3.3 函数的奇偶性与周期性
复习目标 1. 理解函数的奇偶性的概念和几何意义.2. 理解函数的周期性的概念和几何意义．
函数的性质
活动一 基础引入
1 [2025河北模拟]下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递增的为( )
A. y＝ B. y＝－x(|x|－1)
C. y＝lg (x＋) D. y＝|x|·2－|x|
2 [2025合肥一模]函数f(x)＝的图象大致为( )
A B C D
3 [2026盐城东台一中期初]已知f(x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)，若f(2a－1)
A. ∪(1，＋∞)
B. (－∞，0)∪
C.
D. (0，1)
4 (多选)[2025安徽开学考试]已知定义域为R的函数f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B. f(x)为奇函数
C. f(x)是周期为4的函数
D. f(2 025)＝0
5 已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
活动二典例悟法
题组一 判断函数的奇偶性
1 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝(1－x) ；
(2) f(x)＝
(3) f(x)＝.
[2025苏北四市一模]若f(x)＝x(－a)为偶函数，则实数a的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
判断函数的奇偶性首先需要注意函数的定义域，然后再判断f(x)，f(－x)之间的关系．
题组二 函数的奇偶性与周期性
2 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023).
1 [2026兴化中学期初]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(log212)的值为( )
A. － B. － C. D.
2 [2026徐州三中月考]已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为偶函数，f(x)－1是奇函数且f(1)＝0，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值为( )
A. 2 024 B. 2 025
C. 2 026 D. 2 027
3 [2025武汉2月调研]已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)的值为( )
A. 1 B. －1 C. 5 D. －5
[2025全国一卷·5]设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f等于( )
A. － B. －
C. D.
题组三 函数的奇偶性与单调性
3 已知函数f(x)＝＋1为奇函数．
(1) 判断f(x)的单调性并证明；
(2) 解不等式f(logx)＋f(logx－3)≤0.
[2025南京、盐城一模]已知函数f(x)＝－ax3，a>1，则关于x的不等式f(x2)＋f(5x－6)＞1的解集是( )
A. (－6，1) B. (2，3)
C. (－∞，1) D. (2，＋∞)
题组四 函数性质的综合应用
4 (多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的说法中正确的是( )
A. g(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f(x)在R上是单调增函数
D. g(x)的值域是{－1，0，1}
5 已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
1 (多选)[2025郑州二模]已知对于任意非零实数x，函数f(x)均满足f(x)＝f，f(x)＝2－f，则下列结论中正确的是( )
A. f(1)＝1
B. f(2x)的图象关于点(0，1)对称
C. f(2x)的图象关于直线x＝1对称
D. f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10
2 (多选)[2026兴化中学期初]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x＋1)是奇函数，且f(1－x)＋g(x)＝2，f(x)＋g(x－3)＝2，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)为奇函数 B. g(0)＝2
C. f(k)＝0 D. g(k)＝80
(多选)[2022新高考Ⅰ卷·12]已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f，g(2＋x)均为偶函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(0)＝0
B. g＝0
C. f(－1)＝f(4)
D. g(－1)＝g(2)
3．3 函数的奇偶性与周期性
1. C 解析：对于A，易知函数y＝f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝是奇函数，但其在区间(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，易知函数y＝g(x)＝－x(|x|－1)的定义域为R，关于原点对称．又g(－x)＝x(|x|－1)＝－g(x)，所以y＝－x(|x|－1)是奇函数．当x∈(0，＋∞)时，y＝－x2＋x，易知其在区间上单调递增，在区间上单调递减，故B错误；对于C，y＝t(x)＝lg (x＋)，因为x＋>x＋|x|≥0，所以y＝lg (x＋)的定义域为R.又t(－x)＋t(x)＝lg (－x＋)＋lg (x＋)＝lg 1＝0，所以y＝lg (x＋)是奇函数．又u＝x＋在区间(0，＋∞)上单调递增，y＝lg u在定义域上单调递增，所以f(x)＝lg (x＋)在区间(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数y＝m(x)＝|x|·2－|x|的定义域为R，且m(－x)＝|－x|·2－|－x|＝|x|·2－|x|＝m(x)，所以y＝|x|·2－|x|是偶函数，故D错误．
2. A 解析：由ex－e－x≠0，得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故C错误；方法一：设g(x)＝ex－e－x，显然该函数单调递增，所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0.又当x∈时，y＝cos (πx)>0，所以f(x)>0；当x∈时，y＝cos (πx)<0，所以f(x)<0；当x∈时，y＝cos (πx)>0，所以f(x)>0；当x∈时，y＝cos (πx)<0，所以f(x)<0，故B，D错误．故选A.
