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第二十六章二次函数
第21课时 §27.3 位似
《位似》属数学课程标准中“空间与图形”的重要内容之一,本课作为这一章的收尾章节,是在学生已把握相似的知识,具备一定图形研究方法的基础上,研究位似图形,进而强化对相似更全面的理解. 本节课的重点是理解位似图形的概念、性质;难点是位似的性质. 本课需掌握的目标是:
(1)理解位似图形的概念和性质;能利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小 .
(2)在探究、交流和分析的基础上,总结得出位似的性质,并能够利用性质解决实际问题.
(3)弄清位似与相似的关系;运用位似的知识画出位似三角形.
点击一:位似图形
一、位似图形
如果一个图形上的点,…和另一个图形上的点,…分别对应,并且
(1)直线,…都经过同一点;
(2).
也就是说:两个相似多边形,如果它们对应顶点所在的直线相交于一点,我们就把这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心.
二、位似图形与相似图形的关系
位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必都能构成位似关系.也就是说,位似图形一定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形.
三、如何判断两个图形是位似图形
判断两个图形是不是位似图形,需要从两方面去考察:一是这两个图形是相似的,二是要有特殊的位置关系,即每组对应点所在的直线都经过同一点.
四、位似图形的性质
位似图形的所有对应点的连线所在的直线交于一点.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
五、图形的放大与缩小与以前学过的变换的区别
利用位似方法将一个图形放大或缩小,实际上是一种位似变换.轴对称、平移、旋转、位似都是基本的图形变换,轴对称、平移、旋转变换保持任意两点变换前后的距离不变,因而是“保距变换”.在这种变换下,图形的形状和大小不变.而相似变换就不再是“保距变换”,它是对应角保持不变,具有保角性,因而图形的形状不变.
针对练习1:
1.如图3,电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S距胶片2 0 cm,那么光源S距屏幕 ,米时,放映的图象刚好布满整个屏幕.
答案:
2.如图4,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且位似比是1:2,若AB=2cm,则A′B′是 cm,并在图中画出位似中心O.
答案:4cm
3.如图5,四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形
A’B’C’D’,若AB∶A’B’=1∶2,则四边形ABCD的面积∶四边形A’B’C’D’的面积为( ).
A.4∶1 B.∶1 C.1∶ D.1∶4
答案:D
4. 用作位似图形的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心位置可选在( )
A、原图形的外部 B、原图形的内部 C、原图形的边上 D、任意位置
答案: D.
5. 如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每对对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
(1)选择:如图3,点O是等边三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点,则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形.此时,△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A.2、点P B.、点P C.2、点O D.、点O
(2) 如图4,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题.
画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;
②连结OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,
作E′D′∥ED,交OB于点D′;
③连结C′D′.则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.
求证:△C′D′E′是等边三角形.
证明:∵EC∥E′C′, ∴.
∵ED∥E′D′, ∴.
∴.
∵△CDE是等边三角形,∴CE=DE,.
∴C′E′=D′E′,.∴△C′D′E′是△AOB的内接三角形.
6. 选择:如图1,点是等边三角形的中心,分别是的中点,则与是位似三角形,此时与的位似比和位似中心分别是( )D
A.,点 B.,点
C.,点 D.,点
点击二:点的坐标与位似变换
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.在直角坐标系中,已知位似变换图形可以确定点的坐标;也可以根据点的坐标及位似比画一个图形的位似图形.
针对练习2:
1. 某学习小组在讨论 “变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图1所示).
则小鱼上的点(A,B)对应大鱼上的点( )
A.(-2A,-2B) B.(-A,-2B)
C.(-2B,-2A) D.(-2A,-B)
答案:C
2. 在如图的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O和△ABC.
(1).请以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向),得到△A′B′C′.
(2)请用适当的方式描述△A′B′C′的顶点A′、B′、C′的位置.
解析:(1)连接OA、OB、OC,,在网格上分别它们的中点、、,连接、、,则△为符合条件的三角形.
(2).本题答案不唯一,可以点为原点建立如图所示的直角坐标系,则三点的坐标分别为(1,2)、(0,0)、(3,0).
