3.8 函数与方程
复习目标 1. 理解函数的零点与方程的解的联系.2. 理解函数零点存在定理，并能简单应用．3. 了解用二分法求方程的近似解.4. 能熟练解决一元二次方程根的分布问题．
函数的方程
活动一 基础引入
1 [2025盐城部分学校联考]已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3的图象与x轴有两个交点，一个横坐标大于1，一个横坐标小于1，则实数m的取值范围为( )
A.
B.
C. (－∞，－2)∪
D. (－2，＋∞)
2 [2025郑州二模]函数f(x)＝2sin 与函数g(x)＝log2x的图象的交点个数为( )
A. 3 B. 5
C. 6 D. 7
3 (多选)已知函数f(x)＝则下列结论中正确的是( )
A. 函数f(x)在区间[0，2]上单调递减
B. 函数f(x)的值域是[－1，＋∞)
C. 若方程f(x)＝a有5个解，则实数a的取值范围为(0，3)
D. 若函数y＝f(x)－a有3个不同的零点x1，x2，x3(x1
4 设f(x)＝ln x＋x－2，函数f(x)的零点所在的区间为(k－1，k)(k∈Z)，则k的值为________．
5 已知函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)上有零点，则实数k的取值范围是________．
活动二 典例悟法
题组一 一元二次方程根的分布
1 已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，若y＝f(x)在区间(－1，0)及上各有一个零点，求实数a的取值范围．
1 在例1的函数中，若函数y＝f(x)的两个零点均在区间(－1，0)内，求实数a的取值范围．
2 [2025石家庄一模]已知方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是________．
1. 求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合做到“等价转化”．
2. 画图时注意二次函数四大要素——开口方向，对称轴，判别式，特殊点[特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x轴，y轴的交点)或端点函数值].
题组二 判断函数零点的个数
2 (1) 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg (x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；
(2) 试探讨函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数．
1 [2025天津卷·7]函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是( )
A. (0，0.3) B. (0.3，0.5)
C. (0.5，1) D. (1，2)
2 [2024新课标Ⅰ卷·7]当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
判断函数零点个数的方法
1. 解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
2. 零点存在定理法：利用零点存在定理并结合函数的性质进行判断．
3. 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，找出它们的交点的个数，交点的个数就是函数零点的个数．
题组三 函数的零点的应用
3 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)－kx是偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 当x≥0时，函数g(x)＝f(x)－x－a存在零点，求实数a的取值范围；
(3) 设函数h(x)＝log3(m·3x－2m).若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
已知偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝.若直线kx－y＋k＝0(k＞0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则实数k的取值范围是________．
确定函数的零点个数可以使用的策略
1. 解出具体零点．
2. 先确定单调区间，再使用零点存在定理．
4 (1) 已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点个数是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
(2) [2025池州二模]已知函数f(x)＝若f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0有4个互不相同的根，则实数a的取值范围为( )
A. (2，3) B. (2，3]
C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0有4个不同的实数根，求实数b的取值范围．
5 (多选)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论中正确的是( )
A. x1x2＋4＝2(x1＋x2)
B. x3＋x4＝12
C. x3x4∈(32，34)
D. 函数g(x)＝f2(x)＋(1－m)f(x)－m的零点为6，x1，x2，x3，x4
1. 已知函数f(x)的零点求参数的取值范围常见的方法：
(1) 解方程法：将条件因式分解，解出方程的根，根据根所在的范围求参数的取值范围．
(2) 参变分离法：将f(x)＝0变形为t＝h(x)，研究y＝t与y＝h(x)图象的交点．
(3) 分拆函数法：将f(x)＝0变形为g(x)＝h(x)，研究y＝g(x)与y＝h(x)图象的交点．
(4) 直接研究函数y＝f(x)的图象与x轴的交点．
2. 两种特殊的零点：
(1) 解决嵌套函数f(g(x))零点个数的一般步骤：
①依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或根据图象，判断交点个数．
②换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点，作出y＝g(x)的图象，讨论函数y＝t与y＝g(x)图象的公共点的个数(即t＝g(x)解的情况)，再结合f(g(x))零点的个数转化成方程f(t)＝0解的个数求参数的取值范围．
(2) 等高线问题重在“减元”，要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系．
3．8 函数与方程
1. B 解析：对于二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3，当x＝1时，y＝m＋2－(2m＋4)＋3m＋3＝2m＋1.因为二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3的图象与x轴有两个交点，一个横坐标大于1，一个横坐标小于1，所以当m＋2>0，即m>－2时，有2m＋1<0，解得－20，无解．综上，实数m的取值范围是.
