2）设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=，同样有（cm）,x-y=＞0，故x＞y，所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形．
课时作业：
A等级
1.如图，中，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，两点分别在边上，且与不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使．（不再添加其他的字母和线段）
答案：或HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown或
2.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA＝4，OD＝6，则与的周长比是 ．
答案：
3.如图，D、E分别是的边AB、AC上的点，则使∽的条件是 ．
答案：，或，或
4.如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
答案：或或
5.如图，D、E两点分别在△ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，△ADE∽△ACB．
答案：∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）
6.如图，分别是的边上的点，，，则 ．
答案：
7.将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
答案：
8.如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．
答案：
9.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ．
答案：
10.如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 对
答案：6
11.在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 ．
答案： ； 9∶16 或 ； 9∶25
或 ； 16∶25
12.如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
答案：10.5
13.如图，点D、E分别是AB、AC边上的中点，若，则= ．
答案：3
B等级
1.如图，在中，，，点为的中点，于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
2.已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54
答案：C
3.如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
答案：B
5.如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△； ②△∽△； ③； ④其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
答案：B
6.如图，为的直径，交于点，交于点，，．现给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
答案：C
7.在平面上，四边形的对角线与相交于，且满足．有下列四个条件：（1）；（2）；（3）；（4）．若只增加其中的一个条件，就一定能使成立，这样的条件可以是（ ）
A．（2）、（4） B．（2） C．（3）、（4） D．（4）
答案：D
8.如图，分别为正方形的边，，，上的点，且，则图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：A
9.如图，中，，，，是上一点，作于，于，设，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
10.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度为（ ）
A． B．1 C． D．
答案：C
C等级
1.如图，一落地晾衣架两撑杆的公共点为，cm，cm．若撑杆下端点所在直线平行于上端点所在直线，且cm，则 cm．
答案：60
2.上小学五年级的小丽看见上初中的哥哥小勇用测树的影长和自己的影长的方法来测树高，她也学着哥哥的样子在同一时刻测得树的影长为5米，自己的影长为1米．要求得树高，还应测得 ．
答案：自己的身高
3.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约
为 m．
答案：4.8
4.如图，四边形是平行四边形．O是对角线的中点，过点的直线
分别交AB、DC于点、，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，
请选出其中一对加以证明．
答案：解：（1） AEH与DFH．
（或AEH与BEG， 或BEG与CFG ，或DFH与CFG）
（2）OE=OF．
证明：四边形是平行四边形，
∥CD，
，
，
△△，
．
5.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N.
求证：（1）；
（2）
答案：
证明：（1）四边形和四边形都是正方形
（2）由（1）得
∴AMN∽CDN
6.如图，内接于，是的边上的高，是的直径，连接， 与相似吗？请证明你的结论．
答案：解： △ABE与△ADC相似．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°
∵∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC
又∵∠AEB=∠ACD, ∴△ABE∽△ADC
7.如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：解法一：矩形中，，，
．
，，．
．
解法二：矩形中，．
，，．
8.把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
问AF与BE是否垂直？并说明理由．
答案：AF⊥BE．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴ ＝tan60°．
∴ △DCA∽△ECB．
∴ ∠DAC＝∠EBC．
∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．
∴ ∠BFD=90°．
∴ AF⊥BE．
9.如图，已知AD是△ABC的中线，E是AD的中点，CE的延长线交AB于F，求AF∶AB的值．
答案：解：过点A作AM∥BC交CF的延长线于M．（如右图）
∴∠M＝∠ECD
∵AE＝DE，∠AEM＝∠DEC．
∴△AEM≌△DEC
∴AM＝CD＝BC
∵AM∥BC
∴△AMF∽△BCF
∴＝
∴＝，即BF＝2AF
∴AB＝BF+AF＝3AF
∴AF∶AB＝1∶3
10. 已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
答案：解：（1）取中点，联结，
为的中点，，．
又，．
，得；
（2）由已知得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown．
解得，即线段的长为；
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得；
②当时，，．
．又，．
，即，得．
解得，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown（舍去）．即线段的长为2．
综上所述，所求线段的长为8或2．
Ａ
Ｂ
C
D
E
F
图6
图3
A
B
D
C
E
图4
图1
图2
A
B
C
D
E
F
图3
3（1）
3（2）
图6
步行街
图5
胜利街
光明巷
A
B
M
N
Q
E
D
P
建筑物
图1
图2
A
B
C
F
E
D
图3
图3
上海
台湾
香港
5.4cm
3.6cm
3cm
2米
9.6米
图4
A
B
C
D
E
F
A
D
H
E
M
C
F
G
B
1
2
O
A
B
C
D
E
D
A
C
B
A
E
C
D
B
E
C
D
A
F
B
A
G
E
H
F
J
I
B
C
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
A
E
C
B
D
A
B
C
M
N
A．
B．
C．
D．
A
B
C
A
B
C
E
D
O
A
D
C
P
B
E
6米
4米
h米
0.8米
A
C
D
E
B
O
A
B
D
C
E
F
A
B
D
C
E
F
F
E
C
D
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A
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A
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A
D
C
备用图
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