2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第二节函数（1）(1)

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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第二节 函数（1）
一、内容提示：
1.函数的定义
2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义
4.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.
二、例题分析：
【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数？说明理由.
（1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）2n-1 （n∈N*）；
（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
【例2】 设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当－1＜x≤1时，f（x）=2x－1，求当1＜x≤3时，函数f（x）的解析式.
三、典题精练：
1.已知函数f（x）=lg，若f（a）=b，则f（－a）等于 （ ）
A.b B.－b C. D.－
2.函数y=的定义域是 ( )
A.［－，－1）∪（1，］ B.（－，－1）∪（1，）
C.［－2，－1）∪（1，2］ D.（－2，－1）∪（1，2）
3.若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于 ( )
A. B. C. D.2
4.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是 ( )
A.10% B.15% C.18% D.20%
6.设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为 ( )
A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］
7.已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
8.已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于( )
A.－ B. C.－ D.
9.如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）.
（1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
10.如果函数对任意x∈R都有，试求的值.
11.设，若t在区间［－2，2］上变化时，m值恒正，求x的取值范围.
四、方法反馈：
1.理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A、B及对应法则f是确定的，是一个系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
2.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，即分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0，负分数指数幂中，底数应大于0；对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1……实际问题中还需考虑自变量的实际意义.若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
3.分段函数其实是一个函数，只是由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样才以分段式给出，因此它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.
五、答案参考：
例题分析：
【例1】 解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.
（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
【例2】 解：设1＜x≤3，则－1＜x－2≤1，又对任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1时，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
评述：将1＜x≤3转化成－1＜x－2≤1，再利用已知条件是解本题的关键.
典题精练：
1. 解析：f（－a）=lg=－lg=－f（a）=－b. 答案: B
2.解析：－≤x＜－1或1＜x≤.∴y=的定义域为［－，－1）∪（1，］. 答案：A
3.解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.
当a＞1时，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
当0＜a＜1时，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，与值域是［0，1］矛盾.
综上，a=2. 答案：D
4.解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知选C. 答案：C
5.解析：设降价百分率为x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20. 答案：D
6.解析：f（x）是分段函数，故f（x）≥1应分段求解.
当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥14－≥1≤3x≤10，∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10. 答案：A
7.解析：x≥0时，f（x）=1，
xf（x）+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f（x）=0，
xf（x）+x≤2x≤2，∴x＜0.综上x≤1. 答案：{x|x≤1}
8. 解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－.又A（2，－）在y=kx图象上，－=k·2，∴k=－. 答案：A
9.解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.
当0＜x≤4时，S=f（x）=·4·x=2x； 当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=·4·（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴这个函数的解析式为
f（x）= （2）其图形为
由图知，［f（x）］max=8.
10.解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=－f（1－x），∴当x=0时应有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0. 又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
11.解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
① 或 ②
在①中，对于t∈［－2，2］恒成立时，应有，即x＞8；
在②中，对于t∈［－2，2］恒成立时，应有，即.
综上，得x＞8或0＜x＜.
评述：本题还可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］关于变量t的图象是直线，要t∈［－2，2］时m值恒正，只要t=－2和2时m的值恒正，即有
∴log2x＞3或log2x＜－1.
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