高考数学-外接球、内切球、棱切球讲义-含答案
文档属性
| 名称 | 高考数学-外接球、内切球、棱切球讲义-含答案 |
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| 格式 | |||
| 文件大小 | 6.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-05-27 00:00:00 | ||
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文档简介
外接球、内切球、棱切球专题
目 录
思维导图 .............................................................................................................................................................................2
高考分析 .............................................................................................................................................................................2
学习目标 .............................................................................................................................................................................4
知识要点 .............................................................................................................................................................................4
解题策略 .............................................................................................................................................................................5
题型归纳 .............................................................................................................................................................................7
外接球专题 .........................................................................................................................................................................5
题型 01：外接球之正方体、长方体模型 ......................................................................................................................7
题型 02：可以补成长方体的外接球模型 ......................................................................................................................7
题型 03：外接球之正四面体模型 ..............................................................................................................................10
题型 04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 ................................................................................................................14
题型 05：外接球之直棱柱模型 .................................................................................................................................16
题型 06：外接球之直棱锥模型 .................................................................................................................................22
题型 07：外接球之正棱锥、正棱台模型 ...................................................................................................................26
题型 08：侧棱为外接球直径模型 ..............................................................................................................................29
题型 09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 ...................................................................................................................31
题型 10：垂面模型 ...................................................................................................................................................33
题型 11：外接球之二面角模型 .................................................................................................................................36
题型 12：外接球之共斜边拼接模型 ..........................................................................................................................42
题型 13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 ................................................................................................................44
题型 14：外接球之空间多面体 .................................................................................................................................46
题型 15：球心在高上（圆锥形） ..............................................................................................................................51
题型 16：两个外心+中垂线确定球心 ........................................................................................................................53
题型 17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） .........................................................................................................55
题型 18：外接球之坐标法模型 .................................................................................................................................56
题型 19：与外接球有关的最值问题 ..........................................................................................................................59
题型 20：阿氏球问题 ...............................................................................................................................................64
内切球专题 .......................................................................................................................................................................64
题型 01：内切球之正方体、正棱柱模型 ...................................................................................................................64
题型 02：内切球之正四面体模型 ..............................................................................................................................65
题型 03：内切球之棱锥模型 .....................................................................................................................................66
题型 04：内切球之圆锥、圆台模型 ..........................................................................................................................70
题型 05：棱锥，棱台内切球问题 ..............................................................................................................................72
棱切球专题 .......................................................................................................................................................................74
题型 01：棱切球之正方体、正棱柱模型 ...................................................................................................................74
题型 02：棱切球之正四面体模型 ..............................................................................................................................74
题型 03：棱切球之正棱锥模型 .................................................................................................................................75
题型 04：棱切球之台体、四面体模型 .......................................................................................................................77
动点、折叠等动态几何 ......................................................................................................................................................83
构造球解决圆弧形轨迹问题 ...............................................................................................................................................85
立体几何综合专练（多选压轴） ........................................................................................................................................86
一、考情定位与分值
题型与分值：近 5 年全国卷及新高考卷均以 5 分选择题/填空题为主，偶见压轴小题，大题极少涉及，整
体难度中等偏上，是空间几何核心热点。
考查频率：外接球最高（每年必考），内切球次之（2-3 年考一次），棱切球低频（仅在部分年份或地方卷
中出现，如 2023 年 I 卷）。
核心定位：重点考查直观想象、数学运算与逻辑推理素养，聚焦几何体结构特征、球心定位与半径计算，
常与线面垂直、面面垂直、正弦定理等结合。
二、核心考点与命题规律
（一）外接球：高频核心，多模型覆盖
1. 基础模型（必考点）
正方体/长方体：直径=体对角线直接套用公式。
直棱柱/圆柱：球心在上下底面外心连线中点，用 勾股定理
正棱锥/圆锥：球心在高线上
2 . 补形转化模型（高频）
对棱相等三棱锥、三线两 两垂直三棱锥，补成长方体/正方体，共用外接球。
垂面模型、共斜边拼接模型，通过找底面外心与垂线确定球心，结合勾股定理 求半径。
3. 命题趋势：多与最值（如截面圆面积最大/最小）、范围结合，或与函数、不等式联动，需建模求参数范围。
（二）内切球：中等频率，方法固定
1. 核心方法：等体积法（万能通法）。将几何体体积拆分为以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积和 2.
常考模型
正方体/正四面体：半径公式固定（正四面体棱长为 a，若正四面体的棱长为 a，则它的外接球半径为 R=
6 1
4 a，内切球半径为 r=
6
3R= a.即正四面体外接球与内切球半径之比为 3∶1. 12
）。
正棱锥/圆锥：通过轴截面结合相似三角形或等体积法求半径，需注意“内切球与各面均相切”的几何约束。
3. 命题特点：多以正多面体、圆锥、棱锥为载体，侧重运算准确性，难度低于外接球。
（三）棱切球：低频难点，特殊场景
1. 定义：与几何体各条棱均相切的球，仅特殊几何体（如正方体、正四面体）存在棱切球。
2. 常考模型
正方体：
正四面体：需通过棱长与半径的几何关系推导，公式复杂，命题多为客观题。
3. 命题规律：出现频率低，多作为压轴小题的区分点，考查空间想象与几何转化能力。
三、备考建议
1. 夯实基础模型：熟练掌握正方体、长方体、正四面体、直棱柱的球相关公式，形成条件反射。
2. 强化转化思想：外接球优先补形，内切球必用等体积法，棱切球聚焦特殊几何体的几何关系。
3. 规范运算步骤：涉及勾股定理、根式运算时，先化简再代入数值，避免计算错误。
4. 针对性刷题：外接球多练补形与最值题，内切球多练等体积法，棱切球聚焦正方体与正四面体模型。
外接球、内切球、棱切球的学习目标
一、知识目标
1. 明确三类球的核心定义：外接球（过几何体所有顶点）、内切球（与几何体各面均相切）、棱切球（与几何体
各条棱均相切），知晓其存在的几何体特征（如棱切球仅特殊多面体存在）。
2. 掌握高频模型的半径公式：正方体/长方体、正四面体、直棱柱、圆锥的外接球/内切球半径公式，理解公式
中棱长、高、底面外接圆半径等参数的关联。
3. 厘清球心定位的核心逻辑：外接球球心是各顶点垂直平分线交点，内切球球心是各面角平分线交点，棱切球
球心是各棱垂直平分线交点。
二、能力目标
1. 能快速定位三类球的球心位置，熟练运用“补形法”（外接球）、“等体积法”（内切球）、“几何关系法”（棱
切球）计算半径。
2. 具备复杂几何体转化能力：将三棱锥、不规则棱柱补成正方体/长方体求外接球，通过轴截面分析旋转体的
球心与半径关系。
3. 能解决与球相关的综合问题：结合截面圆性质、最值求解、范围判断，实现“几何特征→公式应用→精准计
算”的连贯解题。
三、素养目标
1. 强化直观想象素养，建立空间几何体与球的位置关联，提升球心定位、截面分析的空间建模能力。
2. 培养数学运算素养，确保公式应用、勾股定理推导、根式化简的严谨性与准确性。
3. 深化化归与转化思想，形成“复杂几何体→基础模型”的转化思维，提升逻辑推理与问题拆解能力。
需要我针对每个学习目标，整理基础公式清单+典型模型拆解，帮你快速夯实核心知识点吗？
知识点一．几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
知识点二．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解.
(2)若球面上四点 P,A,B,C构成的三条线段 PA,PB,PC两两垂直，且 PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元
素“补形”成为一个球内接长方体，根据 4R2=a2+b2+c2求解.
(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心
的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式，按“定义+模型+方法”分类突破，聚焦球心定位与半径计算两
大核心，兼顾空间转化与运算严谨性。
一、外接球（过所有顶点，高频核心）
核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+ 半径公式/勾股定理
1. 基础模型（直接套用公式）
几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数）
正方体（棱长 a） 体对角线中点
长方体（长宽高 a,b,c） 体对角线中点
直棱柱（高 h，底面外接圆半径 r） 上下底面外心连线中点
圆锥（高 h，底面半径 r） 高线上 （解方程）
正四面体（棱长 a） 高线上（距底面）
2. 补形转化模型（高频技巧）
适用场景：对棱相等的三棱锥、三线两两垂直的三棱锥、“墙角”型几何体。
策略：补成长方体/正方体（共用外接球），通过长方体体对角线求半径。
例：三线两两垂直的三棱锥（侧棱长 a,b,c），补成长方体
3. 通用方法（定义法）
步骤：① 找底面多边形的外接圆外心 O ；② 过 O 作底面垂线，球心 O 在垂线上；③ 结合顶点到 O 的
距离等于半径，用勾股定理列方程求解。
二、内切球（与各面均相切，中频考点）
核心策略：等体积法（万能通法）+ 轴截面法
1. 等体积法（多面体通用）
原理：几何体体积 = 以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积之和，
步骤：① 计算几何体总体积 V；② 计算几何体表面积 S；③ 求解。
6
常考模型：正四面体（棱长 a），若正四面体的棱长为 a，则它的外接球半径为 R= 4 a，内切球半径为 r=
1 6
3R= a.即正四面体外接球与内切球半径之比为 3∶1. 12
2. 轴截面法（旋转体/正多面体）
适用场景：圆锥、圆柱、正棱锥。
策略：作轴截面（圆锥→等腰三角形，圆柱→矩形），内切球对应轴截面的内切圆，用平面几何求半径
3. 易错点：仅“所有面到球心距离相等”的几何体有内切球，如斜棱柱一般无内切球。
三、棱切球（与各棱均相切，低频难点）
核心策略：几何关系法（棱长与半径关联）+ 特殊模型
1. 存在条件：几何体各面对角线相等（如正方体、正四面体），普通多面体一般无棱切球。
2. 常考模型
几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数）
正方体（棱长 a） 体对角线中点 （直径=面对角线）
正四面体（棱长 a） 中心 （推导：棱切球与各棱相切，距离中心距离为半径）
3. 通用思路：通过棱长与球心到棱的距离相等建立方程，球心到棱的距离可由空间几何公式计算（如点到直
线距离公式）。
四、综合类问题（与截面、最值结合）
1. 截面圆问题
策略：利用球的截面性质，截面圆面积最大时 d=0（过球心）。
2. 最值问题
策略：设关键参数（如棱长、高），建立半径 R 的函数，用基本不等式或导数求极值（如“体积固定的正
四面体，求外接球体积最小值”）。
五、通用易错点规避
1. 外接球：球心位置判断错误（如直棱柱球心不在底面中心），勾股定理中混淆“高”与“斜高”；
2. 内切球：计算表面积时遗漏底面或重叠面，等体积法公式记错（漏乘 3）；
3. 棱切球：误将“体对角线”当作“面对角线”代入公式，忽略棱切球的存在条件。
外接球专题
题型 01：外接球之正方体、长方体模型
【典型例题 1】一个棱长为 1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A．3π B．2π C． 3π D． π
【答案】A
【解析】∵棱长为 1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
3
∴球的半径是 r ，
2
2
3
∴球的表面积是 4 π 2
3π
故选：A
【变式训练 1-1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ( )
A．50π B．100π C．150π D．200π
【变式训练 1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（ ）
2π 2 3 3π
A． B． C． D．
3 π π 3
题型 02：可以补成长方体的外接球模型
【典型例题 1】据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖
臑”， PA 底面 ABC ， AB BC ，且 PA AB BC 2，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
R PC AP
2 AB2 BC 2 4 4 4
则外接球半径 3．
2 2 2
所以三棱锥外接球表面积 S 4 R2 4 3 12 ．
故选：B．
【典型例题 2】《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”
P ABCD ， PA 平面 ABCD， AB 4 ，△PAD 的面积为 4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为
（ ）
A．24π B． 28π C．32π D．36π
【答案】C
【解析】如图，将四棱锥 P ABCD 补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．
42 AD2 PA2
因为长方体外接球的半径 r ，
2
所以该“阳马”外接球的表面积为：
4π r 2 AD2 PA2 16 π… (2AD PA 16)π 1 4 AD PA 16 4 4 16 π 32π．
2
故选：C．
【变式训练 2-1】在三棱锥 A BCD 中，已知 AC 平面 BCD， BC BD，且 AC 3 ， BC 2， BD 5 ，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．12 B． 7 C．9 D．8
【变式训练 2-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 P ABC 中， PA
平面 ABC， AC CB， PA 2BC 2 ， AC 3 ，则此四面体的外接球表面积为（ ）
8 2 π
A．3π B．8π C．9π D． 3
【变式训练 2-3】在四面体 ABCD中，若 AB CD 3 ， AC BD 2， AD BC 5 ，则四面体 ABCD的外
接球的表面积为（ ）
A．2 B． 4 C．6 D．8
【变式训练 2-4】如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD，四边形 ABCD为正方形， PA 4 ， PC 与平面
tan 2 2
ABCD所成角的大小为 ，且 3 ，则四棱锥 P ABCD 的外接球表面积为（ ）
A．26π B．28π
C．34π D．14π
【变式训练 2-5】正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接
球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体
P ABC, PA BC 6, PB AC 2 2, PC AB 10 ，则该四面体外接球的体积为 ．
【变式训练 2-6】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直
角VABC 中， AD 为斜边 BC 上的高， AB 3, AC 4 ，现将△ABD 沿 AD 翻折成VAB D，使得四面体 AB CD
为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为
【变式训练 2-7】一个三棱锥形木料 P ABC ，其中底面VABC 是 A 90 , AB 2dm的等腰直角三角形， PA
底面 ABC ，二面角 P BC A的大小为 45 ，则三棱锥 P ABC 的外接球表面
积为 2
dm .
题型 03：外接球之正四面体模型
【典型例题 1】一个正四面体的棱长为 2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． 6 B．2 C．3 D． 2 2
【答案】A
【解析】如图，四面体 BDMN 是正四面体，棱长 BD 2，将其补形成正方体GBCD MENF ，
则正方体GBCD MENF 的棱长GB 2 BD 2 ，此正方体的体对角线长为 6 ，
2
BDMN 6正四面体 与正方体GBCD MENF 有相同的外接球，则正四面体 BDMN 的外接球半径 R ，
2
4 4 6
所以正四面体 BDMN 的外接球体积为V R3 ( )3 6 ．
3 3 2
故选：A
【典型例题 2】已知正四面体 A BCD 的棱长为 3，点 E 在棱 AD 上，且 DE 1，若点 A, B,C, E 都在球O的球面
上，则球O的表面积为（ ）
3
A． π B． 2π C．9π D．12π
2
【答案】D
【解析】如图，取 BC 的中点 F ，连接 DF , AF ，在线段 AF 上取点G ，使得 AG 2GF ，连接GB,GC,GE .
在△ADF 中， AD 3, AF 3 3 DF .易知点G 为等边VABC 的中心，
2
GA GB GC 2所以 AF 3 .
3
2
易知GE ∥ DF ，所以GE DF 3 .
3
所以GA GB GC GE ，点G 即为球心O，球O的半径为 3 ，
表面积为 S 4π( 3)2 12π .
故选：D.
【典型例题 3】小张同学将一块棱长为 2 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），
则该四面体外接球的体积为（ ）
A． 6π B． 2 6π C．3 6π D．9 6π
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为 a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面 BCD的中心，E为CD的中点，F在 BE 上，
O为正四面体外接球的球心，则 AF 为四面体的高，O在 AF 上，
2
BE 3 a,BF 2 3 a 3 a AF a2
3 6
则 ，则 a a ，
2 3 2 3 3
3
1 3 6 2
即得V正四面体 a
2 a a3 V ，所以 3 ，
3 4 3 12 正方体
2 2 a 24
又设正四面体外接球的半径 R，
则OB2 6 OF 2 BF 2 ，即 R2 ( a R)2 ( 3 a)2 ，即得 R 6 a，
3 3 4
3 3 34πR 4π 6 4π 6
故外接球体积为V球 a 24 3 6π . 3 3 4 3 4
故选：C．
【典型例题 4】已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
27π 27π
A．9π B．12π C． D．
4 2
【答案】D
【解析】
如图， DM 是正四面体 ABCD的高，O是外接球球心，设外接球半径为 R ，
2
∵正四面体棱长为3，∴ AM 3 3 3 ， DM 32 3 6 ，OM 6 R， AO R ，
3
2 2
由 AO2 AM 2 OM 2得 R2 3 6 R ，
2
3 6 3 6 27π
解得 R ，∴ S 4πR2 4π ．
4 4 2
故选：D．
【变式训练 3-1】已知正四面体 S ABC 的外接球表面积为 6π ，则正四面体 S ABC 的棱长为（ ）
【变式训练 3-2】已知正四面体 A BCD 外接球的表面积为12 ，则该正四面体的表面积为（ ）
A． 4 3 B．6 3 C．8 3 D．12 3
【变式训练 3-3】正四面体 P ABC 的棱长为 2 ，若点Q是该正四面体外接球球面上的一动点，则QA QC 的
最大值为（ ）
6 3 1 3
A． B． 3 C． D．
2 2 2
3
【变式训练 3-4】已知正四面体 P ABC 的外接球的体积为 π ， 则该正四面体的棱长为（ ）
2
A．1 B． 3 C． 2 D． 6
【变式训练 3-5】正四面体 ABCD的棱长为 a ，O是棱 AB 的中点，以O为球心的球面与平面 BCD的交线和CD
相切，则球O的体积是（ ）
1 3 2 3 2
A． a B． a3 C． a3 D． a3 6 6 6 3
【变式训练 3-6】棱长为 a的正方体内有一个棱长为 x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则
x的最大值为（ ）
1 3 3 6
A． a B． a C． a D． a
2 2 6 3
【变式训练 3-7】已知正四面体 ABCD的表面积为 2 3 ，且 A，B，C，D四点都在球 O的球面上，则球 O的体积
为 ．
【变式训练 3-8】一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（ ）
π 3π
A． 2 B． π C． 2 D． 3π
【变式训练 3-9】正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A．1:1 B． 2 :1 C．3:1 D． 4 :1
【变式训练 3-10】已知正三棱锥 A BCD ，各棱长均为 3 ，则其外接球的体积为（ ）
9 3 π 81 2 π 9 2 π 9 3 π
A． 8 B． 16 C． 8 D． 16
【变式训练 3-11】一个正四面体的棱长为 2，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A．3:1 B． 3 :1 C．9 :1 D． 27 :1
【变式训练 3-12】在正四面体SABC中， SA 2 3 ，D，E，F分别为 SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接
球被平面 DEF 所截的圆周长为 ．
题型 04：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典型例题 1】在三棱锥 S ABC 中， SA BC 5， SB AC 41， SC AB 34 ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【答案】A
【解析】因为 SA BC 5, SB AC 41, SC AB 34 ，
所以可以将三棱锥 S ABC 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，
a2 b2 41
a2 2则有 c 25 ，整理得 a2 b2 c2 50 ，
b
2 c2 34
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
2 5 2
所以有 a2 b2 c2 50 2R R ，
2
2
所以所求的球体表面积为： S 4πR2 5 2 4 π 50π．
2
故选：A．
【典型例题 2】在四面体 A BCD 中， AB CD 7, AD BC 29, AC BD 2 7 ，则四面体 A BCD 外
接球表面积是（ ）
32π 256π 256A．64π B． C． D． π
3
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体 A BCD 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 3 ， 25，
2 ，四面体 A BCD 如图所示，
2 2
所以此四面体 A BCD 2的外接球的直径为长方体的体对角线，即 2R 3 25 22 ,解得 R 2 2 .
