28．2 解直角三角形
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第二十八章锐角三角函数
第23课时 §28．2 解直角三角形
本节教学内容是在学习三角函数关系的基础上能运用直角三角形的边角关系(从而进一步理解直角三角形的概念),会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
本节归纳了直角三角形中边角之间的关系,它既是前面所学知识的运用,也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(转化化归),在本节中有针对性的对学生进行了这方面的能力培养。另外由于解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，因此解直角三角形的应用是本节的难点
根据<<教学大纲>>,结合素质教育的要求,在知识上本节课的目标是:使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形，并利用所学的知识解决直角三角形的应用问题。
点击一：解直角三角形
1、解直角三角形的类型
根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：
（1）已知两边：
①两条直角边a、b．其解法：c=，用tanA=,求得∠A，∠B=90°－∠A．
②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=，用sinA=，求得∠A，∠B=90°－∠A．
（2）一边和一锐角：
①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=,求得b=；用sinA=，求得c=．
②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=,求得a=csianA；用cosA=,求得b=ccosA．
2、解直角三角形的方法（口诀）：
“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．
针对练习1：
1.如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）
A．米 B．米
C． 6·cos52°米 D．米
答案：D
2.如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
答案：A
3.如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是（ ）
A． B．
C． D．10cm
答案：B
4.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60 o， 又知水平距离BD=10m，楼高AB=24 m，则树高CD为（ ）
A．m B．m
C．m D．9m
答案：A
5.如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60米，则楼的高度约为 米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，
答案：90.6
6.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB = 米.
答案：4
7.如图，张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点离地面的高度为 米（结果保留根号）．
答案：
8.四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么 ．
答案：（或0.6）
9.如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，则河堤的高为 米．
答案：12
10.四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示）
答案：
11.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝ 米（用根号表示）．
答案：
12.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成时，测得旗杆在地面上的投影长为23.5米，则旗杆的高度约是 米（精确到0.1米）
答案：
13.如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为．当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影的长为6m，则树高 m．
答案：
点击二：解直角三角形的应用
（1）仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
（2）方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
针对练习2：
1．如图1，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为________米（结果保留根号）．200（+1）
(1) (2) (3)
2．如图2，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米．30
3．如图3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．13
4．如图4，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影子长为2米，则电线杆的高度约为_______米（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）．8.73
(4) (5) (6)
5．小强和小明去测量一座 ( http: / / www.21cnjy.com / )古塔的高度（如图5），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（ ）B
A．（20-1.5）米 B．（20+1.5米）
C．31.5 D．28.5
6．如图6是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（ ）A
A．（60+100sinα）cm B．（60+100cosα）cm
C．（60+100tanα）cm D．以上答案都不对
类型之一：解直角三角形
例1:如图1,已知:在△ABC中,,AB=8.求△ABC的面积(结果可保留根号).
解析:由已知条件得知, ,可以作出高线CD,这样既构造出直角,又可以求出高,从而使问题求解.
解:过C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,因为∠CDA=所以即
在Rt△BDC中,因为,所以.所以CD=BD.
因为AB=DB+DA=CD+所以CD=12-
所以
点评：“遇斜化直”是处理此类问题的常用方法，求解时应充分运用已知条件，使问题简捷获解.
类型之二：解直角三角形的应用
例2: 某商场门前的台阶截面积如图2所示.已知每级台阶的席度（如CD）均为0.3m，高度（如BE）均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离.（精确到0.1m）.
（参考数据：）
解析:要计算从斜坡的起点A到点B的距离,即求AB,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F,这样在Rt△CAF中,可以利用锐角三角函数求得AF,从而有.
解答:过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.
由条件得CF = 0.8m，BF = 0.9m.
在Rt△CAF中，，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （m）.
∴（m）.
答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1m.
点评：解直角三角形的应用问题是中考热点题型,需要引起同学们的注意.
类型之三：用锐角三角函数测量宽度
例3:在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图4所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ）
解析:过点C作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD,设CD＝x米，运用方程及解直角三角形中线段之间的关系可求出CD(即河的宽度).
