2009~2010年高一数学复习必修1~4讲义第五节基本函数（2）

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2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义
第五节 基本函数（2）
一、内容提示：
1.二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：
y=ax2+bx+c；y=a（x－x1）（x－x2）；y=a（x－x0）2+n.
（2）当a＞0，f（x）在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x0=（p+q）.
若－＜p，则f（p）=m，f（q）=M；
若p≤－＜x0，则f（－）=m，f（q）=M；
若x0≤－＜q，则f（p）=M，f（－）=m；
若－≥q，则f（p）=M，f（q）=m.
二、例题分析：
【例1】 设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是
A.－12 B.18 C.8 D.
【例2】 二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______________.
【例3】 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，且不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜，求a、b、c的取值范围.
三、典题精练：
1.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），如果（其中x1≠x2），则等于
A. － B. － C. c D.
2.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是
A.f（1）≥25 B.f（1）=25 C.f（1）≤25 D.f（1）＞25
4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.
5.若函数y=x2+（a+2）x+3，x∈［a，b］的图象关于直线x=1对称，则b=__________.
6.已知f（x）=x2－2x+3，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__.
7.已知函数y=（ex－a）2+（e－x－a）2（a∈R，且a≠0），求y的最小值.
8.要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则a的最小值为___________________.
9.设f（x）=x2－2ax+2.当x∈［－1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.
10.设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R.
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）的最小值.
11.已知当m∈R时，函数f（x）＝m（x2－1）＋x－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
四、方法反馈：
1.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
2.求二次函数的解析式就是确定函数式f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的值.二次函数也可以表示为y=a（x－x0）2+h或y=a（x－x1）（x－x2）（b2－4ac≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.
3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：
（1）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）＜0.
（2）二次方程f（x）=0的两根都大于r
（3）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根
（4）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）＜0，或f（p）=0，另一根在（p，q）内或f（q）=0，另一根在（p，q）内.
（5）方程f（x）=0的两根中一根大于p，另一根小于q（p＜q）
4.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：
（1）二次不等式f（x）=ax2+bx+c≤0的解集是a＜0且.
（2）当a＞0时，二次不等式f（x）＞0在［p，q］上恒成立或或
（3）f（x）＞0恒成立或 f（x）＜0恒成立或
五、答案参考：
例题分析：
【例1】 解：由Δ=（－2a）2－4（a+6）≥0，得a≤－2或a≥3.
于是有（x－1）2+（y－1）2=x2+y2－2（x+y）+2=（x+y）2－2xy－2（x+y）+2=（2a）2－2（a+6）－4a+2=4a2－6a－10=4（a－）2－.
由此可知，当a=3时，（x－1）2+（y－1）2取得最小值8. 答案：C
【例2】解：由表知y=a（x+2）（x－3），又x=0，y=－6，代入知a=1.∴y=（x+2）（x－3）.
答案：{x|x＞3或x＜－2}
【例3】解：依题意ax2+bx+c－25=0有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式ax2+bx+c＞0的解是－＜x＜，
∴a＜0且有－=－，=－.
∴b=a，c=－a.
∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.
评述：二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
典题精练：
1. 解析：f（）=f（－）=. 答案：D
2. 解析：y=［x－（a+b）］2+c2+2ab－（a+b）2=［x－（a+b）］2+c2－a2－b2.
∴顶点为（a+b，c2－a2－b2）.由题意知c2－a2－b2=0.∴△ABC为直角三角形. 答案：B
3. 解析：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在［，+∞）上递增，由题设只需 ≤－2m≤－16，∴f（1）=9－m≥25. 答案：A
4.解析：.当x=1时，f（x）min=－3；当x=－1时，f（x）max=9.答案：－3 9
5.解法一：二次函数y=x2+（a+2）x+3的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－=1.∴a=－4.而f（x）是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，∴=1.∴b=6. 答案：6
解法二：∵二次函数y=x2+（a+2）x+3的对称轴为x=1，∴f（x）可表示为f（x）=（x－1）2+c，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a+2=－2.∴a=－4，
解法三：∵二次函数的对称轴为x=1，∴有f（x）=f（2－x），比较对应项系数，∴a=－4，
6.解析：通过画二次函数图象知m∈［1，2］.答案：［1，2］
7.解：y＝（ex＋e－x）2－2a（ex＋e－x）＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f（t）＝t2－2at＋2a2－2.
∵t＝ex＋e－x≥2，∴f（t）＝（t－a）2＋a2－2的定义域为［2，＋∞）.
∵抛物线的对称轴方程是t＝a，
∴当a≥2时，ymin＝f（a）＝a2－2；当a＜2且a≠0时，ymin＝f（2）＝2（a－1）2.
8.解析：要使y=x2+4x（x≥a）有反函数，则y=x2+4x在［a，+∞）上是单调函数.∴a≥－2.
答案：－2
9.解：（1）当a≤－1时，f（x）min=f（－1）=3+2a，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立
f（x）min≥a，即3+2a≥aa≥－3.故此时－3≤a≤－1.
（2）当a＞－1时，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立f（x）min≥a，即2－a2≥aa2+a－2≤0－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.
由（1）（2）知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立.
10.解：（1）f（x）=
∵f（0）=1≠0， ∴f（x）不是R上的奇函数.
∵f（1）=1，f（－1）=3，f（1）≠f（－1）， ∴f（x）不是偶函数.
故f（x）是非奇非偶的函数.
（2）当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.
当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（）=. 总之，f（x）min=.
11. 解：（1）m=0时，f（x）=x－a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R.
（2）m≠0时，由题意知，方程mx2＋x－（m＋a）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）＝4m2＋4am＋1≥0.又只需Δ′＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1，即a∈［－1，1］.
∴m＝0时，a∈R；
m≠0时，a∈［－1，1］.
评述：g（a）是a的函数，可作出g（a）的草图来求最大值.
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