2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第四节基本函数（1）
文档属性
| 名称 | 2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第四节基本函数（1） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 58.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-07-14 06:05:00 | ||
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文档简介
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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第四节 基本函数（1）
一、内容提示：
1.指数
（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.
（2）方根的性质:①当n为奇数时，=a. ②当n为偶数时，=|a|=
（3）分数指数幂的意义
①a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
②a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
2.指数函数
（1）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.
（2）指数函数的图象
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
（3）指数函数的性质
①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1.
④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.
3.对数
（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
（2）指数式与对数式的关系：
ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN. ②loga=logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
4.对数函数
（1）对数函数的定义：函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
（2）对数函数的图象
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数
二、例题分析：
【例1】 已知，求函数的值域.
【例2】 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.
【例3】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
三、典题精练：
1.·等于 （ ）
A.－ B.－ C. D.
2.若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 （ ）
A.0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0 C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.
4.已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为 （ ）
A. B. C. D.
5.在四个函数中，时，能使
［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是 （ ）
A.f1（x）=x B.f2（x）=x2 C.f3（x）=2x D.f4（x）=logx
6.化简（a＞0，b＞0）的结果是___________________.
7.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于 （ ）
A. B.－ C.2 D.－2
8.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.
9.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（）x－1－4（）x+2的最大值和最小值.
10.解方程4x+|1－2x|=11.
四、方法反馈：
1.指数函数和对数函数的图象和性质受底数a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.
2.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.指数函数或对数函数的单调性，是解决这一类问题的关键.
3.换元法，要注意换元后“新元”的范围.
4.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.
五、答案参考：
例题分析
【例1】 解：∵），∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵是［－4，1］上的增函数，∴.故所求函数y的值域是［－，］.
【例2】 解：由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒成立，即a＞－在x∈（－∞，1］上恒成立.又∵－=－（）2x－（）x=－［（）x+］2+，当x∈（－∞，1］时值域为（－∞，－］，∴a＞－.
评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.
【例3】 解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
典题精练
1.解析：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）. 答案：A
2.解析：作函数y=ax+b－1的图象. 答案：C
3.解析：由0≤log（3－x）≤1log1≤log（3－x）≤log
≤3－x≤12≤x≤. 答案：［2，］
4. 解析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.
答案：D
5.解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数. 答案：A
6.解析：原式====. 答案：
7.解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－）|，对称轴为x=，由=－2得a=－.答案：B
评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a+1=－1. ∵a≠0，∴a=－.
8.解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0.
∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2. 答案：2
9.解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（）x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.
10.解方程4x+|1－2x|=11.
解：当x≤0时，1－2x≥0.
原方程4x－2x－10=02x=±2x=－＜0（无解）或2x=+＞1知x＞0（无解）.
当x＞0时，1－2x＜0.
原方程4x+2x－12=02x=－±2x=－4（无解）或2x=3x=log23（为原方程的解）.
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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第四节 基本函数（1）
一、内容提示：
1.指数
（1）n次方根的定义：若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.
（2）方根的性质:①当n为奇数时，=a. ②当n为偶数时，=|a|=
（3）分数指数幂的意义
①a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
②a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.
2.指数函数
（1）指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数.
（2）指数函数的图象
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
（3）指数函数的性质
①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x=0时，y=1.
④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.
3.对数
（1）对数的定义：如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
（2）指数式与对数式的关系：
ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN. ②loga=logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
4.对数函数
（1）对数函数的定义：函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
（2）对数函数的图象
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
（3）对数函数的性质:
①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数
二、例题分析：
【例1】 已知，求函数的值域.
【例2】 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.
【例3】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
三、典题精练：
1.·等于 （ ）
A.－ B.－ C. D.
2.若函数y=ax+b－1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 （ ）
A.0＜a＜1且b＞0 B.a＞1且b＞0 C.0＜a＜1且b＜0 D.a＞1且b＜0
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log（3－x）］的定义域是__________.
4.已知函数f（x）=则f（2+log23）的值为 （ ）
A. B. C. D.
5.在四个函数中，时，能使
［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是 （ ）
A.f1（x）=x B.f2（x）=x2 C.f3（x）=2x D.f4（x）=logx
6.化简（a＞0，b＞0）的结果是___________________.
7.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于 （ ）
A. B.－ C.2 D.－2
8.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.
9.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=（）x－1－4（）x+2的最大值和最小值.
10.解方程4x+|1－2x|=11.
四、方法反馈：
1.指数函数和对数函数的图象和性质受底数a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.
2.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.指数函数或对数函数的单调性，是解决这一类问题的关键.
3.换元法，要注意换元后“新元”的范围.
4.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.
五、答案参考：
例题分析
【例1】 解：∵），∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵是［－4，1］上的增函数，∴.故所求函数y的值域是［－，］.
【例2】 解：由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒成立，即a＞－在x∈（－∞，1］上恒成立.又∵－=－（）2x－（）x=－［（）x+］2+，当x∈（－∞，1］时值域为（－∞，－］，∴a＞－.
评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.
【例3】 解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
典题精练
1.解析：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）. 答案：A
2.解析：作函数y=ax+b－1的图象. 答案：C
3.解析：由0≤log（3－x）≤1log1≤log（3－x）≤log
≤3－x≤12≤x≤. 答案：［2，］
4. 解析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=.
答案：D
5.解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数. 答案：A
6.解析：原式====. 答案：
7.解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－）|，对称轴为x=，由=－2得a=－.答案：B
评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a+1=－1. ∵a≠0，∴a=－.
8.解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0.
∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2. 答案：2
9.解：由9x－10·3x+9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令（）x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t+2=4（t－）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.
10.解方程4x+|1－2x|=11.
解：当x≤0时，1－2x≥0.
原方程4x－2x－10=02x=±2x=－＜0（无解）或2x=+＞1知x＞0（无解）.
当x＞0时，1－2x＜0.
原方程4x+2x－12=02x=－±2x=－4（无解）或2x=3x=log23（为原方程的解）.
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