解答：如图5,过点C作CD⊥AB，垂足为D，
类型之四：车厢离地面多少米？
例4：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）
【解析：】此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解．
过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：
于是A点离地面的高度为（米）．
所以，车厢的最高点A离地面约为4米．
点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．
类型之五：如何将角橱搬进房间？
例5：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．
【解析：】如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH⊥AB于H，则，∵，
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间．
答案：设计方案草图如图所示．
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点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．
本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．
类型之六：方位角
例6：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
【解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论．
解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D
∵，，∴，
，∴
∴， ∵＞10．
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．
点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用三角函数知识正确解答。
例7：某五星级宾馆A附近有一条马路为直线,现有一辆大型货车由B处沿直线往C方向行驶，测得米，如果货车周围100米内建筑将受噪声影响，试问货车在行驶过程中宾馆A是否受噪声影响？
（1） 如果受噪声影响，请指出受影响的路段。
（2） 如果货车的速度每分钟800米，求出宾馆受噪声影响的时间。
（3） 为减少或消除噪声对宾馆的影响，你有什么合理的整改建议？
解：（1）过点A作AD垂直于BC，垂足为D
米
在中能解得AD=80米<100米，所以受噪声影响，
以点A为圆心，100米为半径画圆弧分别交BC与E，F两点
线段EF即为受影响的路段。
（2）在中，由勾股定理求出ED=60米，EF=2ED=120米，分钟=40秒
答：宾馆受噪声影响的时间为40秒。
（3） 1. 安装隔音板
2．高楼与马路之间种植绿化
3．受影响的路段改为地下通道等
类型之七：仰角与俯角
例8：如图，为了测量教堂的高度在离教堂米的处，用测角仪测得教堂顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，求教堂的高度。（精确到米）
解析：教堂与地面是垂直的，从测角仪处作∥，交于，得到，先找出中的哪个角是仰角。由定义可知，是仰角。已知和，可求得，从而求得。
解答：过作∥交于。由题意，得
在中，
∴
答：教堂的高度约为米。
例9：如图，线段、分别表示甲、乙两幢楼的高，，，从甲楼顶部处测得乙楼顶部的仰角，测得乙楼底部的俯角，已知甲楼的高米，求乙楼的高。
解析：因为，，所以过作∥，即有，得到和，确定仰角和俯角，已知米，可知，可求出，进而求出。
解答：解：过作交于。则，
，
。
由题意，得在中，，。
∵
∴（米）
在中，，
∵
∴（米）
∴
答：乙楼的高为米。
类型之八：坡度与坡角
例10：如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB==2，∴∠B=63.43°．
⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，
垂足分别为E、F．
由题意可知：ME＝NF＝5，∴＝，
∴AE＝DF＝2.5，
∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，
∴S梯形ADNM＝(1.5+4)×1＝2.75．
∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝＝坡角的正切值，
一、相信你的选择
1、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ ）
A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2
2、如图2，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A、海里 B、海里 C、7海里 D、14海里
图1
3、如图3，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（ ）
A、100米 B、米 C、米 D、米
4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图4所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、元 B、元 C、元 D、元
5、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为
A.1.8tan80°m B.1.8cos80°m
C. m D.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 m
6、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝
A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高
7、如图6，为了测量一河岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处 (AC⊥AB)测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ）
A.15sin50°米 B.15tan50°米
C.15tan40°米 D.15cos50°米
8、如图7，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（ ）
A.10 m B.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 m C. m D.5 m
二、试试你的身手
1、图8表示甲、乙两山坡情况,其中tanα_____tanβ,_____坡更陡.(前一空填“>”“<”或“=”,后一空填“甲”“乙”)
2、小明要在坡度为的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.
3、有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.
4、如图9，从楼顶A点测得电视塔CD的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC中，AB_____CD于B，∠_____?=α，∠_____=β，m=_____，求_____.
5、要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______.
6、如图10，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，取1.732)
7、小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______.(如图11)(精确到0.01米)
8、如图12，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73)
三、挑战你的技能
1、某校在周一举行升国旗仪式,小明同学站在离旗杆20米处(如图13所示), 随着国旗响起,五星红旗冉冉升起,当小明同学目视国旗的仰角为37°( 假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米),求此时国旗离地面的距离.
2、如图14，甲、乙两船同时从港口O出发,甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行,乙船向西偏南58°方向航行,航行了两小时,甲船到达A处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向,求乙船的速度(精确到0.1海里/时).
3、苏州的虎丘塔身倾斜,却经历千年而不例,被誉为“中国第一斜塔”,
如图15,BC是过塔底中心B的铅垂线,AC是塔顶A偏离BC的距离,
据测量,AC约为2.34m,塔身AB 的长为47.9m,求塔身倾斜的角度
∠ABC的度数.(精确到1′).
4、河堤横断面如图16所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的长为8米,求斜坡AB与水平面所夹的锐角度数.
5、如图17,一勘测人员从B点出发,沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处,用了12分钟,然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处,用了10 分钟,求山高(即AC的长度)及A,B两点间的水平距离(即BC的长)(精确到0.01千米).
6、如图18,在平面镜的同侧,有相隔15cm的A,B两点, 它们与平面镜的距离分别为5cm和7cm,现要使由A点射出的光线经平面镜反射后通过点B,求光线的入射角θ的度数.
参考答案：
A卷
一、选择题：
1、C；2、A；3、D；4、C；5、D；6、D；1、B；2、B；
二、填空题：
1、< 乙；2、3；3、 600；4、⊥ BAC BAD AB CD；5、；6、26；
7、10.85；8、8.7；
三、解答题
1、由已知得,∠ADE=37°,DE=BC=20米,CD=1.6米,BE=1.6米,
在Rt△ADE中,AE=DEtan37°=20×0.7536=15.07(米)≈15.1(米).
故AB=15.1+1.6=16.7(米). 即国旗离地面约16.7米.
2、由已知得:∠AOB=90°,∠A=32°,OA=16.1×2=32.2(海里).
∴OB=OA.tanA= 32.2×tan32°=32.2×0.6249≈20.12(海里).
故乙船的速度为20.12÷2≈10.1(海里/时).