2
所以四面体 A BCD 外接球表面积是 S 4πR2 4 π 2 2 32π .
故答案为：B.
【典型例题 3】已知四面体 ABCD中， AB CD 2 5 ， AC BD 29 ， AD BC 41 ，则四面体 ABCD外
接球的体积为（ ）
15 5π 45 5π
A． 45π B． C． D． 24 5π
2 2
【答案】C
【解析】设四面体 ABCD的外接球的半径为 R ,
则四面体 ABCD在一个长宽高为 a,b,c 的长方体中，如图，
a2 b2 20,
2 2 22 2
则 b c 29, R a b c 45故 ，
a
2 c2 41, 2 2
V 4 πR3 4 π 45 45 45 5π故四面体 ABCD外接球的体积为 ，
3 3 8 2
故选：C
【变式训练 4-1】四面体 P ABC 的一组对棱分别相等，且长度依次为 2 5 ， 13 ，5，则该四面体的外接球的
表面积为（ ）
29 28 29 29A． B． C． D． 29
4 6
【变式训练 4-2】如图，在三棱锥 P ABC 中， PA BC 3 ， PB AC 2 ， PC AB 5 ，则三棱锥
P ABC 外接球的体积为（ ）
A． 2 B． 3 C． 6 D． 6
【变式训练 4-3】在三棱锥 PABC 中， PA BC 4 ， PB AC 5， PC AB 11 ，则三棱锥 PABC 的外接
球的表面积为（ ）
A． 26 B．12 C．8 D． 24
【变式训练 4-4】在四面体 ABCD 中，若 AB CD 3 ， AC BD 2 ， AD BC 5 ，则四面体 ABCD 的
外接球的表面积为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
【变式训练 4-5】已知四面体 ABCD 中， AB CD 5 ， BC AD 10 ， AC BD 13 ，若该四面体的各
个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 ( )
A． 42 B． 43 C．14 D．16
题型 05：外接球之直棱柱模型
【典型例题 1】将 2个棱长均为 2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
32π 28 21π 20 5π 256 3π
A． B． C． D．
3 7 3 27
【答案】A
【解析】
若将这 2个直三棱柱合成 1个高为 4的直三棱柱，
2 2 3
则底面正三角形的外接圆半径 r ，
2sin 60 3
2
2 3 4 3
所以其外接球的半径为 22 3
；
3
若将这 2个直三棱柱合成 1个高为 2的直四棱柱，
则底面为边长为 2，锐角为60 的菱形，
则底面菱形的外接圆半径 r 2sin 60 3 ，
4 3
所以其外接球的半径为 ( 3)2 12 2 ．
3
4π 3 32π
故该球体的体积的最小值为 2 ．
3 3
故选：A.
2π
【典型例题 2】已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC 2 ， BAC ，C 点到直线 A1B1 的距离为 7 ，则3
三棱柱 ABC A1B1C1的外接球表面积为（ ）
A．12π B．16π C． 20π D． 24π
【答案】C
【解析】
过点C 作CD A1B1 于点 D，连接C1D ，
因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，
CC1 平面 A1B1C1，
又 A1B1 平面 A1B1C1，
CC1 A1B1 ，
CC1，CD ，平面CC1D ，且CC1 CD C ，
A1B1 平面CC1D ，
C1D 平面CC1D ，
A1B1 C1D，
易知 B1A1C1 BAC
2π
， A1B1 A1C1 AB AC 2， 3
C1D 3， BC 2 3 ，
CD CC 2 2 21 C1D CC1 3 7 ，
则CC1 2，
设VABC 外接圆圆心为O1，△A1B1C1 外接圆圆心为O2，
2O A BC1 则 sin 2π
4
，即O1A 2 ，
3
且三棱柱外接球球心O为OO1 中点，
2
1
则外接球半径 R OA O A21 OO 5 ，
2 1
表面积为 4πR2 20π ，
故选：C .
【典型例题 3】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 3AA1 2 3 ，VABC 是等边三角形，点O为该三棱
柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥 B1 AA1C1C 体积之比为（ ）
5 3 2 3 5 3 5 3
A． B． C． D．
3 3 6 2
【答案】A
【解析】取三棱柱上底面中心 D，下底面中心 D1，连接 DD1、 B1D1.取 DD1中点 O，连接OB1
则点 O为三棱柱外接球球心，OB1为三棱柱外接球半径.
由 AB 3AA1 2 3 ，可得 AB BC AC 2 3 ， AA1 2
2
则OB1= OD
2
1 B1D
2
1 1
2 2 3 2 3 5
3 2
2
则三棱柱外接球表面积为 4π 5 =20π
延长 B1D1交 A1C1与 F1 ，则 B1F1为四棱锥 B1 AA1C1C 的高
V 1 1
则 B AA C = S B F 2 3 2
3
2 3 =4 3
1 1 1C 3 AA1C1C 1 1 3 2
20π 5 3π
则三棱柱外接球表面积与四棱锥 B1 AA1C1C 体积之比为
4 3 3
故选：A
【典型例题 4】（多选题）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 2， AB BC 1， ABC 90 ，侧面
AA1C1C 的对角线交点O，点E是侧棱 BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是 1
B．直三棱柱的外接球表面积是 6π
C．三棱锥 E AA1O 的体积与点E的位置有关
D． AE EC1的最小值为 2 2
【答案】ABD
【解析】直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 2， AB BC 1， ABC 90 ，如图所示，
1
直三棱柱的体积为V S△ABC AA1 1 1 2 1，故 A选项正确； 2
2 2
ABC A B C 1 1 2
2 6
直三棱柱 1 1 1是长宽高分别为1,1,2的长方体的一半，外接球的半径为 R ，外接球
2 2
表面积是 4πR2 6π，故 B选项正确；
O是 AC1与 A1C 的交点，则 AA1O的面积为定值，由 BB1 // 平面 AA1C1C ，E到平面 AA1O 的距离为定值，三棱锥
E AA1O 的体积为定值，与点E的位置无关，故 C选项错误；
把侧面 AA1C1C 和侧面CC1B1B展开在一个平面上，当E为 AC1的中点时， AE EC1的最小值等于
AC1 2
2 1 1 2 2 2 ，故 D正确.
故选：ABD
2
【变式训练 5-1】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面VABC 满足 AB AC ， BAC π，若三棱柱3
ABC A1B1C1的体积为8 3 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． 48π B．32π C．16π D．8π
【变式训练 5-2】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球 O的球面上，且 AB 3， AA1 4，
则球 O的表面积为（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【变式训练 5-3】已知正六棱柱的所有棱长均为 2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．16π B． 20π C．8π D．5π
ABC - A B C
【变式训练 5-4】已知正三棱柱 1 1 1 所有棱长都为 6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． 48π B．60 π C． 64π D．84π
ABC A B C AB 2 3, BB 2 5
【变式训练 5-5】）在直三棱柱 1 1 1中，VABC 为等边三角形， 1 ，则三棱柱
ABC A1B1C1的外接球的体积为（ ）
A． 25π B．29π C．32π D．36π
【变式训练 5-6】在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 PBC ， PA 2 ，△PBC 为边长等于 3 的正三角形，则三棱
锥 P ABC 的外接球的表面积是（ ）
A． π B． 2π C． 4π D．8π
【变式训练 5-7】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2, AC BC, AC BC 2 2 ，点D在上底面
A1B1C1（包含边界）上运动，则三棱锥 D ABC 外接球半径的取值范围为 .
【变式训练 5-8】在正六棱锥 P ABCDEF 中，底面中心为O2 ，PO2 2 3AB ， AP 13 ．若平行于底面的平
面与正六棱锥的交点分别为 A1，B1，C1， D1 ，E1，F1，构造一个上底面为正六边形 A1B1C1D1E1F1，下底面在平
面 ABCDEF 里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ．
【变式训练 5-9】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为 40π ，则该三棱柱的体积
为 ．
【变式训练 5-10】在三棱锥 P ABC 中， PA 面 ABC ， ABC 为等边三角形，且 PA AB 3 ，则三棱锥
P ABC 的外接球的表面积为 ．
【变式训练 5-11】已知一个体积为36 的球O1内切于直三棱柱 ABC A1B1C1（即与三棱柱的所有面均相切）,底
面的VABC 中有 BAC 120 , AB : AC 3: 5,则该直三棱柱的外接球O2（即使所有顶点均落在球面上）的表面
积为 ．
题型 06：外接球之直棱锥模型
【典型例题 1】在四面体 ABCD中， BA 平面 ACD，CA AD， BA 3， AC 4， AD 5，该四面体 ABCD外接
球表面积为（ ）
A． 25π B．50π C．12.5π D．100π
【答案】B
【解析】将四面体补形为长方体，
则外接球的直径即为长方体的体对角线长 l2 32 42 52 50，
即 l 5 2 ，
5 2
因此外接球的半径为 r ，其表面积为 S 4 r 2 50π.
2
故选：B
【典型例题 2】如图，在四面体 P ABC 中， PA 平面 ABC, AC CB, PA AC 2BC 2，则此四面体的外接
球表面积为（ ）
A．3π B．9π C．36π D． 48π
【答案】B
【解析】将四面体 P ABC 补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为 2 、1、 2 ，
四面体 P ABC 的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为 R ，
故 2R 22 12 22 3，所以外接球表面积为 S 4πR2 9π .
故选：B.
【典型例题 3】已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， ABC 60 ， PA AC 2 ，则此三棱锥外接球的表
面积为（ ）
14π 28π
A． B． C．10π D．5π
3 3
【答案】B
【解析】在VABC 中， AC 2， ABC 60 ，
r AC 2 2
则VABC 的外接圆的半径 2sin ABC 3 3 ， 2
2
因为 PA 平面 ABC ， PA 2 ，设此三棱锥外接球的半径为 R ，
2 2
则 R2 1 PA
r 2 12 2 7 ， 2 3 3
2 28π
则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 4πR ．
3
故选：B．
【典型例题 4】已知三棱锥 P-ABC中， PAB 是边长为 2的等边三角形， PC 2， AC 6 ， BC 2 ，则三
棱锥 P-ABC的外接球表面积为（ ）
32 28
A． 6π B．10π C． π D． π
5 5
【答案】C
【解析】由已知 AB2 BC 2 AC 2 ，所以 AB BC ，
取 AC 中点 D，则 D是VABC 的外心，
又 PA PB PC ，所以 P 点在底面 ABC 上的射影是VABC 的外心，即为 D，
所以 PD 平面 ABC ，因此外接球球心O在 PD上， PAC 的外接圆就是球的大圆，
PD PC2 CD2 22 ( 6 )2 10
PD 10
，所以 sin PCD ，
2 2 PC 4
2OP AP 2
sin PCD 10 2 10，OP ，这就是外接球的半径，
4 5
2 10 32π
外接球表面积为 S 4π OP2 4π ( )2 ，
5 5
故选：C．
【典型例题 5】已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC, CAB
π
, PA 2, BC 2 3 ，则此三棱锥外接球的表
3
面积为（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【答案】B
BC
【解析】由题设，底面VABC 的外接圆半径 r 2，
2sin CAB
PA
又 PA 平面 ABC ，且 PA 2 ，则三棱锥的外接球半径 R r 2 ( )2 5 ，
2
所以外接球表面积为 4πR2 20π .
故选：B
【变式训练 6-1】三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 PA 平面 ABC ，VABC 是正三角形，
PA 2BC 4，则该球的表面积是（ ）
8π 16π 32π 64π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式训练 6-2】已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O的球面上， AD 平面 ABC ， AD 2， AB AC ，
若三棱锥 A BCD （以A 为顶点）的侧面积为 6，则球O的表面积的最小值为（ ）
A．36π B．12π C． 24π D．30π
【变式训练 6-3】已知三棱锥 P BCD 中， BC CD， PB 底面 BCD， BC 1， PB CD 2，则该三棱锥的
外接球的体积为（ ）
7 9 27 25A． B． C． D．
4 2 8 9
【变式训练 6-4】已知在三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD， AB 2 3, AC AD 4,CD 2，则三棱锥
A BCD 外接球的表面积为（ ）
40π 52π
A． B．15π C． D．20π
3 3
【变式训练 6-5】已知三棱锥 A BCD 中，底面 BCD是边长为 2 3 的正三角形， AB 底面 BCD，且 AB 4 ，则
该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．12 B．16 C．32 D． 48
【变式训练 6-6】已知 S，A，B，C是球 O表面上的不同点， SA 平面 ABC ， AB BC ， AB 1， BC 2 ，
若球 O的表面积为4π，则 SA （ ）
2
A． 2 B．1 C． 2 D． 3
【变式训练 6-7】已知三棱锥 S ABC 所在顶点都在球O的球面上，且 SC 平面 ABC ，若
SC AB AC 2, BAC 120 ，则球O的体积为（ ）
20 5π 32π 20π 32 5π
A． 3 B． 3 C． 3 D． 3
【变式训练 6-8】已知三棱锥 A BCD ， AB 底面 BCD， CBD 90 ， AB 5， BC 3， BD 4，则三棱锥
A BCD 的外接球表面积为 .
【变式训练 6-9】已知在三棱锥 P－ABC中，PA＝4， BC 2 6 ，PB＝PC＝3， PA 平面 PBC，则三棱锥 P－ABC
的外接球的表面积是 .
【变式训练 6-10】已知点 S , A, B,C 均在半径为 2的球面上， ABC 是边长为 3的等边三角形， SA 平面 ABC ，
则 SA ．
题型 07：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典型例题 1】已知正三棱锥 P ABC 中，侧棱长为 3，底面边长为 6 ，则该三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】9π
【解析】过点 P 作 PO 平面 ABC ，垂足为O，连接OC ，
2
2 2 2 2由已知得OC 6 6 2 ， PO 3 2 1， 3 2
设外接球的球心为O1，因为 PO OC ，所以O1在 PO的延长线上，
设外接球的半径为 R ，则 PO1=O1C R ，
2
2 2 2 2 2 3由O1O OC O1C 得 R 1 2 R ，解得 R ， 2
2
S 4πR2 4π 3 所以外接球的表面积为 9π .
2
故答案为：9π
6
【典型例题 2】已知正三棱锥 P ABC 的体积为 , AB 3 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
4
7π 9π
A．7π B． C．9π D．
2 2
【答案】D
【解析】设正三棱锥 P ABC 的底面中心为M ，外接球的球心为O，显然球心O在直线 PM 上.
设正三棱锥 P ABC 的高为 h ，外接球的半径为 R ，
3 3 3
由 AB 3 ，可得正三角形 ABC 的面积为 ( 3)2 ，
4 4
1 3 3 6
所以 h ，解得h 2 .
3 4 4
2
球心O到底面 ABC 的距离为OM h R , AM AD 1，
3
由 R2 OM 2 AM 2 R2 ( 2 R)2 12 , R
3
，得 ，
2 2
2 9π
所以外接球的表面积为 4πR .
2
故选：D.
【典型例题 3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台 ABCD A B C D 是一个侧棱相
等、高为 1的“刍童”，其中 AB 2A B 2， BC 2B C 2 3 ，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
20 π 20 5 π
A．20π B． 3 C． 3 D．5 5π
【答案】A
【解析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为 O，根据几何关系求出外
接球半径即可求其表面积．
如图，连接 AC、BD、 A C 、 B D ，设 AC∩BD＝M， A C ∩ B D ＝N，连接 MN．
∵棱台 ABCD A B C D 侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段 MN所在直线上，设外接球球心为 O，
如图当球心在线段 MN延长线上时，
易得 AC AB2 BC 2 4 12 4 ，MC＝2， A C A B 2 B C 2 1 3 2 ， NC 1，
MN＝1，由OC OC 得， NC 2 ON 2 OM 2 MC 2 ，即
1 OM MN 2 OM 2 4 1 OM 1 2 OM 2 4 OM 1，
2
故 OC＝OC 12 22 5 ，∴外接球表面积为 4π 5 20π ．
如图当球心在线段 MN上时，
由OC OC 得， NC 2 ON 2 OM 2 MC 2 ，即
1 MN OM 2 OM 2 4 1 1 OM 2 OM 2 4 OM 1舍去
【变式训练 7-1】已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，PA PB PC AB BC 2 2 ，
AC 2 3 ，则球O的表面积为（ ）
40π 27 21
A． B． 20π C． π D． π
3 4 2
【变式训练 7-2】已知三棱锥 P ABC ， PA PB PC 2 3 ， AB 2 6 ， BC 2 3 ， AC 6 ，三棱锥
P ABC 外接球的表面积与三棱锥 P ABC 的侧面积之比为（ ）
A． 4 3 1 π B． 4 3π C． 4 2 1 π D． 4 2π
32
【变式训练 7-3】已知正三棱锥的高为 h ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 π ，则三棱锥体积
3
的最大值是（ ）
32 3 64 3 128 3 256 3
A． B． C． D．
27 27 27 27
【变式训练 7-4】某正六棱锥外接球的表面积为36π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形
边长 l 2 2，3 ，则其体积的取值范围是（ ）
4 3 27 3
4 3 32 3
A． , B． ,
2 2
27 3 32 3 3
C． , D． ,4 3
2 2
2
【变式训练 7-5】已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 2 3 ，若半径为 1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三
棱锥 P ABC 外接球的半径为（ ）
2 3 4 3
A． 3 B．2 C． D．
3 3
3 3 3
【变式训练 76】正四棱台 ABCD A1B1C1D1，上下底面分别是边长为 2，3的正方形，若 AA1 , ，则
2 2
该棱台外接球表面积的取值范围是 ．
【变式训练 7-7】已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【变式训练 7-8】已知正四棱台的上、下底面边长分别是 1和 2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积
为8π ，则此正四棱台的侧棱长为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
14
【变式训练 7-9】已知正四棱台的体积为 3 ，上、下底面边长分别为 2, 2 2 ，其顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A． 20π B． 25π C．36π D． 50π
ABCD A B C D
【变式训练 7-10】已知正四棱台 1 1 1 1的高为 6 ，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，
ABCD ABCD A B C D且该球的球心在底面 上，则棱台 1 1 1 1的体积为（ ）
14 286 6
A． 3 B．14 6 C． 3 D．28 6
2 2
【变式训练 7-11】正四棱台 ABCD EFGH ，其上、下底面的面积分别为 2cm ，8cm ，该正四棱台的外接球表
2
面积为 20πcm ，则该正四棱台的体积为 .
