第十章 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布 课件(共74张PPT)2027高考数学一轮总复习
文档属性
| 名称 | 第十章 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布 课件(共74张PPT)2027高考数学一轮总复习 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 课件 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-06-02 00:00:00 | ||
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文档简介
(共74张PPT)
第十章 计数原理、概率
10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识 回顾
课时作业
关键能力 提升
考试要求 三年考情 1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.了解正态分布的概念和特征,并能进行简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T9
新课标Ⅱ卷T12 新课标Ⅱ卷T18
必备知识 回顾
1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作__________.
1
知识梳理
两个
n重伯努利试验
X~B(n,p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=__,D(X)=________.
②若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=__________.
2.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,
n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
p
p(1-p)
np
np(1-p)
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为__________.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线_____对称;
②曲线在______处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
X~N(μ,σ2)
x=μ
x=μ
(3)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=__,D(X)=__.
μ
σ2
1.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.
2.“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
3.在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了20次,是n重伯努利试验. ( )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.( )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布. ( )
(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.( )
基础检测
√
√
×
×
2.(人教B版选择性必修第二册P83练习BT4改编)已知离散型随机变量X~B(10,0.2),则E(X)= ( )
A.8 B.2
C.1.6 D.0.8
解析:因为离散型随机变量X~B(10,0.2),所以E(X)=10×0.2=2.故选B.
B
3.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)若X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X>0)= ( )
A.0.10 B.0.40
C.0.80 D.0.90
解析:根据题意X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X<0)=P(X>2)=0.10,故P(X>0)=1-P(X<0)=0.90.故选D.
D
4.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)设10件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格品的件数,则P(X=1)=( )
A.
解析:根据超几何分布的概率公式有P(X=1)=.故选D.
D
关键能力 提升
考点1 超几何分布
【例1】 某科研机构为完成国家级课题,从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下表:
实验室 人工智能 实验室 生物医学 实验室 量子计算 实验室 环境工程
实验室
人数 4 6 3 5
(1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,求两人来自同一实验室的概率;
【解】 “从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,两人来自同一实验室”记作事件A,则P(A)=.
(2)课题完成后需选派两人撰写结题报告,设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
【解】X的所有可能取值为0,1,2.
∵P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
∴X 的分布列为
∴E(X)=0×.
X 0 1 2
P
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
规律总结
【对点训练1】 某校航模社团共有10名学生,研究“战斗机航模”的有6人,其中男生4人、女生2人,另外4人研究“无人机航模”.
(1)从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团,已知其中一位是女生,求另一位也是女生的概率;
解:记事件A:选出的2人中至少有一位是女生,事件B:选出的2人都是女生,
所以n(AB)==1,n(A)==15-6=9,
由条件概率公式,可得P(B|A)=.
(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛,设X表示来自研究“无人机航模”的人数,求X的数学期望.
解:由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
则随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3
P
考点2 二项分布
【例2】 某电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责.在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用.甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6.现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能性是相同的,用频率估计概率.
(1)若只取1个音乐片段,求它是由乙工作室录制的概率;
【解】由题意知,每个音乐片段被抽到的可能性是相同的.
因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,
所以若只取1个音乐片段,它是由乙工作室录制的概率P=.
(2)若抽取2个音乐片段,其中由甲工作室录制的音乐片段数记为X,求X的分布列和数学期望.
【解】设事件A,B,C分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的, 若只取1个音乐片段, 则P(A)=,
所以由乙或丙工作室录制的概率为P()=1-P(A)=.
依题意可知,X的可能取值为0,1,2,且X~B.
所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×.
X 0 1 2
P
二项分布与超几何分布的区别与联系
(1)二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的,而超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.
(2)二项分布不需要知道总体的容量,而超几何分布需要知道总体的容量.
(3)当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.