2. A 解析：易知函数g(x)＝log2x单调递增，且其图象经过点(1，0)，(4，2).令f(x)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，则f(x)的图象在y轴右侧与x轴的交点坐标依次为，，，…，且>1，<4<；令f(x)＝2，得2x＋＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，则f(x)的图象在y轴右侧的波峰依次为，，，…，且<4<.如图，由图象可知，函数f(x)和g(x)的图象有3个交点．
3. BCD 解析：由题意，得f(x)＝画出f(x)的图象如图所示．对于A，函数f(x)在区间[0，1]和(1，2]上单调递减，但不能说在区间[0，2]上单调递减，故A错误；对于B，由图易知函数f(x)在x＝－2 处取得最小值－1，所以值域是[－1，＋∞)，故B正确；对于C，若方程f(x)＝a有5个解，则函数y＝f(x)与y＝a的图象有5个交点，所以03，且x1≤1，解得x1<－4.又y＝ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以－ln (x2－1)＝ln (x3－1)，得＝x3－1，即x2x3－(x2＋x3)＝0，所以x1＋＋＝x1＋＝x1＋1∈(－∞，－3)，即x1＋＋的取值范围为(－∞，－3)，故D正确．故选BCD.
4. 2 解析：因为函数f(x)＝ln x＋x－2在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数f(x)的零点在区间(1，2)上，即k＝2.
5. (0，3) 解析：令f(x)＝0，得x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－.由题意，得直线y＝k与函数φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点．又 φ(x)＝2x－在区间(1，2)上单调递增，且φ(1)＝0，φ(2)＝3，所以0例1 因为二次函数f(x)在区间(－1，0)上有一个零点，
所以f(－1)·f(0)＝(3－4a)(1－2a)<0，解得同理f(0)·f＝(1－2a)(－a)<0，解得综上，实数a的取值范围是.
变式训练1 因为函数f(x)有两个零点，
所以Δ＝(2a－1)2＋4(2a－1)>0，即(2a－1)(2a＋3)>0，
解得a<－或a>.
因为函数f(x)的两个零点均在区间(－1，0)内，
所以可得无解，
所以实数a的取值范围是 .
变式训练2 解析：考虑方程正实数根的情况，只需研究当x>0时方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0解的情况．当a＝0时，原方程可化为4x2－x＋1＝0，无解，舍去；当a<0时，原方程可化为4x2－2ax＋1＋ax2－x＝0，即(4＋a)x2－(2a＋1)x＋1＝0.若此时方程有两个不相等的正实数根，则无解；当02时，函数y＝4x2－2ax＋1的两个零点x1＝，x2＝，函数y＝－ax2＋x的两个零点x3＝0，x4＝，因为a>2，所以0<<<<，即0例2 (1) 当x＝0时，f(0)＝lg 3≠0；
当x>0时，令f(x)＝0，
得x2－3x＋3＝1，即x2－3x＋2＝0，
解得x＝1或x＝2.
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以当x<0时，令f(x)＝0，得x＝－1或x＝－2，
故函数f(x)在R上的零点个数为4.
(2) 由题意，得f′(x)＝ex＋(x∈R).
因为ex＋>0恒成立，
所以f(x)在R上单调递增．
因为f(0)＝－1，f(4)＝e4，
所以f(0)·f(4)<0.