方法二：令f(x)＝0，则cos (πx)＝0，解得x＝k＋(k∈Z)，所以f(x)有无数个零点，故B，D错误．故选A.
3. C 解析：由题意，得解得－14. ACD 解析：因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；由A知f(x)＋f(－x＋2)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(－x＋4)，则f(x)＝－f(－x＋2)＝f(－x＋4)＝－f(－x＋6)，则f(－x＋2)＝f(－x＋6)，所以f(x)是周期为4的函数，故C正确；令x＝1，则由f(x)＋f(－x＋2)＝0，得2f(1)＝0，即f(1)＝0，所以f(2 025)＝f(2 025－4×506)＝f(1)＝0，故D正确；前面的式子推不出f(x)＋f(－x)＝0，则不能确定函数f(x)为奇函数，故B错误．故选ACD.
5. 0 解析：由题意，得f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin (－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0.
例1 (1) 由题意，得解得－1≤x<1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，
同理，当x<0时，上式也成立，
所以f(x)为奇函数．
(3) 由题意，得解得－2≤x≤2且x≠0，
所以f(x)的定义域关于原点对称．
因为f(x)＝＝＝，
所以f(x)＋f(－x)＝－＝0，
即f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
变式训练 D 因为f(x)是偶函数，y＝x是奇函数，所以g(x)＝－a是奇函数，故g(0)＝0，即－a＝0，所以a＝2.
例2 (1) 由题意，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2) 因为f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(2)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.
又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝2×2－22＝0.
变式训练1 A 解析：由题意，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－4)]＝f(x－4)，即函数f(x)的周期为4.由8<12<16，得3变式训练2 B 解析：因为f(x)－1为奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝1，且函数f(x)的图象关于点(0，1)中心对称，即f(x)＋f(－x)＝2.因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)，则f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)＋f(x－2)＝2，则f(x－2)＋f(x－4)＝2，所以f(x)＝f(x－4)，所以f(x)的周期为4.因为f(1)＋f(3)＝2，f(0)＋f(2)＝2，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)＝506×4＋1＋0＝2 025.
变式训练3 D 解析：由题意，得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x，可得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3.又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5.
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A 解析：由题意，得f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，故f＝f＝f＝5－2×＝－.
例3 (1) f(x)为单调增函数，证明如下：
f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，
所以＋1＝－，
所以＋＋2＝a＋2＝0，解得a＝－2，
所以f(x)＝＋1，则f′(x)＝>0，
所以f(x)＝＋1为单调增函数．
(2) 因为f(logx)＋f(logx－3)≤0，
所以f(logx)≤－f(logx－3).
又f(x)为奇函数，
所以f(logx)≤f(－logx＋3).
由(1)，知f(x)为单调增函数，
所以logx≤－logx＋3，
即logx＋2log2x－3≤0，
所以－3≤log2x≤1，
解得≤x≤2.
故不等式的解集为.
变式训练 A 解析：因为1－f(－x)＝1－＋a(－x)3＝1－－ax3＝－ax3＝f(x)，所以1－f(5x－6)＝f(6－5x).又a>1，所以函数y＝a2x在R上单调递增，所以函数f(x)在R上单调递减．由f(x2)＋f(5x－6)>1，得f(x2)>1－f(5x－6)，即f(x2)>f(6－5x)，则x2<6－5x，解得－6例4 BC 解析：对于A，因为g(1)＝[f(1)]＝＝0，g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1，所以g(－1)≠g(1)，所以g(x)不是偶函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝－的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，所以f(x)为奇函数，故B正确；对于C，因为f(x)＝－＝－＝－，且y＝2x在R上单调递增，所以f(x)＝－在R上是单调增函数，故C正确；对于D，因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，则－<－<，即－例5 (1) 令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0.
(2) f(x)为偶函数，证明如下：
函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，f(x)＋f＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f.
不妨设x1>x2>0，
则f＝f(x1)＋f＝f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
因为f(x－1)<2＝f(16)，
所以
解得－15所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17).