规律总结
【对点训练2】 (2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;
解:设甲正确完成面试题数为X,乙正确完成面试题数为Y,
则X可取1,2,3,Y可取0,1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以甲正确完成面试题数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×=2,
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=,
所以乙正确完成面试题数Y的分布列为
E(Y)=0×=2.
Y 0 1 2 3
P
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大
解:由(1)得,D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=,
D(Y)=×(0-2)2+×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=,因为D(X)考点3 正态分布
【例3】 (1)(多选)(2025·浙江绍兴二模)为了解目前本市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是 ( )
参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 4.
A.该校学生体育成绩的方差为100
B.该校学生体育成绩的期望为70
C.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
D.该校学生体育成绩的及格率不到85%
ABD
【解析】 对于A,B,由题意知,学生的体育成绩X~N(70,100),可得期望μ=70,方差σ2=100,即该校学生体育成绩的方差为100,期望为70,故A,B正确;对于D,由P(X>70)=0.5,P(6070)≈0.341 3+0.5=0.841 3<85%,即该校学生体育成绩的及格率不到85%,故D正确;对于C,因为P(X<60)=1-P(X≥60)≈1-0.841 3=0.158 7,P(50(2)(多选)设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态曲线如图所示,则( )
A.μ1>μ2
B.σ1<σ2
C.P(X≥μ2)>P(X≥μ1)
D.P(Y≤σ1)BD
【解析】 对于A,因为X,Y的正态曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,所以由题图可知μ1<μ2,故A错误;对于B,因为X的正态曲线“瘦高”,Y的正态曲线“矮胖”,即X的分布较集中,Y的分布较分散,所以σ1<σ2,故B正确;对于C,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(X≥μ2)解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为直线x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.
规律总结
【对点训练3】 (1)(多选)(人教B版选择性必修第二册P97练习AT3改编)某校高三年级选考地理科目的学生有100名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数区间为[30,100],若等级分X~N(80,25),则( )
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.这次考试等级分的标准差为5
B.这次考试等级分超过80分的约有45人
C.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48
D.P(65≤X≤75)≈0.157 3
ACD
解析:对于A,因为X~N(80,25),所以σ==5,故A正确;对于B,因为μ=80,所以这次考试等级分超过80分的学生约占50%,100×50%=50,故B错误;对于C,因为P(70≤X≤80)=P(μ-2σ≤X≤μ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)
≈×0.954 5≈0.48,所以这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×
100=48,故C正确;对于D,P(65≤X≤75)=P(μ-3σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-3σ≤X
≤μ+3σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.997 3-0.682 7)=0.157 3,故D正确.故选ACD.
(2)如图是两个正态密度函数的图象,则下列表述正确的是 ( )
A.μ1>μ2,σ1>σ2 B.μ1>μ2,σ1<σ2
C.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1<μ2,σ1<σ2
解析:令ξ1~N(μ1,),ξ2~N(μ2,)对应的正态密度函数分别为f(x),g(x),则函数f(x),g(x)图象的对称轴分别为直线x=μ1,x=μ2,且f(x)max=,g(x)max=,观察图象,得μ1<μ2,,所以σ1>σ2.故选C.
C
二项分布的概率最值
1.链接教材:(人教A版选择性必修第三册P81探究与发现)设随机变量X~B(n,p),则X的分布列为P(x=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.我们可以利用分布列的表达式来研究P(x=k)的增减变化及最大值.
2.二项分布之概率最大问题的求解思路
如果X~B(n,p),其中0由≥1,求出k的取值区间,此区间即P(X=k)的单调递增区间,它的补集即P(X=k)的单调递减区间.
教材深研
因为=1+(k∈N,1≤k≤n),所以要使P(X=k)
≥P(X=k-1),则k≤(n+1)p.
故有:
(1)若(n+1)p>n,则当k=n时,P(X=k)取得最大值.
(2)若(n+1)p是不超过n的正整数,则当k=(n+1)p-1或k=(n+1)p时,P(X=k)取得最大值.