由零点存在定理，得连续函数f(x)在区间(0，4)上至少有一个零点．
又f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)的零点个数为1.
链接高考
1. B 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，y＝0.3x在R上单调递减，y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(0.3，0.5).
2. C 解析：因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin 有三个周期的图象. 在同一平面直角坐标系中结合五点法画出两函数的图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．
例3 (1) 因为f(x)＝log3(9x＋1)－kx是R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)，
即log3(91＋1)－k＝log3(9-1＋1)＋k，
解得k＝1，经检验，当k＝1时，满足题意．
(2) 因为k＝1，所以f(x)＝log3(9x＋1)－x.
因为当x≥0时，g(x)＝log3(9x＋1)－2x－a存在零点，
所以关于x的方程a＝log3(9x＋1)－2x在区间[0，＋∞)上有解．
令φ(x)＝log3(9x＋1)－2x，
则φ(x)＝log3＝log3.
因为x≥0，
所以1＋∈(1，2]，
所以φ(x)∈(0，log32]，
所以实数a的取值范围是(0，log32].
(3) 因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，
所以关于x的方程log3(m·3x－2m)＝log3(9x＋1)－x有且只有一个解，
所以m·3x－2m＝3x＋3－x.
令t＝3x(t>0)，得(m－1)t2－2mt－1＝0.(*)
①当m＝1时，方程(*)的解为t＝－，不满足题意，舍去；
②当m>1时，函数的图象开口向上，又因为图象恒过点(0，－1)，所以方程(*)有一正一负两实根，所以m>1符合题意；
③当m<1时，由Δ＝(－2m)2＋4(m－1)＝0，且－>0，解得m＝，此时方程(*)有两个相等的正实根，
所以m＝满足题意．
综上，实数m的取值范围是(1，＋∞)∪.
变式训练 解析：易得直线kx－y＋k＝0(k＞0)过定点(－1，0).因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线k(x＋1)－y＝0(k＞0)如图所示．由图可得AB＝＝，AC＝＝，则tan ∠BAx＝＝，tan ∠CAx＝＝.要使直线kx－y＋k＝0(k＞0)与函数f(x)的图象有且仅有3个交点，则实数k的取值范围是.
例4 (1) A 解析： 令t＝f(x)，F(x)＝0，则f(t)－2t－＝0，即f(t)＝2t＋.作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋如图所示．由图可得y＝f(x)的图象与直线y＝2x＋有两个交点，设横坐标为t1，t2，则t1＝0，t2∈(1，2).当f(x)＝t1时，x＝2，即有1个解；当f(x)＝t2时，有3个解．综上，F(x)＝0共有4个解，即F(x)有4个零点．
(2) B 解析：令t＝f(x)，则原方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0可转化为t2－(a＋2)t＋2a＝0，即(t－2)(t－a)＝0，解得t1＝2，t2＝a，所以f(x)＝2或f(x)＝a.当x≤0时，f(x)＝ex＋2.易知f(x)＝ex＋2在区间(－∞，0]上单调递增，且f(x)∈(2，3]；当x>0时，f(x)＝x＋.由对勾函数的单调性，知f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，且f(1)＝1＋＝2.对于f(x)＝2，当x>0时，x＋＝2，解得x＝1，有1个根．因为方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0有4个互不相同的根，f(x)＝2已经有1个根，所以f(x)＝a有3个不同的根．结合f(x)的图象可知，当2变式训练 当x>0时，|ln x|≥0，|ln x|＋3≥3，即f(x)≥3；
当x≤0时，f(x)＝－(x＋1)2－1≤－1，
所以f(x)的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，
所以结合函数f(x)的图象，可知关于f(x)的方程 f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0的一个实数根在区间[－2，－1)内，一个实数根在区间(3，＋∞)内，
所以
解得－≤b<－，
所以实数b的取值范围是.
