2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第三节函数（2）

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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第三节 函数（2）
一、内容提示：
1.增函数、减函数的定义
2.函数单调性可以从三个方面理解，这三方面是研究函数单调性的基本途径.
（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.
（3）定量刻画，即定义.
3.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有，则称为奇函数.
偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有，则称f（x）为偶函数.
4.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.
二、例题分析：
【例1】如果二次函数在区间（，1）上是增函数，求f（2）的取值范围.
【例2】 讨论函数f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的单调性.
【例3】 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若，求x的取值范围.
【例4】 函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）如果，，且在上是增函数，求x的取值范围.
【例5】 已知函数f（x）=x++m（p≠0）是奇函数.求m的值.
三、典题精练：
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 ( )
A.y=－x+1 B.y= C.y=x2－4x+5 D.y=
2.有下列几个命题：
①函数在上不是增函数；②函数y=在上是减函数；③函数y=的单调区间是；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有.其中正确命题的序号是___________________.
3.函数在［0，1］上的最大值与最小值的和为a，则a的值为( )
A. B. C.2 D.4
4.如果函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是______.
5.函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4x－x2）的递增区间是___________________.
6.函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是 ( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
7.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg，那么当x∈（－1，0）时，f（x）的表达式是__________.
8.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.
9.已知f（x）＝x（＋）.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）＞0.
10.讨论函数f（x）=（a≠）在（－2，+∞）上的单调性.
11. 已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称.
（1）求m的值；
（2）若在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.
12.已知函数f（x）=|x－a|，（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
13. 设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性.
14. 已知f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0时，有＞0.
15. 已知函数是奇函数，又，求的值.
四、方法反馈：
1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；而有些函数在定义域内的部分区间上是增函数而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如y=函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
2.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即x1、x2是给定区间上的任意两个值，“任意”二字绝不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可. 函数单调性的重要作用在于化归，要重视运用函数的单调性将问题化归转化，培养化归意识.
3.在解决与函数单调性有关的问题时，通常有定义法、图象法、复合函数判断法，但最基本的方法是定义法，几乎所有的与单调性有关的问题都可用定义法来解决.
4.讨论函数的单调性必须在定义域内进行.
5.证明函数单调性的一般步骤：1°设值；2°作差；3°变形；4°定号；5°结论.
6.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.
7.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.
8.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.
9.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合，应加强知识横向间的联系，注意数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.
五、答案参考：
例题分析：
【例1】 解：二次函数f（x）在区间（，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.
评述：由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范围就是求一次函数y=－2a+11的值域，当然就应先求其定义域.
【例2】 解：设－1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）－f（x2）=－==.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，函数f（x）在（－1，1）上为减函数.
【例3】 （1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，
∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.
∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.
又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，
∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
【例6】 （1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.
（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）×（－1）］=f（－1）+f（－1）.
解得f（－1）=0.
令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.
∴f（x）为偶函数.
（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3.
∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴（*）等价于不等式组
或故有或
∴3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.
∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
【例5】解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）=－f（x）.
∴－x－+m=－x－－m.
∴2m=0.∴m=0.
评述：f（x）=x+（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.
典题精练：
1. 答案：B
2. 解析：①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③错；④∵f（x）在R上是增函数，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正确的. 答案：④
3.解析：f（x）是［0，1］上的增函数或减函数，故f（0）+f（1）=a，即1+a+loga2=aloga2=－1，∴2=a－1a=. 答案：B
4.解析：对称轴x=1－a，由1－a≥4，得a≤－3. 答案：a≤－3
5.解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，∴f（x）=log2x，f（4x－x2）=log2（4x－x2）.令u=4x－x2，则u＞0，即4x－x2＞0.∴x∈（0，4）.又∵u=－x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为2＞1，∴y=f（4x－x2）的递增区间为（0，2）. 答案：（0，2）
6.解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数. 答案：A
7.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg=lg（1－x）.
答案：lg（1－x）
8.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，
即 a－+a－=0，得a=1.
9.（1）解：f（x）＝x·，其定义域为x≠0的实数.
又 f（－x）＝－x·＝－x·＝x·＝f（x），
∴f（x）为偶函数.
（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.
又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，
∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，
即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.
10.解：设x1、x2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=
==.
∵x1∈（－2，+∞），x2∈（－2，+∞）且x1＜x2，
∴x2－x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0.
∴当1－2a＞0，即a＜时，f（x1）＞f（x2），该函数为减函数；
当1－2a＜0，即a＞时，f（x1）＜f（x2），该函数为增函数.
11.解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x′，y′），
则有x′=－x，且y′=2－y.
∵点Q（x′，y′）在f（x）=m（x+）上，
∴y′=m（x′+）.
将x、y代入，得2－y=m（－x－）.
整理，得y=m（x+）+2.∴m=.
（2）∵g（x）=（x+），设x1、x2∈（0，2］，且x1＜x2，
则g（x1）－g（x2）=（x1－x2）·＞0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.
∴x1x2－（1+a）＜0对一切x1、x2∈（0，2］恒成立.
∴由1+a＞x1x2≥4，得a＞3.
12.（1）解：由题意，f（0）=g（0），|a|=1，又a＞0，所以a=1.
（2）解：f（x）+g（x）=|x－1|+x2+2x+1.
当x≥1时，f（x）+g（x）=x2+3x，它在［1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x2+x+2，它在［－，1）上单调递增.
13.解：函数f（x）＝的定义域为（－∞，－b）∪（－b，＋∞），
任取x1、x2∈（－∞，－b）且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝.
∵a－b＞0，x2－x1＞0，（x1＋b）（x2＋b）＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x）在（－∞，－b）上是减函数.
同理可证f（x）在（－b，＋∞）上也是减函数.
∴函数f（x）=在（－∞，－b）与（－b，＋∞）上均为减函数.
14. 解：任取x1、x2∈［－1，1］，且x1＜x2，则－x2∈［－1，1］.又f（x）是奇函数，
于是
f（x1）－f（x2）=f（x1）+f（－x2）
=·（x1－x2）.
据已知＞0，x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴f（x）在［－1，1］上是增函数.
15.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）. ∴c=0.
由f（1）=2，得a+1=2b.
由f（2）＜3，得＜3， 解得－1＜a＜2.又a∈Z，
∴a=0或a=1.若a=0，则b=，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.
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