3.2 函数的单调性与最值
一、 单选题
1 函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调减区间为( )
A. B.
C. [1，＋∞) D. ∪[1，＋∞)
2 [2026东台一中期初]已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. [0，＋∞) B. [0，1]
C. (－∞，0] D. [0，1)
3 [2025贵阳七校联盟联考]已知函数f(x)＝，且满足f(m2)＋f(m－2)>0，则实数m的取值范围是( )
A. (1，＋∞)
B. (－∞，－2)
C. (－∞，－2)∪(1，＋∞)
D. (－2，1)
4 [2025广西联考]已知函数y＝f(x)的定义域为R，满足：① x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，②任意x1≠x2，都有>0.设a＝－f，b＝f(log25)，c＝f(10)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
C. c二、 多选题
5 已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法中正确的是( )
A. 当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B. 当a＝－4时，f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C. 当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D. 当a>0时，f(x)的值域为R
6 已知f(x)是定义在R上的偶函数，若 x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x－x恒成立，且f(1)＝2，则满足f(m－1)＋m2<2m＋2的实数m的值可能为( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 3
7 [2025南京金陵中学期末]已知函数f(x)的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f(a)f(b)＝f(a＋b)，当x>0时，0A. x∈R，都有f(－x)＝－
B. 当x<0时，f(x)>1
C. f(x)是减函数
D. 若f(3)＝，则不等式f(2t2－5t)>的解集为
三、 填空题
8 [2026东台一中期初]已知函数y＝log2(x2－2ax＋8)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．
9 已知函数f(x)＝则不等式f(2x－1)<2的解集是________．
10 已知函数f(x)＝log3(3x＋12)，g(x)＝m·2x＋2(m≠0)，若 x1∈[0，1]， x2∈[－3，5]，使得g(x1)＝f(x2)，则实数m的取值范围是________．
四、 解答题
11 [2025杨浦开学考试]已知函数f(x)＝2x＋，其中a为实常数．
(1) 若f(0)＝7，解关于x的方程f(x)＝5；
(2) 讨论函数f(x)的奇偶性；
(3) 当a＝1时，用定义证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上严格递增，并解不等式f(2x)>f(x＋1).
12 [2025盐城月考]已知函数f(x)＝＋.
(1) 求函数f(x)的值域；
(2) 求证：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3) 若当x>0时，恒有f(x)<2x－2－x＋，求实数a的取值范围．
3．2 函数的单调性与最值
1. B 解析：g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数g(x)的图象如图所示．由图可知，函数的单调减区间为.
2. B 解析：由题意，得函数y＝－x2－2ax＋a在区间(0，＋∞)上单调递减，则－a≤0，解得a≥0.因为函数f(x)在R上单调递减，所以a≤f(0)＝1，所以实数a的取值范围是[0，1].
3. C 解析：因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又f(x)＝＝1－，所以f(x)为R上的增函数．因为f(m2)＋f(m－2)>0，f(x)为奇函数，所以f(m2)>－f(m－2)＝f(2－m).又f(x)为R上的增函数，所以m2>2－m，即m2＋m－2>0，解得m<－2或m>1，故实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
4. B 解析：由①，得f(x)为奇函数；由②，得f(x)是R上的增函数，所以a＝－f＝f＝f(log26).因为log255. BCD 解析：当a>0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).易知f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，函数f(x)＝x＋，其图象如图所示，得f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故B，C正确．故选BCD.
6. ABD 解析：因为f(x1)－f(x2)>x－x，所以f(x1)＋x>f(x2)＋x.令g(x)＝f(x)＋x2，则g(x1)>g(x2).又0≤x11，解得m<0或m>2.故选ABD.
7. BCD 解析：令a＝b＝0，则[f(0)]2＝f(0).又f(0)≠0，所以f(0)＝1.当x<0时，－x>0，所以01，故A错误，B正确；设x11.又当x<0时，f(x)>1，当x>0时，00，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在定义域上是减函数，故C正确；因为f(3)＝，所以f(12)＝f(6)f(6)＝f(3)f(3)f(6)＝[f(3)]4＝.由f(2t2－5t)>，得f(2t2－5t)>f(12).又f(x)在R上是减函数，所以2t2－5t<12，解得－的解集为，故D正确．故选BCD.
8. [2，3] 解析：因为函数y＝log2(x2－2ax＋8)在区间(1，2)上单调递减，y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x2－2ax＋8在区间(1，2)上单调递减，且x2－2ax＋8>0恒成立，即解得2≤a≤3.故实数a的取值范围为[2，3].