题型 08：侧棱为外接球直径模型
【典型例题 1】已知 PC 为球O 的直径， A ， B 是球面上两点，且 AB 2 2 ， APC ， BPC ，若球
4 3
O 32 的体积为 ，则棱锥 P ABC 的体积为 ( )
3
3 2 2 4 3
A． 4 3 B． C． D．
2 2 3
【答案】D
【解析】解：由题意知OP OC OA OB 2 ， AB 2 2 ，
APC BPC ， ，
4 3
AP AC 2 2 ， PBC 90 ，
AO 1 平面 BPC ， S PBC 2 2 3 2 3 ， 2
1
棱锥 A PBC 的体积V 2 3 2 4 3 ．
3 3
故选： D ．
【典型例题 2】在三棱锥 P-ABC 中，已知△ABC是边长为 2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球 O的直径，PA＝
4，则点 P到底面 ABC的距离为（ ）
2 3 4 6
A． 2 4 3 B． C． D．
3 3 3
【答案】D
【解析】设点 P到底面 ABC的距离为 h ，点O到底面 ABC的距离为h1，
则 h 2h1.
连接OB 、OC ，则三棱锥O ABC 是棱长为 2的正四面体，
取 BC 的中点D，连接 AD ，作OH AD ，则OH 平面 ABC ，
即 h1 OH ，在正VABC 中， AH
2
AD 2 3 ，
3 3
在Rt△AOH h 4 2 6中， 1 OH = AO
2 AH 2 4 ，
3 3
即 h 2h 4 6 4 61 ，即点 P到底面 ABC的距离为 . 3 3
故选：D.
【变式训练 8-1】已知球O 的直径 SC 4 ， A 、 B 是该球面上的两点，且 AB 2 ， ASC 30 ， BSC 45 ，
则三棱锥 S ABC 的体积为 ( )
2 2 2 4 2 5 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式训练 8-2】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O的球面上，SC 是球 O的直径.若平面 SAC 平面
SBC ， SA AC ， SB BC ，球 O的体积为36π，则三棱锥 S ABC 的体积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
题型 09：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典型例题 1】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， ABC ， AC 2 ，则三棱锥 P ABC 外接球表面积4
的最小值是（ ）
A．8 B． 4 C．2 D．
【答案】B
【解析】设底面VABC 外接圆圆心为O1，半径为 r ，
2r AC则 2，即 r 1.
sin ABC
设三棱锥 P ABC 高为 h，球的半径为 R .
由 PA PB PC ，得球心O在 PO1 上，且 (h R)2 r 2 R2 ，
R 1 h 1 1则 2 h
1
1，当且仅当 h 1时等号成立，
2 h 2 h
此时外接球表面积最小，则 Smin 4 .
故选：B
【典型例题 2】三棱锥 P ABC 3体积为 ，且PA PB PC, AB AC 1, BC 3 ，则三棱锥外接球的表面积
6
为____________．
25
【答案】
4
【解析】三棱锥 P ABC 中，取 BC中点 D，连 PD，连 AD并延长至 O1，使 DO1=AD，连接 BO1，CO1，PO1，如图：
于是得四边形 ABO1C 为平行四边形，而 AB AC 1， ABO1C 是菱形，
2
ABC AB AC
2 BC 2 1
在 中， BC 3 ，由余弦定理有 cos BAC ，即 BAC 120 ，
2AB AC 2
则 ABO1 60
，△ABO1 是正三角形，O1A O1B O1C 1，于是得 O1是 ABC 外接圆圆心，
因 PA PB PC ，D为 BC中点，则 PD⊥BC，又 AO1⊥BC， PD AO1 D ， PD, AO1 平面 PAO1，从而有 BC
平面 PAO1， PO1 BC ，
同理 PO1 AC ，而 AC BC C，从而得 PO1 平面 ABC ，由球的截面小圆性质知，三棱锥 P ABC 外接球
球心 O在直线 PO1 上，
1
又 S ABC AB AC sin120
3 1 3 ，则V PO 2
2 4 P ABC
PO
3 1
S ABC ，解得 1 ， 6
设球 O的半径为 R，则OB OP R ，OO1 | R 2 |， Rt△OO 2 2 2 2 21B 中，O1B O1O OB ，即1 (R 2) R ，
解得 R
5
，
4
S 4 R2 25 则球 O的表面积为 ，
4
25
所以三棱锥外接球的表面积为 ．
4
25
故答案为：
4
【变式训练 9-1】在三棱锥 P ABC 中， PA PC AB BC AC 2 3 ，PB 3 3，则该三棱锥的外接球的
表面积为（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
π
【变式训练 9-2】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2 3 ， AB 2AC 6 ， BAC ，则该三棱锥外接球3
的表面积为 ．
【变式训练 9-3】在三棱锥 S ABC 中， SA SB CA CB AB 2，二面角 S AB C 的大小为60 ，则三棱
锥 S ABC 的外接球的表面积为 ．
题型 10：垂面模型
【典型例题 1】在三棱锥 P-ABC中， PA PB BC 6, AC 6 2, AB BC ，平面 PAB⊥平面 ABC，若球 O是三
棱锥 P-ABC的外接球，则球 O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在VABC 中， BC 6, AC 6 2, AB BC ，则 AB PA PB 6 ， AC 中点O1为VABC 的外心，
于是OO1 平面 ABC ，取 AB 中点D，连接PD，则 PD AB ，而平面 PAB⊥平面 ABC，
平面PAB 平面 ABC AB ， PD 平面PAB，则 PD 平面 ABC ，OO1 / /PD ，
PAB 1 1 3令正 的外心为O2 ，则O2 为PD的 3等分点，O2D PD AB 3 ， 3 3 2
又OO2 平面PAB，则OO2 PD ，而 PD DO1，则四边形OO1DO2 是矩形，
OO1 O2D 3，因此球 O的半径 R OA ( 3)2 (3 2)2 21 ，
所以球 O的表面积为 S 4πR2 84π .
故选：B
π
【典型例题 2】在体积为 12的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD， ACD ，
3
BCD π ，若点 A, B,C, D 都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
4
A．12π B．16π C．32π D． 48π
【答案】D
【解析】
如图，取CD的中点O，连接 AO ，BO，
因为 AC AD， BC BD，所以OA OB OC OD，因此点O就是球心，
BCD π又 ，故△BCD是等腰直角三角形，所以OB CD ．
4
因为平面 ACD 平面 BCD，平面 ACD 平面 BCD CD，
所以OB 平面 ACD ．
设球O半径为 R ，则OB R ， AC R ，
又 ACD
π
，则 ，
3 AD 3R
A BCD V 1 S OB 1 1 3所以三棱锥 的体积 ACD AC AD OB R
3 12，
3 3 2 6
所以 R 2 3 ，所以球 O的表面积为 4πR2 48π．
故选：D．
【典型例题 3】已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球O上,底面 ABCD是矩形,平面 PAD 平面 ABCD , PAD 为
正三角形, AB 2AD 4 ,则球O的表面积为______．
64π
【答案】
3
【解析】过点 P作 PE∥AB,交球面于点 E,连接 BE,CE,则 BE∥AP,CE∥DP,三棱柱 APD-BEC为正三棱柱,故球心为正
2 3
三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD为正三角形,AD=2,所以△PAD外接圆的半径为 ,所以球 O的半
3
2 2
2 2 3 4 3 4 3 64π径 R 2 ,所以球 O的表面积为 4π .
3 3
3 3
【典型例题 4】在三棱锥 P ABC 中， PA PB 3, AB 4, BC 3, AC 5，若平面 PAB 平面 ABC ，则三棱
锥 P ABC 外接球的表面积为_______．
126
【答案】
5
【解析】如图所示，过 P作 PD垂直 AB于 D，PA=PB，所以 D为 AB的中点，因为平面 PAB 平面 ABC ，所以 PD
面 ABC，又因为 AB2 BC 2 AC 2 ，所以三棱锥 P ABC 外接球的球心在面 ABC内的射影为 AC的中点，且 O，E，
D，P四点共面．
过 O作 OF垂直 PD于 F，所以四边形 OEDF为矩形．设球心 O到面 ABC的距离为 h，即 OE=FD=h，三棱锥 P ABC
1 3 5
外接球的半径为 R．在等腰 PAB中， PD 32 22 5 ，而OF DE BC ， AE ， 2 2 2
2 2
R2 5 h2 3
2 1
故 5 h ，解得 h ， R2 1 25 126 ，
2 2 2 5 20 4 20
S 4 R2 126 表面积 ．
5
【变式训练 10-1】如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ACD 平面 BCD， ACD是以CD为斜边的等腰直角三角
形， AB BC ， AC 2CB 4，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．32π C． 40π D．64π
【变式训练 10-2】在体积为12的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD，
ACD π ， BCD
π
，若点A ， B ，C ， D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）
3 4
A． 24 3π B． 48π C．32 3π D．64π
3
【变式训练 10-3】在体积为 的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD，
2
ACD π
π
， BCD ，若点A 、 B 、C 、 D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） 6 4
A．12π B．16π C．32π D． 48π
【变式训练 10-4】已知四棱锥 P ABCD 的五个顶点在球O的球面上，平面 PCD与平面 PAD 都与底面 ABCD
垂直，且 AB BC 3， PD CD DA 1，则球O的体积为________．
【变式训练 10-5】在三棱锥 E ABC 中，平面 ACE 平面 ABC ， AC CE 2AB 12， BAC ，AC CE ，
3
点D为 AC 的中点，F 是CE上的一个动点，则三棱锥B ADF 外接球表面积的最小值为 .
【变式训练 10-6】在△ABC中， AB BC 3， AC 2，将△ABC沿 AC旋转，当点 B到达点B 的位置时，平
面 B AC 平面 BAC ，则三棱锥 B ABC 外接球表面积为 ．
【变式训练 10-7】如图，在四面体 ABCD中，△ABD 与△BCD均是边长为 2 3 的等边三角形，二面角
A BD C 的大小为90 ，则四面体 ABCD的外接球表面积为 .
题型 11：外接球之二面角模型
【典型例题 1】如图，平行四边形 ABCD中， AB BD DC 2， A 45 .现将△BCD沿 BD起，使二面角
C BD A大小为 120°，则折起后得到的三棱锥C ABD外接球的表面积为（ ）
A．10π B．15π C． 20π D． 20 3π
【答案】C
【解析】作出辅助线，找到二面角C BD A的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接
球半径，得到表面积.
如图所示，过点 D 作 DE / / AB ，过点A 作 AE / /BD ，两直线相交于点E，
因为 AB BD DC 2， A 45 ，
所以 ADB 45 ， AB ⊥ BD，则 DE ⊥ BD，
由于CD⊥ BD，故 CDE即为二面角C BD A的平面角，
则 CDE 120 ，
过点C 作CF ⊥ DE 于点 F ，
因为 BD⊥ DE ， BD⊥CD， DE CD D ， DE,CD 平面CDF ，
故 BD⊥平面CDF ，
因为CF 平面CDF ，所以 BD⊥CF ，
又 BD DE D， BD, DE 平面 ABDE ，
则CF ⊥平面 ABDE ， CDF 60 ，
取 AD 的中点 H ，则外接球球心在平面 ABD的投影为 H ，即OH ⊥平面 ABDE ，
连接 FH ， AO,CO ，则 AO CO ，过点O作OG / /FH ，交直线CF 于点G ，
则OH FG ，
1
CD 2,CF CD sin 60 3, DF CD cos 60 1， AH DH AD 2 ，
2
2
由余弦定理得 FH DF 2 DH 2 2FD DH cos FDH ， 1 2 2 1 2 2
5 ，
设 OH h， 则 FG h ， 故 CG CF FG 3 h， 由 勾 股 定 理 得 OC 2 OG2 2
2
CG 5 3 h ，
2
OA2 OH 2 AH 2 2 h2 ，故5 3 h 2 h2 ，解得 h 3 ，故外接球半径为 2 h2 5 ，外接球表面
积为 4π 5 20π .
【典型例题 2】在边长为 2 的菱形 ABCD中， ABC 120
，将△ABD 沿着 BD折叠，得到三棱锥 A BCD ，
若 A C 3，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
4 21π 22 21π 28 21π 2 21π
A． 3 B． 27 C． 27 D． 3
【答案】C
【解析】设 BD的中点为E，连接 A E ，CE，设 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆心，过点 P 、G 分别
作平面 A BD、平面 BCD的垂线，设两垂线交于点O，从而得到点O为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理
求出 A EC ，即可求出OG ，再由勾股定理求出OC ，即可求出外接球的体积.
在菱形 ABCD中， ABC 120 ，所以△ABD 和△BCD均是边长为 2 的等边三角形，
如图在三棱锥 A BCD 中，设 BD的中点为 E，连接 A E ，CE，设 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆
心，
过点 P 、G 分别作平面 A BD、平面 BCD的垂线，设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心，
连接OC 、OE ，则OC 为外接球的半径，
依题意CE A E 3 ，且CE BD 、 A E BD，
cos A EC A
E2 EC 2 A C 2 3 3 9 1
由余弦定理 ，
2A E EC 2 3 3 2
所以 A EC 120 ，
由 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆心，
所以CG 2 CE 2 3 EG 1 ， CE 3 ，
3 3 3 3
因为OP PE，OG EG， PE EG，
所以△OPE≌△OGE ，所以 OEP OEG 60 ，所以OG EG tan 60 1，
2
OC 12
2 3 21 21
所以 ，即外接球的半径 R OC ，
3 3 3
3
V 4πR
3 4π 21 28 21π
所以外接球的体积
3 3 3
.
27
【典型例题 3】已知菱形 ABCD中，对角线 BD 2，将△ABD 沿着 BD折叠，使得二面角 A BD C 为120 ，
AC 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 .
28π
【答案】
3
【解析】将 ABD沿 BD折起后，取 BD中点为E，连接 AE ，CE ，得到 AEC 120 ，在△AEC 中由余弦定
理求出 AE 的长，进一步求出 AB 的长,分别记三角形△ABD 与△BCD的重心为G 、 F ，记该几何体 ABCD的
外接球球心为O，连接OF ，OG ，证明 Rt OGE 与 Rt OFE 全等，求出OE ，再推出 BD OE ，连接OC ，由
勾股定理求出OC ，即可得出外接球的表面积.
将 ABD沿 BD折起后，取 BD中点为E，连接 AE ，CE ，
则 AE BD，CE BD ，可知 AEC 即为二面角 A BD C 的平面角，即 AEC 120 ；
设 AE a，则 AE CE a，在△AEC 中，由余弦定理可得： AC 2 AE2 EC 2 2AE CE cos120 ，
即9 a2 a2 2 a a
1
解得 a 3，即 AE 3，可得2 AB 1 3 2，
所以△ABD 与△BCD是边长为 2 的等边三角形，分别记三角形△ABD 与△BCD的重心为G 、 F ，
则 EG 1 EF AE 3 2 ，CF CE 2 3 ； EF EG；
3 3 3 3
因为△ABD 与△BCD都是边长为 2的等边三角形，所以点G 是△ABD 的外心，点 F 是△BCD的外心；记该几
何体 ABCD的外接球球心为O，连接OF ，OG ，
根据球的性质，可得OF 平面 BCD，OG 平面 ABD，所以 OGE 与△OFE 都是直角三角形，且OE 为公共
边，所以 Rt OGE 1与Rt△OFE 全等，因此 OEG OEF AEC 60 ，
2
所以OF EF tan 60 1；因为 AE BD，CE BD ， AE I CE E ， AE,CE 平面 AEC ，
所以BD 平面 AEC ；又OE 平面 AEC ，所以 BD OE ，连接OC ，则外接球半径为OC 2 OF 2 CF 2
7
，
3
所以外接球表面积为 S 4π
7 28π
.
3 3
ABC π
【典型例题 4】已知菱形 ABCD的边长为 2， 3 ．将△DAC 沿着对角线 AC折起至△D AC ，连结
2π
BD ．设二面角 D AC B 的大小为 ，当 3 时，则四面体 D ABC 的外接球的表面积为 ．
28
【答案】
3
【解析】连接 BD交 AC 于点O，得 BOD 即二面角 D AC B 的平面角 ，作出四面体 D ABC 的外接球球心
P ，证明 P, N ,O, M 四点共面，依次求出ON , PN ，继而求得外接球的半径 PB，即可求出其表面积.
连接 BD交 AC 于点O ,由题意，点O为 AC 中点，且 BO AC, D O AC ,则 BOD 即二面角 D AC B 的平
面角 .
如图，设 M , N 分别是△ACD 和 BAC 的外心，分别过点 M 作 PM 平面 ACD ,过点 N 作 PN ^ 平面 ABC ,
PM PN P ,
则点 P 为四面体 D ABC 的外接球球心.
由 BO AC, D O AC ， BO D O O, BO, D O 平面 BOD ,故得， AC 平面 BOD ,
又 AC 平面 ACD ， AC 平面 ABC ，故得，平面 BOD 平面 ACD ，平面 BOD 平面 ABC ，
故 P, N ,O, M 四点共面.
2π由 可知 PON
π
,
3 ON
1 3 3
2 , PN ON tan π 1，
3 3 2 3 3
D ABC 2 3 7故四面体 的外接球的半径为： PB PN 2 BN 2 12 ( )2 ,
3 3
7 28π
于是四面体 D ABC 的外接球的表面积为 4π ( )2 .
3 3
【变式训练 11-1】如图，在三棱锥 A BCD 中， AB BC AC CD 2， BCD 120 ，二面角 A BC D 的
大小为120 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为（ ）
82 80 244
A． B． C． 27 D．
3 3 9
【变式训练 11-2】如图，在直角梯形 ABCD中，已知 AD / /BC ， AD AB 1， BAD 90 ， BCD 45 ，
现将△ABD 沿 BD折起到△PBD 的位置，使二面角 P BD C 的大小为 45°，则此时三棱锥 P BCD 的外接球
表面积是（ ）
8π 14π
A． B． C． 4π D． 6π
3 3
【变式训练 11-3】已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱长为 10 ，且二面角 P AB C 的正切值为 2 2 ，则它的外
接球表面积为（ ）
40
12π π 25A． B． C．8π D． π
3 2
【变式训练 11-4】已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱长为 2 ，且二面角 P AB C 的正切值为 6 ，则它的外接球
表面积为（ ）
16 28
A． π B． 6π C．8π D． π
3 3
【变式训练 11-5】梯形 ABCD中， AB CD ， CBA 90 ， DC 2BC 4，点E在线段 AB 上，且
2
DE∥BC ，以 DE 为折痕将 ADE 折起，使点A 到达点 P 的位置，且二面角 P DE B 等于 ，当 PB 6 时，
3
四棱锥 P EBCD外接球的表面积为___________.
【变式训练 11-6】如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AC BC BD CD ，二面角 A BC D 的余弦值为
1 1
，若三棱锥 A BCD 的体积为 ，则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为______．
3 3
【变式训练 11-7】已知四面体 ABCD的各顶点都在同一球面上，若 AB BC CD DA BD 2 3 ，二面角
A BD C 的平面角为 60o，则该球的表面积是
【变式训练 11-8】已知三棱锥 D ABC 中， AB 4, AC 3, BC 5 ，三角形 DBC 为正三角形，若二面角
D BC A为120 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式训练 11-9】如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PB 5 ，CA AB ， AB AC 2 ，二面角 P AB C
的大小为120 ，则三棱锥 P ABC 的外接球表面积为 .
【变式训练 11-10】已知菱形 ABCD中，对角线 BD 2，将△ABD 沿着BD折叠，使得二面角 A BD C 为
120 ， AC 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 .
