9.2.3 总体集中趋势的估计 课件（共18张PPT） 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

(共18张PPT)
第九章　统 计
9. 2.3 总体集中趋势的估计
9. 2 用样本估计总体
01
课 前 检 测
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
1.第p百分位数
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
3.求频率分布直方图的百分位数
①确定在哪一组（计算每组的频率）
②计算具体位置(面积和为P%)
(1)众数：一组数据中_______________的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于____位置的数．如果个数是偶数，则取____两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的____除以数据个数所得到的数．
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.
下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
出现次数最多
中间
中间
和
加权形式：每组数据与对应频率相乘，再相加.
公式：
02
合 作 探 究
【探究】
思考1：你认为众数应该在哪个小矩形内？
频率分布直方图的众数估计值为最高矩形底边的中点
众数：
70
【探究】
思考2：如何在频率分布直方图中找中位数？
第50百分位数
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
m
中位数：
m=70
0.1
0.2
0.4
0.3
【探究】
思考3：如何在频率分布直方图估计平均数？
平均数=每组组中值×频率之和
假设每组分数用该组的中间值来估计.
0.1
0.2
0.4
0.3
【例1】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．这次测试数学成绩的众数为________；中位数为________；平均分为________．
75
72
众数：最高矩形的中点
特点：反映样本数据的最大集合点忽视了其他数据，无法客观的反映总体特征
中位数：中位数左右两边的直方图面积相等
特点：不受少数几个极端值的影响
平均数：直方图的“重心”，各组组中值与频率乘积之和
特点：和每一个样本数据都有关，可以反映更多的关于样本数据的信息离平均数越远的数据对平均数影响越大(可靠性低)
通过频率分布直方图求众数、中位数、平均数
频率=0.5处
(1)直方图形状对称：平均数和中位数应该大体上差不多；
(2)直方图右边“拖尾”：平均数大于中位数；
(3)直方图左边“拖尾”：平均数小于中位数.
与中位数相比，平均数总在直方图的“长尾巴”那边
思考：在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
03
当 堂 检 测
1. 已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，如图所示，该图的众数为____，平均数为____，中位数为_____．
65
62
62.5
平均数为45×0.1+55×0.3+65×0.4+75×0.2=62
设中位数为m，则0.1+0.3+(m－60)×0.04=0.5，
解得m=62.5
62.5
64
3. (多选)在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是(　 　)
A．成绩在[70,80)内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
ABC
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求成绩的众数、中位数的估计值;
(2)求平均成绩的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
[解]　(1)由图可知众数的估计值为65分．
设中位数为x，又∵第一个小矩形的面积为0.3,
则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65．
∴中位数的估计值为65分．
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋
75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，
∴平均成绩的估计值为67分．
120
122
124
126
128
130
a
0.025
0.125
0.175
频率/组距
(1)求实数a的值；(2)估算这100名个数据的众数、中位数、平均数.
5.已知将一组100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如下图）
04
课 堂 小 结
1 中位数本质是50%分位数，可用直方图分位数法直接估计；
——两种求法：①原始数据直接计算、②频率分布直方图累计频率法；
2. 总体集中趋势的三大统计量（众数、中位数、平均数），
均可通过频率分布直方图进行估计，方法各有侧重：
- 众数：看最高矩形中点；
- 中位数：累计频率到0.5的位置（矩形面积之和）；
- 平均数：每组中点×频率的加权和.
本部分内容讲解结束
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