3. (1)请在如图3所示的方格纸中,将向上平移格,再向右平移格,得,再将绕点按顺时针方向旋转,得,最后将以点为位似中心放大到倍,得;
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为个单位长度),在你所建立的直角坐标系中,点的坐标分别为:
点( ),点( ),点( ).
类型之一:位似图形
例1.如图1,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形,且PA1=,则AB:A1B1等于( ).
A. B. C. D.
解析:本题考查位似图形各对应点到位似中心的比对应相等,等于位似比的性质.
解:∵五边形和五边形是位似图形,∴=
∵PA1=,∴=.
点评:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,是解答有关位似计算问题的重要依据.
例2已知:如图2,E(-4,2),F(-1,-1),以O为位似中心,按比例尺1:2,把△EOF缩小,则点E的对应点E′的坐标为( ).
A.(2,-1)或(-2,1) B.(8,-4)或(-8,4)
C.(2,-1) D.(8,-4)
解析:根据位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k的性质知,本题把缩小,位似比为1:2,则点的对应点的坐标为(2,-1)或(-2,1).
解答:A.
点评:在直角坐标系中放大或缩小图形,可以将一个多边形的各点的横坐标与纵坐标都乘以k(或除以k),所得新多边形与原多边形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
类型之二:点的坐标与位似变换
例1: 如图1,将△OAB以O点为位似中心,放大2倍得到△OA′B′,请写出各顶点的坐标,你从中发现了各顶点的坐标发生了什么变化.
解析:已知直角坐标系内的位似图形,可以写出图形中各顶点的坐标.根据对应点坐标的关系确定变化关系.
解:观察图形可知△OAB各顶点的坐标是:O(0,0)、A(3,0)、B(2,3).△OA′B′各顶点的坐标是:O(0,0)、A′(6,0)、B′(4,6).
观察各顶点坐标可以发现:O点的坐标不变,顶点A′、B′的坐标比顶点A、B的坐标横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍.
例2: 如图2,已知△ABC,画出△ABC以坐标原点O为位似中心的位似△A′B′C′,使△A′B′C′在第三象限,与△ABC的位似比为,写出三角形各顶点的坐标,位似变换后对应顶点发生什么变化?
解析:要画△ABC以坐标原点O为位似中心的位似图形△A′B′C′,若△A′B′C′与△ABC的位似比为,且△A′B′C′在第一象限时,△A′B′C′各顶点的坐标分别是△ABC各顶点坐标的.
解:△ABC三个顶点的坐标分别是:A(2,2),B(6,4),C(4,6).△A′B′C′三个顶点的坐标分别是:A′(-1,-1),B′(-3,-2),C′(-2,-3).
观图形可知,△A′B′C′各顶点的坐标分别是将△ABC各对应顶点坐标都乘以了.
点评:根据位似图形确定点的坐标,以及位似图形点的坐标之间的关系,关键是明确位似比与相应点的坐标之间的关系.
例3 如图3,已知△ABC各顶点的坐标分别是A(-4,-4),B(-2,-4), C(-6,-8),画出它的一个以原点为位似中心,相似比为的一个位似图形.
解析:解决问题的关键是确定位似图形各个顶点的坐标,根据前面的规律可知点A的对应点A′的点的坐标为,即(-2,-2).类似可求出点B′、C′对应点的坐标,根据坐标可画出位似图形.
解:利用位似变换中对应点的坐标的变化规律,分别取A′(-2,-2),B′(-1,-2),C′(-3,-4),依次连接A′、B′、C′三点,则△A′B′C′就是要求的△ABC的位似图形.
类型三:利用位似作图
例1 如图,把多边形ABCDE放大到1.5倍.
【分析】画法:1.任取一点O;
2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE;
3.分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′、E′,使OA′∶OA=OB′∶OB=OC′∶OC=OD′∶OD=OE′∶OE=1.5;
4.连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、A′E′,得到的多边形A′B′C′D′E′就是所要画的放大1.5倍的图形.
例2 已知等边,画一个与之相似且它们的相似比为2的△A/B/C/.
【解析】如图1,当设位似中心在的形内时,取内心O作为位似中心.