【变式训练 11-11】在三棱锥 P ABC 中，已知VABC 是边长为 2的正三角形，且 PA PB .若 PAB 和VABC
5
的面积之积为 3 ，且二面角 P AB C 的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
5
题型 12：外接球之共斜边拼接模型
【典型例题 1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是菱形， PB 底面 ABCD， O是对角线 AC 与BD的交点，若
APB PB 1， ，则三棱锥 P BOC 的外接球的体积为（ ）
3
2 4 5
A． B． C． D．2
3 3 3
【答案】B
【解析】解：∵底面 ABCD为菱形，∴ AC BD ，又 PB 底面 ABCD，∴ AC PB ，
∴ AC 平面 PBD，∴ AC PO ，即 POC ，
2
取 PC的中点 M，如下图：
1
连结 BM，OM，在 Rt△PBC 中，MB=MC=MP= 2 PC，
在 Rt POC 1△ 中 MO= 2 PC，
∴点 M为三棱椎 P-BOC的外接球的球心，
在△PAC 中，由于 PO AC ，O是 AC的中点，所以△PAC 是等腰三角形，
PA PC 1 cos 2 ，
3
1 4
外接球半径为 PC 1 ，外接球的体积为 ；
2 3
故选：B．
【典型例题 2】在矩形ABCD 中，AB 4,BC 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则
四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
125 125 125 125
A． 12 B． 9 C． 6 D． 3
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ．
∴点O 到四面体的四个顶点A、B、C、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图所示．
D
A O C
B
【变式训练图12- 21】已知三棱锥 P ABC 中，PA 1， PB 3， PC 5 ， AB 2 2 ，CA CB 2 ，则此三棱
锥的外接球的表面积为（ ）
14 28
A． B． C．9 D．12
3 3
【变式训练 12-2】在三棱锥 A SBC 中， AB 10, ASC BSC , AC AS, BC BS 若该三棱锥的体积
4
15
为 ，则三棱锥 A SBC 外球的体积为（ ）
3
A． B． C． 5 D．3 4 3
【变式训练 12-3】把边长为 2 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折成直二面角 D AC B，则三棱锥D ABC 的
外接球的球心到平面BCD的距离为（ ）
3 2 6 1
A． 3 B． 2 C． 3 D． 2
【变式训练 12-4】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O的球面上， SC 是球O的直径.若平面 SCA 平面
8
SCB ， SA AC ， SB BC ，三棱锥 S ABC 的体积为 3 ，则球O的体积为（ ）
20 32
A． 4 B． 3 C．6 D． 3
2 2
【变式训练 12-5】在平行四边形 ABCD 中， AB BD ， 2AB BD 1，将此平行四边形沿对角线 BD折叠，
使平面 ABD 平面CBD ，则三棱锥 A BCD 外接球的体积是 ．
题型 13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典型例题 1】已知某圆锥底面半径为 1，高为 2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
25 π 25 25π π 25A． B． C． D． π
8 6 4 2
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为 R ，
5
则有R2 1 (2 R)2 ，解得 R ，
4
2 25π
则该圆锥的外接球表面积 S 4πR ．
4
故选：C．
S1
【典型例题 2】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为 S1, S2，且 2S ，对应圆锥外接球体积分2
V
V ,V 1别为 1 2 ，则 V （ ） 2
A．8 B．4 2 C． 2 2 D．2
【答案】C
【解析】设两个圆锥的母线长分别为 l1, l2 ，高分别为 h1,h2 ，底面圆的半径分别为 r1, r2，
对应圆锥的外接球半径分别为 R1, R2 ，
由题可得 l1 2 r1 l1 2r1， h1 3r1，同理得： l2 2r2 ， h2 3r2
S1 r1l1 r 2r 2
由 1 1 2
r1 2
S2 r2l2 r2 2r
，得 2
2 r2
又 R2 r 2 (h R)2 ，化简得 h2 r 2 2Rh，
h2 r 21 1 3r
2 2
1 r1 4 3
R1 2h1 2 3r1 r1 2 V
R1 3
， 1 = 3 =
R1
R h2 r 2 3r 2 r 2 r V 4 R3
=2 2
2 2 2 2 2 2 2 R3 2
2h 22 2 3r 32
故选：C
【典型例题 3】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的
下面是一个底面积为 32π,高为 h的圆柱,上面是一个底面积为 32π,高为 h的圆锥,若该容器有外接球,则外接
球的体积为 ( )
36 64 2
256
A． B． C． 288 D．
3 3
【答案】C
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是 2R 3h ，
设圆柱的底面圆半径为 r ，母线长为 l h，
则 r2 32 ，解得 r 4 2 ，
又 l2 (2r)2 (3h)2 ，
h2 (8 2)2 9h2，
解得 h 4 ，
3外接球的半径为 R 4 6，
2
4 R3 4 63 外接球的体积为V 288 ．
3 3
故选C ．
【变式训练 13-1】已知圆台的上底半径为 1，下底半径为 2，母线长为 2 ，则此圆台的外接球表面积为
（ ）
A．12π B．16π C． 20π D． 24π
【变式训练 13-2】若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 4 的球面上，其上、下底面半径分别为1和 2 ，则该
圆台的体积为（ ）
5 3 7 3π π
A． 3 B．5 3π C．7 3π D． 3
【变式训练 13-3】已知圆台上底面的半径为 3，下底面的半径为 4，高为 7，圆台上、下底面的圆周都在同一个
球面上，则该球的体积是____.
【变式训练 13-4】已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为 2 3 ，高为 6，则球O
的表面积为（ ）
A．32 B． 48 C．64π D．80
【变式训练 13-5】已知一个圆柱的高是底面半径的 2倍，且其上 下底面的圆周均在球面上，若球的体积为
32
，则圆柱的体积为（ ）
3
A．16 B．8 C． 4 2π D． 2 2
题型 14：外接球之空间多面体
【典型例题 1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正
方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.
则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为 2 ，
则原正方体棱长的一半为 1，即多面体所在正方体的棱长为 2，
可得正方体体对角线长 2 3 ，外接球半径为 3，
所以外接球表面积为 4π ( 3)2 12π .
故选：D.
【典型例题 2】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图 1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装
盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体
ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转 45 得到如图 2所示的十面体 ABCD EFGH .已知
AB AD 2, AE 7 ，则十面体 ABCD EFGH 外接球的球心到平面 ABE 的距离是（ ）
(51 32 2) 3 6 4 3 (81 56 2) (81 56 2)
A． B． C． D．
48 12 48 12
【答案】B
【解析】由题中数据可知 A1E
2 1 ( 2 1)2 4 2 2 ，则 AA1 7 (4 2 2) 2 1.
因为十面体 ABCD EFGH 是由长方体 ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转 45 得到的，
所以长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球就是十面体 ABCD EFGH 的外接球.
2 2
设十面体 ABCD EFGH 外接球的半径为 R，则 2R 2 2 2 1 11 2 2 R 11 2 2，即 ， 4
7 1 42
因为 AE BE 7, AB 2，所以 sin BAE .
7 7
BE 7 2
设 BE 49ABE 2r r2 外接圆的半径为 r，则由正弦定理得 sin 即 ， BAE 6 2sin BAE 24
则该十面体 ABCD EFGH 外接球的球心到平面 ABE 的距离是：
11 2 2 49 17 12 2 (3 2 2)2 3 6 4 3
.
4 24 24 24 12
故选：B
【典型例题 3】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个
全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面
6
体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为 ，则球O的体积为
2
（ ）
7 14 π 7 14 π 11 22 π 11 22A． B． C． D． π
24 3 24 3
【答案】D
【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体 ABCD，如图所示，
设正四面体 ABCD的棱长为 a ，易知点O为正四面体 ABCD的中心，
且点O到正六边形面的距离是正四面体 ABCD的内切球的半径，
1 1 2 3 6a 2 3
易知正四面体 ABCD的体积V a a ， 3 2 2
3 12
1 3
正四面体 ABCD的表面积 S 4 2 a 3a
2
，
2 2
2 3
所以正四面体 ABCD 3 a的内切球半径为 3V 12 6 a，
S 3a2 12
6 6 a
所以 a ，解得 a 6，则正六边形的边长为 2，
12 2 3
2
6 22
则该正六边形的外接圆半径为 2，所以球O的半径 R 22 ，
2 2
4 11 22
故球O的体积为 πR3 π ，故选：D．
3 3
【变式训练 14-1】在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有14个
面， 24 个顶点以及36条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为 2 的截角立方体，
则该截角立方体的外接球的表面积为 .
【变式训练 14-2】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.
如图是一个棱数为 24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为 1，则下列关
于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有 12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为 3
5
C．多面体的体积为
6
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
【变式训练 14-3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为 a的截
角四面体，则下列说法错误的是（ ）
1
A．二面角 A BC D 的余弦值为
3
23 2
B．该截角四面体的体积为 a3
12
11 2
C．该截角四面体的外接球表面积为 a
2
D．该截角四面体的表面积为6 3a2
【变式训练 14-4】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古
希腊时期人们就已经发现正多面体仅有 5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是
（ ）
π 4π 3πA． B． C． D． 2π
3 2
【变式训练 14-5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了
数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方
形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 2 ，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．8π B． 4π
4
C． 2π D． π
3
【变式训练 14-6】如图 1，一圆形纸片的圆心为O，半径为 4 3 ，以O为中心作正六边形 ABCDEF ，以正六边
形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的
图形如图 2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六
棱台的高为 6 ，则其外接球的表面积为（ ）
11π 22π 35π 35π
A． B． C． D．
4 3 4 2
【变式训练 14-7】六氟化硫，化学式为SF6 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝
缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以
看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 E ABCD F 的棱长为
a ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 AE 与 BF 所成的角为 45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为3 3；
③若点 P 为棱 EB上的动点，则 AP CP 的最小值为 2 3a ；
a 8 3
④若点O为四边形 ABCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且 OQ ，则动点Q的轨迹长度为 aπ . 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型 15：球心在高上（圆锥形）
【典型例题 1】在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 3, AB AC 2, BC 2 2 ，则三棱锥 P ABC 的外接球
的半径为 ．
9 7
【答案】
14
【解析】依题 ABC为直角三角形，又由 PA PB PC 3，可得点 P 在底面 ABC的射影为 ABC的外心 D ，
故球心在直线 PD上，易求出半径得解.
如图，由 AB AC 2, BC 2 2 ，可得 CAB 90 ，
所以 ABC的外心为 BC 的中点 D ，又由 PA PB PC 3，
点 P 在底面 ABC的射影为 H，
则PH 平面 ABC，连接 AH , BH ,CH ，
则 AH PA2 PH 2 , BH PB2 PH 2 ,CH PC 2 PH 2 ，
AH BH CH ，所以点 H与点 D重合，
点 P 在底面 ABC的射影为 ABC的外心 D ，
显然三棱锥 P ABC 外接球的球心O在直线 PD上，
设OP OA R, PD PB2 BD2 9 2 7 ，
2 2
Rt AOD R2 7 R 2 R 9 7 9 7在 中，有 ，解得 ．故答案为： 14 14
【典型例题 2】已知圆锥的顶点为S，母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 3π ，设该圆锥外接球半径为
r
R ，内切球半径为 r ，则 R （ ）
3 3 3 1 1 3
A． 2 B． 2 C． 2 3 D． 2
【答案】A
【解析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切
球大圆的关系求出 R, r 即可得解.
3 3 1
依题意，圆锥底面圆半径 r ，则 2πr 3π，解得 r ，于是圆锥的高 h 12 ( )2 ，
2 2 2
圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆，
sin h 1 1令圆锥轴截面等腰三角形底角为 ，则 ，因此 2R 2，即R 1，
1 2 sin
1 3 1 1圆锥轴截面等腰三角形面积 ( 3 2)r
3
，解得 r 3
3
，
2 2 2 2( 3 2) 2
r 3 3所以 .
R 2
【变式训练 15-1】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的外接球的体积为 .
【变式训练 15-2】已知三棱锥 P ABC 的各侧棱长均为 2 3 ，且 AB 3, BC 3, AC 2 3 ，则三棱锥 P ABC
的外接球的表面积为 .
SO O O
【变式训练 15-3】已知球O的体积为36π，圆锥 1 的顶点S及底面圆 1上所有点都在球面上，且底面圆 1半
径为 2 2 ，则该圆锥侧面的面积为（ ）
A．6 2π B． 4 6π 或6 2π
C．8 3π或 4 6π D．8 3π
题型 16：两个外心+中垂线确定球心
【典型例题 1】已知正 ABC 边长为 1，将 ABC 绕 BC 旋转至△DBC ，使得平面 ABC 平面BCD，则三棱锥
D ABC 的外接球表面积为 ．
5
【答案】 π
3
【解析】如图，
取 BC中点 G，连接 AG,DG，则 AG BC ， DG BC ，
分别取 ABC 与 DBC 的外心 E,F分别过 E,F作平面 ABC与平面 DBC的垂线，相交于 O，则 O为四面体 A BCD
的球心，
由 AB AC DB DC BC 1，
AG DG 1
2 3
12
2 2
2 2
1 3 3 3 AG OG 6所以正方形 OEGF的边长为 ，则 ， 3 6 6 6 6
2
2
所以四面体 A BCD 的外接球的半径 R OG2 BG2 6 1 5 6
，
2 12
2
球 O的表面积为 4π
5 5π
．
12 3
DPA π
【典型例题 2】在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，且 ABCD为矩形， 2 ， AD 2 3 ，
AB 2 ， PA PD ，则四棱锥 P ABCD的外接球的体积为（ ）
16 32π π
64 π
A． 3 B． 3 C． 3 D．16π
【答案】B
【解析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由 PAD为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面
PAD 平面 ABCD可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体
积．
设 AC BD O ，取 AD 的中点E，连接OE ，OP ，PE，
因为底面 ABCD为矩形，所以O为矩形 ABCD的外接圆的圆心，
又 DPA
π
， PA PD ， AD 2 3 ， AB 2 ， 2
则OE 1∥ AB，OE AB 1， PE 1 AD 3， 2 2
因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD ，PE AD， PE 面 PAD ，
所以 PE 面 ABCD，
因为OE 面 ABCD，所以PE OE ，所以 PO PE2 OE2 3 1 2，
1 1 2
因为OA OB OC OD AC 2 3 22 2 PO， 2 2
所以O为外接球的球心，则外接球的半径为R 2，
4 3 4 3 32
所以外接球的体积V = πR = π 2 = π ．
3 3 3
【变式训练 16-1】四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， PA PD ， AB 2 ，
BC 2 3 ，若四棱锥 P ABCD 的外接球表面积为 20π，则四棱锥 P ABCD 的体积为（ ）
4 3
A． 4 3 B．12 3 C． 3 或 4 3 D． 4 3 或12 3
【变式训练 16-2】如图，三棱锥 A BCD 中，平面 ACD 平面 BCD， ACD是边长为 2的等边三角形，
BD CD， BDC 120 .若 A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .
题型 17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）
【典型例题 1】在三棱锥 P ABC 中，平面 ABC 平面 PAB, AC BC ，点 D 是 AB 的中点，
PD PB, PB PD 2，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 .
【答案】 40π
【解析】因为 AC BC ，所以 ABC 的外接圆圆心即点 D ，三棱锥外接球球心在过点 D 与平面 ABC 垂直的直线
上，
由于平面 ABC 平面 PAB,即球心在平面 PAB 内，
所以球心即为 PAB 的外接圆圆心，球的半径即为 PAB 的外接圆半径 R .
因为 PD PB, PB PD 2，所以 BD 2 2 ，从而 AD 2 2 .
3π
设 PA x ，在 PAD 2 2 2中，根据余弦定理有 PA 2 (2 2) 2 2 2 2cos 20，所以
4 PA 2 5
，
2R 2 5由正弦定理得 2 10 ，所以 R 10 ，所以三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 4 R2 40π .故
sin PBA
答案为： 40π
【典型例题 2】已知三棱锥 P ABC ， ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，△PAC为边长是 2的等边三角形，
且平面 ABC 平面 PAC ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为（ ）
16 21 π 21π π
A． 3 B． 3 C． 2 D．8π
【答案】A
【解析】由条件知，外接球的球心在过 AC 的中点且垂直于平面 ABC 的直线上，又平面 ABC 平面 PAC ，所以
可得等边三角形 PAC 的中心即为外接球的球心，求出△PAC外接圆的半径即得三棱锥 P ABC 外接球的半
径．
直角三角形 ABC 外接圆的圆心是斜边 AC 的中点O1，过该点作一条垂直于平
面 ABC 的直线．因为平面 ABC 平面 PAC ，
所以所作直线在平面 PAC 内， 且经过等边三角形 PAC 的中心，
所以等边三角形 PAC 的中心就是三棱锥 P ABC 外接球的球心，
所以△PAC外接圆的半径也是三棱锥 P ABC 外接球的半径．
AC 2
由正弦定理知， 2R PAC π 2R( R 是△ 的外接圆的半径)，即 ，
sin APC sin 3
R 2 2 3 π P ABC 2 3所以 3 ，于是三棱锥 外接球的半径为 ， 2sin
3 3
故三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 S 4πR2
16π
．
3
【变式训练 17-1】已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8 ，该圆锥内接于球O，则球O的表面积为 .
BAC π
【变式训练 17-2】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2 3 ， AB 2AC 6 ， 3 ，则该三棱锥外接
球的表面积为 ．
题型 18：外接球之坐标法模型
【典型例题 1】正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，若点 M在线段 BC1上运动，当 AMC 的周长最小时，三棱
锥M CB1D1的外接球表面积为（ ）
A． 4π B．8π C．16π D．32π
【答案】C
【解析】 AMC 的周长为 AM MC AC ，由于 AC 为定值，即 AM MC 最小时， AMC 的周长最小，
如图，将平面 BCC1展成与平面 ABC1D1 同一平面，则当点 A, M ,C 共线时，此时 AM MC 最小，在展开图中作
BM AB BM 2
CN AB ，垂足为 N ， CN AN ，解得： BM 2 2 2， 2 2 2
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
C 0, 2,0 ，M 2,2,2 2 ，
连结 AC1，因为 AB 平面 BCC1， B1C 平面 BCC1，
所以 AB B1C ，又因为 B1C BC1 ，且 AB BC1 B ， AB 平面 ABC1， BC1 平面 ABC1，
所以 B1C 平面 ABC1， AC1 平面 ABC1，所以 B1C AC1，
同理B1D1 AC1 ，且 B1C B1D1 B1，
所以 AC1 平面CB1D1，且三棱锥C1 CB1D1是正三棱锥，所以 AC1经过△CB1D1的中心．
所以三棱锥M CB1D1外接球的球心在 AC1上，设球心O(a ，2 a ， 2 a) ，则OC OM ，
即 a2 (2 a 2)2 (2 a)2 (a 2)2 (2 a 2)2 (2 a 2 2)2 ，
解得： a 0， R2 OC 2 4，所以外接球的表面积 S 4πR2 16π .
故选：C.