(3)若(n+1)p是不超过n的非整数,则当k=[(n+1)p]([(n+1)p]表示不超过(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.
说明:也可以用≤1(0≤k≤n-1,k∈N)来求,还可以考虑用不等式组
(k∈N,1≤k≤n-1)来求.
【典例】 通过历次考试,某教师了解到学生容易在多选题中由于多选和错选致误,因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷,已知这两个班共有学生100名,该老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表:
分值 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
频率 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
(1)若每个分组取中间值作代表,试求两个班学生的成绩的平均值;
【解】两个班学生的成绩的平均值为35×0.1+45×0.3+55×0.3+65×0.2+
75×0.1=54.
(2)为了更好地激发学生学习数学的热情,该老师决定组建数学兴趣小组,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,再从中确定3人为小组组长,如果用X表示小组组长来自成绩为[50,60)的学生的人数,求X的分布列和数学期望;
【解】由频率分布表可知,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,则应从成绩在[50,60)和[60,70)的学生中各抽取3人和2人,所以X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)=1×.
X 1 2 3
P
(3)为了更好地了解学生多项选择题失分的原因,该老师从两个班中随机抽取20名学生进行深入交流,若这20名学生中有k名学生本次考试成绩在[30,50)之间的概率为Pk(1≤k≤20,k∈Z),求Pk取得最大值时k的值(将频率视为概率).
【解】设在抽取的20名学生中,成绩在[30,50)的人数为Y,则Y~B(20,0.4),
所以P(Y=k)=0.4k·0.620-k.
设t==.
当t>1时,k<8.4,P(Y=k-1)8.4,P(Y=k-1)>P(Y=k).
所以当k=8时,Pk最大.
高考真题 教材典题
(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
(1){165(2){X≤165};
(3){X>175}.
考教衔接
BC
高考真题 教材典题
(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
(1){165(2){X≤165};
(3){X>175}.
解析:对于A,B,由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841 3,所以P(X>2)1-0.841 3=0.158 7<0.2,故A错误,B正确.对于C,D,因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)
≈0.841 3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(22)=P(20.8(另解:P(Y>2)=
P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8),故C正确,D错误.故选BC.
课时作业76
1.(5分)(2025·广东茂名二模)随机变量ξ~N(4,2),若P(ξ>2a-1)=P(ξA.2 B.
C.3 D.4
解析:因为ξ~N(4,2),P(ξ>2a-1)=P(ξ基础巩固
C
2.(5分)若随机变量X~B(6,p),且P(X=3)=,则E(2X+3)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析:由P(X=3)=p3(1-p)3=,解得p=,因为X~B(6,p),所以E(X)=6×=3,所以E(2X+3)=2E(X)+3=9.故选C.
C
3.(5分)(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)某老师从6道题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确求解其中的4道题,则该同学能及格的概率为( )
A.
解析:该同学不及格的情况只有一种,即所抽取的3道题中恰有2道是该同学不能正确求解的,则该同学不及格的概率P=,所以该同学能及格的概率为1-.故选A.
A
4.(5分)(2025·湖南长沙二模)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为( )
A.150 B.200
C.300 D.400
C
解析:因为X~N(105,σ2),所以P(X<90)=P(X>120)=,则P(90≤X≤120)=
1-,所以P(90≤X≤105)=P(90≤X≤120)=,所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1 000×=300.故选C.
5.(5分)若随机变量X~N,随机变量Y~B(3,p),且P(X≥1)=,E(X)=E(Y),则P(Y≤1)=( )
A.
C.
解析:由X~N,P(X≥1)=,得E(X)=μ=1,由Y~B(3,p),E(Y)=E(X)=1,得3p=1,解得p=,所以P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=.故选D.
D
6.(5分)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,则经过5次移动后,该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为 ( )
A.
C.
