6.3.2 平面向量坐标表示及正交分解 教学设计（表格式）

课题： 平面向量的正交分解及坐标表示 课时 第2课时 教案设计 时宁波
课标要求 1. 理解平面向量的正交分解，掌握平面向量的坐标表示。 2. 能用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算和数量积，理解用坐标表示的平面向量共线、垂直的条件。
教材 分析 本节课的核心内容包括平面向量的正交分解概念、平面向量的坐标表示方法，以及平面向量坐标与点坐标的内在联系，同时涵盖平面向量加、减运算的坐标表示及简单应用。具体涉及：正交分解的定义、以x轴和y轴方向单位向量为基底的坐标表示规则、向量坐标与终点坐标的转化关系，以及基于坐标的向量运算和实际问题求解。
教学目标 借助平面直角坐标系，理解平面向量正交分解的定义，能识别生活中正交分解的实例。 掌握平面向量的坐标表示方法，明确向量坐标与基底分解系数的关系。 理解平面向量坐标与点坐标的联系，能进行向量坐标与点坐标的相互转化。 掌握平面向量加、减运算的坐标表示，能解决简单的向量坐标运算问题。 体验向量从几何形态到代数形式的转化过程，感受数形结合的数学思想，提升数学核心素养。
教学重、难点 重点：平面向量正交分解的定义及理解。平面向量的坐标表示方法。平面向量加、减运算的坐标表示。向量坐标与点坐标的联系。 难点：平面向量坐标表示的生成过程理解。向量坐标与点坐标的区别与联系。运用向量坐标运算解决实际问题时的模型建立。
核心素养 1. 数学抽象 从一般平面向量分解中抽象出正交分解的特殊本质：基底为互相垂直的单位向量，明确正交分解是平面向量基本定理的特殊应用形式。 2. 直观想象借助平面直角坐标系，直观感知正交分解的几何过程：能将任意平面向量沿x轴、y轴方向拆解为两个垂直的分向量，通过画图完成分解操作。 3. 数学运算掌握向量坐标的核心运算方法：能根据向量起点、终点的坐标，通过“终点坐标-起点坐标”计算向量坐标；直接写出坐标(x,y)。 4. 逻辑推理能根据正交分解的逻辑，推理判断向量坐标与点坐标的区别与联系：明确位置向量的坐标与终点坐标一致，自由向量的坐标与起点位置无关的规律。 5. 数学建模初步建立平面直角坐标系下向量问题的建模框架：以正交分解和坐标表示为工具，将抽象的向量关系转化为具体的数值运算关系，为后续解决几何、解析几何问题搭建模型基础。
学情分析 本节课的授课对象为高一学生，学生已具备以下基础： 掌握平面向量的基本概念（向量、单位向量、共线向量等）。 理解平面向量基本定理，知道平面内任意向量可由两个不共线向量唯一分解。 熟悉平面直角坐标系的相关知识，能进行点的坐标表示和简单的坐标运算。 在物理学科中已接触过力的分解，对正交分解有初步的感性认识。
教学过程
教学环节 教学基本活动（5+20+5+10=40） 设计意图
环节一、 情景导入 （5分钟） 生活情境 师：“同学们，咱们学校的教学楼、图书馆和食堂构成了一个三角形区域。假设你现在在教学楼（记为点O），想去图书馆（点A），再从图书馆去食堂（点B）。如果以教学楼为原点，建立平面直角坐标系，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表10米。已知图书馆在教学楼东30米、北20米处，食堂在图书馆东10米、北15米处。” 师：“大家思考两个问题：第一，从教学楼到图书馆的‘位移’，能不能用两个互相垂直的方向（东、北）的位移来描述？第二，如何用简洁的数来表示这两个位移，以及从教学楼直接到食堂的总位移？如果从食堂返回教学楼，位移又该怎么表示？” 师：“周末大家去超市购物时，推购物车是不是很常见？假设超市地面是水平的，你用10N的力推购物车，推力方向与水平地面成30°角。大家有没有想过，这个斜着的推力，其实可以‘拆分’成两个力？一个是水平方向的力，让购物车向前走；一个是竖直方向的力，要么压着地面，要么稍微抬着购物车。’’ 师：“再比如，你朋友在另一边用8N的力沿水平方向拉购物车（与你推力的水平方向相同）。现在请大家思考：第一，为什么能把斜向的推力拆成水平和竖直两个垂直的力？这种拆分有什么好处？第二，如何用具体的数表示这两个垂直的分力，以及购物车受到的水平方向的总作用力？如果朋友反向拉车，总作用力又该怎么算？” 回顾旧知，预习新知，创设生活真实情境，激发学习兴趣和探究的欲望。
环节二、 氧新知探究 （20分钟） 平面向量的正交分解及坐标表示 产生过程建系选底在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底线性表示对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj定义坐标有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)特殊向量的坐标i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)
创设问题情境，探究新知，促进对新概念的理解与掌握。
