2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第七节三角函数（2）

2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第七节 三角函数（2）
一、内容提示：
1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2.三角函数的基本内容：（1）y=sinx和y=cosx的性质：
y=sinx y=cosx
五点法5个特殊点 (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0) (0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
定义域 x∈R x∈R
值域 ［－1，1］ ［－1，1］
最大值 当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z，取得最大值1 当且仅当x＝2kπ，k∈Z，取得最大值1
最小值 当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z，取得最小值－1 当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z，取得最小值－1
周期性 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
奇偶性 奇（正弦曲线图象关于原点O对称） 偶（余弦曲线关于y轴对称）
单调性（增） 在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1 在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1
减 在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1 在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
（2）正切函数的性质：
1）．定义域：，2）．值域：R 3）．周期性： 4)．奇偶性：奇函数
5)．单调性：在开区间内，函数单调递增
3.三角函数图像问题：
（1）y＝Asin(ωx＋)：其中表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；称为相位；时的相位称为初相
（2）三角函数变换：
1）：y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0称为振幅，这一变换称为振幅变换
2）：函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变），若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
3）：函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
二、例题分析：
【例1】求函数y＝sinπ的单调增区间
解：将原函数变形为y＝－sinπ
因此只需求sinπ＝y的减区间即可
∵ｕ＝π为增函数
∴只需求sinｕ的递减区间
∴2kπ＋≤π≤2kπ＋
解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)
∴原函数的单调递增区间为［4k＋2，4k＋4］(k∈Z)
【例2】在0≤x≤条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值
解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有
y＝－2sin2x－3·
＝2(cos2x－sin2x)－1
＝2 (cos2xcos－sin2xsin)－1
＝2cos(2x＋)－1
∵0≤x≤，≤2x＋≤
cos(2x＋)在［0，）上是减函数
故当x＝0时有最大值
当x＝时有最小值－1
cos(2x＋)在［，］上是增函数
故当x＝时，有最小值－1
当x＝时，有最大值－
综上所述，当x＝0时，ymax＝1
当x＝时，ymin＝－2－1
【例3】求函数y＝cos2x－3sinx的最大值
解：y＝cos2x－3sinx＝－sin2x－3sinx＋1＝－(sinx＋)2＋
∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1时，ymax＝3
说明：解此题易忽视sinx∈［－1，1］这一范围，认为sinx＝－时，y有最大值，造成误解
2．注意条件中角的范围
三、典题精练：
1、求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
1y＝sin2x，x∈R 2 y=sin(3x+)-1
2、求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=3sin(+) 3 y=|sinx|
3、不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)(－)－(－)．
4、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值
5、求函数y＝sinπ的单调增区间
6、求函数y＝sin2x＋acosx＋a－(0≤x≤)的最大值
7、画出函数 y＝sin(x＋)，x∈R， y＝sin(x－)，x∈R的简图
8、若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为( )
Ay＝sin(x＋) By＝sin(x＋) Cy＝sin(x－) Dy＝sin(x＋)－
9、函数y＝3sin(2x＋的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到 ( )
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍
10、已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋)
Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－)
11．函数是上的偶函数，则的值是（ ）
A． B． C. D.
12．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）
A． B． C. D.
13．在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
14．若函数的最小正周期满足,则自然数的值为______.
15．满足的的集合为_________________________________。
16．若在区间上的最大值是，则=________。
17．（1）求函数的定义域。（2）设，求的最大值与最小值。
18．若有最大值和最小值，求实数的值。
四、方法反馈：
五、答案参考：