变式训练1 ABD 解析：方法一：对于A，在f(x)＝2－f中，令x＝1，得f(1)＝1，故A正确；对于B，在f(x)＝2－f中，用2x(x∈R)代替x，得f(2x)＋f(2－x)＝2.设g(x)＝f(2x)，则g(x)＋g(－x)＝2，所以函数g(x)＝f(2x)的图象关于点(0，1)对称，故B正确；对于C，在f(x)＝f中，用2x(x∈R)代替x，得f(2x)＝f(21-x)，即g(x)＝g(1－x)，所以函数g(x)＝f(2x)的图象关于直线x＝对称，故C错误；对于D，在f(x)＝f中，令x＝1，得f(1)＝f(2)＝1，由C可知g(x)＝g(1－x)①.又g(x)＝f(2x)＝2－f＝2－g(－x)②，则g(1－x)＝2－g(－x)，所以g(1＋x)＝2－g(x)，即g(x＋2)＝2－g(x＋1)＝2－[2－g(x)]＝g(x)，所以g(x)的周期为2，所以f(2x)＝f(2x+2)，所以f(2)＝f(22)＝f(23)＝…＝1，所以f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10，故D正确．故选ABD.
方法二：设f(x)＝1＋φ(x)，由f(x)＝2－f，得1＋φ(x)＝2－，即φ(x)＝－φ.由f(x)＝f，得1＋φ(x)＝1＋φ，即φ(x)＝φ.对于A，在φ(x)＝－φ中，令x＝1，得φ(1)＝0，则f(1)＝1，故A正确；对于B，设g(x)＝f(2x)＝1＋φ(2x)，则g(－x)＝1＋φ(2－x)，由φ(x)＝－φ，得φ(2x)＝－φ(2－x)，所以g(x)＋g(－x)＝2，所以函数g(x)＝f(2x)的图象关于点(0，1)对称，故B正确；对于C，g(x)＝f(2x)＝1＋φ(2x)，则g(1－x)＝1＋φ(21-x).由φ(x)＝φ，得φ(2x)＝φ(21-x)，所以g(x)＝g(1－x)，所以函数g(x)＝f(2x)的图象关于直线x＝对称，故C错误；对于D，由φ(x)＝φ和φ(x)＝－φ，得φ(2n+1)＝－φ(2n)，则f(2n+1)＋f(2n)＝2，所以f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝[f(2)＋f(22)]＋[f(23)＋f(24)]＋[f(25)＋f(26)]＋[f(27)＋f(28)]＋[f(29)＋f(210)]＝5×2＝10，故D正确．故选ABD.
变式训练2 BC 解析：因为f(x)＋g(x－3)＝2，所以f(x＋3)＋g(x)＝2.又f(1－x)＋g(x)＝2，所以f(x＋3)＝f(1－x).因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数．对于A，因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以－f(－x)＝f(x＋2)，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误；对于B，因为f(x＋1)是奇函数，所以将x＝0代入，得f(1)＝0.又f(1－x)＋g(x)＝2，所以将x＝0代入，得g(0)＝2，故B正确；对于C，由g(0)＝2，且f(x)＋g(x－3)＝2，将x＝3代入，得f(3)＋g(0)＝2，所以f(3)＝0.因为f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(2)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＝0.因为f(x)是周期为4的周期函数，所以(k)＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，故C正确；对于D，因为g(2)＝2－f(5)＝2－f(1)＝2，g(1)＋g(3)＝[2－f(4)]＋[2－f(6)]＝4－[f(4)＋f(2)]＝4，所以g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝8.因为g(x)是周期为4的周期函数，所以g(k)＝5[g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)]＝5×8＝40，故D错误．故选BC.
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BC 解析：方法一：对于f(x)，因为f为偶函数，所以f＝f，所以f＝f(＋x)①，即f(3－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(－1)＝f(4)，故C正确；对于g(x)，因为g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，即g(4－x)＝g(x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称．由①求导，得－f′(－x)＝f′.又g(x)＝f′(x)，所以－g(－x)＝g，即g(3－x)＋g(x)＝0，所以g(x)的图象关于点对称．因为g(x)的定义域为R，所以g＝0.又g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题意，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题意，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC.