C
解析:由题意,设质点向右移动k次,向左移动(5-k)次.∴最终位置为x=k+(5-k)×(-1)=2k-5,由|x-1|≤1 ,解得0≤x≤2,∴0≤2k-5≤2,解得,∵k为正整数,∴k=3,∴质点向右移动3次,向左移动5-k=2(次),∴该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率P=.故选C.
7.(6分,多选)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是( )
A.D(X)=6
B.μ1<μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤36)=P(Y≤36)
BCD
解析:对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图象知,30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)8.(6分,多选)如图,某电子实验猫线路图上有1,2两个红绿指示灯,当遇到红灯时,实验猫停止前行,恢复绿灯后,继续前行,1,2两个指示灯工作相互独立,且出现红灯的概率分别为,p(0A.E(X)=1
B.P(X=3)=
C.D(X)=
D.一次实验中,1,2两处至少遇到一次红灯的概率为p
ACD
解析:对于A,由题意可知,X~B,E(X)=3×=1,故A正确;对于B,由A知,P(X=3)=,故B错误;对于C,D(X)=3×,故C正确;对于D,一次实验中,1,2两处至少遇到一次红灯的概率为1-(1-p)=p,故D正确.故选ACD.
9.(5分)(苏教版选择性必修第二册P144复习题T7改编)已知随机变量
X~B(4,p),若E(X)+D(X)=,则P(X≥1)=.
解析:因为E(X)+D(X)=,所以4p+4p(1-p)=,即(p-1)2=,因为010.(5分)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设抽取的
人中女教师的人数为X,则E(X)=.
解析:由题意可得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=,∴E(X)=0×.
11.(18分)(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德,某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下表:
科室 志愿者 医生 护士
A 2 3
B 3 3
(1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率;
解:由已知,恰好有2名医生来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室,有()种情况,从11人中抽4人有种情况,所以所求的概率为
.
(2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=,P(X=1)
=, P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3 4
P
12.(19分)(2025·河南焦作二模)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率是,乙每次击中目标的概率是,假设两人是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率;
解:设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1,甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B2,
则P(A)=P(B1)+P(B2)=, 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
(2)设甲击中目标的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解:由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 所以X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3
P
13.(5分)若随机变量X~B,则P(X=k)取得最大值时,k的值为( )
A.2或3 B.2
C.3 D.4
A
素养提升
解析:由题可知,
所以化简得到 2≤k≤3,又k∈N,所以k=2或k=3.故选A.
14.(6分,多选)甲、乙两人投篮,每人只能在下列两种方式中选一种.方式1:投篮3次,每次投中得1分,未投中不得分,累计计分.方式2:选手最多投3次,如果第一次投中可进行第二次投篮,如果第二次投中可进行第三次投篮,如果某次未投中,那么投篮终止,且每投中一次得2分,未投中不得分,累计计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为p,且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮,乙选择方式2投篮,则下列说法正确的是 ( )
A.当p=时,甲得1分的概率为
B.当p=时,甲至少得1分的概率为
C.当p=时,乙最多得2分的概率为
D.当BCD
解析:对于A,B,当p=时,设甲得分为X,则X~B,所以P(X=1)=,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-,故A错误,B正确;对于C,设乙得分为Y,则Y可取0,2,4,6,当p=时,P(Y=0)=,P(Y=2)=,则P(Y≤2)=,故C正确;对于D,P(Y=0)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p),P(Y=6)=p3,所以Y的分布列为
Y 0 2 4 6
P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3
E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因为X~B(3,p),所以E(X)=3p,由E(Y)-E(X)=2p3+2p2+2p-3p=p(2p2+2p-1),令p(2p2+2p-1)>0,即2p2+2p-1>0,解得E(X),故D正确.故选BCD.
本课结束
第十章 计数原理、概率
10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识 回顾
课时作业
关键能力 提升
考试要求 三年考情 1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.了解正态分布的概念和特征,并能进行简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T9
新课标Ⅱ卷T12 新课标Ⅱ卷T18
必备知识 回顾
1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为______________.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
1
知识梳理
两个
n重伯努利试验
X~B(n,p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=__,D(X)=________.