【典型例题 2】已知三棱锥
目 录
思维导图 .............................................................................................................................................................................2
高考分析 .............................................................................................................................................................................2
学习目标 .............................................................................................................................................................................4
知识要点 .............................................................................................................................................................................4
解题策略 .............................................................................................................................................................................5
题型归纳 .............................................................................................................................................................................7
外接球专题 .........................................................................................................................................................................5
题型 01：外接球之正方体、长方体模型 ......................................................................................................................7
题型 02：可以补成长方体的外接球模型 ......................................................................................................................7
题型 03：外接球之正四面体模型 ..............................................................................................................................10
题型 04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 ................................................................................................................14
题型 05：外接球之直棱柱模型 .................................................................................................................................16
题型 06：外接球之直棱锥模型 .................................................................................................................................22
题型 07：外接球之正棱锥、正棱台模型 ...................................................................................................................26
题型 08：侧棱为外接球直径模型 ..............................................................................................................................29
题型 09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 ...................................................................................................................31
题型 10：垂面模型 ...................................................................................................................................................33
题型 11：外接球之二面角模型 .................................................................................................................................36
题型 12：外接球之共斜边拼接模型 ..........................................................................................................................42
题型 13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 ................................................................................................................44
题型 14：外接球之空间多面体 .................................................................................................................................46
题型 15：球心在高上（圆锥形） ..............................................................................................................................51
题型 16：两个外心+中垂线确定球心 ........................................................................................................................53
题型 17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） .........................................................................................................55
题型 18：外接球之坐标法模型 .................................................................................................................................56
题型 19：与外接球有关的最值问题 ..........................................................................................................................59
题型 20：阿氏球问题 ...............................................................................................................................................64
内切球专题 .......................................................................................................................................................................64
题型 01：内切球之正方体、正棱柱模型 ...................................................................................................................64
题型 02：内切球之正四面体模型 ..............................................................................................................................65
题型 03：内切球之棱锥模型 .....................................................................................................................................66
题型 04：内切球之圆锥、圆台模型 ..........................................................................................................................70
题型 05：棱锥，棱台内切球问题 ..............................................................................................................................72
棱切球专题 .......................................................................................................................................................................74
题型 01：棱切球之正方体、正棱柱模型 ...................................................................................................................74
题型 02：棱切球之正四面体模型 ..............................................................................................................................74
题型 03：棱切球之正棱锥模型 .................................................................................................................................75
题型 04：棱切球之台体、四面体模型 .......................................................................................................................77
动点、折叠等动态几何 ......................................................................................................................................................83
构造球解决圆弧形轨迹问题 ...............................................................................................................................................85
立体几何综合专练（多选压轴） ........................................................................................................................................86
一、考情定位与分值
题型与分值：近 5 年全国卷及新高考卷均以 5 分选择题/填空题为主，偶见压轴小题，大题极少涉及，整
体难度中等偏上，是空间几何核心热点。
考查频率：外接球最高（每年必考），内切球次之（2-3 年考一次），棱切球低频（仅在部分年份或地方卷
中出现，如 2023 年 I 卷）。
核心定位：重点考查直观想象、数学运算与逻辑推理素养，聚焦几何体结构特征、球心定位与半径计算，
常与线面垂直、面面垂直、正弦定理等结合。
二、核心考点与命题规律
（一）外接球：高频核心，多模型覆盖
1. 基础模型（必考点）
正方体/长方体：直径=体对角线直接套用公式。
直棱柱/圆柱：球心在上下底面外心连线中点，用 勾股定理
正棱锥/圆锥：球心在高线上
2 . 补形转化模型（高频）
对棱相等三棱锥、三线两 两垂直三棱锥，补成长方体/正方体，共用外接球。
垂面模型、共斜边拼接模型，通过找底面外心与垂线确定球心，结合勾股定理 求半径。
3. 命题趋势：多与最值（如截面圆面积最大/最小）、范围结合，或与函数、不等式联动，需建模求参数范围。
（二）内切球：中等频率，方法固定
1. 核心方法：等体积法（万能通法）。将几何体体积拆分为以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积和 2.
常考模型
正方体/正四面体：半径公式固定（正四面体棱长为 a，若正四面体的棱长为 a，则它的外接球半径为 R=
6 1
4 a，内切球半径为 r=
6
3R= a.即正四面体外接球与内切球半径之比为 3∶1. 12
）。
正棱锥/圆锥：通过轴截面结合相似三角形或等体积法求半径，需注意“内切球与各面均相切”的几何约束。
3. 命题特点：多以正多面体、圆锥、棱锥为载体，侧重运算准确性，难度低于外接球。
（三）棱切球：低频难点，特殊场景
1. 定义：与几何体各条棱均相切的球，仅特殊几何体（如正方体、正四面体）存在棱切球。
2. 常考模型
正方体：
正四面体：需通过棱长与半径的几何关系推导，公式复杂，命题多为客观题。
3. 命题规律：出现频率低，多作为压轴小题的区分点，考查空间想象与几何转化能力。
三、备考建议
1. 夯实基础模型：熟练掌握正方体、长方体、正四面体、直棱柱的球相关公式，形成条件反射。
2. 强化转化思想：外接球优先补形，内切球必用等体积法，棱切球聚焦特殊几何体的几何关系。
3. 规范运算步骤：涉及勾股定理、根式运算时，先化简再代入数值，避免计算错误。
4. 针对性刷题：外接球多练补形与最值题，内切球多练等体积法，棱切球聚焦正方体与正四面体模型。
外接球、内切球、棱切球的学习目标
一、知识目标
1. 明确三类球的核心定义：外接球（过几何体所有顶点）、内切球（与几何体各面均相切）、棱切球（与几何体
各条棱均相切），知晓其存在的几何体特征（如棱切球仅特殊多面体存在）。
2. 掌握高频模型的半径公式：正方体/长方体、正四面体、直棱柱、圆锥的外接球/内切球半径公式，理解公式
中棱长、高、底面外接圆半径等参数的关联。
3. 厘清球心定位的核心逻辑：外接球球心是各顶点垂直平分线交点，内切球球心是各面角平分线交点，棱切球
球心是各棱垂直平分线交点。
二、能力目标
1. 能快速定位三类球的球心位置，熟练运用“补形法”（外接球）、“等体积法”（内切球）、“几何关系法”（棱
切球）计算半径。
2. 具备复杂几何体转化能力：将三棱锥、不规则棱柱补成正方体/长方体求外接球，通过轴截面分析旋转体的
球心与半径关系。
3. 能解决与球相关的综合问题：结合截面圆性质、最值求解、范围判断，实现“几何特征→公式应用→精准计
算”的连贯解题。
三、素养目标
1. 强化直观想象素养，建立空间几何体与球的位置关联，提升球心定位、截面分析的空间建模能力。
2. 培养数学运算素养，确保公式应用、勾股定理推导、根式化简的严谨性与准确性。
3. 深化化归与转化思想，形成“复杂几何体→基础模型”的转化思维，提升逻辑推理与问题拆解能力。
需要我针对每个学习目标，整理基础公式清单+典型模型拆解，帮你快速夯实核心知识点吗？
知识点一．几何体与球的切、接问题的解决方案：
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
知识点二．空间几何体外接球问题的求解方法：
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解.
(2)若球面上四点 P,A,B,C构成的三条线段 PA,PB,PC两两垂直，且 PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元
素“补形”成为一个球内接长方体，根据 4R2=a2+b2+c2求解.
(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心
的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式，按“定义+模型+方法”分类突破，聚焦球心定位与半径计算两
大核心，兼顾空间转化与运算严谨性。
一、外接球（过所有顶点，高频核心）
核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+ 半径公式/勾股定理
1. 基础模型（直接套用公式）
几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数）
正方体（棱长 a） 体对角线中点
长方体（长宽高 a,b,c） 体对角线中点
直棱柱（高 h，底面外接圆半径 r） 上下底面外心连线中点
圆锥（高 h，底面半径 r） 高线上 （解方程）
正四面体（棱长 a） 高线上（距底面）
2. 补形转化模型（高频技巧）
适用场景：对棱相等的三棱锥、三线两两垂直的三棱锥、“墙角”型几何体。
策略：补成长方体/正方体（共用外接球），通过长方体体对角线求半径。
例：三线两两垂直的三棱锥（侧棱长 a,b,c），补成长方体
3. 通用方法（定义法）
步骤：① 找底面多边形的外接圆外心 O ；② 过 O 作底面垂线，球心 O 在垂线上；③ 结合顶点到 O 的
距离等于半径，用勾股定理列方程求解。
二、内切球（与各面均相切，中频考点）
核心策略：等体积法（万能通法）+ 轴截面法
1. 等体积法（多面体通用）
原理：几何体体积 = 以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积之和，
步骤：① 计算几何体总体积 V；② 计算几何体表面积 S；③ 求解。
6
常考模型：正四面体（棱长 a），若正四面体的棱长为 a，则它的外接球半径为 R= 4 a，内切球半径为 r=
1 6
3R= a.即正四面体外接球与内切球半径之比为 3∶1. 12
2. 轴截面法（旋转体/正多面体）
适用场景：圆锥、圆柱、正棱锥。
策略：作轴截面（圆锥→等腰三角形，圆柱→矩形），内切球对应轴截面的内切圆，用平面几何求半径
3. 易错点：仅“所有面到球心距离相等”的几何体有内切球，如斜棱柱一般无内切球。
三、棱切球（与各棱均相切，低频难点）
核心策略：几何关系法（棱长与半径关联）+ 特殊模型
1. 存在条件：几何体各面对角线相等（如正方体、正四面体），普通多面体一般无棱切球。
2. 常考模型
几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数）
正方体（棱长 a） 体对角线中点 （直径=面对角线）
正四面体（棱长 a） 中心 （推导：棱切球与各棱相切，距离中心距离为半径）
3. 通用思路：通过棱长与球心到棱的距离相等建立方程，球心到棱的距离可由空间几何公式计算（如点到直
线距离公式）。
四、综合类问题（与截面、最值结合）
1. 截面圆问题
策略：利用球的截面性质，截面圆面积最大时 d=0（过球心）。
2. 最值问题
策略：设关键参数（如棱长、高），建立半径 R 的函数，用基本不等式或导数求极值（如“体积固定的正
四面体，求外接球体积最小值”）。
五、通用易错点规避
1. 外接球：球心位置判断错误（如直棱柱球心不在底面中心），勾股定理中混淆“高”与“斜高”；
2. 内切球：计算表面积时遗漏底面或重叠面，等体积法公式记错（漏乘 3）；
3. 棱切球：误将“体对角线”当作“面对角线”代入公式，忽略棱切球的存在条件。
外接球专题
题型 01：外接球之正方体、长方体模型
【典型例题 1】一个棱长为 1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（ ）
A．3π B．2π C． 3π D． π
【答案】A
【解析】∵棱长为 1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
3
∴球的半径是 r ，
2
2
3
∴球的表面积是 4 π 2
3π
故选：A
【变式训练 1-1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ( )
A．50π B．100π C．150π D．200π
【变式训练 1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（ ）
2π 2 3 3π
A． B． C． D．
3 π π 3
题型 02：可以补成长方体的外接球模型
【典型例题 1】据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖
臑”， PA 底面 ABC ， AB BC ，且 PA AB BC 2，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
R PC AP
2 AB2 BC 2 4 4 4
则外接球半径 3．
2 2 2
所以三棱锥外接球表面积 S 4 R2 4 3 12 ．
故选：B．
【典型例题 2】《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”
P ABCD ， PA 平面 ABCD， AB 4 ，△PAD 的面积为 4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为
（ ）
A．24π B． 28π C．32π D．36π
【答案】C
【解析】如图，将四棱锥 P ABCD 补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．
42 AD2 PA2
因为长方体外接球的半径 r ，
2
所以该“阳马”外接球的表面积为：
4π r 2 AD2 PA2 16 π… (2AD PA 16)π 1 4 AD PA 16 4 4 16 π 32π．
2
故选：C．
【变式训练 2-1】在三棱锥 A BCD 中，已知 AC 平面 BCD， BC BD，且 AC 3 ， BC 2， BD 5 ，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．12 B． 7 C．9 D．8
【变式训练 2-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 P ABC 中， PA
平面 ABC， AC CB， PA 2BC 2 ， AC 3 ，则此四面体的外接球表面积为（ ）
8 2 π
A．3π B．8π C．9π D． 3
【变式训练 2-3】在四面体 ABCD中，若 AB CD 3 ， AC BD 2， AD BC 5 ，则四面体 ABCD的外
接球的表面积为（ ）
A．2 B． 4 C．6 D．8
【变式训练 2-4】如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 面 ABCD，四边形 ABCD为正方形， PA 4 ， PC 与平面
tan 2 2
ABCD所成角的大小为 ，且 3 ，则四棱锥 P ABCD 的外接球表面积为（ ）
A．26π B．28π
C．34π D．14π
【变式训练 2-5】正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接
球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体
P ABC, PA BC 6, PB AC 2 2, PC AB 10 ，则该四面体外接球的体积为 ．
【变式训练 2-6】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直
角VABC 中， AD 为斜边 BC 上的高， AB 3, AC 4 ，现将△ABD 沿 AD 翻折成VAB D，使得四面体 AB CD
为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为
【变式训练 2-7】一个三棱锥形木料 P ABC ，其中底面VABC 是 A 90 , AB 2dm的等腰直角三角形， PA
底面 ABC ，二面角 P BC A的大小为 45 ，则三棱锥 P ABC 的外接球表面
积为 2
dm .
题型 03：外接球之正四面体模型
【典型例题 1】一个正四面体的棱长为 2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． 6 B．2 C．3 D． 2 2
【答案】A
【解析】如图，四面体 BDMN 是正四面体，棱长 BD 2，将其补形成正方体GBCD MENF ，
则正方体GBCD MENF 的棱长GB 2 BD 2 ，此正方体的体对角线长为 6 ，
2
BDMN 6正四面体 与正方体GBCD MENF 有相同的外接球，则正四面体 BDMN 的外接球半径 R ，
2
4 4 6
所以正四面体 BDMN 的外接球体积为V R3 ( )3 6 ．
3 3 2
故选：A
【典型例题 2】已知正四面体 A BCD 的棱长为 3，点 E 在棱 AD 上，且 DE 1，若点 A, B,C, E 都在球O的球面
上，则球O的表面积为（ ）
3
A． π B． 2π C．9π D．12π
2
【答案】D
【解析】如图，取 BC 的中点 F ，连接 DF , AF ，在线段 AF 上取点G ，使得 AG 2GF ，连接GB,GC,GE .
在△ADF 中， AD 3, AF 3 3 DF .易知点G 为等边VABC 的中心，
2
GA GB GC 2所以 AF 3 .
3
2
易知GE ∥ DF ，所以GE DF 3 .
3
所以GA GB GC GE ，点G 即为球心O，球O的半径为 3 ，
表面积为 S 4π( 3)2 12π .
故选：D.
【典型例题 3】小张同学将一块棱长为 2 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），
则该四面体外接球的体积为（ ）
A． 6π B． 2 6π C．3 6π D．9 6π
【答案】C
【解析】设正四面体的棱长为 a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面 BCD的中心，E为CD的中点，F在 BE 上，
O为正四面体外接球的球心，则 AF 为四面体的高，O在 AF 上，
2
BE 3 a,BF 2 3 a 3 a AF a2
3 6
则 ，则 a a ，
2 3 2 3 3
3
1 3 6 2
即得V正四面体 a
2 a a3 V ，所以 3 ，
3 4 3 12 正方体
2 2 a 24
又设正四面体外接球的半径 R，
则OB2 6 OF 2 BF 2 ，即 R2 ( a R)2 ( 3 a)2 ，即得 R 6 a，
3 3 4
3 3 34πR 4π 6 4π 6
故外接球体积为V球 a 24 3 6π . 3 3 4 3 4
故选：C．
【典型例题 4】已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
27π 27π
A．9π B．12π C． D．
4 2
【答案】D
【解析】
如图， DM 是正四面体 ABCD的高，O是外接球球心，设外接球半径为 R ，
2
∵正四面体棱长为3，∴ AM 3 3 3 ， DM 32 3 6 ，OM 6 R， AO R ，
3
2 2
由 AO2 AM 2 OM 2得 R2 3 6 R ，
2
3 6 3 6 27π
解得 R ，∴ S 4πR2 4π ．
4 4 2
故选：D．
【变式训练 3-1】已知正四面体 S ABC 的外接球表面积为 6π ，则正四面体 S ABC 的棱长为（ ）
【变式训练 3-2】已知正四面体 A BCD 外接球的表面积为12 ，则该正四面体的表面积为（ ）
A． 4 3 B．6 3 C．8 3 D．12 3
【变式训练 3-3】正四面体 P ABC 的棱长为 2 ，若点Q是该正四面体外接球球面上的一动点，则QA QC 的
最大值为（ ）
6 3 1 3
A． B． 3 C． D．
2 2 2
3
【变式训练 3-4】已知正四面体 P ABC 的外接球的体积为 π ， 则该正四面体的棱长为（ ）
2
A．1 B． 3 C． 2 D． 6
【变式训练 3-5】正四面体 ABCD的棱长为 a ，O是棱 AB 的中点，以O为球心的球面与平面 BCD的交线和CD
相切，则球O的体积是（ ）
1 3 2 3 2
A． a B． a3 C． a3 D． a3 6 6 6 3
【变式训练 3-6】棱长为 a的正方体内有一个棱长为 x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则
x的最大值为（ ）
1 3 3 6
A． a B． a C． a D． a
2 2 6 3
【变式训练 3-7】已知正四面体 ABCD的表面积为 2 3 ，且 A，B，C，D四点都在球 O的球面上，则球 O的体积
为 ．
【变式训练 3-8】一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（ ）
π 3π
A． 2 B． π C． 2 D． 3π
【变式训练 3-9】正四面体的外接球与内切球的半径比为（ ）
A．1:1 B． 2 :1 C．3:1 D． 4 :1
【变式训练 3-10】已知正三棱锥 A BCD ，各棱长均为 3 ，则其外接球的体积为（ ）
9 3 π 81 2 π 9 2 π 9 3 π
A． 8 B． 16 C． 8 D． 16
【变式训练 3-11】一个正四面体的棱长为 2，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A．3:1 B． 3 :1 C．9 :1 D． 27 :1
【变式训练 3-12】在正四面体SABC中， SA 2 3 ，D，E，F分别为 SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接
球被平面 DEF 所截的圆周长为 ．
题型 04：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典型例题 1】在三棱锥 S ABC 中， SA BC 5， SB AC 41， SC AB 34 ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【答案】A
【解析】因为 SA BC 5, SB AC 41, SC AB 34 ，
所以可以将三棱锥 S ABC 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，
a2 b2 41
a2 2则有 c 25 ，整理得 a2 b2 c2 50 ，
b
2 c2 34
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
2 5 2
所以有 a2 b2 c2 50 2R R ，
2
2
所以所求的球体表面积为： S 4πR2 5 2 4 π 50π．
2
故选：A．
【典型例题 2】在四面体 A BCD 中， AB CD 7, AD BC 29, AC BD 2 7 ，则四面体 A BCD 外
接球表面积是（ ）
32π 256π 256A．64π B． C． D． π
3
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体 A BCD 可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 3 ， 25，
2 ，四面体 A BCD 如图所示，
2 2
所以此四面体 A BCD 2的外接球的直径为长方体的体对角线，即 2R 3 25 22 ,解得 R 2 2 .