例5 BCD 解析： 由题意，得f(x)的图象如图所示．若f(x)＝m有四个不同的实数根，则f(x)的图象与直线y＝m有四个不同的交点．由图象可知2＜x1＜3＜x2＜4＜x3＜6＜x4＜8，0＜m＜1.对于A，因为f(x1)＝f(x2)，即|log2(x1－2)|＝|log2(x2－2)|，所以－log2(x1－2)＝log2(x2－2)，所以log2＝log2(x2－2)，所以(x1－2)(x2－2)＝1，整理，得x1x2＋4＝1＋2(x1＋x2)，故A错误；对于B，因为f(x3)＝f(x4)，所以x3与x4关于直线x＝6对称，所以x3＋x4＝12，故B正确；对于C，因为x3与x4是方程f(x)－m＝x2－6x＋17－m＝0的两根，所以x3x4＝2(17－m)＝34－2m.又0＜m＜1，所以x3x4∈(32，34)，故C正确；对于D，g(x)＝f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝(f(x)－m)(f(x)＋1)，由g(x)＝0，得f(x)＝m或f(x)＝－1，因为f(x)＝m的根为x1，x2，x3，x4，且f(x)＝－1的根为6，所以g(x)的零点为6，x1，x2，x3，x4，故D正确．故选BCD.(共51张PPT)
第三章
3.8 函数与方程
函数、导数及其应用
复习目标 1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．4．能熟练解决一元二次方程根的分布问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一 基础引入
1 [2025盐城部分学校联考]已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3的图象与x轴有两个交点，一个横坐标大于1，一个横坐标小于1，则实数m的取值范围为 ( )
B
A．3 B．5 C．6 D．7
A
A．函数f(x)在区间[0，2]上单调递减
B．函数f(x)的值域是[－1，＋∞)
C．若方程f(x)＝a有5个解，则实数a的取值范围为(0，3)
BCD
4 设f(x)＝ln x＋x－2，函数f(x)的零点所在的区间为(k－1，k)(k∈Z)，则k的值为_____．
2
【解析】因为函数f(x)＝ln x＋x－2在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数f(x)的零点在区间(1，2)上，即k＝2．
5 已知函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)上有零点，则实数k的取值范围是_________．
(0，3)
活动二 典例悟法
题组一 一元二次方程根的分布
1
1 在例1的函数中，若函数y＝f(x)的两个零点均在区间(－1，0)内，求实数a的取值范围．
【解析】因为函数f(x)有两个零点，
所以Δ＝(2a－1)2＋4(2a－1)＞0，即(2a－1)(2a＋3)＞0，
2 [2025石家庄一模]已知方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0
有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是____________．
【解析】考虑方程正实数根的情况，只需研究当x＞0时方程|4x2－2ax＋1|＋ax2－x＝0解的情况．当a＝0时，原方程可化为4x2－x＋1＝0，无解，舍去；当a＜0时，原方程可化为4x2－2ax＋1＋ax2－x＝0，即(4＋a)x2－(2a＋1)x＋1＝0．
1．求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合做到“等价转化”．
2．画图时注意二次函数四大要素——开口方向，对称轴，判别式，特殊点[特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x轴，y轴的交点)或端点函数值]．
题组二 判断函数零点的个数
(1) 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg (x2－3x＋3)，求f(x)在R上的零点个数；
2
【解析】(1) 当x＝0时，f(0)＝lg 3≠0；
当x＞0时，令f(x)＝0，
得x2－3x＋3＝1，即x2－3x＋2＝0，
解得x＝1或x＝2．
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以当x＜0时，令f(x)＝0，
得x＝－1或x＝－2，
故函数f(x)在R上的零点个数为4．
因为f(0)＝－1，f(4)＝e4，所以f(0)·f(4)＜0．
由零点存在定理，得连续函数f(x)在区间(0，4)上至少有一个零点．
又f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)的零点个数为1．
B
A．3 B．4
C．6 D．8
C
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
2．零点存在定理法：利用零点存在定理并结合函数的性质进行判断．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，找出它们的交点的个数，交点的个数就是函数零点的个数．
题组三 函数的零点的应用
已知函数f(x)＝log3(9x＋1)－kx是偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 当x≥0时，函数g(x)＝f(x)－x－a存在零点，求实数a的取值范围；
(3) 设函数h(x)＝log3(m·3x－2m)．若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，求实数m的取值范围．
3