②若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=__________.
2.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,
n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
p
p(1-p)
np
np(1-p)
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,则称随机变量X服从正态分布,记为__________.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线_____对称;
②曲线在______处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
X~N(μ,σ2)
x=μ
x=μ
(3)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=__,D(X)=__.
μ
σ2
1.两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.
2.“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
3.在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了20次,是n重伯努利试验. ( )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布.( )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布. ( )
(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.( )
基础检测
√
√
×
×
2.(人教B版选择性必修第二册P83练习BT4改编)已知离散型随机变量X~B(10,0.2),则E(X)= ( )
A.8 B.2
C.1.6 D.0.8
解析:因为离散型随机变量X~B(10,0.2),所以E(X)=10×0.2=2.故选B.
B
3.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)若X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X>0)= ( )
A.0.10 B.0.40
C.0.80 D.0.90
解析:根据题意X~N(1,σ2),且P(X>2)=0.10,则P(X<0)=P(X>2)=0.10,故P(X>0)=1-P(X<0)=0.90.故选D.
D
4.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)设10件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以X表示取出的3件中的不合格品的件数,则P(X=1)=( )
A.
解析:根据超几何分布的概率公式有P(X=1)=.故选D.
D
关键能力 提升
考点1 超几何分布
【例1】 某科研机构为完成国家级课题,从四个实验室抽调18名研究员组成项目组.各实验室参与人数如下表:
实验室 人工智能 实验室 生物医学 实验室 量子计算 实验室 环境工程
实验室
人数 4 6 3 5
(1)从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,求两人来自同一实验室的概率;
【解】 “从这18名研究员中随机抽取两人合作实验,两人来自同一实验室”记作事件A,则P(A)=.
(2)课题完成后需选派两人撰写结题报告,设被选中的人工智能实验室研究员人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
【解】X的所有可能取值为0,1,2.
∵P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.
∴X 的分布列为
∴E(X)=0×.
X 0 1 2
P
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
规律总结
【对点训练1】 某校航模社团共有10名学生,研究“战斗机航模”的有6人,其中男生4人、女生2人,另外4人研究“无人机航模”.
(1)从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团,已知其中一位是女生,求另一位也是女生的概率;
解:记事件A:选出的2人中至少有一位是女生,事件B:选出的2人都是女生,
所以n(AB)==1,n(A)==15-6=9,
由条件概率公式,可得P(B|A)=.
(2)从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛,设X表示来自研究“无人机航模”的人数,求X的数学期望.
解:由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
则随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3
P
考点2 二项分布
【例2】 某电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责.在音乐录制过程中,由于各种因素,部分录制片段会因不符合要求而不被采用.甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,音乐片段可用率(能被采用的片段数占录制片段总数的比例)分别为0.8,0.6,0.6.现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取,且每个音乐片段被抽到的可能性是相同的,用频率估计概率.
(1)若只取1个音乐片段,求它是由乙工作室录制的概率;
【解】由题意知,每个音乐片段被抽到的可能性是相同的.
因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为6∶7∶5,
所以若只取1个音乐片段,它是由乙工作室录制的概率P=.
(2)若抽取2个音乐片段,其中由甲工作室录制的音乐片段数记为X,求X的分布列和数学期望.
【解】设事件A,B,C分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的, 若只取1个音乐片段, 则P(A)=,
所以由乙或丙工作室录制的概率为P()=1-P(A)=.
依题意可知,X的可能取值为0,1,2,且X~B.
所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×.
X 0 1 2
P
二项分布与超几何分布的区别与联系
(1)二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的,而超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.
(2)二项分布不需要知道总体的容量,而超几何分布需要知道总体的容量.
(3)当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.