2
所以四面体 A BCD 外接球表面积是 S 4πR2 4 π 2 2 32π .
故答案为：B.
【典型例题 3】已知四面体 ABCD中， AB CD 2 5 ， AC BD 29 ， AD BC 41 ，则四面体 ABCD外
接球的体积为（ ）
15 5π 45 5π
A． 45π B． C． D． 24 5π
2 2
【答案】C
【解析】设四面体 ABCD的外接球的半径为 R ,
则四面体 ABCD在一个长宽高为 a,b,c 的长方体中，如图，
a2 b2 20,
2 2 22 2
则 b c 29, R a b c 45故 ，
a
2 c2 41, 2 2
V 4 πR3 4 π 45 45 45 5π故四面体 ABCD外接球的体积为 ，
3 3 8 2
故选：C
【变式训练 4-1】四面体 P ABC 的一组对棱分别相等，且长度依次为 2 5 ， 13 ，5，则该四面体的外接球的
表面积为（ ）
29 28 29 29A． B． C． D． 29
4 6
【变式训练 4-2】如图，在三棱锥 P ABC 中， PA BC 3 ， PB AC 2 ， PC AB 5 ，则三棱锥
P ABC 外接球的体积为（ ）
A． 2 B． 3 C． 6 D． 6
【变式训练 4-3】在三棱锥 PABC 中， PA BC 4 ， PB AC 5， PC AB 11 ，则三棱锥 PABC 的外接
球的表面积为（ ）
A． 26 B．12 C．8 D． 24
【变式训练 4-4】在四面体 ABCD 中，若 AB CD 3 ， AC BD 2 ， AD BC 5 ，则四面体 ABCD 的
外接球的表面积为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D．8
【变式训练 4-5】已知四面体 ABCD 中， AB CD 5 ， BC AD 10 ， AC BD 13 ，若该四面体的各
个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 ( )
A． 42 B． 43 C．14 D．16
题型 05：外接球之直棱柱模型
【典型例题 1】将 2个棱长均为 2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
32π 28 21π 20 5π 256 3π
A． B． C． D．
3 7 3 27
【答案】A
【解析】
若将这 2个直三棱柱合成 1个高为 4的直三棱柱，
2 2 3
则底面正三角形的外接圆半径 r ，
2sin 60 3
2
2 3 4 3
所以其外接球的半径为 22 3
；
3
若将这 2个直三棱柱合成 1个高为 2的直四棱柱，
则底面为边长为 2，锐角为60 的菱形，
则底面菱形的外接圆半径 r 2sin 60 3 ，
4 3
所以其外接球的半径为 ( 3)2 12 2 ．
3
4π 3 32π
故该球体的体积的最小值为 2 ．
3 3
故选：A.
2π
【典型例题 2】已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC 2 ， BAC ，C 点到直线 A1B1 的距离为 7 ，则3
三棱柱 ABC A1B1C1的外接球表面积为（ ）
A．12π B．16π C． 20π D． 24π
【答案】C
【解析】
过点C 作CD A1B1 于点 D，连接C1D ，
因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，
CC1 平面 A1B1C1，
又 A1B1 平面 A1B1C1，
CC1 A1B1 ，
CC1，CD ，平面CC1D ，且CC1 CD C ，
A1B1 平面CC1D ，
C1D 平面CC1D ，
A1B1 C1D，
易知 B1A1C1 BAC
2π
， A1B1 A1C1 AB AC 2， 3
C1D 3， BC 2 3 ，
CD CC 2 2 21 C1D CC1 3 7 ，
则CC1 2，
设VABC 外接圆圆心为O1，△A1B1C1 外接圆圆心为O2，
2O A BC1 则 sin 2π
4
，即O1A 2 ，
3
且三棱柱外接球球心O为OO1 中点，
2
1
则外接球半径 R OA O A21 OO 5 ，
2 1
表面积为 4πR2 20π ，
故选：C .
【典型例题 3】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 3AA1 2 3 ，VABC 是等边三角形，点O为该三棱
柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥 B1 AA1C1C 体积之比为（ ）
5 3 2 3 5 3 5 3
A． B． C． D．
3 3 6 2
【答案】A
【解析】取三棱柱上底面中心 D，下底面中心 D1，连接 DD1、 B1D1.取 DD1中点 O，连接OB1
则点 O为三棱柱外接球球心，OB1为三棱柱外接球半径.
由 AB 3AA1 2 3 ，可得 AB BC AC 2 3 ， AA1 2
2
则OB1= OD
2
1 B1D
2
1 1
2 2 3 2 3 5
3 2
2
则三棱柱外接球表面积为 4π 5 =20π
延长 B1D1交 A1C1与 F1 ，则 B1F1为四棱锥 B1 AA1C1C 的高
V 1 1
则 B AA C = S B F 2 3 2
3
2 3 =4 3
1 1 1C 3 AA1C1C 1 1 3 2
20π 5 3π
则三棱柱外接球表面积与四棱锥 B1 AA1C1C 体积之比为
4 3 3
故选：A
【典型例题 4】（多选题）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 2， AB BC 1， ABC 90 ，侧面
AA1C1C 的对角线交点O，点E是侧棱 BB1上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是 1
B．直三棱柱的外接球表面积是 6π
C．三棱锥 E AA1O 的体积与点E的位置有关
D． AE EC1的最小值为 2 2
【答案】ABD
【解析】直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 2， AB BC 1， ABC 90 ，如图所示，
1
直三棱柱的体积为V S△ABC AA1 1 1 2 1，故 A选项正确； 2
2 2
ABC A B C 1 1 2
2 6
直三棱柱 1 1 1是长宽高分别为1,1,2的长方体的一半，外接球的半径为 R ，外接球
2 2
表面积是 4πR2 6π，故 B选项正确；
O是 AC1与 A1C 的交点，则 AA1O的面积为定值，由 BB1 // 平面 AA1C1C ，E到平面 AA1O 的距离为定值，三棱锥
E AA1O 的体积为定值，与点E的位置无关，故 C选项错误；
把侧面 AA1C1C 和侧面CC1B1B展开在一个平面上，当E为 AC1的中点时， AE EC1的最小值等于
AC1 2
2 1 1 2 2 2 ，故 D正确.
故选：ABD
2
【变式训练 5-1】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面VABC 满足 AB AC ， BAC π，若三棱柱3
ABC A1B1C1的体积为8 3 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． 48π B．32π C．16π D．8π
【变式训练 5-2】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球 O的球面上，且 AB 3， AA1 4，
则球 O的表面积为（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【变式训练 5-3】已知正六棱柱的所有棱长均为 2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．16π B． 20π C．8π D．5π
ABC - A B C
【变式训练 5-4】已知正三棱柱 1 1 1 所有棱长都为 6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． 48π B．60 π C． 64π D．84π
ABC A B C AB 2 3, BB 2 5
【变式训练 5-5】）在直三棱柱 1 1 1中，VABC 为等边三角形， 1 ，则三棱柱
ABC A1B1C1的外接球的体积为（ ）
A． 25π B．29π C．32π D．36π
【变式训练 5-6】在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 PBC ， PA 2 ，△PBC 为边长等于 3 的正三角形，则三棱
锥 P ABC 的外接球的表面积是（ ）
A． π B． 2π C． 4π D．8π
【变式训练 5-7】如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2, AC BC, AC BC 2 2 ，点D在上底面
A1B1C1（包含边界）上运动，则三棱锥 D ABC 外接球半径的取值范围为 .
【变式训练 5-8】在正六棱锥 P ABCDEF 中，底面中心为O2 ，PO2 2 3AB ， AP 13 ．若平行于底面的平
面与正六棱锥的交点分别为 A1，B1，C1， D1 ，E1，F1，构造一个上底面为正六边形 A1B1C1D1E1F1，下底面在平
面 ABCDEF 里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ．
【变式训练 5-9】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为 40π ，则该三棱柱的体积
为 ．
【变式训练 5-10】在三棱锥 P ABC 中， PA 面 ABC ， ABC 为等边三角形，且 PA AB 3 ，则三棱锥
P ABC 的外接球的表面积为 ．
【变式训练 5-11】已知一个体积为36 的球O1内切于直三棱柱 ABC A1B1C1（即与三棱柱的所有面均相切）,底
面的VABC 中有 BAC 120 , AB : AC 3: 5,则该直三棱柱的外接球O2（即使所有顶点均落在球面上）的表面
积为 ．
题型 06：外接球之直棱锥模型
【典型例题 1】在四面体 ABCD中， BA 平面 ACD，CA AD， BA 3， AC 4， AD 5，该四面体 ABCD外接
球表面积为（ ）
A． 25π B．50π C．12.5π D．100π
【答案】B
【解析】将四面体补形为长方体，
则外接球的直径即为长方体的体对角线长 l2 32 42 52 50，
即 l 5 2 ，
5 2
因此外接球的半径为 r ，其表面积为 S 4 r 2 50π.
2
故选：B
【典型例题 2】如图，在四面体 P ABC 中， PA 平面 ABC, AC CB, PA AC 2BC 2，则此四面体的外接
球表面积为（ ）
A．3π B．9π C．36π D． 48π
【答案】B
【解析】将四面体 P ABC 补形成长方体，长方体的长 宽 高分别为 2 、1、 2 ，
四面体 P ABC 的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为 R ，
故 2R 22 12 22 3，所以外接球表面积为 S 4πR2 9π .
故选：B.
【典型例题 3】已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， ABC 60 ， PA AC 2 ，则此三棱锥外接球的表
面积为（ ）
14π 28π
A． B． C．10π D．5π
3 3
【答案】B
【解析】在VABC 中， AC 2， ABC 60 ，
r AC 2 2
则VABC 的外接圆的半径 2sin ABC 3 3 ， 2
2
因为 PA 平面 ABC ， PA 2 ，设此三棱锥外接球的半径为 R ，
2 2
则 R2 1 PA
r 2 12 2 7 ， 2 3 3
2 28π
则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 4πR ．
3
故选：B．
【典型例题 4】已知三棱锥 P-ABC中， PAB 是边长为 2的等边三角形， PC 2， AC 6 ， BC 2 ，则三
棱锥 P-ABC的外接球表面积为（ ）
32 28
A． 6π B．10π C． π D． π
5 5
【答案】C
【解析】由已知 AB2 BC 2 AC 2 ，所以 AB BC ，
取 AC 中点 D，则 D是VABC 的外心，
又 PA PB PC ，所以 P 点在底面 ABC 上的射影是VABC 的外心，即为 D，
所以 PD 平面 ABC ，因此外接球球心O在 PD上， PAC 的外接圆就是球的大圆，
PD PC2 CD2 22 ( 6 )2 10
PD 10
，所以 sin PCD ，
2 2 PC 4
2OP AP 2
sin PCD 10 2 10，OP ，这就是外接球的半径，
4 5
2 10 32π
外接球表面积为 S 4π OP2 4π ( )2 ，
5 5
故选：C．
【典型例题 5】已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC, CAB
π
, PA 2, BC 2 3 ，则此三棱锥外接球的表
3
面积为（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【答案】B
BC
【解析】由题设，底面VABC 的外接圆半径 r 2，
2sin CAB
PA
又 PA 平面 ABC ，且 PA 2 ，则三棱锥的外接球半径 R r 2 ( )2 5 ，
2
所以外接球表面积为 4πR2 20π .
故选：B
【变式训练 6-1】三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 PA 平面 ABC ，VABC 是正三角形，
PA 2BC 4，则该球的表面积是（ ）
8π 16π 32π 64π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式训练 6-2】已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O的球面上， AD 平面 ABC ， AD 2， AB AC ，
若三棱锥 A BCD （以A 为顶点）的侧面积为 6，则球O的表面积的最小值为（ ）
A．36π B．12π C． 24π D．30π
【变式训练 6-3】已知三棱锥 P BCD 中， BC CD， PB 底面 BCD， BC 1， PB CD 2，则该三棱锥的
外接球的体积为（ ）
7 9 27 25A． B． C． D．
4 2 8 9
【变式训练 6-4】已知在三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD， AB 2 3, AC AD 4,CD 2，则三棱锥
A BCD 外接球的表面积为（ ）
40π 52π
A． B．15π C． D．20π
3 3
【变式训练 6-5】已知三棱锥 A BCD 中，底面 BCD是边长为 2 3 的正三角形， AB 底面 BCD，且 AB 4 ，则
该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．12 B．16 C．32 D． 48
【变式训练 6-6】已知 S，A，B，C是球 O表面上的不同点， SA 平面 ABC ， AB BC ， AB 1， BC 2 ，
若球 O的表面积为4π，则 SA （ ）
2
A． 2 B．1 C． 2 D． 3
【变式训练 6-7】已知三棱锥 S ABC 所在顶点都在球O的球面上，且 SC 平面 ABC ，若
SC AB AC 2, BAC 120 ，则球O的体积为（ ）
20 5π 32π 20π 32 5π
A． 3 B． 3 C． 3 D． 3
【变式训练 6-8】已知三棱锥 A BCD ， AB 底面 BCD， CBD 90 ， AB 5， BC 3， BD 4，则三棱锥
A BCD 的外接球表面积为 .
【变式训练 6-9】已知在三棱锥 P－ABC中，PA＝4， BC 2 6 ，PB＝PC＝3， PA 平面 PBC，则三棱锥 P－ABC
的外接球的表面积是 .
【变式训练 6-10】已知点 S , A, B,C 均在半径为 2的球面上， ABC 是边长为 3的等边三角形， SA 平面 ABC ，
则 SA ．
题型 07：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典型例题 1】已知正三棱锥 P ABC 中，侧棱长为 3，底面边长为 6 ，则该三棱锥的外接球表面积为 .
【答案】9π
【解析】过点 P 作 PO 平面 ABC ，垂足为O，连接OC ，
2
2 2 2 2由已知得OC 6 6 2 ， PO 3 2 1， 3 2
设外接球的球心为O1，因为 PO OC ，所以O1在 PO的延长线上，
设外接球的半径为 R ，则 PO1=O1C R ，
2
2 2 2 2 2 3由O1O OC O1C 得 R 1 2 R ，解得 R ， 2
2
S 4πR2 4π 3 所以外接球的表面积为 9π .
2
故答案为：9π
6
【典型例题 2】已知正三棱锥 P ABC 的体积为 , AB 3 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
4
7π 9π
A．7π B． C．9π D．
2 2
【答案】D
【解析】设正三棱锥 P ABC 的底面中心为M ，外接球的球心为O，显然球心O在直线 PM 上.
设正三棱锥 P ABC 的高为 h ，外接球的半径为 R ，
3 3 3
由 AB 3 ，可得正三角形 ABC 的面积为 ( 3)2 ，
4 4
1 3 3 6
所以 h ，解得h 2 .
3 4 4
2
球心O到底面 ABC 的距离为OM h R , AM AD 1，
3
由 R2 OM 2 AM 2 R2 ( 2 R)2 12 , R
3
，得 ，
2 2
2 9π
所以外接球的表面积为 4πR .
2
故选：D.
【典型例题 3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台 ABCD A B C D 是一个侧棱相
等、高为 1的“刍童”，其中 AB 2A B 2， BC 2B C 2 3 ，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
20 π 20 5 π
A．20π B． 3 C． 3 D．5 5π
【答案】A
【解析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为 O，根据几何关系求出外
接球半径即可求其表面积．
如图，连接 AC、BD、 A C 、 B D ，设 AC∩BD＝M， A C ∩ B D ＝N，连接 MN．
∵棱台 ABCD A B C D 侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段 MN所在直线上，设外接球球心为 O，
如图当球心在线段 MN延长线上时，
易得 AC AB2 BC 2 4 12 4 ，MC＝2， A C A B 2 B C 2 1 3 2 ， NC 1，
MN＝1，由OC OC 得， NC 2 ON 2 OM 2 MC 2 ，即
1 OM MN 2 OM 2 4 1 OM 1 2 OM 2 4 OM 1，
2
故 OC＝OC 12 22 5 ，∴外接球表面积为 4π 5 20π ．
如图当球心在线段 MN上时，
由OC OC 得， NC 2 ON 2 OM 2 MC 2 ，即
1 MN OM 2 OM 2 4 1 1 OM 2 OM 2 4 OM 1舍去
【变式训练 7-1】已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球O的球面上，PA PB PC AB BC 2 2 ，
AC 2 3 ，则球O的表面积为（ ）
40π 27 21
A． B． 20π C． π D． π
3 4 2
【变式训练 7-2】已知三棱锥 P ABC ， PA PB PC 2 3 ， AB 2 6 ， BC 2 3 ， AC 6 ，三棱锥
P ABC 外接球的表面积与三棱锥 P ABC 的侧面积之比为（ ）
A． 4 3 1 π B． 4 3π C． 4 2 1 π D． 4 2π
32
【变式训练 7-3】已知正三棱锥的高为 h ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 π ，则三棱锥体积
3
的最大值是（ ）
32 3 64 3 128 3 256 3
A． B． C． D．
27 27 27 27
【变式训练 7-4】某正六棱锥外接球的表面积为36π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形
边长 l 2 2，3 ，则其体积的取值范围是（ ）
4 3 27 3
4 3 32 3
A． , B． ,
2 2
27 3 32 3 3
C． , D． ,4 3
2 2
2
【变式训练 7-5】已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 2 3 ，若半径为 1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三
棱锥 P ABC 外接球的半径为（ ）
2 3 4 3
A． 3 B．2 C． D．
3 3
3 3 3
【变式训练 76】正四棱台 ABCD A1B1C1D1，上下底面分别是边长为 2，3的正方形，若 AA1 , ，则
2 2
该棱台外接球表面积的取值范围是 ．
【变式训练 7-7】已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【变式训练 7-8】已知正四棱台的上、下底面边长分别是 1和 2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积
为8π ，则此正四棱台的侧棱长为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
14
【变式训练 7-9】已知正四棱台的体积为 3 ，上、下底面边长分别为 2, 2 2 ，其顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为（ ）
A． 20π B． 25π C．36π D． 50π
ABCD A B C D
【变式训练 7-10】已知正四棱台 1 1 1 1的高为 6 ，其所有顶点均在同一个表面积为32π的球面上，
ABCD ABCD A B C D且该球的球心在底面 上，则棱台 1 1 1 1的体积为（ ）
14 286 6
A． 3 B．14 6 C． 3 D．28 6
2 2
【变式训练 7-11】正四棱台 ABCD EFGH ，其上、下底面的面积分别为 2cm ，8cm ，该正四棱台的外接球表
2
面积为 20πcm ，则该正四棱台的体积为 .
题型 08：侧棱为外接球直径模型
【典型例题 1】已知 PC 为球O 的直径， A ， B 是球面上两点，且 AB 2 2 ， APC ， BPC ，若球
4 3
O 32 的体积为 ，则棱锥 P ABC 的体积为 ( )
3
3 2 2 4 3
A． 4 3 B． C． D．
2 2 3
【答案】D
【解析】解：由题意知OP OC OA OB 2 ， AB 2 2 ，
APC BPC ， ，
4 3
AP AC 2 2 ， PBC 90 ，
AO 1 平面 BPC ， S PBC 2 2 3 2 3 ， 2
1
棱锥 A PBC 的体积V 2 3 2 4 3 ．
3 3
故选： D ．
【典型例题 2】在三棱锥 P-ABC 中，已知△ABC是边长为 2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球 O的直径，PA＝
4，则点 P到底面 ABC的距离为（ ）
2 3 4 6
A． 2 4 3 B． C． D．
3 3 3
【答案】D
【解析】设点 P到底面 ABC的距离为 h ，点O到底面 ABC的距离为h1，
则 h 2h1.
