2025-2026学年湘教版数学必修第二册 1.1《向量》课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
湘教版高中必修第二册
向 量
教学课件
新 课 导 入
1
新课导入
大海航行靠舵手，你想过没有，舵手为什么重要？
迷路叫作“迷失方向，找不着北”，设想一下，为什么不叫迷失距离？
新课导入
如图，老鼠由A点向西方向逃窜，猫由B点向西北方向去追，设问：猫能否追到老鼠？
A
B
分析：老鼠逃窜的方向和猫追逐的路线实际上都是有方向的。
新课导入
答：猫的速度再快也没有用，因为方向错了！
A
B
你还知道哪些量既有大小又有方向，哪些量只有大小没有方向呢？
新 知 探 究
2
新知探究| 一、向量的基本要素及几何表示
下面是一些关于“位移”和“力”的实例：
1.民航每天都有从北京往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班。每次飞行都是民航客机的一次位移。由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图)。
北京

哈尔滨
上海
广州
重庆



新知探究| 一、向量的基本要素及几何表示
2.起重机吊起物体时，物体既受竖直向下的重力作用，同时又受竖直向上的起重机拉力的作用。当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起。
同学们思考一下，位移、速度和力这些物理量与长度、面积、质量有什么区别？
新知探究| 一、向量的基本要素及几何表示
长度、面积、质量只描述量的大小，而位移、速度和力这些物理量除了需知道它们的大小之外，还需要知道它们的方向。这些量都需要从大小和方向两方面来描述。
这就是我们要学习的一个基本的数学工具——向量。
新知探究| 一、向量的基本要素及几何表示
向量的基本概念：
定义 既有大小又有方向的量称为向量
表示法 （1）几何表示：用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。即用表示有向线段起点、终点的字母表示，例如AB。
（2）字母表示：用小写字母（粗体印刷）a,b……表示。或在字母上方标箭头（书写）来表示，如.
模 向量a的大小也称这个向量的模，记作|a|。
→
1.下列各量是向量的是（ ）.
A.质量
B.距离
C.速度
D.时间
新知探究| 练一练
C
提示：质量、距离、时间只有大小，没有方向.
2.给出下列4个命题:
①温度有零上、零下之分，温度是向量;
②AB=|AB|;
③若向量a=MN,b=NM,则|a|=|b|;
④若|a|=3,|b|=4,则a其中正确的命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
新知探究| 练一练
B
→
→
→
→
新知探究| 练一练
解析：
命题①不正确,温度只有大小而无方向,因此不是向量。
命题②不正确，向量AB既有大小也有方向，|AB|只表示AB的长度。
命题④不正确,模可以比较大小，而向量有方向不能比较大小。
→
→
→
新知探究|归纳总结
对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有方向又有大小，方向不能比较大小。
新知探究| 二、向量的相等
由物理学知识知道，如果一个质点沿如图1所示的□ABCD的边从A运动到B,或者从D运动到C,这两次位移虽然起点不同，但方向相同、长度相等，就称它们是相等位移(或相同位移)。类似地，我们把方向相同、长度相等的向量称为相等向量。例如， 在图1中，AB=DC, BC=AD。
图1
D
C
B
A
→
→
→
→
相等向量：
新知探究| 二、向量的相等
AB与BA虽然长度相等，但方向相反，因此AB≠BA。
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b=-a。如果b=-a，则同样也有a=-b。
图2中，AB与BA，AD与CB分别互为相反向量。
图2
D
C
B
A
→
→
→
→
→
→
→
→
相反向量：
新知探究| 二、向量的相等
如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作0。若AB=0, 则这个“有向线段”AB=AA，它实际上是一个点，即停留在起点不动，所表示的位移为零。
我们约定，所有的零向量相等。
当AB≠0时，|AB|>0,从A到B只能有唯一的方向、而零向量AA 表示从A到A，可以是任意方向。
→
→
→
→
→
→
零向量：
新知探究| 二、向量的相等
说明:(1)向量a与b相等,记作a=b；
(2) 零向量与零向量相等；
(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
图4
D
C
B
A
判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)AB=CD的充要条件是点A与点C重合，点B与点D重合；
(2)若a=b,b=c,则a=c；
(3)在四边形ABCD中,AB=DC,则ABCD为平行四边形；
(4)如图，B、C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，则最多可产生互不相等且长度不为零的向量共6个。
新知探究| 练一练
→
→
→
→
A
D
C
B
×
√
√
√
解：(1)不正确。AB=CD时，只需|AB |=|CD|及点A到点B与点C到点D的方向相同。
(2)正确。向量相等具有传递性。
(3)正确。根据平行四边形定义可知。
(4)正确。设|AD|=3,则长度为1的向量有6个，其中AB=BC=CD,BA=CB=DC;长度为2的向量有4个，其中AC=BD,CA=DB；长度为3的向量有2个，分别为AD和DA，故最多可以写出6个互不相等的向量。
新知探究| 练一练
→
→
→
→
A
D
C
B
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
新知探究|归纳总结
两个向量相等的充要条件是方向相同，模相等；
相等的向量可以进行平移，起点可以不同。
新知探究|归纳总结
结合充要条件知识，根据向量相等的定义抓住关键三点:
①模相等，
②方向相同，
③可以平移，
就能顺利突破解题中的难点。
理解“两向量不相等”体现在三方面:
①方向相同但模不等；
②模相等但方向不同；
③模不相等且方向不同。
典 型 例 题
3
1.下列各选项中,正确的一项为( )
A.两个有共同起点且方向相同的向量，其终点必相同。
B.向量就是有向线段。
C.若|a|=|b|,则a=b。
D.若AB=CD，则BA=DC。
典型案例
→
→
→
→
D
2.下面结论中,正确的一个是( )
A.若|a|=|b|，则3a<4b。
B.模为1的向量仅有一个。
C.设O为△ABC的外心，则OA、OB、0C的模相等。
D.直角坐标系中x轴的非负半轴是向量。
C
典型案例
→
→
→
3.下列说法正确的是( ).
①若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=DC是四边形为平行四边形的充要条件；
②把所有模为1的向量的起点平移到同一点O,则各向量的终点构成的集合是一个圆；
③在平面中,若AB≠CD,则AB与CD方向一定不同；
④|a|=|b|是a=b的必要非充分条件。
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
D
典型案例
→
→
→
→
→
→
4. 如图所示,设O是正六边形ABCDEF的中心，在O,A,B,C,D,E,F七个点中任取两个点作为起点和终点的向量中，
(1)写出与OF相等的向量；
(2)写出与AF相等的向量；
(3)写出与OE模相等但方向相反的向量。
典型案例
→
→
→
→
A
D
C
B
E
O
F
BA, DE, CO
→
→
BO, CD, OE
→
→
→
OB, FA, DC
→
→
→
拓 展 提 高
4
如图所示，一架飞机从A点起飞，向北偏西30°方向飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100km达到C点，再从C点南偏东60°飞行50km到达D点，求飞机从A点到D点的位移。
拓展提高
D
C
B
北
A
东
如图，在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=200km,
BC=100km,AC=100km.
因∠DCA=∠CBA=60°,且,
△ACB∽△ADC,
ADC=90°.
拓展提高
D
C
B
北
A
东
AD=
=150(km).
故飞机从A点到D点的位移大小是
||=150km,方向是北偏东30°.
拓展提高
D
C
B
北
A
东
→
课 堂 小 结
5
课堂小结
定义
向量的基本要素及几何表示
向量的相等
表示法
相反向量
向量
模
零向量
相等向量
作 业 布 置
6
完成课本P4练习题
作业布置
谢谢观看