3、sin∠ABC=≈0.0489,得∠ABC=2°48′.
即塔身倾斜的角度为2°48′.
4、sinA==0.625,∠A≈38°40′56″.
5、过D作DF⊥BC于F.由已知得BD=5×=1(千米),AD=3×=0.5(千米).
在Rt △BFD中,DF=BD·sin15°≈0.2588(千米),
BF=BD·cos15°≈0.9659(千米),
在Rt△ADE 中,DE=AD·cos20°≈0.4698(千米).
AE=AD·sin20°≈0.1710(千米).
故AC=AE+EC=AE+ DF=0.1710+0.2588=0.4298≈0.43(千米),
BC=BF+CF=BF+DE=0.9659+0.4698=1.4357≈1.44(千米).
6、过A作AG⊥BF于G,则BG=7-5=2,
故EF=AG=.
又由已知得∠EAD=∠DBF=θ,
故EF= ED+DF=5tanθ+7tanθ=12tanθ,
故tanθ=,
由此得 θ≈51.1°.
一、精心选一选（本题满分25分，共有5道小题，每小题5分。下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将各小题所选答案的标号填写在题后面的括号内．）
1.王英同学从A地沿北偏西60度方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 （ ）
（A）50m （B）100 m （C）150m （D）100m
2.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为 （ ）
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40度的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10度的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）．B
（A）30海里 （B）40海里 （C）50海里 （D）60海里
4．利用计算器求sin30°时，依次按键则计算器上显示的结果是 ( )
A．0．5 B．0．707 C．0．866 D．1
5．一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在处测量时，测角器中的（量角器零度线和铅垂线的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点处（点在同一直线上），这时测角器中的，那么小山的高度约为 （ ）（注：数据，供计算时选用）
Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米
二．细心的填一填（本题有3个小题, 每小题5分, 共15分）
6．计算的值是 。0
7．计算：2sin60°=＿＿＿.
8．化简＝＿＿＿＿＿
三、专心解一解与（每小题10分，共60分）
9．如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
10．一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）
11．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度．
12．如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处．问此时小船距港口多少海
里？（结果精确到1海里）
友情提示：以下数据可以选用：，，，．
13．经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
14．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°．
(1)求点D与点C的高度差DH；
(2)求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
参考答案
一、1、D 解：作出如图所示图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB＝100，所以BD＝50，cos30°＝，所以，AD＝50，
CD＝200－50＝150，在Rt△ADC中，
AC＝＝＝100，故选（D）。
2、A.根据正切函数可求得82米
3、B 三角形ABC为正三角形得40海里
4、A；sin30°＝0.5
5、Ｂ．70米
二、6、0
7、
8、
三、9、 解： ∵∠BFC =，∠BEC =，∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC =
∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中，
答：宣传条幅BC的长是17.3米。
10、解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．
∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即2x=(60+x)．
解得，x＝15．
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近
11、解：，，
，即：
，
12、解：过点作，垂足为点；过点分别作，，垂足分别为点，则四边形为矩形．
，
， ．
，
；
．
，
；
．
．
，
．
由勾股定理，得．
即此时小船距港口约25海里
13、 解：（1）在中，，
∴（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分
14、 解：(1)DH=1.6×=l.2(米)．(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
MH=BC=1 ∴AM=AH-MH=1+1.2一l=l.2．
在RtAMB中，∵∠A=66.5°
∴AB=(米)．
∴S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米)．
答：点D与点C的高度差DH为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米
1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图19，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，
求河宽CD（结果可带根号）。
2、如图20，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：，，，）
3、一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图21)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73)
4、如图22，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.
(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;
(2)给出具体的数值，求出AB的长.
5、如图23，在一座高为10 m的大楼顶C测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶端A的仰角β为20°(取1.73，tan20°≈0.3646)
(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD;
(2)计算旗杆高.(精确到0.1 m)
6. 阅读理解应用．
在锐角中，的对边分别是．如图所示，
过作于，则，即．
在和中有
整理得： （1）
同理可得： （2）
（3）
这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素，，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．
如：在锐角中，已知，
则由（1）式可得：
，则可由式子（2）、（3）分别求出，在此略．
根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：
已知锐角的三边分别是7，8，9，求的度数（保留整数）．
答案：1、米；
2、米；
3、解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°,
AC=20×(11－10)=20(海里).
∴tanBAC=,即tan60°=.
∴BC=20tan60°=20≈34.6(海里).
4、(1)方案：至某点C时，三角板60°角一直角边与BC重合，另一边与AC重合，然后用米尺量出BC的长度，此法就可求出AB的长.
(2)设BC=10米，∠C=60°,
则在Rt△ABC中，tanC=,
∴AB=BC·tan60°=10×=10(米).
5、解：(1)∵∠CBD=α=60°,
∴在Rt△BDC中,
tanCBD=.
∴BD=== (m).
(2)设CE⊥AB，垂足为E,
∴CE=BD=(m).
在Rt△AEC中,
∵tanβ=,
∴AE=CE·tanβ=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ·tan20°≈2.1(m).
∴AB=2.1+10=12.1(m),即旗杆高为12.1 m.