(1)在AO、BO、CO上分别取中点A/、B/、C/,连结A/B/,B/C/、A/C/,则△ABC∽△A/B/C/,且有A/B/:AB=1:2;
(2)取△ABC的内心O,连接OA、OB、OC且延长,使AA/=AO,B/B=BO,C/C=CO,连结A/B/,B/C/、A/C/,则有△ABC∽△A/B/C/,且AB:A/B/=1:2.
如图2,设位似中心在△ABC的外部时
(1)在△ABC外任取一点O,过O点作射线OA、OB、OC,并截取AA/=OA,C/C=OC,B/B=BO,连结A/B/,B/C/,C/A/,△ABC∽△A/B/C/,且AB:A/B/=1:2.
(2)在△ABC外任取一点,过O作直线OA,OB,OC,在OA、OB、OC的另一侧取A/,B/,C/,使A/O=AO,B/O=OB,C/O=OC.连结A/B/,B/C/、A/C/,则可证△ABC∽△A/B/C/,且A/B/:AB=1:2;
【点拨】 已知一个等边△ABC,要求画一个三角形,使这两个三角形相似,并且相似比为2.根据题意可知,已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的,即题中没有说明是原三角形与新三角形相似,还是新三角形与原三角形相似,这样形成的对应边的关系有两种,因此是不确定的,再者由于有相似比的值2,那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边,要满足比值为2的情况也有两种,而实现这两种情况只能借助位似形的知识.
根据位似形的知识可知,位似中心存在的情况有两种,即在已知图形内或已知图形外,它们都可以实现放大或缩小的作用.
例3 如图,求作内接于已知三角形ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,且DE∶EF=1∶2.
【解析】 作法:(1)在AB上靠近B点取一点,经过作⊥BC,是垂足.
(2)在上取.
(3)经过作BC的平行线,经过作的平行线,这两条直线相交于点.
(4)连结,并延长交AC于点G.
(5)经过G作GD∥BC,交AB于点D,作GF⊥BC于点F.
(6)经过D作DE∥GF.
∴四边形DEFG是所求作的矩形.
证明:由作法,∵DE∥GF,DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
又∠GFE=90°,∴ 平行四边形DEFG是矩形.
∵ ,GD∥BC,∴ .
∴.
又GF⊥BC,,∴ .
∴
∴,即.
∵,,
∴.
由作法,,
∴.
∴矩形DEFG的一条边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,且DE∶EF=1∶2.
∴矩形DEFG是所求作的矩形.
例4 已知三角形ABC,作它的内接最大的正方形(即正方形的一边在三角形的边上,另外两个顶点在其他两边上).
【解析】 联想位似图形,用尺规作图的方法.
1.以三角形ABC的最长边BC为边长向形外作正方形BXYC;
2.以点A为为似中心,作射线AX,AY,它们分别交BC于点E、F;
3.以EF为边长作正方形EFGD.
则正方形EFGD即为所求.
由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法,我们是选顶点A作为位似中心,那么点B,点C可不可以做位似中心呢?答案是肯定的.一共是四种做法.
一、填空题
1.如图1,点是四边形与的位似中心,则________=________=________; ________, ________.
2.如图2,,则与的位似比是________.
3.把一个正多边形放大到原来的2.5倍,则原图与新图的相似比为________.
4.两个相似多边形,如果它们对应顶点所在的直线________,那么这样的两个图形叫做位似图形.
5.位似图形的相似比也叫做________.
6.位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比.
二、解答题
7.画出下列图形的位似中心.
8.将四边形放大2倍.
要求:(1)对称中心在两个图形的中间,但不在图形的内部.
(2)对称中心在两个图形的同侧.
(3)对称中心在两个图形的内部.
9.如图3,四边形和四边形′位似,位似比,四边形和四边形位似,位似比.四边形和四边形是位似图形吗?位似比是多少?
10.请把如图4所示的图形放大2倍.
11.请把如图5所示的图形缩小2倍.
参考答案:
1.,,;,
2. 3. 4.相交于一点
5.位似比 6.位似中心
7.略. 8.略.
9.是位似图形, 10.略. 11.略.