9. 解析：如图，作出函数f(x)的图象，由图象，得函数f(x)在R上单调递增．因为f(4)＝log24＝2，所以f(2x－1)<2，即f(2x－1)10. ∪ 解析：当x∈[－3，5]时，f(x)∈[1，3]；若m>0，则当x∈[0，1]时，g(x)∈[m＋2，2m＋2].因为 x1∈[0，1]， x2∈[－3，5]，使得g(x1)＝f(x2)，所以[m＋2，2m＋2] [1，3]，所以解得011. (1) 由题意，得f(0)＝1＋a＝7，解得a＝6，
所以f(x)＝2x＋.
令2x＋＝5，整理，得(2x－2)(2x－3)＝0，
可得2x＝2或2x＝3，所以x＝1或x＝log23.
(2) 由题意，得函数f(x)的定义域为R，
当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
即2－x＋＝－，
整理，得(1＋a)＝0，所以a＝－1；
当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，即2－x＋＝2x＋，
整理，得(1－a)＝0，所以a＝1；
当a≠±1时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上，当a＝－1时，f(x)为奇函数；当a＝1时，f(x)为偶函数；当a≠±1时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3) 当a＝1时，f(x)＝2x＋.
任取x1，x2∈[0，＋∞)，设x1则f(x2)－f(x1)＝2x2＋－2x1－＝2x2－2x1＋－
＝(2x2－2x1).
因为2x2－2x1>0，2x1＋x2>1，所以1－>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在区间[0，＋∞)上严格递增．
由(2)知，当a＝1时，f(x)为偶函数，
则由f(2x)>f(x＋1)，可得|2x|>|x＋1|，
所以(2x)2>(x＋1)2，即(3x＋1)(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
故不等式的解集为∪(1，＋∞).
12. (1) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，f(x)＝＋1，
因为4x>1，所以>0，
所以f(x)>1；
当x<0时，f(x)＝－1，
因为0<4x<1，所以<－2，
所以f(x)<－3.
综上，函数f(x)的值域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).
(2) 由题意，得f(－x)＋f(x)＝＋＋＋＝＋＝＋＝－2，
所以曲线y＝f(x)关于点(0，－1)中心对称．
(3) 当x>0时，2x－2－x>0，f(x)＝＋1，
不等式f(x)<2x－2－x＋，
即＋1<2x－2－x＋，
整理，得2·2－x＋2x－2－x<(2x－2－x)2＋a＋4，
即2x＋2－x<(2x＋2－x)2＋a.
由题意，得对任意x>0，a>－(2x＋2－x)2＋(2x＋2－x)＝－[(2x＋2－x)－]2＋，
令t＝2x>1，则2x＋2－x＝t＋.
因为函数y＝t＋在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以2x＋2－x＝t＋>2，
则－＋<－＋＝－2，
所以a≥－2，
故实数a的取值范围[－2，＋∞).3.2 函数的单调性与最值
复习目标 1. 理解函数单调性及最值的定义.2. 能利用函数单调性及最值解决相关问题．
函数
活动一 基础引入
1 函数f(x)＝－的单调增区间是( )
A. (2，＋∞) B. (－∞，2)
C. (－2，2) D. (－∞，2)，(2，＋∞)
2 已知f(x)＝x2＋1，若a＝f(－π)，b＝f(＋1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为 ( )
A. aC. a3 (多选)下列说法中，正确的有( )
A. 若对于任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在区间I上单调递增
B. 函数y＝x2在R上是增函数
C. 函数f(x)＝在定义域上是减函数
D. 函数y＝的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
4 [2025河南期中]已知函数f(x)＝ax2＋5x＋2在区间(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
5 函数y＝的值域为________．
活动二 典例悟法
题组一 证明函数的单调性、求函数的单调区间
1 讨论并用定义证明函数f(x)＝在区间(－1，1)上的单调性．
例1中的函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性如何？
用定义证明函数单调性的一般步骤
1. 设点：设x12. 作差：f(x1)－f(x2)；
3. 变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；
4. 定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
5. 结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
2 求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝log2(x2－2x－3).