规律总结
【对点训练2】 (2025·广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望;
解:设甲正确完成面试题数为X,乙正确完成面试题数为Y,
则X可取1,2,3,Y可取0,1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以甲正确完成面试题数X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×=2,
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=,
所以乙正确完成面试题数Y的分布列为
E(Y)=0×=2.
Y 0 1 2 3
P
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大
解:由(1)得,D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=,
D(Y)=×(0-2)2+×(1-2)2+×(2-2)2+×(3-2)2=,因为D(X)
【例3】 (1)(多选)(2025·浙江绍兴二模)为了解目前本市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀,则下列说法正确的是 ( )
参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997 4.
A.该校学生体育成绩的方差为100
B.该校学生体育成绩的期望为70
C.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
D.该校学生体育成绩的及格率不到85%
ABD
【解析】 对于A,B,由题意知,学生的体育成绩X~N(70,100),可得期望μ=70,方差σ2=100,即该校学生体育成绩的方差为100,期望为70,故A,B正确;对于D,由P(X>70)=0.5,P(60
A.μ1>μ2
B.σ1<σ2
C.P(X≥μ2)>P(X≥μ1)
D.P(Y≤σ1)
【解析】 对于A,因为X,Y的正态曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,所以由题图可知μ1<μ2,故A错误;对于B,因为X的正态曲线“瘦高”,Y的正态曲线“矮胖”,即X的分布较集中,Y的分布较分散,所以σ1<σ2,故B正确;对于C,由正态分布在区间上的概率的几何意义,知P(X≥μ2)
(1)对称轴为直线x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.
规律总结
【对点训练3】 (1)(多选)(人教B版选择性必修第二册P97练习AT3改编)某校高三年级选考地理科目的学生有100名,现将他们该科的一次考试分数转换为等级分,已知等级分X的分数区间为[30,100],若等级分X~N(80,25),则( )
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.这次考试等级分的标准差为5
B.这次考试等级分超过80分的约有45人
C.这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48
D.P(65≤X≤75)≈0.157 3
ACD
解析:对于A,因为X~N(80,25),所以σ==5,故A正确;对于B,因为μ=80,所以这次考试等级分超过80分的学生约占50%,100×50%=50,故B错误;对于C,因为P(70≤X≤80)=P(μ-2σ≤X≤μ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)
≈×0.954 5≈0.48,所以这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×
100=48,故C正确;对于D,P(65≤X≤75)=P(μ-3σ≤X≤μ-σ)=[P(μ-3σ≤X
≤μ+3σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.997 3-0.682 7)=0.157 3,故D正确.故选ACD.
(2)如图是两个正态密度函数的图象,则下列表述正确的是 ( )
A.μ1>μ2,σ1>σ2 B.μ1>μ2,σ1<σ2
C.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1<μ2,σ1<σ2
解析:令ξ1~N(μ1,),ξ2~N(μ2,)对应的正态密度函数分别为f(x),g(x),则函数f(x),g(x)图象的对称轴分别为直线x=μ1,x=μ2,且f(x)max=,g(x)max=,观察图象,得μ1<μ2,,所以σ1>σ2.故选C.
C
二项分布的概率最值
1.链接教材:(人教A版选择性必修第三册P81探究与发现)设随机变量X~B(n,p),则X的分布列为P(x=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.我们可以利用分布列的表达式来研究P(x=k)的增减变化及最大值.
2.二项分布之概率最大问题的求解思路
如果X~B(n,p),其中0
教材深研
因为=1+(k∈N,1≤k≤n),所以要使P(X=k)
≥P(X=k-1),则k≤(n+1)p.
故有:
(1)若(n+1)p>n,则当k=n时,P(X=k)取得最大值.
(2)若(n+1)p是不超过n的正整数,则当k=(n+1)p-1或k=(n+1)p时,P(X=k)取得最大值.
(3)若(n+1)p是不超过n的非整数,则当k=[(n+1)p]([(n+1)p]表示不超过(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值.