6.答案：解：由（1）得：
则，
由（2）得：
则，
课时作业：
课时作业A
一、耐心填一填
1. 如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos＝ 。
2. 若是锐角，，则_______ 。
3. 要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______。
4. 在山坡上种树，要求株距为5.5米，测得斜坡的倾斜角为300，则斜坡上的相邻两株间的坡面距离是 米。
5. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=300，则BC的长是 米。
二、精心选一选
1. 在⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（ ）
A.都扩大2倍 B.都缩小2倍 C.都不变 D.不确定
2. 在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是
A.c4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是
A.tanA= B.sin2A+sin2B=1 C.sin2A+cos2A=1 D.sinA=sinB
5. 某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）
A.1000 m B.500 m C.500 m D. m
三、用心想一想
1．（1）已知的三个三角函数值。
（2）·
2．“济南八中”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC= 40 m，BC=25 m，请求出这块花圃的面积。
3.在某高速公路建设中，要沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在山坡 的另一边同时施工.如图12所示，从AC上的一点B量取∠ABD=150°，BD=420 m，∠D=60°，那么开挖点E离D多远正好使A、C、E成一直线
课时作业A答案
一、耐心填一填
1. ； 2. 300； 3. ； 4. ； 5. 6。
二、精心选一选
DBADB
三、用心想一想
1.（1） ，，。
（2）。
2. 200+150或200－150。
3. 210。
课时作业B
一、耐心填一填
1. 已知α是锐角，且2cosα=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tanα=______。
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，
AD＝cm,则BC= 。
3. 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建_____阶。(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，取1.732)
4. 如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m，则点A到对岸BC的距离是_____m.
5. 已知如图，将两根宽度为2cm的纸带交叉叠放，若∠α为已知，则
阴影部分面积为 。
二、精心选一选
1. 在平面直角坐标系内P点的坐标（，），则P点关于轴对称点P／的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
2. 若∠为锐角，且是方程的一个根，则等于（ ）
A.1 B. C. D.
3. 如果∠A为锐角，且cosA=，那么∠A的范围是（ ）
A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
4. 已知△ABC中，∠ABC=900，∠ACB=450，D在BC的延长线上，且CD=CA，则tan的值为（ ）
A. B.-1 C. D.
5. 已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=2，则∠BAC=（ ）
A.1050 B.150 C.1050或150 D. 600
三、用心想一想
1. (1)如图①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.
（2） 据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
2.某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度(精确到0.1米)。
3.某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,ABBC,ADCD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。
4.如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.
课时作业B答案:
一、耐心填一填
1. 60°，； 2. 5； 3. 26； 4. 30； 5. 。
二、精心选一选
CDDBC
三、用心想一想
1.（1）锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
（2）由(1)知
sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°。
2. AC约为7.1米，BD约为5.8米，CD约为3.4米。
3. ， 。
4. AB=16×20=320(海里),作BD⊥AC垂足为D。
∵∠BAC=30°,∴sin30°=，BD=AB·sin30°=160。
∵160<200,∴B处的货船会受到影响。
课时作业C
1.如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
答案：A
2.如图，点是的角平分线上一点，过点作交于点．若，则点到的距离等于 ．
答案：
3.在中，，，，点在直线上，点到直线的距离为1，则的长为 ．
答案：或
4.等腰三角形的顶角为，腰长为2cm，则它的底边长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
答案：D
5.如图，在中，cm，，则的长为 cm．
答案：8
6.如图，的半径为5，弦是圆上一点，则 ．
答案：
7.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，那么点的坐标是 ．
答案：
8.如图，中，，，平分，若，则 ．
答案：
9.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米．
答案：4
10.如图，已知中， ，，．沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为 ．
答案：2
11.如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．
求：（1）点的坐标；（2）的值．
答案：解：（1）如图2，作，垂足为，
在中，，，
．
．
点的坐标为．
（2），，．
在中，，．
．
A
B
C
┐
D
B
C
A
60米
A
B
C
B
C
D
E
A
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图1
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
图2
P
A
B
C
30°
60°
北
C
B
A
35°
B
C
A
60°
15°
6m
水平线
视线
视线
铅直线
视线
仰角
俯角
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
D
C
B
A
图1
图2
图3
图4
A
B
C
D
M
N
E
F
图3
图2
图6
图4
图5
图7
图8
图11
图12
图17
图18
图19
图20
图21
图23
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
a
c
b
O
C
B
A
D
P
A
B
C
C
B
O
A
A
B
C
D
A
B
C
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ａ
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第二十八章锐角三角函数
第23课时 §28．2 解直角三角形
本节教学内容是在学习三角函数关系的基础上能运用直角三角形的边角关系(从而进一步理解直角三角形的概念),会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
本节归纳了直角三角形中边角之间的关系,它既是前面所学知识的运用,也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(转化化归),在本节中有针对性的对学生进行了这方面的能力培养。另外由于解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，因此解直角三角形的应用是本节的难点
根据<<教学大纲>>,结合素质教育的要求,在知识上本节课的目标是:使学生理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形，并利用所学的知识解决直角三角形的应用问题。
点击一：解直角三角形
1、解直角三角形的类型
根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：
（1）已知两边：
①两条直角边a、b．其解法：c=，用tanA=,求得∠A，∠B=90°－∠A．
②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=，用sinA=，求得∠A，∠B=90°－∠A．
（2）一边和一锐角：
①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=,求得b=；用sinA=，求得c=．
②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=,求得a=csianA；用cosA=,求得b=ccosA．
2、解直角三角形的方法（口诀）：
“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．
针对练习1：
1.如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）
A．米 B．米
C． 6·cos52°米 D．米
答案：D
2.如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）
A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
答案：A
3.如图，两个高度相等且底面直径之比为1∶2的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是（ ）
A． B．
C． D．10cm
答案：B
4.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60 o， 又知水平距离BD=10m，楼高AB=24 m，则树高CD为（ ）
A．m B．m
C．m D．9m
答案：A
5.如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60米，则楼的高度约为 米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，
答案：90.6
6.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离=3米，，则梯子长AB = 米.