一、选择题(每小题3分,共24分)
1、下列说法错误的是( )
A. 位似图形一定是相似图形;
B. 相似图形不一定是位似图形;
C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;
D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2、下列说法正确的( )
A. 两个位似图形的面积比等于位似比;
B. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比;
C. 位似图形的周长之比等于位似比的平方;
D.分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE∥BC,则△ADE是△ABC放大后的图形
3、下列命题正确的( )
A. 全等图形一定是位似图形;
B. 相似图形一定是位似图形;
C. 位似图形一定是全等图形;
D. 位似图形是具有某种特殊位置的相似图形
4、如图1所示,某学习小组在讨论 “变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形,则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点( )
(A)(-2a,-2b) (B)(-a,-2b)
(C)(-2b,-2a) (D)(-2a,-b)
5、.在△ABC中,AB=AC,∠A=360。以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得△AB′C′,则∠B等于( )
(A)360 (B)540 (C)720 (D)1440
6、在小孔成像问题中,根据如图2所示,若O到AB的距离是18cm,O到CD的距离是
6cm,,则像CD的长是物AB长的( ).
二、填空题(每小题4分,共24分)
1、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
2、将一个多边形缩小为原来的,这样的多边形可以画 个,你的理由是
3、如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和4.5cm,且较小的那个图形的周长为45cm,则较大图形的周长为
4、已知,如图3,A′B′∥AB,B′C′∥BC,且OA′∶A′A=4∶3,则△ABC与________是位似图形,位似比为________;△OAB与________是位似图形,位似比为________.
5、如图4,火焰的光线穿过小孔O,在竖直的屏幕上形成倒立的实像,像的长度BD=2 cm,OA=60 cm,OB=15 cm,则火焰的长度为________.
6、如图5,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形,且位似比为.若五边形ABCDE的面积为17 cm2,周长为20 cm,那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________,周长为________.
三、解答题(共52分)
1、(本题8分)将有一个锐角为30°的直角三角形放大,使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍,并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
2、(本题8分)一个三角形三顶点的坐标分别是A(0,0),B(2,2),C(3,1),试将△ABC放大,使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
3、(本题8分)请同学们观察下图6,要作出一个新图形,使新图形与原图形对应线段的比为2∶1。
4、(本题8分)三角形的顶点坐标分别是A(2,2),B(4,2),C(6,4),试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.
5、(本题8分)一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm,放映的银幕规格为2m×2m,若影机的光源距胶片20cm时,问银幕应在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?
6、(本题12分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.
(1)把向左平移8格后得到,画出的图形并写出点的坐标;
(2)把绕点按顺时针方向旋转后得到,画出的图形并写出点的坐标;
(3)把以点为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为,画出的图形.
参考答案:
一、1、D;2、B;3、D;4、A 5、C;6、C;
二、1、位似比;2、无数个;3、67.5cm;4、△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4
5、8 cm;6、HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 cm2 10 cm
三、
1、(1)1∶3 1∶3
2、位似中心取点不同,所得D、E、F各点坐标不同,即答案不惟一.
3、方法一:
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED MSPhotoEd.3
在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G,作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP,在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2AP,PB′=2BP,PC′=2CP,PD′=2DP,PE′=2EP,PF′=2FP,PG′=2GP;顺次连接点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,A′,所得到的图形就是符合要求的图形.
方法二:
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED MSPhotoEd.3
在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G,作射线PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG,在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′,PE=EE′,PF=FF′,PG=GG′,顺次连接点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,A′,所得到的图形就是符合条件的图形.
4、解:将A(2,2),B(4,2),C(6,4)三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D(1,1), E(2,1),F(3,2)后,顺次连接D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF.如图所示.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED MSPhotoEd.3
5、解:先计算位似比K=.
运用位似图形的性质可得(设银幕距镜头xcm)
,所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 .
答:银幕应在离镜头,放映的图像刚好布满整个银幕.
6、解:(1)画出的如图所示,点的坐标为.
(2)画出的的图形如图所示,点的坐标为.
(3)画出的的图形如图所示.
1. 如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每对对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
(1)选择:如图4,点O是等边三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点,则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形.此时,△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A.2、点P B.、点P C.2、点O D.、点O
图4 图5
(2) 如图5,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后解决相应说理问题.