【解析】(1) 因为f(x)＝log3(9x＋1)－kx是R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)，
即log3(91＋1)－k＝log3(9－1＋1)＋k，
解得k＝1，经检验，当k＝1时，满足题意．
(2) 因为k＝1，所以f(x)＝log3(9x＋1)－x．
因为当x≥0时，g(x)＝log3(9x＋1)－2x－a存在零点，
所以关于x的方程a＝log3(9x＋1)－2x在区间[0，＋∞)上有解．
(3) 因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点，
所以关于x的方程log3(m·3x－2m)＝log3(9x＋1)－x有且只有一个解，
所以m·3x－2m＝3x＋3－x．
令t＝3x(t＞0)，得(m－1)t2－2mt－1＝0．(*)
①当m＝1时，方程(*)的解为t＝－，不满足题意，舍去；
②当m＞1时，函数的图象开口向上，
又因为图象恒过点(0，－1)，
所以方程(*)有一正一负两实根，
所以m＞1符合题意；
确定函数的零点个数可以使用的策略
1．解出具体零点．
2．先确定单调区间，再使用零点存在定理．
4
A
B
【解析】当x＞0时，|ln x|≥0，|ln x|＋3≥3，
即f(x)≥3；
当x≤0时，f(x)＝－(x＋1)2－1≤－1，
所以f(x)的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，
所以结合函数f(x)的图象，可知关于f(x)的方程 f2(x)＋bf(x)＋4b＋1＝0的一个实数根在区间[－2，－1)内，一个实数根在区间(3，＋∞)内，
A．x1x2＋4＝2(x1＋x2)
B．x3＋x4＝12
C．x3x4∈(32，34)
D．函数g(x)＝f2(x)＋(1－m)f(x)－m的零点为6，x1，x2，x3，x4
5
BCD
1．已知函数f(x)的零点求参数的取值范围常见的方法：
(1) 解方程法：将条件因式分解，解出方程的根，根据根所在的范围求参数的取值范围．
(2) 参变分离法：将f(x)＝0变形为t＝h(x)，研究y＝t与y＝h(x)图象的交点．
(3) 分拆函数法：将f(x)＝0变形为g(x)＝h(x)，研究y＝g(x)与y＝h(x)图象的交点．
(4) 直接研究函数y＝f(x)的图象与x轴的交点．
2．两种特殊的零点：
(1) 解决嵌套函数f(g(x))零点个数的一般步骤：
①依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或根据图象，判断交点个数．
②换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点，作出y＝g(x)的图象，讨论函数y＝t与y＝g(x)图象的公共点的个数(即t＝g(x)解的情况)，再结合f(g(x))零点的个数转化成方程f(t)＝0解的个数求参数的取值范围．
(2) 等高线问题重在“减元”，要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系．
谢谢观看
Thank you for watching3.8 函数与方程
一、 单选题
1 [2025北京八一学校期中]已知函数f(x)＝－x2，则函数f(x)的零点所在区间为( )
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
2 已知函数f(x)＝有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (0，＋∞) B. (－1，＋∞)
C. (－1，0) D. [－1，1]
3 已知函数f(x)＝当≤m<时，方程f(x)＝－x＋m的根的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4 已知函数f(x)满足f(x)－2f(－x)＝sin x＋tan x，若函数f(x)在区间[－3π，4π]上的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋x2＋…＋xn的值为( )
A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π
二、 多选题
5 设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：
x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) －2.29 －0.74 －0.12 0.49 3.58
依据此表格中的数据，方程的近似解x0不可能为( )
A. x0＝－0.125 B. x0＝0.375
C. x0＝0.525 D. x0＝1.5
6 [2025淮安月考]设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则下列说法中正确的是( )
A. f(b)＝－3
B. f(－3)＝13
C. f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
D. 函数f(x)仅有一个零点
7 已知函数f(x)＝aA. a≤－1 B. c∈[1，4]
C. 2ad∈(0，5) D. 2a＋2b＝2
三、 填空题
8 [2025绵阳月考]函数f(x)＝－2sin x(－4≤x≤4，且x≠0)的所有零点的和为________．
9 [2025济南月考]已知a>0且a≠1，函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－5f(x)＋6＝0恰有3个不相等的实数解，则实数a的取值范围是________．
10 [2025南通月考]若函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
11 [2025山西开学考试]已知函数f(x)＝log2(a>0)的图象的对称中心为(2，0).