连接OB 、OC ，则三棱锥O ABC 是棱长为 2的正四面体，
取 BC 的中点D，连接 AD ，作OH AD ，则OH 平面 ABC ，
即 h1 OH ，在正VABC 中， AH
2
AD 2 3 ，
3 3
在Rt△AOH h 4 2 6中， 1 OH = AO
2 AH 2 4 ，
3 3
即 h 2h 4 6 4 61 ，即点 P到底面 ABC的距离为 . 3 3
故选：D.
【变式训练 8-1】已知球O 的直径 SC 4 ， A 、 B 是该球面上的两点，且 AB 2 ， ASC 30 ， BSC 45 ，
则三棱锥 S ABC 的体积为 ( )
2 2 2 4 2 5 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【变式训练 8-2】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O的球面上，SC 是球 O的直径.若平面 SAC 平面
SBC ， SA AC ， SB BC ，球 O的体积为36π，则三棱锥 S ABC 的体积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
题型 09：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典型例题 1】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， ABC ， AC 2 ，则三棱锥 P ABC 外接球表面积4
的最小值是（ ）
A．8 B． 4 C．2 D．
【答案】B
【解析】设底面VABC 外接圆圆心为O1，半径为 r ，
2r AC则 2，即 r 1.
sin ABC
设三棱锥 P ABC 高为 h，球的半径为 R .
由 PA PB PC ，得球心O在 PO1 上，且 (h R)2 r 2 R2 ，
R 1 h 1 1则 2 h
1
1，当且仅当 h 1时等号成立，
2 h 2 h
此时外接球表面积最小，则 Smin 4 .
故选：B
【典型例题 2】三棱锥 P ABC 3体积为 ，且PA PB PC, AB AC 1, BC 3 ，则三棱锥外接球的表面积
6
为____________．
25
【答案】
4
【解析】三棱锥 P ABC 中，取 BC中点 D，连 PD，连 AD并延长至 O1，使 DO1=AD，连接 BO1，CO1，PO1，如图：
于是得四边形 ABO1C 为平行四边形，而 AB AC 1， ABO1C 是菱形，
2
ABC AB AC
2 BC 2 1
在 中， BC 3 ，由余弦定理有 cos BAC ，即 BAC 120 ，
2AB AC 2
则 ABO1 60
，△ABO1 是正三角形，O1A O1B O1C 1，于是得 O1是 ABC 外接圆圆心，
因 PA PB PC ，D为 BC中点，则 PD⊥BC，又 AO1⊥BC， PD AO1 D ， PD, AO1 平面 PAO1，从而有 BC
平面 PAO1， PO1 BC ，
同理 PO1 AC ，而 AC BC C，从而得 PO1 平面 ABC ，由球的截面小圆性质知，三棱锥 P ABC 外接球
球心 O在直线 PO1 上，
1
又 S ABC AB AC sin120
3 1 3 ，则V PO 2
2 4 P ABC
PO
3 1
S ABC ，解得 1 ， 6
设球 O的半径为 R，则OB OP R ，OO1 | R 2 |， Rt△OO 2 2 2 2 21B 中，O1B O1O OB ，即1 (R 2) R ，
解得 R
5
，
4
S 4 R2 25 则球 O的表面积为 ，
4
25
所以三棱锥外接球的表面积为 ．
4
25
故答案为：
4
【变式训练 9-1】在三棱锥 P ABC 中， PA PC AB BC AC 2 3 ，PB 3 3，则该三棱锥的外接球的
表面积为（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
π
【变式训练 9-2】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2 3 ， AB 2AC 6 ， BAC ，则该三棱锥外接球3
的表面积为 ．
【变式训练 9-3】在三棱锥 S ABC 中， SA SB CA CB AB 2，二面角 S AB C 的大小为60 ，则三棱
锥 S ABC 的外接球的表面积为 ．
题型 10：垂面模型
【典型例题 1】在三棱锥 P-ABC中， PA PB BC 6, AC 6 2, AB BC ，平面 PAB⊥平面 ABC，若球 O是三
棱锥 P-ABC的外接球，则球 O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在VABC 中， BC 6, AC 6 2, AB BC ，则 AB PA PB 6 ， AC 中点O1为VABC 的外心，
于是OO1 平面 ABC ，取 AB 中点D，连接PD，则 PD AB ，而平面 PAB⊥平面 ABC，
平面PAB 平面 ABC AB ， PD 平面PAB，则 PD 平面 ABC ，OO1 / /PD ，
PAB 1 1 3令正 的外心为O2 ，则O2 为PD的 3等分点，O2D PD AB 3 ， 3 3 2
又OO2 平面PAB，则OO2 PD ，而 PD DO1，则四边形OO1DO2 是矩形，
OO1 O2D 3，因此球 O的半径 R OA ( 3)2 (3 2)2 21 ，
所以球 O的表面积为 S 4πR2 84π .
故选：B
π
【典型例题 2】在体积为 12的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD， ACD ，
3
BCD π ，若点 A, B,C, D 都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
4
A．12π B．16π C．32π D． 48π
【答案】D
【解析】
如图，取CD的中点O，连接 AO ，BO，
因为 AC AD， BC BD，所以OA OB OC OD，因此点O就是球心，
BCD π又 ，故△BCD是等腰直角三角形，所以OB CD ．
4
因为平面 ACD 平面 BCD，平面 ACD 平面 BCD CD，
所以OB 平面 ACD ．
设球O半径为 R ，则OB R ， AC R ，
又 ACD
π
，则 ，
3 AD 3R
A BCD V 1 S OB 1 1 3所以三棱锥 的体积 ACD AC AD OB R
3 12，
3 3 2 6
所以 R 2 3 ，所以球 O的表面积为 4πR2 48π．
故选：D．
【典型例题 3】已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球O上,底面 ABCD是矩形,平面 PAD 平面 ABCD , PAD 为
正三角形, AB 2AD 4 ,则球O的表面积为______．
64π
【答案】
3
【解析】过点 P作 PE∥AB,交球面于点 E,连接 BE,CE,则 BE∥AP,CE∥DP,三棱柱 APD-BEC为正三棱柱,故球心为正
2 3
三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD为正三角形,AD=2,所以△PAD外接圆的半径为 ,所以球 O的半
3
2 2
2 2 3 4 3 4 3 64π径 R 2 ,所以球 O的表面积为 4π .
3 3
3 3
【典型例题 4】在三棱锥 P ABC 中， PA PB 3, AB 4, BC 3, AC 5，若平面 PAB 平面 ABC ，则三棱
锥 P ABC 外接球的表面积为_______．
126
【答案】
5
【解析】如图所示，过 P作 PD垂直 AB于 D，PA=PB，所以 D为 AB的中点，因为平面 PAB 平面 ABC ，所以 PD
面 ABC，又因为 AB2 BC 2 AC 2 ，所以三棱锥 P ABC 外接球的球心在面 ABC内的射影为 AC的中点，且 O，E，
D，P四点共面．
过 O作 OF垂直 PD于 F，所以四边形 OEDF为矩形．设球心 O到面 ABC的距离为 h，即 OE=FD=h，三棱锥 P ABC
1 3 5
外接球的半径为 R．在等腰 PAB中， PD 32 22 5 ，而OF DE BC ， AE ， 2 2 2
2 2
R2 5 h2 3
2 1
故 5 h ，解得 h ， R2 1 25 126 ，
2 2 2 5 20 4 20
S 4 R2 126 表面积 ．
5
【变式训练 10-1】如图，在三棱锥 A BCD 中，平面 ACD 平面 BCD， ACD是以CD为斜边的等腰直角三角
形， AB BC ， AC 2CB 4，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．32π C． 40π D．64π
【变式训练 10-2】在体积为12的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD，
ACD π ， BCD
π
，若点A ， B ，C ， D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）
3 4
A． 24 3π B． 48π C．32 3π D．64π
3
【变式训练 10-3】在体积为 的三棱锥 A BCD 中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD，
2
ACD π
π
， BCD ，若点A 、 B 、C 、 D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） 6 4
A．12π B．16π C．32π D． 48π
【变式训练 10-4】已知四棱锥 P ABCD 的五个顶点在球O的球面上，平面 PCD与平面 PAD 都与底面 ABCD
垂直，且 AB BC 3， PD CD DA 1，则球O的体积为________．
【变式训练 10-5】在三棱锥 E ABC 中，平面 ACE 平面 ABC ， AC CE 2AB 12， BAC ，AC CE ，
3
点D为 AC 的中点，F 是CE上的一个动点，则三棱锥B ADF 外接球表面积的最小值为 .
【变式训练 10-6】在△ABC中， AB BC 3， AC 2，将△ABC沿 AC旋转，当点 B到达点B 的位置时，平
面 B AC 平面 BAC ，则三棱锥 B ABC 外接球表面积为 ．
【变式训练 10-7】如图，在四面体 ABCD中，△ABD 与△BCD均是边长为 2 3 的等边三角形，二面角
A BD C 的大小为90 ，则四面体 ABCD的外接球表面积为 .
题型 11：外接球之二面角模型
【典型例题 1】如图，平行四边形 ABCD中， AB BD DC 2， A 45 .现将△BCD沿 BD起，使二面角
C BD A大小为 120°，则折起后得到的三棱锥C ABD外接球的表面积为（ ）
A．10π B．15π C． 20π D． 20 3π
【答案】C
【解析】作出辅助线，找到二面角C BD A的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接
球半径，得到表面积.
如图所示，过点 D 作 DE / / AB ，过点A 作 AE / /BD ，两直线相交于点E，
因为 AB BD DC 2， A 45 ，
所以 ADB 45 ， AB ⊥ BD，则 DE ⊥ BD，
由于CD⊥ BD，故 CDE即为二面角C BD A的平面角，
则 CDE 120 ，
过点C 作CF ⊥ DE 于点 F ，
因为 BD⊥ DE ， BD⊥CD， DE CD D ， DE,CD 平面CDF ，
故 BD⊥平面CDF ，
因为CF 平面CDF ，所以 BD⊥CF ，
又 BD DE D， BD, DE 平面 ABDE ，
则CF ⊥平面 ABDE ， CDF 60 ，
取 AD 的中点 H ，则外接球球心在平面 ABD的投影为 H ，即OH ⊥平面 ABDE ，
连接 FH ， AO,CO ，则 AO CO ，过点O作OG / /FH ，交直线CF 于点G ，
则OH FG ，
1
CD 2,CF CD sin 60 3, DF CD cos 60 1， AH DH AD 2 ，
2
2
由余弦定理得 FH DF 2 DH 2 2FD DH cos FDH ， 1 2 2 1 2 2
5 ，
设 OH h， 则 FG h ， 故 CG CF FG 3 h， 由 勾 股 定 理 得 OC 2 OG2 2
2
CG 5 3 h ，
2
OA2 OH 2 AH 2 2 h2 ，故5 3 h 2 h2 ，解得 h 3 ，故外接球半径为 2 h2 5 ，外接球表面
积为 4π 5 20π .
【典型例题 2】在边长为 2 的菱形 ABCD中， ABC 120
，将△ABD 沿着 BD折叠，得到三棱锥 A BCD ，
若 A C 3，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）
4 21π 22 21π 28 21π 2 21π
A． 3 B． 27 C． 27 D． 3
【答案】C
【解析】设 BD的中点为E，连接 A E ，CE，设 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆心，过点 P 、G 分别
作平面 A BD、平面 BCD的垂线，设两垂线交于点O，从而得到点O为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理
求出 A EC ，即可求出OG ，再由勾股定理求出OC ，即可求出外接球的体积.
在菱形 ABCD中， ABC 120 ，所以△ABD 和△BCD均是边长为 2 的等边三角形，
如图在三棱锥 A BCD 中，设 BD的中点为 E，连接 A E ，CE，设 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆
心，
过点 P 、G 分别作平面 A BD、平面 BCD的垂线，设两垂线交于点O，则点O为该三棱锥外接球的球心，
连接OC 、OE ，则OC 为外接球的半径，
依题意CE A E 3 ，且CE BD 、 A E BD，
cos A EC A
E2 EC 2 A C 2 3 3 9 1
由余弦定理 ，
2A E EC 2 3 3 2
所以 A EC 120 ，
由 P 、G 分别为 A BD、△BCD外接圆的圆心，
所以CG 2 CE 2 3 EG 1 ， CE 3 ，
3 3 3 3
因为OP PE，OG EG， PE EG，
所以△OPE≌△OGE ，所以 OEP OEG 60 ，所以OG EG tan 60 1，
2
OC 12
2 3 21 21
所以 ，即外接球的半径 R OC ，
3 3 3
3
V 4πR
3 4π 21 28 21π
所以外接球的体积
3 3 3
.
27
【典型例题 3】已知菱形 ABCD中，对角线 BD 2，将△ABD 沿着 BD折叠，使得二面角 A BD C 为120 ，
AC 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 .
28π
【答案】
3
【解析】将 ABD沿 BD折起后，取 BD中点为E，连接 AE ，CE ，得到 AEC 120 ，在△AEC 中由余弦定
理求出 AE 的长，进一步求出 AB 的长,分别记三角形△ABD 与△BCD的重心为G 、 F ，记该几何体 ABCD的
外接球球心为O，连接OF ，OG ，证明 Rt OGE 与 Rt OFE 全等，求出OE ，再推出 BD OE ，连接OC ，由
勾股定理求出OC ，即可得出外接球的表面积.
将 ABD沿 BD折起后，取 BD中点为E，连接 AE ，CE ，
则 AE BD，CE BD ，可知 AEC 即为二面角 A BD C 的平面角，即 AEC 120 ；
设 AE a，则 AE CE a，在△AEC 中，由余弦定理可得： AC 2 AE2 EC 2 2AE CE cos120 ，
即9 a2 a2 2 a a
1
解得 a 3，即 AE 3，可得2 AB 1 3 2，
所以△ABD 与△BCD是边长为 2 的等边三角形，分别记三角形△ABD 与△BCD的重心为G 、 F ，
则 EG 1 EF AE 3 2 ，CF CE 2 3 ； EF EG；
3 3 3 3
因为△ABD 与△BCD都是边长为 2的等边三角形，所以点G 是△ABD 的外心，点 F 是△BCD的外心；记该几
何体 ABCD的外接球球心为O，连接OF ，OG ，
根据球的性质，可得OF 平面 BCD，OG 平面 ABD，所以 OGE 与△OFE 都是直角三角形，且OE 为公共
边，所以 Rt OGE 1与Rt△OFE 全等，因此 OEG OEF AEC 60 ，
2
所以OF EF tan 60 1；因为 AE BD，CE BD ， AE I CE E ， AE,CE 平面 AEC ，
所以BD 平面 AEC ；又OE 平面 AEC ，所以 BD OE ，连接OC ，则外接球半径为OC 2 OF 2 CF 2
7
，
3
所以外接球表面积为 S 4π
7 28π
.
3 3
ABC π
【典型例题 4】已知菱形 ABCD的边长为 2， 3 ．将△DAC 沿着对角线 AC折起至△D AC ，连结
2π
BD ．设二面角 D AC B 的大小为 ，当 3 时，则四面体 D ABC 的外接球的表面积为 ．
28
【答案】
3
【解析】连接 BD交 AC 于点O，得 BOD 即二面角 D AC B 的平面角 ，作出四面体 D ABC 的外接球球心
P ，证明 P, N ,O, M 四点共面，依次求出ON , PN ，继而求得外接球的半径 PB，即可求出其表面积.
连接 BD交 AC 于点O ,由题意，点O为 AC 中点，且 BO AC, D O AC ,则 BOD 即二面角 D AC B 的平
面角 .
如图，设 M , N 分别是△ACD 和 BAC 的外心，分别过点 M 作 PM 平面 ACD ,过点 N 作 PN ^ 平面 ABC ,
PM PN P ,
则点 P 为四面体 D ABC 的外接球球心.
由 BO AC, D O AC ， BO D O O, BO, D O 平面 BOD ,故得， AC 平面 BOD ,
又 AC 平面 ACD ， AC 平面 ABC ，故得，平面 BOD 平面 ACD ，平面 BOD 平面 ABC ，
故 P, N ,O, M 四点共面.
2π由 可知 PON
π
,
3 ON
1 3 3
2 , PN ON tan π 1，
3 3 2 3 3
D ABC 2 3 7故四面体 的外接球的半径为： PB PN 2 BN 2 12 ( )2 ,
3 3
7 28π
于是四面体 D ABC 的外接球的表面积为 4π ( )2 .
3 3
【变式训练 11-1】如图，在三棱锥 A BCD 中， AB BC AC CD 2， BCD 120 ，二面角 A BC D 的
大小为120 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为（ ）
82 80 244
A． B． C． 27 D．
3 3 9
【变式训练 11-2】如图，在直角梯形 ABCD中，已知 AD / /BC ， AD AB 1， BAD 90 ， BCD 45 ，
现将△ABD 沿 BD折起到△PBD 的位置，使二面角 P BD C 的大小为 45°，则此时三棱锥 P BCD 的外接球
表面积是（ ）
8π 14π
A． B． C． 4π D． 6π
3 3
【变式训练 11-3】已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱长为 10 ，且二面角 P AB C 的正切值为 2 2 ，则它的外
接球表面积为（ ）
40
12π π 25A． B． C．8π D． π
3 2
【变式训练 11-4】已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱长为 2 ，且二面角 P AB C 的正切值为 6 ，则它的外接球
表面积为（ ）
16 28
A． π B． 6π C．8π D． π
3 3
【变式训练 11-5】梯形 ABCD中， AB CD ， CBA 90 ， DC 2BC 4，点E在线段 AB 上，且
2
DE∥BC ，以 DE 为折痕将 ADE 折起，使点A 到达点 P 的位置，且二面角 P DE B 等于 ，当 PB 6 时，
3
四棱锥 P EBCD外接球的表面积为___________.
【变式训练 11-6】如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AC BC BD CD ，二面角 A BC D 的余弦值为
1 1
，若三棱锥 A BCD 的体积为 ，则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为______．
3 3
【变式训练 11-7】已知四面体 ABCD的各顶点都在同一球面上，若 AB BC CD DA BD 2 3 ，二面角
A BD C 的平面角为 60o，则该球的表面积是
【变式训练 11-8】已知三棱锥 D ABC 中， AB 4, AC 3, BC 5 ，三角形 DBC 为正三角形，若二面角
D BC A为120 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式训练 11-9】如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PB 5 ，CA AB ， AB AC 2 ，二面角 P AB C
的大小为120 ，则三棱锥 P ABC 的外接球表面积为 .
【变式训练 11-10】已知菱形 ABCD中，对角线 BD 2，将△ABD 沿着BD折叠，使得二面角 A BD C 为
120 ， AC 3 ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 .