平面向量的正交分解及坐标表示概念形成与强化 问题1：什么是平面向量基本定理？ 【答案预设】如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力能分解成两个方向的力，互相垂直，这就是力的正交分解. 引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解． 给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，，即，其中向量与共线，向量与共线． 问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢 【预设答案】 （1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量 作为基底； （2）作平面内的任意一个向量，以为基底，根据平面向量基本定理，分解向量； （3）这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量的坐标，记作. 其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，叫做向量的坐标表示. 通过新旧知识的联系，利用对比分析的方法，形成对新知识的深度理解。 通过典例分析，形成解答平面向量数量积坐标表示有关计算的基本模型。传设问题情境，形成对所学知识规律性认识，培养“数形结合”数学核心素养。 检测与评价，发现问题，调控课堂，提高效率。
环节三、 概念深化 （5分钟研讨） 活活动一、概念辨析 思考1：在平面直角坐标系中，向量的坐标是什么含义？？ 思考2：你能写出向量的坐标表示吗？ 思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？ 【活动预设】 （1）以x、y轴方向上的单位向量为基底，分解后的系数所对应的实数对(x,y) （2）. （3）点A（0，1），区间（0，1），向量＝（0，1），如果不作说明则指向不明. 思考 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图6.3-8，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底，对于平面内的任意一个向量， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得 ． 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ． ① 其中，叫做在轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示． 显然，，，． 创设问题情境，促进概念的深度理解。 检测与评价，发现问题，调控课堂，提高效率。
平面向量坐标与点得坐标的联系 问题3： 如图，以O为起点作向量 ，则的坐标与点A的坐标有何联系？ 如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定． 【活动预设】 设，则向量的坐标 (x，y) 就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标 (x，y) 也就是向量的坐标. 因为，所以终点A的坐标 (x，y) 就是向量的坐标. 所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
环节四、知识巩固 （10分钟） 知识点训练设计 知识点训练设计 例3 如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标． 解：由图6.3-10可知，， 所以． 同理， 【变式】如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ） ， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标. 【详解】根据平面直角坐标系，可知，， ∴，. 故选：C. 及时巩固、消化所学，促进掌握必备知识，评价教学效果，为后期优化教学方案提供依据，培养分析问题和解决问题等关键能力。
课堂总结 1.，是根据平面向量基本定理得出来的，因此x,y的值是唯一确定的. 2.向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示. 3.注意书写格式，在向量的坐标表示中含有等号，即 4.几个特殊向量的坐标： 5.由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，即
教学 反思 本节课从学生已有的知识出发，引导学生自主推导平面向量的坐标表示形式，充分发挥学生的主体作用，让学生在探究的过程中加深对知识点的理解。通过概念辨析理清易混知识点，通过分层练习巩固新知，提升学生的运算能力和逻辑推理能力。后续教学中可以增加更多的实际应用场景的例题，让学生进一步体会向量的应用价值