答案：4
7.如图，张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点离地面的高度为 米（结果保留根号）．
答案：
8.四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么 ．
答案：（或0.6）
9.如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"EMBED Unknown，则河堤的高为 米．
答案：12
10.四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示）
答案：
11.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝ 米（用根号表示）．
答案：
12.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成时，测得旗杆在地面上的投影长为23.5米，则旗杆的高度约是 米（精确到0.1米）
答案：
13.如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为．当太阳光与水平线成60°角时，测得该树在斜坡上的树影的长为6m，则树高 m．
答案：
点击二：解直角三角形的应用
（1）仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
（2）方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
针对练习2：
1．如图1，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为________米（结果保留根号）．200（+1）
(1) (2) (3)
2．如图2，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60米，则点A到岸边BC的距离是________米．30
3．如图3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．13
4．如图4，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影子长为2米，则电线杆的高度约为_______米（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）．8.73
(4) (5) (6)
5．小强和小明去测量一座 ( http: / / www.21cnjy.com / )古塔的高度（如图5），他们在离古塔60米的A处，用测角仪器得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.5米，则古塔BE的高为（ ）B
A．（20-1.5）米 B．（20+1.5米）
C．31.5 D．28.5
6．如图6是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，若AO=100cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是（ ）A
A．（60+100sinα）cm B．（60+100cosα）cm
C．（60+100tanα）cm D．以上答案都不对
类型之一：解直角三角形
例1:如图1,已知:在△ABC中,,AB=8.求△ABC的面积(结果可保留根号).
解析:由已知条件得知, ,可以作出高线CD,这样既构造出直角,又可以求出高,从而使问题求解.
解:过C作CD⊥AB于D,在Rt△ADC中,因为∠CDA=所以即
在Rt△BDC中,因为,所以.所以CD=BD.
因为AB=DB+DA=CD+所以CD=12-
所以
点评：“遇斜化直”是处理此类问题的常用方法，求解时应充分运用已知条件，使问题简捷获解.
类型之二：解直角三角形的应用
例2: 某商场门前的台阶截面积如图2所示.已知每级台阶的席度（如CD）均为0.3m，高度（如BE）均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离.（精确到0.1m）.
（参考数据：）
解析:要计算从斜坡的起点A到点B的距离,即求AB,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F,这样在Rt△CAF中,可以利用锐角三角函数求得AF,从而有.
解答:过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.
由条件得CF = 0.8m，BF = 0.9m.
在Rt△CAF中，，∴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （m）.
∴（m）.
答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1m.
点评：解直角三角形的应用问题是中考热点题型,需要引起同学们的注意.
类型之三：用锐角三角函数测量宽度
例3:在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图4所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ）
解析:过点C作CD⊥AB，构造Rt△ACD和Rt△BCD,设CD＝x米，运用方程及解直角三角形中线段之间的关系可求出CD(即河的宽度).