方法二：因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以f(－2x)＝f，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f＝f(＋x)，即f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，g(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－1)＝f(4)，故C正确；又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以g(x)的周期为2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题意，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题意，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．故选BC.3.3 函数的奇偶性与周期性
一、 单选题
1 [2025无锡辅仁高级中学月考]已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)＝
B. f(x)＝
C. f(x)＝
D. f(x)＝
2 [2026南京中华中学月考]已知定义域为R的函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论中不成立的是( )
A. f(0)>f(1) B. f(0)>f(3)
C. f(1)>f(2) D. f(1)>f(3)
3 [2025山东七校联考]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，若a>0，且满足f(log3a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D. ∪[9，＋∞)
4 [2025南通月考]已知f(x)是定义在R上的偶函数， x∈R，f(4－x)＝f(x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋4x，则f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)的值为( )
A. －6 B. －3 C. 5 D. 10
二、 多选题
5 [2025自贡期中]已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，且f(3)＝0，则满足xf(x)>0的x的取值范围有( )
A. (－∞，－3) B. (－3，0)
C. (0，3) D. (3，＋∞)
6 [2025南通开学考试]设偶函数f(x)的定义域为R，若f(2x－1)－1为奇函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(1)＝1
B. f(x＋2)＝f(2－x)
C. 函数f(x)的一个周期是6
D. f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝2 024
7 [2026扬州新华中学月考]已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且f(x＋1)＝－f(x－1)，则下列结论中正确的是( )
A. 2是f(x)的一个周期
B. f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2 024)＝0
D. (x)＝0
三、 填空题
8 [2025北京开学考试]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 025)＝________．
9 [2026无锡怀仁高级中学月考]已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)为偶函数．当010 [2026如皋期初]已知函数f(x)＝ex－e－x－2sin x＋1，则满足f(2m－1)＋f(m－2)>2的实数m的取值范围是________．
四、 解答题
11 [2025内江月考]已知函数f(x)＝kx＋log2(4x＋1)(k∈R)是偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 设函数g(x)＝log2(a·2x－4a)，其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求实数a的取值范围．
12 [2026东台一中期初]已知奇函数f(x)＝的定义域为[－a－2，b].
(1) 求实数a，b的值；
(2) 判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3) 若存在x∈[1，2]，使得2＋mf(x)＋2x>0成立，求实数m的取值范围．
3．3 函数的奇偶性与周期性
1. B 解析：由图象，得f(x)为奇函数，且f(π)＝0.对于A，由f(x)＝，得f(－x)＝＝＝f(x)，为偶函数，故A错误；对于C，因为f＝<0，故C错误；对于D，因为f(1)＝>1，故D错误；对于B，由f(x)＝，得f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又当x∈[0，π]时，2sin x≤2，当且仅当x＝时，等号成立，ex＋e－x≥2，当且仅当x＝0时，等号成立，所以符合f(x)<1，故B正确．
2. D 解析：由题意，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，所以f(0)>f(1)，f(0)>f(3)，f(1)>f(2)都成立，f(1)>f(3)不成立，故选D.
3. D 解析：由题意，得f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，由f(log3a)＋f(a)≤2f(2)，得f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≤2f(2)，所以f(log3a)≤f(2)，所以log3a≤－2或log3a≥2，解得04. A 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数， x∈R，f(4－x)＝f(x)，所以f(4－x)＝f(x)＝f(－x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝f(－1)＋f(0)＋f(1).又当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋4x，所以f(1)＝f(－1)＝－3，f(0)＝0，所以f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＝－6.
5. BC 解析：由定义在R上的奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(－3)＝－f(3)＝0.由xf(x)>0，得或当x>0时，f(x)>0＝f(3)，解得00的解集为(－3，0)∪(0，3).故选BC.
6. ABD 解析：因为函数f(2x－1)－1是R上的奇函数，所以当x＝0时，f(2×0－1)－1＝0，即f(－1)＝1.又f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝1，故A正确；又f(－2x－1)－1＝－[f(2x－1)－1]，即f(－2x－1)－1＋f(2x－1)－1＝f(2x＋1)－1＋f(2x－1)－1＝0，令t＝2x－1，则2x＝t＋1，所以f(t)＋f(t＋2)＝2①，用t＋2替换t，上式化为f(t＋2)＋f(t＋4)＝2②，由①②，得f(t＋4)＝f(t)，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，故C错误；在①中，用－t替换t，得f(－t)＋f(2－t)＝2，即f(t)＋f(2－t)＝2③，由①③，得f(t＋2)＝f(2－t)，即f(x＋2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝[f(1)＋f(3)]＋[f(2)＋f(4)]＝2＋2＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝506×4＝2 024，故D正确．故选ABD.