(1) 求实数a的值；
(2) 用函数单调性的定义证明f(x)在其定义域上单调递减；
(3) 若方程f(x)＝4x－2x+1＋m在区间(0，2]上有解，求实数m的取值范围．
12 已知f(x)＝为奇函数．
(1) 判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；
(2) 若关于x的方程2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0有8个不同的解，求实数m的取值范围．
3．8 函数与方程
1. C 解析：如图，作出y＝x2与y＝的图象，它们只有一个交点，即f(x)＝－x2有且只有一个零点．又因为f(1)＝7－1＝6>0，f(2)＝－4＝－<0，所以f(1)f(2)<0，且f(x)在区间(1，2)上是连续函数，故f(x)的零点在区间(1，2)内．
2. C 解析：当x>0时，f(x)＝log2x－x，则f′(x)＝－＝，由f′(x)>0，得0，所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．又2<<4，且f(2)＝log22－×2＝0，f(4)＝log24－×4＝0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上有两个零点2和4.因为函数f(x)有且仅有4个零点，所以函数f(x)＝ax2－2x－1，x≤0有两个不同零点，设为x1，x2，则即解得－13. D 解析：当x≥0时，f(x)＝f(x－2)，即f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.画出函数f(x)的图象．令－x＋m＝0，则x＝8m.又因为≤m<，所以4≤8m<6.易知方程f(x)＝－x＋m的根的个数即为函数y＝f(x)与y＝－x＋m的图象交点的个数．由图可知，当x＝0时，20＝1>m>2-2，当x＝－1时，－x＋m＝＋m>2-1，所以在区间(－1，0)上两函数的图象有一个交点；当x＝2时，≤m－<<20，所以在区间(0，2)上两函数的图象有一个交点；当x＝4时，0≤m－<<20，所以在区间(2，4)上两函数的图象有一个交点；当x>4时，－x＋m<2-2＝恒成立，所以两函数的图象无交点．综上，两函数的图象共有三个交点，即方程f(x)＝－x＋m的根的个数为3.
4. B 解析：由f(x)－2f(－x)＝sin x＋tan x①，得f(－x)－2f(x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x②，由①②，得f(x)＝(sin x＋tan x).易知f(x)为奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)在区间[－3π，3π]上的零点也关于原点对称，和为0，所以在区间(3π，4π]上的零点和即为区间[－3π，4π]上的零点和．令f(x)＝0，得sin x＝－tan x，x∈(3π，4π].作出函数y＝sin x和y＝－tan x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．易知y＝f(x)在x∈(3π，4π]上的零点为4π，故f(x)在区间[－3π，4π]上的所有零点之和为4π.
5. ABD 解析：因为h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2是定义域上的增函数，且h(0.437 5)·h(0.75)<0，所以h(x)＝0的解在区间(0.437 5，0.75)内，结合选项可知，x0可能为0.525，故选ABD.
6. AD 解析：对于A，因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，所以f(0)＝20＋b＝0，解得b＝－1，所以f(x)＝2x＋2x－1，则f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－3，故A正确；对于B，由题意，得f(－3)＝－f(3)＝－(23＋2×3－1)＝－13，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，因为函数y＝2x和y＝2x－1在区间[0，＋∞)上均单调递增，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误；对于D，因为f(0)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在R上仅有一个零点，故D正确．故选AD.