画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;
②连结OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,
作E′D′∥ED,交OB于点D′;
③连结C′D′.则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.
说明△C′D′E′是等边三角形的理由.
解析:本题实质上是位似变换特征的应用.它给出阅读的材料是位似三角形的定义、位似比、位似中心的说明.是一道集阅读、作图、说理于一体的综合性试题.解决本题需要认真读题,理解题意,看懂画法,然后说理.
(1)根据位似三角形的定义和三角形相似的有关知识可知选(D).
(2)因为EC//E′C′,所以∠CEO=∠C′E′0,又∠COE=∠C′OE′,
所以△OCE∽△OC′E′,所以,
因为ED//E′D′,所以∠OED=∠OE′D′,
又∠DOE=∠D′OE′,所以△ODE∽△OD′E′,所以,
所以,∠CED=∠C′E′D′,
因为△CDE是等边三角形,所以CE=ED,∠CED=60°,
所以C′E′=E′D′,∠C′E′D′=60°,
所以△C′E′D′是等边三角形.
2. 如图1,△ABC三个顶点的坐标分别为A (2,7), B (6,8), C (8,2),请你完成下面的作图并写出顶点的坐标.(不要求写出作法):
以O为位似中心,在第三象限内作出△A′B′C′, 使△A′B′C′与△ABC的位似比为1:2;
图1 图2
解析:本题是一道位似作图题,以点O为位似中心,可分别连结AO、BO、CO,并延长到A′、B′、C′,使A′O′=OA,B′O′OB,C′O′=OC,
连结A′B′、B′C′、C′A′,即得△A′B′C′(如图2).
此时,点A′(-1,-3.5), B′(-3,-4),C′(-4,-1).
3.在平面直角坐标系中,已知A(6,3)、B(6,0)两点,以坐标原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小后得到线段A’B’,则A’B’的长度等于____________.1
4.如图1,四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形A’B’C’D’,若AB∶A’B’=1∶2,则四边形ABCD的面积∶四边形A’B’C’D’的面积为( ). D.
A.4∶1 B.∶1 C.1∶ D.1∶4
5.如图2,五边形和五边形HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是位似图形,且,则等于( )B
A. B. C. D.
6.如图3,与是位似图形,且位似比是,若AB=2cm,则 cm,并在图中画出位似中心O.
解析:根据题意,得∴
∵位似中心是位似图形中对应点连线的交点,
∴连结的交点就是位似中心O(如图3).
7.如图4所示,点O是△ABC外的一点,分别在射线OA、OB、OC上取一点A’、B’、C’,使得,连结A’B’、B’C’、C’A’,所得△A’B’C’与△ABC是否相似?证明你的结论.
解析:相似.
证明:∵
∴△AOC∽△
∴同理∴
∴△∽△ABC.
评注:本题中△AOC与△实际上是以O为位似中心的位似图形.
8.如图5,电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映屏幕的规格为2 m×2 m,若放映机的光源S距胶片2 0 cm,那么光源S距屏幕 ,米时,放映的图象刚好布满整个屏幕.
解析:将问题进行数学建模,转化为位似图形的问题来思考.
设光源S距屏幕x米时,放映的图象刚好布满整个屏幕.
由题意可知,放映的图象与胶片是位似图形,
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 解得
答:光源S距屏幕米时,放映的图象刚好布满整个屏幕.
课时作业:
A等级
1.下面四组图案中的两个图形可以看作是位似变换得到的是( )
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
2.下列运动形式中:
(1)传动带上的电视机;
(2)电梯上的人的升降;
(3)照相时底片上的投影与站在照相机前的人;
(4)国旗上的红五角星.