说明:也可以用≤1(0≤k≤n-1,k∈N)来求,还可以考虑用不等式组
(k∈N,1≤k≤n-1)来求.
【典例】 通过历次考试,某教师了解到学生容易在多选题中由于多选和错选致误,因此决定为自己所带的两个班级的学生命制一套满分为100分的多项选择题专题卷,已知这两个班共有学生100名,该老师根据两个班学生的考试成绩制作了如下表所示的频率分布表:
分值 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
频率 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
(1)若每个分组取中间值作代表,试求两个班学生的成绩的平均值;
【解】两个班学生的成绩的平均值为35×0.1+45×0.3+55×0.3+65×0.2+
75×0.1=54.
(2)为了更好地激发学生学习数学的热情,该老师决定组建数学兴趣小组,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,再从中确定3人为小组组长,如果用X表示小组组长来自成绩为[50,60)的学生的人数,求X的分布列和数学期望;
【解】由频率分布表可知,若采取比例分配的分层随机抽样的方法从两个班中成绩在[50,60)和[60,70)的学生中抽取5人,则应从成绩在[50,60)和[60,70)的学生中各抽取3人和2人,所以X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)=1×.
X 1 2 3
P
(3)为了更好地了解学生多项选择题失分的原因,该老师从两个班中随机抽取20名学生进行深入交流,若这20名学生中有k名学生本次考试成绩在[30,50)之间的概率为Pk(1≤k≤20,k∈Z),求Pk取得最大值时k的值(将频率视为概率).
【解】设在抽取的20名学生中,成绩在[30,50)的人数为Y,则Y~B(20,0.4),
所以P(Y=k)=0.4k·0.620-k.
设t==.
当t>1时,k<8.4,P(Y=k-1)
所以当k=8时,Pk最大.
高考真题 教材典题
(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
(1){165
(3){X>175}.
考教衔接
BC
高考真题 教材典题
(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
(1){165
(3){X>175}.
解析:对于A,B,由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)
≈0.841 3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2
P(Y<2.2)≈0.841 3>0.8),故C正确,D错误.故选BC.
课时作业76
1.(5分)(2025·广东茂名二模)随机变量ξ~N(4,2),若P(ξ>2a-1)=P(ξ
C.3 D.4
解析:因为ξ~N(4,2),P(ξ>2a-1)=P(ξ
C
2.(5分)若随机变量X~B(6,p),且P(X=3)=,则E(2X+3)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析:由P(X=3)=p3(1-p)3=,解得p=,因为X~B(6,p),所以E(X)=6×=3,所以E(2X+3)=2E(X)+3=9.故选C.
C
3.(5分)(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)某老师从6道题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确求解其中的4道题,则该同学能及格的概率为( )
A.
解析:该同学不及格的情况只有一种,即所抽取的3道题中恰有2道是该同学不能正确求解的,则该同学不及格的概率P=,所以该同学能及格的概率为1-.故选A.
A
4.(5分)(2025·湖南长沙二模)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为( )
A.150 B.200
C.300 D.400
C
解析:因为X~N(105,σ2),所以P(X<90)=P(X>120)=,则P(90≤X≤120)=
1-,所以P(90≤X≤105)=P(90≤X≤120)=,所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1 000×=300.故选C.
5.(5分)若随机变量X~N,随机变量Y~B(3,p),且P(X≥1)=,E(X)=E(Y),则P(Y≤1)=( )
A.
C.
解析:由X~N,P(X≥1)=,得E(X)=μ=1,由Y~B(3,p),E(Y)=E(X)=1,得3p=1,解得p=,所以P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=.故选D.
D
6.(5分)如图所示,已知一质点在外力的作用下,从原点O出发,每次向左移动的概率为,向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度,则经过5次移动后,该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率为 ( )
A.
C.