7. BCD 解析：由题意，得将y＝f(x－1)的图象先向左平移1个单位长度，可得y＝f(x)的图象，其图象关于点(0，0)对称，所以函数f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x).又f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；因为f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝f(1－(x＋1))＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以当f(x)＝0恒成立时，2是函数f(x)的周期，否则2不是函数f(x)的周期，故A错误；因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(2)＝－f(0)＝0，又函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(8)＝…＝f(0)＝0，f(6)＝f(10)＝…＝f(2)＝0，所以f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2 024)＝0，故C正确；又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(3)＝0，所以f(x)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，故D正确．故选BCD.
8. 0 解析：由题意，得当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)①，当x－1>0，即x>1时，f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)②，所以当x>1时，将②代入①式并化简，得f(x)＝－f(x－3)，故当x>1，且x－3>1，即x>4时，f(x)＝－f(x－3)＝f(x－6)，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－f(0)＝－log21＝0.
9. －1 解析：由题意，得f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(－x＋2)＝－f(x－2)＝f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)的一个正周期为8，即f(101)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
10. (1，＋∞) 解析：函数f(x)＝ex－e－x－2sin x＋1的定义域为R，令函数g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2sin x，则g(－x)＝e－x－ex－2sin (－x)＝－g(x)，即函数g(x)是R上的奇函数．又g′(x)＝ex＋e－x－2cos x≥2－2cos x≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以函数g(x)在R上单调递增，所以不等式f(2m－1)＋f(m－2)>2，则g(2m－1)＋1＋g(m－2)＋1>2，即g(2m－1)>－g(m－2)＝g(2－m)，则2m－1>2－m，解得m>1，所以实数m的取值范围是(1，＋∞).
11. (1) 因为函数f(x)＝kx＋log2(4x＋1)(k∈R)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，即－kx＋log2(4－x＋1)＝kx＋log2(4x＋1)，
所以2kx＋log2＝0，即2kx＋2x＝0，所以k＝－1.
故实数k的值为－1.
(2) 因为g(x)＝log2(a·2x－4a)，a>0，
所以a·2x－4a>0，所以x>2.
若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，
则f(x)＝g(x)在区间(2，＋∞)上只有一个解．
由－x＋log2(4x＋1)＝log2(a·2x－4a)，
即log22－x＋log2(4x＋1)＝log2(a·2x－4a)，
所以2x＋2－x＝a·2x－4a.
设t＝2x.因为x>2，所以t>4，
所以t＋＝at－4a，即(a－1)t2－4at－1＝0只有一个解．
当a＝1时，－4t－1＝0，解得t＝－，不符合题意，舍去；
当0所以h(t)在区间(0，＋∞)上单调递减，且h(0)＝－1<0，
故方程(a－1)t2－4at－1＝0在区间(4，＋∞)上无解；
当a>1时，函数h(t)＝(a－1)t2－4at－1的图象的对称轴为直线t＝>0，且h(0)＝－1<0，h(4)＝16(a－1)－16a－1＝－17<0，
故方程(a－1)t2－4at－1＝0在区间(4，＋∞)上有唯一解，符合题意．
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).
12. (1) 因为函数f(x)＝是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，
则a－2x＝－a·2x＋1，
整理，得(2x＋1)(a－1)＝0，所以a＝1.
又定义域[－a－2，b]关于原点对称，
所以－a－2＋b＝0，即b＝3，
所以a＝1，b＝3.
(2) f(x)＝在区间[－3，3]上单调递增，证明如下：
设任意x1，x2∈[－3，3]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－3≤x1又2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝在区间[－3，3]上单调递增．
(3) 因为x∈[1，2]，
所以f(x)＝>0.
因为存在x∈[1，2]，使得2＋mf(x)＋2x>0成立，
所以－m<，存在x∈[1，2]时成立，
令2x－1＝t，t∈[1，3]，
则－m<＝＝t＋＋5，存在t∈[1，3]时成立，
构造函数h(t)＝t＋＋5，t∈[1，3]，
则－m易知t＋＋5≥2＋5＝2＋5，当且仅当t＝，即t＝时取等号．
易知h(t)＝t＋＋5在区间[1，]上单调递减，在区间[，3]上单调递增，且h(1)＝12，h(3)＝10，
所以h(t)max＝12，
所以－m<12，解得m>－12.