不是位似变换的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.将一个菱形放在2倍的放大镜下,则下列说法中不正确的是( )
A.菱形的边长扩大到原来的2倍
B.菱形的度数不变
C.菱形的面积扩大到原来的2倍
D.菱形的面积扩大到原来的4倍
4.如图1所示,已知BC∥DE,则下列说法中不正确的是( )
A.两个三角形是位似图形
B.点A是两个三角形的位似中心
C.AE∶AD是位似比
D.点B与点E、点C与点D是对应位似点
5.如图2所示,某学习小组在讨论 “变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形,则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点( )
A.(-2a,-2b) B.(-a,-2b)
C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b)
6.小华同学自制了一个简易的幻灯机,其工作情况如图3所示,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30cm,幻灯片到屏幕的距离是1.5m,幻灯片上小树的高度是10cm,则屏幕上小树的高度是( )
A.50cm B.500cm C.60cm D.600cm
7.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得,则∠B′等于( )
A.36° B.54° C.72° D.144°
8.若一个多边形扩大后与原多边形位似,且面积扩大为原来的3倍,则其周长扩大为原来的( )
A.3倍 B.9倍 C.倍 D.6倍
A级答案:1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.C 8.C
B等级
1.四边形ABCD以O为位似中心,位似比为1∶2,变换后的图形是四边形,如图4所示,则点A的对应点是点 ,点B的对应点是点 ,线段AB的对应线段是线段 ,∠DAB的对应角是 ,线段AD与的比为 ,它们关于点 位似.△OAB与 相似,相似比为 .
2.如图5所示,工人师傅为了在废旧三角形铁片上截取一个面积最大的正方形铁片,先用正方形横板在△ABC内画一个正方形,然后过正方形在三角形内的一个顶点画射线交边AC于点G,再作GF⊥BC,F为垂足,GD∥BC交AB于D,DE⊥BC,E为垂足,则四边形DEFG就是面积最大的正方形.这里用到了两个正方形位似的问题,它们的位似中心是 .
3.把一个三角形变成和它位似的另一个三角形,若边长缩小了2倍,则面积缩小到原来的
倍.
4.如图6,在中,F是AD延长线上一点,连接BF交DC于点E,则图中的位似三角形共有 对.
5.如图7,若五边形ABCDE与五边形位似,对应边CD=2,.若位似中心O到A的距离为6,则O到A′的距离为 .
6.图形A与图形B位似,且位似比为1∶2,图形B与图形C位似,且位似比这1∶3,则图形A与图形C 位似(填“一定”或“不一定”).
7.如图8所示,△ABC是△DEF经过位似变换得到的,位似比为3∶2,若AD=2cm,AB=5cm,则OA= ,DE= .
8.如图9,在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数,请你猜测由里向外第10个正方形(实线)四条边上的整点个数共有 个.
答案:1.,,,,,,,
2.点3. 4.2 5.9
6.一定 7.4cm,7.5cm 8.40
C等级
1.玩一玩挡光板:小明学了“位似变换”以后,周末在家做了一个“位似”小实验(如图10所示),为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射,他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍,以拦住壁画不受照射,要求使壁画和障碍物成位似图形,相似比为3∶1,请你帮小明画出其位似图形.
2.在如图11的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O和△ABC.
(1)请以点O为位似中心,把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向),得到;
(2)请用适当的方式描述的顶点的位置.
3.一般室外放映的电影胶片上图片的规格为3.5cm×3.5cm,放映荧幕的规格为2m×2m,若影机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个荧幕?(精确到0.1)
4.如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每对对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
(1)选择:如图12,点O是等边三角形PQR的中心,分别是OP、OQ、OR的中点,则与△PQR是位似三角形.此时,与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
A.2、点P B.、点P C.2、点O D.、点O
(2)如图13,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.
画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;
②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作,交OA于点C′,作,交OB于点D′;
③连接.则是△AOB的内接三角形.求证:是等边三角形.
答案:
1.解:作图略.
2.解:(1)略.
(2)可建立坐标系用坐标来描述;也可说成点点,,的位置分别为,,的中点等.
3.荧屏应搓在离镜头11.4m的地方,放映的图像刚好布满整个荧幕.
4.解:(1)选(D).(2)证明略.
图4
图5
D
A
B
C
D’
B’
C’
A’
灯泡
图3
图4
图3
y
x
O
图1
2
-1
1
图2
图1
图2
x
O
图1
2
-1
1
y
B
A
O
C
D
图2
图3
图5
图4
图6
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A
B
C
B2
C3
A1
B1
C1
A2
B3
图1
D
A
B
C
D’
B’
C’
A’
灯泡
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图2
图3
O
A
B
C
B’
A’
C’
O
图4
图5
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