1. 求函数单调区间的常用方法：①图象法；②导数法；③性质法：增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；④复合法：同增异减．
2. 特别强调：①求单调区间，应先求定义域，单调区间是定义域的子区间；②函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．
题组二 函数单调性的应用
3 (1) 若函数y＝在区间(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________；
(2) 若函数f(x)＝log0.5(ax－x2)在区间(－1，0)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (0，2] B. [－2，0)
C. [2，＋∞) D. (－∞，－2]
(3) 若函数f(x)＝满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. (0，1) D. [0，1]
[2025太湖高级中学月考]已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. (－∞，5) B. (1，5)
C. (4，5) D. [4，5)
[2024新课标Ⅰ卷·6]已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞)
利用单调性求参数
1. 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
2. 需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
3. 分段函数的单调性，除了注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
4 已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，则不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为________．
已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＜0，则关于x的不等式xf(x)－(2x－1)f(2x－1)＜0的解集为________．
5 [2025北京期中]已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的减函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(1)≥f(a2＋2a＋2)
B. f(1)≤f(a2＋2a＋2)
C. f(1)＝f(a2＋2a＋2)
D. 以上结论均不正确
已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0成立．若a＝f(ln )，b＝f(3)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系是( )
A. c＜b＜a B. a＜c＜b
C. a＜b＜c D. c＜a＜b
根据函数的单调性解不等式、比较大小
1. 比较大小：可将n个自变量化到同一单调区间上．
2. 解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
题组三 求函数的值域与最值
6 (1) 函数f(x)＝＋的最小值是________；
(2) 函数y＝2x＋的最大值为________；
(3) [2026启东中学月考]设函数f(x)＝max{x2＋2x＋4，|x－4|}，其中max{a，b}表示a，b中的最大值，若f(x)在区间[m，n]上的最大值为7，最小值为4，则区间长度n－m的最大值为________，最小值为________；
(4) 函数y＝|x－2|－|x＋2|的值域为________；
(5) 函数 y＝，x∈[－3，－1]的值域为________；
(6) 函数y＝的值域为________．
求函数值域与最值的方法
1. 单调性法：若一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域).
2. 图象法(数形结合法)：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
3. 换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域).换元后要注意新元的取值范围．
4. 分离常数法：形如y＝或y＝(a，c至少有一个不为零)的函数，求其值域可用此法．
5. 判别式法：形如y＝，将函数式化成关于x的方程，根据方程有解，利用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域．
6. 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
3．2 函数的单调性与最值
1. D 解析：易知函数f(x)＝－的定义域为{x|x≠2}，且f(x)＝－的图象可由y＝－的图象向右平移2个单位长度得到．因为y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f(x)＝－的单调增区间为(－∞，2)，(2，＋∞).
2. B 解析：由题意，得f(－π)＝f(π)，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为＋1<3<π，所以b3. AC 解析：对于A，对任意x1，x2∈I，当x10，则f(x1)4. 解析：若a＝0，则f(x)＝5x＋2在区间(1，2)上单调递增，满足题意；若a≠0，易知二次函数f(x)＝ax2＋5x＋2的图象关于直线x0＝－对称，若f(x)在区间(1，2)上单调递增，则或解得a>0或－≤a<0.综上，实数a的取值范围是.
5. (－∞，0)∪[1，＋∞) 解析：当x∈[0，＋∞)时，y＝2x＋1单调递增，此时y∈[1，＋∞)；当x∈(－∞，0)时，y＝单调递减，此时y∈(－∞，0).综上，该函数的值域为(－∞，0)∪[1，＋∞).
例1 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1所以x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1<0，x－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减．
变式训练 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝.
因为1所以x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1>0，x－1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
例2 (1) 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)＝|x2－2x＋2|＝(x－1)2＋1，
所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1).
(2) 由题意，得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
又g(t)＝log2t为单调增函数，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4图象的对称轴为直线 x＝1，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(3，＋∞).
例3 (1) (－∞，－3] 解析：y＝＝1＋，由题意，得解得a≤－3，即实数a的取值范围是(－∞，－3].
(2) D 解析：令t＝－x2＋ax，x∈(－1，0).因为y＝log0.5t为减函数，又f(x)＝log0.5(ax－x2)在区间(－1，0)上单调递增，所以由复合函数的单调性法则可知t＝－x2＋ax在区间(－1，0)上单调递减，且t＝－x2＋ax>0在区间(－1，0)上恒成立．因为t＝－x2＋ax为二次函数，其图象的开口向下，对称轴为直线x＝，所以解得a≤－2，即实数a的取值范围为(－∞，－2].
(3) D 解析：因为函数f(x)满足对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，所以函数f(x)是定义域为R的减函数，则解得0≤a≤1，即实数a的取值范围是[0，1].
变式训练 D 解析：由题意，得解得4≤a<5，即实数a的取值范围是[4，5).
链接高考
B 解析：因为f(x)在R上单调递增，且当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，所以解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1，0].
例4 (－1，0)∪(0，3) 解析：由题意，得解得－1＜x＜0或0＜x＜3，即所求不等式的解集为(－1，0)∪(0，3).
变式训练 解析：令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞).因为定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＜0，所以定义在区间(0，＋∞)上的函数g(x)满足＜0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．由xf(x)－(2x－1)f(2x－1)＜0，得xf(x)＜(2x－1)f(2x－1)，即g(x)＜g(2x－1)，则解得＜x＜1，故原不等式的解集为.
例5 A 解析：因为a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，且函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的减函数，所以f(1)≥f(a2＋2a＋2).
变式训练 B 解析：因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0成立，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．因为f(x)是偶函数，所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增．因为g(x)＝x在x∈(0，＋∞)上单调递增，所以1＜e＜3.又0＜ln ＜1，所以ln ＜e＜3，所以f(3)＞f(e)＞f(ln )，即a＜c＜b.