故实数m的取值范围为(－12，＋∞).(共54张PPT)
第三章
3.3 函数的奇偶性与周期性
函数、导数及其应用
复习目标 1．理解函数的奇偶性的概念和几何意义．2．理解函数的周期性的概念和几何意义．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一 基础引入
1 [2025河北模拟]下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递增的为 ( )
C
A
A B
C D
3 [2026盐城东台一中期初]已知f(x)＝ln (1＋x)＋ln (1－x)，若f(2a－1)＜f(－a)，则实数a的取值范围是 ( )
C
4 (多选)[2025安徽开学考试]已知定义域为R的函数f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则下列结论中正确的是 ( )
A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称
B．f(x)为奇函数
C．f(x)是周期为4的函数
D．f(2 025)＝0
ACD
【解析】因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；由A知f(x)＋f(－x＋2)＝0，又f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(－x＋4)，则f(x)＝－f(－x＋2)＝f(－x＋4)＝－f(－x＋6)，则f(－x＋2)＝f(－x＋6)，所以f(x)是周期为4的函数，故C正确；令x＝1，则由f(x)＋f(－x＋2)＝0，得2f(1)＝0，即f(1)＝0，所以f(2 025)＝f(2 025－4×506)＝f(1)＝0，故D正确；前面的式子推不出f(x)＋f(－x)＝0，则不能确定函数f(x)为奇函数，故B错误．故选ACD．
5 已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为_____．
0
【解析】由题意，得f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin (－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0．
活动二 典例悟法
题组一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
1
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，
同理，当x＜0时，上式也成立，所以f(x)为奇函数．
D
判断函数的奇偶性首先需要注意函数的定义域，然后再判断f(x)，f(－x)之间的关系．
题组二 函数的奇偶性与周期性
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
2
【解析】(1) 由题意，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2) 因为f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(2)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．
又f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝2×2－22＝0．
1 [2026兴化中学期初]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(log212)的值为 ( )
A
2 [2026徐州三中月考]已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为偶函数，f(x)－1是奇函数且f(1)＝0，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值为 ( )
A．2 024 B．2 025
C．2 026 D．2 027
B
【解析】因为f(x)－1为奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝1，且函数f(x)的图象关于点(0，1)中心对称，即f(x)＋f(－x)＝2．因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)＝f(－x－1)，则f(x－2)＝f(－x)，所以f(x)＋f(x－2)＝2，则f(x－2)＋f(x－4)＝2，所以f(x)＝f(x－4)，所以f(x)的周期为4．因为f(1)＋f(3)＝2，f(0)＋f(2)＝2，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)＝506×4＋1＋0＝2 025．
3 [2025武汉2月调研]已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)的值为 ( )
A．1 B．－1
C．5 D．－5
D
【解析】由题意，得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x，可得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3．又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5．
A
题组三 函数的奇偶性与单调性
3
【解析】(1) f(x)为单调增函数，证明如下：
f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，
A
A．(－6，1) B．(2，3)
C．(－∞，1) D．(2，＋∞)
题组四 函数性质的综合应用
4
BC
已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x＞0时，f(x)＞0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
5
【解析】(1) 令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0．
(2) f(x)为偶函数，证明如下：
函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
又f(x)为偶函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
解得－15＜x＜1或1＜x＜17，
所以该不等式的解集为(－15，1)∪(1，17)．
A．f(1)＝1
B．f(2x)的图象关于点(0，1)对称
C．f(2x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10
ABD
2 (多选)[2026兴化中学期初]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x＋1)是奇函数，且f(1－x)＋g(x)＝2，f(x)＋g(x－3)＝2，则下列结论中正确的是 ( )
A．f(x)为奇函数 B．g(0)＝2
BC
【解析】因为f(x)＋g(x－3)＝2，所以f(x＋3)＋g(x)＝2．又f(1－x)＋g(x)＝2，所以f(x＋3)＝f(1－x)．因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数．对于A，因为f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以－f(－x)＝f(x＋2)，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误；对于B，因为f(x＋1)是奇函数，所以将x＝0代入，得f(1)＝0．又f(1－x)＋g(x)＝2，所以将x＝0代入，得g(0)＝2，故B正确；
BC
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