解答：如图5,过点C作CD⊥AB，垂足为D，
类型之四：车厢离地面多少米？
例4：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）
【解析：】此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解．
过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：
于是A点离地面的高度为（米）．
所以，车厢的最高点A离地面约为4米．
点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．
类型之五：如何将角橱搬进房间？
例5：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．
【解析：】如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH⊥AB于H，则，∵，
∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间．
答案：设计方案草图如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．
本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．
类型之六：方位角
例6：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
【解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论．
解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D
∵，，∴，
，∴
∴， ∵＞10．
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．
点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用三角函数知识正确解答。
例7：某五星级宾馆A附近有一条马路为直线,现有一辆大型货车由B处沿直线往C方向行驶，测得米，如果货车周围100米内建筑将受噪声影响，试问货车在行驶过程中宾馆A是否受噪声影响？
（1） 如果受噪声影响，请指出受影响的路段。
（2） 如果货车的速度每分钟800米，求出宾馆受噪声影响的时间。
（3） 为减少或消除噪声对宾馆的影响，你有什么合理的整改建议？
解：（1）过点A作AD垂直于BC，垂足为D
米
在中能解得AD=80米<100米，所以受噪声影响，
以点A为圆心，100米为半径画圆弧分别交BC与E，F两点
线段EF即为受影响的路段。
（2）在中，由勾股定理求出ED=60米，EF=2ED=120米，分钟=40秒
答：宾馆受噪声影响的时间为40秒。
（3） 1. 安装隔音板
2．高楼与马路之间种植绿化
3．受影响的路段改为地下通道等
类型之七：仰角与俯角
例8：如图，为了测量教堂的高度在离教堂米的处，用测角仪测得教堂顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，求教堂的高度。（精确到米）
解析：教堂与地面是垂直的，从测角仪处作∥，交于，得到，先找出中的哪个角是仰角。由定义可知，是仰角。已知和，可求得，从而求得。
解答：过作∥交于。由题意，得
在中，
∴
答：教堂的高度约为米。
例9：如图，线段、分别表示甲、乙两幢楼的高，，，从甲楼顶部处测得乙楼顶部的仰角，测得乙楼底部的俯角，已知甲楼的高米，求乙楼的高。
解析：因为，，所以过作∥，即有，得到和，确定仰角和俯角，已知米，可知，可求出，进而求出。
解答：解：过作交于。则，
，
。
由题意，得在中，，。
∵
∴（米）
在中，，
∵
∴（米）
∴
答：乙楼的高为米。
类型之八：坡度与坡角
例10：如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB==2，∴∠B=63.43°．
⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，
垂足分别为E、F．
由题意可知：ME＝NF＝5，∴＝，
∴AE＝DF＝2.5，
∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，
∴S梯形ADNM＝(1.5+4)×1＝2.75．
∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝＝坡角的正切值，
一、相信你的选择
1、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ ）
A、1∶3 B、1∶2.6 C、1∶2.4 D、1∶2
2、如图2，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里／小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）
A、海里 B、海里 C、7海里 D、14海里
图1
3、如图3，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD＝100米，点C在BD上，则山高AB＝（ ）
A、100米 B、米 C、米 D、米
4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图4所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、元 B、元 C、元 D、元
5、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为
A.1.8tan80°m B.1.8cos80°m
C. m D.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 m
6、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝
A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高
7、如图6，为了测量一河岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处 (AC⊥AB)测得∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ）
A.15sin50°米 B.15tan50°米
C.15tan40°米 D.15cos50°米
8、如图7，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（ ）
A.10 m B.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 m C. m D.5 m
二、试试你的身手
1、图8表示甲、乙两山坡情况,其中tanα_____tanβ,_____坡更陡.(前一空填“>”“<”或“=”,后一空填“甲”“乙”)
2、小明要在坡度为的山坡上植树，要想保证水平株距为5 m，则相邻两株树植树地点的高度差应为_____m.
3、有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_____，坡角为_____.
4、如图9，从楼顶A点测得电视塔CD的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离为m，求电视塔的高度.将这个实际问题写成数学形式：已知在△ADC中，AB_____CD于B，∠_____?=α，∠_____=β，m=_____，求_____.
5、要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______.
6、如图10，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，取1.732)
7、小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上.则第一根与第三根木杆的水平距离是______.(如图11)(精确到0.01米)
8、如图12，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为_____m.(结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73)
三、挑战你的技能
1、某校在周一举行升国旗仪式,小明同学站在离旗杆20米处(如图13所示), 随着国旗响起,五星红旗冉冉升起,当小明同学目视国旗的仰角为37°( 假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米),求此时国旗离地面的距离.
2、如图14，甲、乙两船同时从港口O出发,甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行,乙船向西偏南58°方向航行,航行了两小时,甲船到达A处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向,求乙船的速度(精确到0.1海里/时).
3、苏州的虎丘塔身倾斜,却经历千年而不例,被誉为“中国第一斜塔”,
如图15,BC是过塔底中心B的铅垂线,AC是塔顶A偏离BC的距离,
据测量,AC约为2.34m,塔身AB 的长为47.9m,求塔身倾斜的角度
∠ABC的度数.(精确到1′).
4、河堤横断面如图16所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的长为8米,求斜坡AB与水平面所夹的锐角度数.
5、如图17,一勘测人员从B点出发,沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处,用了12分钟,然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处,用了10 分钟,求山高(即AC的长度)及A,B两点间的水平距离(即BC的长)(精确到0.01千米).
6、如图18,在平面镜的同侧,有相隔15cm的A,B两点, 它们与平面镜的距离分别为5cm和7cm,现要使由A点射出的光线经平面镜反射后通过点B,求光线的入射角θ的度数.
参考答案：
A卷
一、选择题：
1、C；2、A；3、D；4、C；5、D；6、D；1、B；2、B；
二、填空题：
1、< 乙；2、3；3、 600；4、⊥ BAC BAD AB CD；5、；6、26；
7、10.85；8、8.7；
三、解答题
1、由已知得,∠ADE=37°,DE=BC=20米,CD=1.6米,BE=1.6米,
在Rt△ADE中,AE=DEtan37°=20×0.7536=15.07(米)≈15.1(米).
故AB=15.1+1.6=16.7(米). 即国旗离地面约16.7米.
2、由已知得:∠AOB=90°,∠A=32°,OA=16.1×2=32.2(海里).