【变式训练 11-11】在三棱锥 P ABC 中，已知VABC 是边长为 2的正三角形，且 PA PB .若 PAB 和VABC
5
的面积之积为 3 ，且二面角 P AB C 的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
5
题型 12：外接球之共斜边拼接模型
【典型例题 1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是菱形， PB 底面 ABCD， O是对角线 AC 与BD的交点，若
APB PB 1， ，则三棱锥 P BOC 的外接球的体积为（ ）
3
2 4 5
A． B． C． D．2
3 3 3
【答案】B
【解析】解：∵底面 ABCD为菱形，∴ AC BD ，又 PB 底面 ABCD，∴ AC PB ，
∴ AC 平面 PBD，∴ AC PO ，即 POC ，
2
取 PC的中点 M，如下图：
1
连结 BM，OM，在 Rt△PBC 中，MB=MC=MP= 2 PC，
在 Rt POC 1△ 中 MO= 2 PC，
∴点 M为三棱椎 P-BOC的外接球的球心，
在△PAC 中，由于 PO AC ，O是 AC的中点，所以△PAC 是等腰三角形，
PA PC 1 cos 2 ，
3
1 4
外接球半径为 PC 1 ，外接球的体积为 ；
2 3
故选：B．
【典型例题 2】在矩形ABCD 中，AB 4,BC 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则
四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
125 125 125 125
A． 12 B． 9 C． 6 D． 3
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ．
∴点O 到四面体的四个顶点A、B、C、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图所示．
D
A O C
B
【变式训练图12- 21】已知三棱锥 P ABC 中，PA 1， PB 3， PC 5 ， AB 2 2 ，CA CB 2 ，则此三棱
锥的外接球的表面积为（ ）
14 28
A． B． C．9 D．12
3 3
【变式训练 12-2】在三棱锥 A SBC 中， AB 10, ASC BSC , AC AS, BC BS 若该三棱锥的体积
4
15
为 ，则三棱锥 A SBC 外球的体积为（ ）
3
A． B． C． 5 D．3 4 3
【变式训练 12-3】把边长为 2 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折成直二面角 D AC B，则三棱锥D ABC 的
外接球的球心到平面BCD的距离为（ ）
3 2 6 1
A． 3 B． 2 C． 3 D． 2
【变式训练 12-4】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O的球面上， SC 是球O的直径.若平面 SCA 平面
8
SCB ， SA AC ， SB BC ，三棱锥 S ABC 的体积为 3 ，则球O的体积为（ ）
20 32
A． 4 B． 3 C．6 D． 3
2 2
【变式训练 12-5】在平行四边形 ABCD 中， AB BD ， 2AB BD 1，将此平行四边形沿对角线 BD折叠，
使平面 ABD 平面CBD ，则三棱锥 A BCD 外接球的体积是 ．
题型 13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典型例题 1】已知某圆锥底面半径为 1，高为 2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
25 π 25 25π π 25A． B． C． D． π
8 6 4 2
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为 R ，
5
则有R2 1 (2 R)2 ，解得 R ，
4
2 25π
则该圆锥的外接球表面积 S 4πR ．
4
故选：C．
S1
【典型例题 2】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为 S1, S2，且 2S ，对应圆锥外接球体积分2
V
V ,V 1别为 1 2 ，则 V （ ） 2
A．8 B．4 2 C． 2 2 D．2
【答案】C
【解析】设两个圆锥的母线长分别为 l1, l2 ，高分别为 h1,h2 ，底面圆的半径分别为 r1, r2，
对应圆锥的外接球半径分别为 R1, R2 ，
由题可得 l1 2 r1 l1 2r1， h1 3r1，同理得： l2 2r2 ， h2 3r2
S1 r1l1 r 2r 2
由 1 1 2
r1 2
S2 r2l2 r2 2r
，得 2
2 r2
又 R2 r 2 (h R)2 ，化简得 h2 r 2 2Rh，
h2 r 21 1 3r
2 2
1 r1 4 3
R1 2h1 2 3r1 r1 2 V
R1 3
， 1 = 3 =
R1
R h2 r 2 3r 2 r 2 r V 4 R3
=2 2
2 2 2 2 2 2 2 R3 2
2h 22 2 3r 32
故选：C
【典型例题 3】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的
下面是一个底面积为 32π,高为 h的圆柱,上面是一个底面积为 32π,高为 h的圆锥,若该容器有外接球,则外接
球的体积为 ( )
36 64 2
256
A． B． C． 288 D．
3 3
【答案】C
【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是 2R 3h ，
设圆柱的底面圆半径为 r ，母线长为 l h，
则 r2 32 ，解得 r 4 2 ，
又 l2 (2r)2 (3h)2 ，
h2 (8 2)2 9h2，
解得 h 4 ，
3外接球的半径为 R 4 6，
2
4 R3 4 63 外接球的体积为V 288 ．
3 3
故选C ．
【变式训练 13-1】已知圆台的上底半径为 1，下底半径为 2，母线长为 2 ，则此圆台的外接球表面积为
（ ）
A．12π B．16π C． 20π D． 24π
【变式训练 13-2】若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 4 的球面上，其上、下底面半径分别为1和 2 ，则该
圆台的体积为（ ）
5 3 7 3π π
A． 3 B．5 3π C．7 3π D． 3
【变式训练 13-3】已知圆台上底面的半径为 3，下底面的半径为 4，高为 7，圆台上、下底面的圆周都在同一个
球面上，则该球的体积是____.
【变式训练 13-4】已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为 2 3 ，高为 6，则球O
的表面积为（ ）
A．32 B． 48 C．64π D．80
【变式训练 13-5】已知一个圆柱的高是底面半径的 2倍，且其上 下底面的圆周均在球面上，若球的体积为
32
，则圆柱的体积为（ ）
3
A．16 B．8 C． 4 2π D． 2 2
题型 14：外接球之空间多面体
【典型例题 1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正
方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.
则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为 2 ，
则原正方体棱长的一半为 1，即多面体所在正方体的棱长为 2，
可得正方体体对角线长 2 3 ，外接球半径为 3，
所以外接球表面积为 4π ( 3)2 12π .
故选：D.
【典型例题 2】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图 1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装
盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体
ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转 45 得到如图 2所示的十面体 ABCD EFGH .已知
AB AD 2, AE 7 ，则十面体 ABCD EFGH 外接球的球心到平面 ABE 的距离是（ ）
(51 32 2) 3 6 4 3 (81 56 2) (81 56 2)
A． B． C． D．
48 12 48 12
【答案】B
【解析】由题中数据可知 A1E
2 1 ( 2 1)2 4 2 2 ，则 AA1 7 (4 2 2) 2 1.
因为十面体 ABCD EFGH 是由长方体 ABCD A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转 45 得到的，
所以长方体 ABCD A1B1C1D1的外接球就是十面体 ABCD EFGH 的外接球.
2 2
设十面体 ABCD EFGH 外接球的半径为 R，则 2R 2 2 2 1 11 2 2 R 11 2 2，即 ， 4
7 1 42
因为 AE BE 7, AB 2，所以 sin BAE .
7 7
BE 7 2
设 BE 49ABE 2r r2 外接圆的半径为 r，则由正弦定理得 sin 即 ， BAE 6 2sin BAE 24
则该十面体 ABCD EFGH 外接球的球心到平面 ABE 的距离是：
11 2 2 49 17 12 2 (3 2 2)2 3 6 4 3
.
4 24 24 24 12
故选：B
【典型例题 3】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个
全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面
6
体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为 ，则球O的体积为
2
（ ）
7 14 π 7 14 π 11 22 π 11 22A． B． C． D． π
24 3 24 3
【答案】D
【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体 ABCD，如图所示，
设正四面体 ABCD的棱长为 a ，易知点O为正四面体 ABCD的中心，
且点O到正六边形面的距离是正四面体 ABCD的内切球的半径，
1 1 2 3 6a 2 3
易知正四面体 ABCD的体积V a a ， 3 2 2
3 12
1 3
正四面体 ABCD的表面积 S 4 2 a 3a
2
，
2 2
2 3
所以正四面体 ABCD 3 a的内切球半径为 3V 12 6 a，
S 3a2 12
6 6 a
所以 a ，解得 a 6，则正六边形的边长为 2，
12 2 3
2
6 22
则该正六边形的外接圆半径为 2，所以球O的半径 R 22 ，
2 2
4 11 22
故球O的体积为 πR3 π ，故选：D．
3 3
【变式训练 14-1】在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有14个
面， 24 个顶点以及36条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为 2 的截角立方体，
则该截角立方体的外接球的表面积为 .
【变式训练 14-2】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.
如图是一个棱数为 24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为 1，则下列关
于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有 12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为 3
5
C．多面体的体积为
6
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
【变式训练 14-3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为 a的截
角四面体，则下列说法错误的是（ ）
1
A．二面角 A BC D 的余弦值为
3
23 2
B．该截角四面体的体积为 a3
12
11 2
C．该截角四面体的外接球表面积为 a
2
D．该截角四面体的表面积为6 3a2
【变式训练 14-4】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古
希腊时期人们就已经发现正多面体仅有 5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是
（ ）
π 4π 3πA． B． C． D． 2π
3 2
【变式训练 14-5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了
数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方
形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 2 ，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．8π B． 4π
4
C． 2π D． π
3
【变式训练 14-6】如图 1，一圆形纸片的圆心为O，半径为 4 3 ，以O为中心作正六边形 ABCDEF ，以正六边
形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的
图形如图 2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六
棱台的高为 6 ，则其外接球的表面积为（ ）
11π 22π 35π 35π
A． B． C． D．
4 3 4 2
【变式训练 14-7】六氟化硫，化学式为SF6 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝
缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以
看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 E ABCD F 的棱长为
a ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 AE 与 BF 所成的角为 45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为3 3；
③若点 P 为棱 EB上的动点，则 AP CP 的最小值为 2 3a ；
a 8 3
④若点O为四边形 ABCD的中心，点Q为此八面体表面上动点，且 OQ ，则动点Q的轨迹长度为 aπ . 2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型 15：球心在高上（圆锥形）
【典型例题 1】在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 3, AB AC 2, BC 2 2 ，则三棱锥 P ABC 的外接球
的半径为 ．
9 7
【答案】
14
【解析】依题 ABC为直角三角形，又由 PA PB PC 3，可得点 P 在底面 ABC的射影为 ABC的外心 D ，
故球心在直线 PD上，易求出半径得解.
如图，由 AB AC 2, BC 2 2 ，可得 CAB 90 ，
所以 ABC的外心为 BC 的中点 D ，又由 PA PB PC 3，
点 P 在底面 ABC的射影为 H，
则PH 平面 ABC，连接 AH , BH ,CH ，
则 AH PA2 PH 2 , BH PB2 PH 2 ,CH PC 2 PH 2 ，
AH BH CH ，所以点 H与点 D重合，
点 P 在底面 ABC的射影为 ABC的外心 D ，
显然三棱锥 P ABC 外接球的球心O在直线 PD上，
设OP OA R, PD PB2 BD2 9 2 7 ，
2 2
Rt AOD R2 7 R 2 R 9 7 9 7在 中，有 ，解得 ．故答案为： 14 14
【典型例题 2】已知圆锥的顶点为S，母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 3π ，设该圆锥外接球半径为
r
R ，内切球半径为 r ，则 R （ ）
3 3 3 1 1 3
A． 2 B． 2 C． 2 3 D． 2
【答案】A
【解析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切
球大圆的关系求出 R, r 即可得解.
3 3 1
依题意，圆锥底面圆半径 r ，则 2πr 3π，解得 r ，于是圆锥的高 h 12 ( )2 ，
2 2 2
圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆，
sin h 1 1令圆锥轴截面等腰三角形底角为 ，则 ，因此 2R 2，即R 1，
1 2 sin
1 3 1 1圆锥轴截面等腰三角形面积 ( 3 2)r
3
，解得 r 3
3
，
2 2 2 2( 3 2) 2
r 3 3所以 .
R 2
【变式训练 15-1】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的外接球的体积为 .
【变式训练 15-2】已知三棱锥 P ABC 的各侧棱长均为 2 3 ，且 AB 3, BC 3, AC 2 3 ，则三棱锥 P ABC
的外接球的表面积为 .
SO O O
【变式训练 15-3】已知球O的体积为36π，圆锥 1 的顶点S及底面圆 1上所有点都在球面上，且底面圆 1半
径为 2 2 ，则该圆锥侧面的面积为（ ）
A．6 2π B． 4 6π 或6 2π
C．8 3π或 4 6π D．8 3π
题型 16：两个外心+中垂线确定球心
【典型例题 1】已知正 ABC 边长为 1，将 ABC 绕 BC 旋转至△DBC ，使得平面 ABC 平面BCD，则三棱锥
D ABC 的外接球表面积为 ．
5
【答案】 π
3
【解析】如图，
取 BC中点 G，连接 AG,DG，则 AG BC ， DG BC ，
分别取 ABC 与 DBC 的外心 E,F分别过 E,F作平面 ABC与平面 DBC的垂线，相交于 O，则 O为四面体 A BCD
的球心，
由 AB AC DB DC BC 1，
AG DG 1
2 3
12
2 2
2 2
1 3 3 3 AG OG 6所以正方形 OEGF的边长为 ，则 ， 3 6 6 6 6
2
2
所以四面体 A BCD 的外接球的半径 R OG2 BG2 6 1 5 6
，
2 12
2
球 O的表面积为 4π
5 5π
．
12 3
DPA π
【典型例题 2】在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，且 ABCD为矩形， 2 ， AD 2 3 ，
AB 2 ， PA PD ，则四棱锥 P ABCD的外接球的体积为（ ）
16 32π π
64 π
A． 3 B． 3 C． 3 D．16π
【答案】B
【解析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由 PAD为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面
PAD 平面 ABCD可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体
积．
设 AC BD O ，取 AD 的中点E，连接OE ，OP ，PE，
因为底面 ABCD为矩形，所以O为矩形 ABCD的外接圆的圆心，
又 DPA
π
， PA PD ， AD 2 3 ， AB 2 ， 2
则OE 1∥ AB，OE AB 1， PE 1 AD 3， 2 2
因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD ，PE AD， PE 面 PAD ，
所以 PE 面 ABCD，
因为OE 面 ABCD，所以PE OE ，所以 PO PE2 OE2 3 1 2，
1 1 2
因为OA OB OC OD AC 2 3 22 2 PO， 2 2
所以O为外接球的球心，则外接球的半径为R 2，
4 3 4 3 32
所以外接球的体积V = πR = π 2 = π ．
3 3 3
【变式训练 16-1】四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， PA PD ， AB 2 ，
BC 2 3 ，若四棱锥 P ABCD 的外接球表面积为 20π，则四棱锥 P ABCD 的体积为（ ）
4 3
A． 4 3 B．12 3 C． 3 或 4 3 D． 4 3 或12 3
【变式训练 16-2】如图，三棱锥 A BCD 中，平面 ACD 平面 BCD， ACD是边长为 2的等边三角形，
BD CD， BDC 120 .若 A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .
题型 17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）
【典型例题 1】在三棱锥 P ABC 中，平面 ABC 平面 PAB, AC BC ，点 D 是 AB 的中点，
PD PB, PB PD 2，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 .
【答案】 40π
【解析】因为 AC BC ，所以 ABC 的外接圆圆心即点 D ，三棱锥外接球球心在过点 D 与平面 ABC 垂直的直线
上，
由于平面 ABC 平面 PAB,即球心在平面 PAB 内，
所以球心即为 PAB 的外接圆圆心，球的半径即为 PAB 的外接圆半径 R .
因为 PD PB, PB PD 2，所以 BD 2 2 ，从而 AD 2 2 .
3π
设 PA x ，在 PAD 2 2 2中，根据余弦定理有 PA 2 (2 2) 2 2 2 2cos 20，所以
4 PA 2 5
，
2R 2 5由正弦定理得 2 10 ，所以 R 10 ，所以三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 4 R2 40π .故
sin PBA
答案为： 40π
【典型例题 2】已知三棱锥 P ABC ， ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，△PAC为边长是 2的等边三角形，
且平面 ABC 平面 PAC ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为（ ）
16 21 π 21π π
A． 3 B． 3 C． 2 D．8π
【答案】A
【解析】由条件知，外接球的球心在过 AC 的中点且垂直于平面 ABC 的直线上，又平面 ABC 平面 PAC ，所以
可得等边三角形 PAC 的中心即为外接球的球心，求出△PAC外接圆的半径即得三棱锥 P ABC 外接球的半
径．
直角三角形 ABC 外接圆的圆心是斜边 AC 的中点O1，过该点作一条垂直于平
面 ABC 的直线．因为平面 ABC 平面 PAC ，
所以所作直线在平面 PAC 内， 且经过等边三角形 PAC 的中心，
所以等边三角形 PAC 的中心就是三棱锥 P ABC 外接球的球心，
所以△PAC外接圆的半径也是三棱锥 P ABC 外接球的半径．
AC 2
由正弦定理知， 2R PAC π 2R( R 是△ 的外接圆的半径)，即 ，
sin APC sin 3
R 2 2 3 π P ABC 2 3所以 3 ，于是三棱锥 外接球的半径为 ， 2sin
3 3
故三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 S 4πR2
16π
．
3
【变式训练 17-1】已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8 ，该圆锥内接于球O，则球O的表面积为 .
BAC π
【变式训练 17-2】三棱锥 P ABC 中， PA PB PC 2 3 ， AB 2AC 6 ， 3 ，则该三棱锥外接
球的表面积为 ．
题型 18：外接球之坐标法模型
【典型例题 1】正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，若点 M在线段 BC1上运动，当 AMC 的周长最小时，三棱
锥M CB1D1的外接球表面积为（ ）
A． 4π B．8π C．16π D．32π
【答案】C
【解析】 AMC 的周长为 AM MC AC ，由于 AC 为定值，即 AM MC 最小时， AMC 的周长最小，
如图，将平面 BCC1展成与平面 ABC1D1 同一平面，则当点 A, M ,C 共线时，此时 AM MC 最小，在展开图中作
BM AB BM 2
CN AB ，垂足为 N ， CN AN ，解得： BM 2 2 2， 2 2 2
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，
C 0, 2,0 ，M 2,2,2 2 ，
连结 AC1，因为 AB 平面 BCC1， B1C 平面 BCC1，
所以 AB B1C ，又因为 B1C BC1 ，且 AB BC1 B ， AB 平面 ABC1， BC1 平面 ABC1，
所以 B1C 平面 ABC1， AC1 平面 ABC1，所以 B1C AC1，
同理B1D1 AC1 ，且 B1C B1D1 B1，
所以 AC1 平面CB1D1，且三棱锥C1 CB1D1是正三棱锥，所以 AC1经过△CB1D1的中心．
所以三棱锥M CB1D1外接球的球心在 AC1上，设球心O(a ，2 a ， 2 a) ，则OC OM ，
即 a2 (2 a 2)2 (2 a)2 (a 2)2 (2 a 2)2 (2 a 2 2)2 ，
解得： a 0， R2 OC 2 4，所以外接球的表面积 S 4πR2 16π .
故选：C.
【典型例题 2】已知三棱锥
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