C
解析:由题意,设质点向右移动k次,向左移动(5-k)次.∴最终位置为x=k+(5-k)×(-1)=2k-5,由|x-1|≤1 ,解得0≤x≤2,∴0≤2k-5≤2,解得,∵k为正整数,∴k=3,∴质点向右移动3次,向左移动5-k=2(次),∴该质点与点1的距离不大于一个单位长度的概率P=.故选C.
7.(6分,多选)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是( )
A.D(X)=6
B.μ1<μ2
C.P(X≤38)
BCD
解析:对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图象知,30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)
B.P(X=3)=
C.D(X)=
D.一次实验中,1,2两处至少遇到一次红灯的概率为p
ACD
解析:对于A,由题意可知,X~B,E(X)=3×=1,故A正确;对于B,由A知,P(X=3)=,故B错误;对于C,D(X)=3×,故C正确;对于D,一次实验中,1,2两处至少遇到一次红灯的概率为1-(1-p)=p,故D正确.故选ACD.
9.(5分)(苏教版选择性必修第二册P144复习题T7改编)已知随机变量
X~B(4,p),若E(X)+D(X)=,则P(X≥1)=.
解析:因为E(X)+D(X)=,所以4p+4p(1-p)=,即(p-1)2=,因为0
人中女教师的人数为X,则E(X)=.
解析:由题意可得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=,∴E(X)=0×.
11.(18分)(2025·河北张家口三模)为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德,某医院从A,B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动,已知A,B两个科室中的志愿者分布如下表:
科室 志愿者 医生 护士
A 2 3
B 3 3
(1)求抽到的4人中,恰好有2名医生,且这2名医生恰好来自同一科室的概率;
解:由已知,恰好有2名医生来自同一科室的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室,有()种情况,从11人中抽4人有种情况,所以所求的概率为
.
(2)设X为选出的4人中医生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解:随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=,P(X=1)
=, P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3 4
P
12.(19分)(2025·河南焦作二模)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率是,乙每次击中目标的概率是,假设两人是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率;
解:设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1,甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B2,
则P(A)=P(B1)+P(B2)=, 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
(2)设甲击中目标的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解:由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 所以X的分布列为
所以E(X)=0×.
X 0 1 2 3
P
13.(5分)若随机变量X~B,则P(X=k)取得最大值时,k的值为( )
A.2或3 B.2
C.3 D.4
A
素养提升
解析:由题可知,
所以化简得到 2≤k≤3,又k∈N,所以k=2或k=3.故选A.
14.(6分,多选)甲、乙两人投篮,每人只能在下列两种方式中选一种.方式1:投篮3次,每次投中得1分,未投中不得分,累计计分.方式2:选手最多投3次,如果第一次投中可进行第二次投篮,如果第二次投中可进行第三次投篮,如果某次未投中,那么投篮终止,且每投中一次得2分,未投中不得分,累计计分.已知甲、乙两人每次投中的概率均为p,且各次投篮相互独立.甲选择方式1投篮,乙选择方式2投篮,则下列说法正确的是 ( )
A.当p=时,甲得1分的概率为
B.当p=时,甲至少得1分的概率为
C.当p=时,乙最多得2分的概率为
D.当
解析:对于A,B,当p=时,设甲得分为X,则X~B,所以P(X=1)=,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-,故A错误,B正确;对于C,设乙得分为Y,则Y可取0,2,4,6,当p=时,P(Y=0)=,P(Y=2)=,则P(Y≤2)=,故C正确;对于D,P(Y=0)=1-p,P(Y=2)=p(1-p),P(Y=4)=p2(1-p),P(Y=6)=p3,所以Y的分布列为
Y 0 2 4 6
P 1-p p(1-p) p2(1-p) p3
E(Y)=0×(1-p)+2×p(1-p)+4×p2(1-p)+6×p3=2p3+2p2+2p,因为X~B(3,p),所以E(X)=3p,由E(Y)-E(X)=2p3+2p2+2p-3p=p(2p2+2p-1),令p(2p2+2p-1)>0,即2p2+2p-1>0,解得
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