7. BCD 解析：画出函数f(x)的图象，由图象可知a<0，08. 0 解析：由f(x)＝0，得＝2sin x．易知函数y＝和函数y＝2sin x 都为奇函数．在同一平面直角坐标系中画出两函数在区间[－4，0)∪(0，4]内的图象如图所示，可得点A与C，点B与D都关于坐标原点成中心对称，所以函数f(x)＝－2sin x(－4≤x≤4且x≠0)的所有零点的和为0.
9. (2，3] 解析：由f2(x)－5f(x)＋6＝0，解得f(x)＝2或f(x)＝3.当x≥1时，f(x)＝2x，由f(x)＝2，解得x＝1，由f(x)＝3，解得x＝log23；当x<1时，f(x)＝ax，此时方程f2(x)－5f(x)＋6＝0只有1个实数解．若01，则f(x)＝ax在区间(－∞，1)上单调递增，f(x)∈(0，a)，则210. (3，27) 解析：由题意，得f′(x)＝3x2－k.因为f(x)在区间(－3，－1)上不单调，所以f′(x)在区间(－3，－1)内有零点．又f′(x)＝3x2－k在区间(－3，－1)上单调递减，所以f′(x)＝0在区间(－3，－1)上最多只有1个根，所以f′(－3)f′(－1)<0，即(27－k)(3－k)<0，解得311. (1) 由题意，得f(x)＋f(4－x)＝0，
即log2＋log2＝0，
即·＝1，
整理，得a(a－4)＋4x－x2＝4x－x2，
所以a(a－4)＝0(a>0)，解得a＝4.
经检验，a＝4符合题意．
故实数a的值为4.
(2) 由(1)知，f(x)＝log2，
令>0，解得0不妨设x1则f(x1)－f(x2)＝log2－log2＝log2.
易知4x1<4x2，所以4x1－x1x2<4x2－x1x2.
又x1，x2∈(0，4)，所以0<4x1－x1x2<4x2－x1x2，
可知>1，
即f(x1)－f(x2)＝log2>0，
故f(x)在定义域(0，4)上单调递减．
(3) 若方程f(x)＝4x－2x+1＋m在区间(0，2]上有解，
则函数y＝f(x)－4x＋2x+1(x∈(0，2])与y＝m的图象有交点．
在y＝－4x＋2x+1中，设2x＝t，则t∈(1，4]，
可得y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，
显然当t∈(1，4]时，该函数单调递减．
又t＝2x单调递增，
所以根据复合函数的单调性知，y＝－4x＋2x+1在区间(0，2]上单调递减，
结合(2)的结论，得y＝f(x)－4x＋2x+1(x∈(0，2])单调递减，
所以y≥f(2)－8＝－8.
又当x→0时，y→＋∞，
所以m≥－8.
故实数m的取值范围为[－8，＋∞).
12. (1) 因为函数f(x)＝为奇函数，且定义域为R，
所以f(0)＝＝0，解得a＝0，
所以f(x)＝.
当a＝0时，f(x)＝，f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数f(x)＝为奇函数．
f(x)＝在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝，
当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－1<0，x2－x1>0，(x＋1)(x＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝在区间(0，1)上单调递增；
当x1，x2∈(1，＋∞)时，x1x2－1>0，x2－x1>0，(x＋1)(x＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
(2) 因为2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0，
所以2|f(x)|2－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0，
即(|f(x)|－m)(2|f(x)|－1)＝0，
解得|f(x)|＝或|f(x)|＝m.
由(1)可作出|f(x)|的图象如图所示．
由图可知|f(x)|＝有4个解，
所以要使关于x的方程2f2(x)－(2m＋1)|f(x)|＋m＝0有8个不同的解，
则|f(x)|＝m有4个不同的解，
可得0即实数m的取值范围是∪.