∴OB=OA.tanA= 32.2×tan32°=32.2×0.6249≈20.12(海里).
故乙船的速度为20.12÷2≈10.1(海里/时).
3、sin∠ABC=≈0.0489,得∠ABC=2°48′.
即塔身倾斜的角度为2°48′.
4、sinA==0.625,∠A≈38°40′56″.
5、过D作DF⊥BC于F.由已知得BD=5×=1(千米),AD=3×=0.5(千米).
在Rt △BFD中,DF=BD·sin15°≈0.2588(千米),
BF=BD·cos15°≈0.9659(千米),
在Rt△ADE 中,DE=AD·cos20°≈0.4698(千米).
AE=AD·sin20°≈0.1710(千米).
故AC=AE+EC=AE+ DF=0.1710+0.2588=0.4298≈0.43(千米),
BC=BF+CF=BF+DE=0.9659+0.4698=1.4357≈1.44(千米).
6、过A作AG⊥BF于G,则BG=7-5=2,
故EF=AG=.
又由已知得∠EAD=∠DBF=θ,
故EF= ED+DF=5tanθ+7tanθ=12tanθ,
故tanθ=,
由此得 θ≈51.1°.
一、精心选一选（本题满分25分，共有5道小题，每小题5分。下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将各小题所选答案的标号填写在题后面的括号内．）
1.王英同学从A地沿北偏西60度方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 （ ）
（A）50m （B）100 m （C）150m （D）100m
2.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为 （ ）
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
3．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40度的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10度的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）．B
（A）30海里 （B）40海里 （C）50海里 （D）60海里
4．利用计算器求sin30°时，依次按键则计算器上显示的结果是 ( )
A．0．5 B．0．707 C．0．866 D．1
5．一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在处测量时，测角器中的（量角器零度线和铅垂线的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点处（点在同一直线上），这时测角器中的，那么小山的高度约为 （ ）（注：数据，供计算时选用）
Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米
二．细心的填一填（本题有3个小题, 每小题5分, 共15分）
6．计算的值是 。0
7．计算：2sin60°=＿＿＿.
8．化简＝＿＿＿＿＿
三、专心解一解与（每小题10分，共60分）
9．如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
10．一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
（参考数据：sin21.3°≈，tan21.3°≈， sin63.5°≈，tan63.5°≈2）
11．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度．
12．如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处．问此时小船距港口多少海
里？（结果精确到1海里）
友情提示：以下数据可以选用：，，，．
13．经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
14．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°．
(1)求点D与点C的高度差DH；
(2)求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)
参考答案
一、1、D 解：作出如图所示图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB＝100，所以BD＝50，cos30°＝，所以，AD＝50，
CD＝200－50＝150，在Rt△ADC中，
AC＝＝＝100，故选（D）。
2、A.根据正切函数可求得82米
3、B 三角形ABC为正三角形得40海里
4、A；sin30°＝0.5
5、Ｂ．70米
二、6、0
7、
8、
三、9、 解： ∵∠BFC =，∠BEC =，∠BCF =
∴∠EBF =∠EBC =
∴BE = EF = 20
在Rt⊿BCE中，
答：宣传条幅BC的长是17.3米。
10、解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设BD＝x海里，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴CD＝x ·tan63.5°．
在Rt△ACD中，AD＝AB＋BD＝(60＋x)海里，tan∠A＝，
∴CD＝( 60＋x ) ·tan21.3°．
∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即2x=(60+x)．
解得，x＝15．
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近
11、解：，，
，即：
，
12、解：过点作，垂足为点；过点分别作，，垂足分别为点，则四边形为矩形．
，
， ．
，
；
．
，
；
．
．
，
．
由勾股定理，得．
即此时小船距港口约25海里
13、 解：（1）在中，，
∴（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分
14、 解：(1)DH=1.6×=l.2(米)．(2)过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
MH=BC=1 ∴AM=AH-MH=1+1.2一l=l.2．
在RtAMB中，∵∠A=66.5°
∴AB=(米)．
∴S=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0(米)．
答：点D与点C的高度差DH为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米
1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图19，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，
求河宽CD（结果可带根号）。
2、如图20，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：，，，）
3、一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图21)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73)
4、如图22，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.
(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;
(2)给出具体的数值，求出AB的长.
5、如图23，在一座高为10 m的大楼顶C测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶端A的仰角β为20°(取1.73，tan20°≈0.3646)
(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD;
(2)计算旗杆高.(精确到0.1 m)
6. 阅读理解应用．
在锐角中，的对边分别是．如图所示，
过作于，则，即．
在和中有
整理得： （1）
同理可得： （2）
（3）
这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素，，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．
如：在锐角中，已知，
则由（1）式可得：
，则可由式子（2）、（3）分别求出，在此略．
根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：
已知锐角的三边分别是7，8，9，求的度数（保留整数）．
答案：1、米；
2、米；
3、解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°,
AC=20×(11－10)=20(海里).
∴tanBAC=,即tan60°=.
∴BC=20tan60°=20≈34.6(海里).
4、(1)方案：至某点C时，三角板60°角一直角边与BC重合，另一边与AC重合，然后用米尺量出BC的长度，此法就可求出AB的长.