例6 (1) 解析： 由题意，得解得x≥3，易知f(x)在区间[3，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f(3)＝.
(2) 解析： 设＝t(t≥0)，则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－＋(t≥0)，图象的对称轴为直线t＝，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故函数在t＝处取得最大值.
(3) 4 1 解析：由题意，得f(x)＝作出其图象如图所示．令f(x)＝4，得x＝0；令f(x)＝7，得x＝－3或x＝1.当m＝－3，n＝1时，n－m取得最大值4；当m＝0，n＝1时，n－m取得最小值1.故n－m的最大值和最小值分别为4，1.
(4) [－4，4] 解析：y＝|x－2|－|x＋2|＝作出函数的图象如图所示，由图可知函数的值域为[－4，4].
(5) 解析： 由y＝，得y＝＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3，即函数的值域为.
(6) 解析：由题意，得yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，整理，得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0，显然y≠2，将上式看作关于x的一元二次方程，易知原函数的定义域为R，则上述关于x的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y－2)]2－4(y－2)(3y＋7)≥0，解得－≤y≤2.又y≠2，所以原函数的值域为.(共47张PPT)
第三章
3.2 函数的单调性与最值
函数、导数及其应用
复习目标 1．理解函数单调性及最值的定义．2．能利用函数单调性及最值解决相关问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一 基础引入
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，2) D．(－∞，2)，(2，＋∞)
D
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．b＜a＜c
B
3 (多选)下列说法中，正确的有 ( )
AC
4 [2025河南期中]已知函数f(x)＝ax2＋5x＋2在区间(1，2)上单调递
增，则实数a的取值范围为______________．
(－∞，0)∪[1，＋∞)
活动二 典例悟法
题组一 证明函数的单调性、求函数的单调区间
1
例1中的函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性如何？
1 如何用定义证明函数的单调性？
用定义证明函数单调性的一般步骤
1．设点：设x1＜x2，x1，x2∈I；
2．作差：f(x1)－f(x2)；
3．变形：通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；
4．定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
5．结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝log2(x2－2x－3)．
2
【解析】(1) 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，
所以f(x)＝|x2－2x＋2|＝(x－1)2＋1，
所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．
(2) 由题意，得x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
又g(t)＝log2t为单调增函数，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4图象的对称轴为直线 x＝1，
所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(3，＋∞)．
2 如何求函数的单调区间？求单调区间要注意什么？
1．求函数单调区间的常用方法：①图象法；②导数法；③性质法：增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；④复合法：同增异减．
2．特别强调：①求单调区间，应先求定义域，单调区间是定义域的子区间；②函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．
题组二 函数单调性的应用
3
(－∞，－3]
(2) 若函数f(x)＝log0.5(ax－x2)在区间(－1，0)上单调递增，则实数a的取值范围是 ( )
A．(0，2] B．[－2，0)
C．[2，＋∞) D．(－∞，－2]
D
D
A．(－∞，5) B．(1，5)
C．(4，5) D．[4，5)
D
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
B
3 已知函数的单调性如何求参数的范围？
利用单调性求参数
1．依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
2．需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
3．分段函数的单调性，除了注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，则不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为___________________．
4
(－1，0)∪(0，3)
[2025北京期中]已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的减函数，则下列结论中正确的是 ( )
A．f(1)≥f(a2＋2a＋2) B．f(1)≤f(a2＋2a＋2)
C．f(1)＝f(a2＋2a＋2) D．以上结论均不正确
5
A
【解析】因为a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，且函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的减函数，所以f(1)≥f(a2＋2a＋2)．
A．c＜b＜a B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
B
4 如何根据函数的单调性解不等式、比较大小？
根据函数的单调性解不等式、比较大小
1．比较大小：可将n个自变量化到同一单调区间上．
2．解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
题组三 求函数的值域与最值
6
(3) [2026启东中学月考]设函数f(x)＝max{x2＋2x＋4，|x－4|}，其中max{a，b}表示a，b中的最大值，若f(x)在区间[m，n]上的最大值为7，最小值为4，则区间长度n－m的最大值为_____，最小值为_____；
4
1
令f(x)＝4，得x＝0；令f(x)＝7，得x＝－3或x＝1．当m＝－3，n＝1时，n－m取得最大值4；当m＝0，n＝1时，n－m取得最小值1．故n－m的最大值和最小值分别为4，1．
(4) 函数y＝|x－2|－|x＋2|的值域为____________；
[－4，4]
5 求函数的值域与最值有哪些方法？
求函数值域与最值的方法
1．单调性法：若一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
2．图象法(数形结合法)：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
3．换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．换元后要注意新元的取值范围．
6．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
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