(2)设BC=10米，∠C=60°,
则在Rt△ABC中，tanC=,
∴AB=BC·tan60°=10×=10(米).
5、解：(1)∵∠CBD=α=60°,
∴在Rt△BDC中,
tanCBD=.
∴BD=== (m).
(2)设CE⊥AB，垂足为E,
∴CE=BD=(m).
在Rt△AEC中,
∵tanβ=,
∴AE=CE·tanβ=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ·tan20°≈2.1(m).
∴AB=2.1+10=12.1(m),即旗杆高为12.1 m.
6.答案：解：由（1）得：
则，
由（2）得：
则，
课时作业：
课时作业A
一、耐心填一填
1. 如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos＝ 。
2. 若是锐角，，则_______ 。
3. 要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______。
4. 在山坡上种树，要求株距为5.5米，测得斜坡的倾斜角为300，则斜坡上的相邻两株间的坡面距离是 米。
5. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=300，则BC的长是 米。
二、精心选一选
1. 在⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（ ）
A.都扩大2倍 B.都缩小2倍 C.都不变 D.不确定
2. 在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是
A.c
A.tanA= B.sin2A+sin2B=1 C.sin2A+cos2A=1 D.sinA=sinB
5. 某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）
A.1000 m B.500 m C.500 m D. m
三、用心想一想
1．（1）已知的三个三角函数值。
（2）·
2．“济南八中”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC= 40 m，BC=25 m，请求出这块花圃的面积。
3.在某高速公路建设中，要沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在山坡 的另一边同时施工.如图12所示，从AC上的一点B量取∠ABD=150°，BD=420 m，∠D=60°，那么开挖点E离D多远正好使A、C、E成一直线
课时作业A答案
一、耐心填一填
1. ； 2. 300； 3. ； 4. ； 5. 6。
二、精心选一选
DBADB
三、用心想一想
1.（1） ，，。
（2）。
2. 200+150或200－150。
3. 210。
课时作业B
一、耐心填一填
1. 已知α是锐角，且2cosα=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tanα=______。
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，
AD＝cm,则BC= 。
3. 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建_____阶。(最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，取1.732)
4. 如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m，则点A到对岸BC的距离是_____m.
5. 已知如图，将两根宽度为2cm的纸带交叉叠放，若∠α为已知，则
阴影部分面积为 。
二、精心选一选
1. 在平面直角坐标系内P点的坐标（，），则P点关于轴对称点P／的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
2. 若∠为锐角，且是方程的一个根，则等于（ ）
A.1 B. C. D.
3. 如果∠A为锐角，且cosA=，那么∠A的范围是（ ）
A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
4. 已知△ABC中，∠ABC=900，∠ACB=450，D在BC的延长线上，且CD=CA，则tan的值为（ ）
A. B.-1 C. D.
5. 已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=2，则∠BAC=（ ）
A.1050 B.150 C.1050或150 D. 600
三、用心想一想
1. (1)如图①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.
（2） 据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
2.某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长度(精确到0.1米)。
3.某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,ABBC,ADCD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。
4.如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.
课时作业B答案:
一、耐心填一填
1. 60°，； 2. 5； 3. 26； 4. 30； 5. 。
二、精心选一选
CDDBC
三、用心想一想
1.（1）锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
（2）由(1)知
sin18°
2. AC约为7.1米，BD约为5.8米，CD约为3.4米。
3. ， 。
4. AB=16×20=320(海里),作BD⊥AC垂足为D。
∵∠BAC=30°,∴sin30°=，BD=AB·sin30°=160。
∵160<200,∴B处的货船会受到影响。
课时作业C
1.如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
答案：A
2.如图，点是的角平分线上一点，过点作交于点．若，则点到的距离等于 ．
答案：
3.在中，，，，点在直线上，点到直线的距离为1，则的长为 ．
答案：或
4.等腰三角形的顶角为，腰长为2cm，则它的底边长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
答案：D
5.如图，在中，cm，，则的长为 cm．
答案：8
6.如图，的半径为5，弦是圆上一点，则 ．
答案：
7.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，那么点的坐标是 ．
答案：
8.如图，中，，，平分，若，则 ．
答案：
9.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米．
答案：4
10.如图，已知中， ，，．沿折叠，使得点与点重合，则折痕的长为 ．
答案：2
11.如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，．
求：（1）点的坐标；（2）的值．
答案：解：（1）如图2，作，垂足为，
在中，，，
．
．
点的坐标为．
（2），，．
在中，，．
．
A
B
C
┐
D
B
C
A
60米
A
B
C
B
C
D
E
A
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图1
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
图2
P
A
B
C
30°
60°
北
C
B
A
35°
B
C
A
60°
15°
6m
水平线
视线
视线
铅直线
视线
仰角
俯角
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
D
C
B
A
图1
图2
图3
图4
A
B
C
D
M
N
E
F
图3
图2
图6
图4
图5
图7
图8
图11
图12
图17
图18
图19
图20
图21
图23
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
a
c
b
O
C
B
A
D
P
A
B
C
C
B
O
A
A
B
C
D
A
B
C
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ａ
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