函数的定义域、值域

第一讲：函数的定义域、值域、指对函数
一、定义域
★★★高考要考什么
函数定义域有两类：具体函数与抽象函数
概念：函数y=f(x)中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。
高考中考查函数的定义域的题目多以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在大题中作为其中一问。以考查对数和根号两个知识点居多。
分类：具体函数：只要函数式有意义就行 －－－解不等式组；
一：已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：
当函数是由解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．具体地讲，若解析式含有的是：
①整式的定义域为R；
②分式的分母不等于0；
③偶次根式被开方式大于等于0；奇次根式被开方式定义域为R
④对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；
⑤指数为0时，底数不等于0；
⑥零次幂的底数不等于0；
⑦中，，中，
⑧三角形中, 最大角，最小角等。
⑨上述情况的组合，其定义域是取其交集
【例1】求下列函数的定义域
（08安徽） （全国卷）
（广东） （湖北）
解析：依题意得
故原函数的定义域为
依题意得
故原函数的定义域为
依题意得
故原函数的定义域为
依题意得
故原函数的定义域为
二：抽象函数：（1）已知的定义域为D，求的定义域；（由求得的范围就是）
已知的定义域为D，求的定义域；（求出的范围就是）
【例2】已知的定义域为[-2,3]，求的定义域
值域
求值域的方法
直接法（也成观察法）
配方法：是求二次函数类值域最基本的方法，像的函数的值域问题，均可用配方法二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域
分离常数法：此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.
反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域来求函数的值域。
换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如求函数（a,b,c,d均为常数）的值域。运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.
图象法：对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.
判别式法：把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式≥0，从而求得原函数的值域
【例3】求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程
（1）当时，，，解得：
（2）当y=1时，，而；故函数的值域为。
单调性法：确定函数在定义域（或在定义域的子集）上的单调性求出函数的值域
【例4】求函数的值域。
解：令，则在[2，10]上都是增函数，所以在[2，10]上是增函数，当x=2时，，当x=10时，
故所求函数的值域为：。
函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域
【例5】求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
即 ∵， ∴ 即 ，
解得： 故函数的值域为
三、指对函数
1、指对函数的运算性质
2、指对函数的图像
【例6】（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（B）
（C） （D）
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
【例7】（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
【例8】（2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)
且3＋log23＞4∴＝f(3＋log23)
＝
【例9】（07山东理、文6） 给出下列三个等式：，，
，下列函数中不满足其中任何一个等式的是
A． B． C． D．
2010届数学高考专题考案精品--- 函数及其基本性质检测题
一、选择题(10×5′=50′)
1.设函数f (x)=+lg,x∈(-1,1)，它的反函数是y=f-1(x),则y=f-1(x)的图象与x轴的交点个数是 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.设f (x)=x3-3x2+6x-6,且f (a)=1,f (b)=-5,则a+b等于 ( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.以下各组函数中,表示同一函数的是 ( )
①y=与y=
②y=(sinx+x2+3)′与y=-cosx+2x
③f (x2+1)=x4+x2+1与f (x)=x2-x+1
④f (x)=与它的反函数f -1(x)
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
4.定义域在区间(-∞,+∞)的奇函数f (x)为增函数；偶函数g (x)在区间［0,+∞］的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式：
①f (b)-f (-a)>g (a)-g(-b) ②f (b)-f (-a)③f (a)-f (-b)>g(b)-g(-a) ④f (a)-f (-b)其中成立的是 ( )
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
5.设f (x)、g(x)都是R上的奇函数，{x|f (x)>0}={x|4{x|g (x)>0}={x|20}等于 ( )
A.(2,10) B.(4,5)
C.(-10,-2)∪(2,10) D.(-5,-4)∪(4,5)
6.函数y=x(x-2)在区间［a,b］上的值域是［-1，3］，则
以a为横坐标，b为纵坐标所成的点的轨迹是图中（如图所
示）的 （ ）
A.线段FG和GH B.点F(-1,1)和H(1,3)
C.线段EF和EH D.点E(-1,3)和G(1,1)
7.从集合{１,２,３,…,１０}中选出５个数组成的子集,使得这５个数中的任何两个数的和不等于11,则这样的子集有 ( )
A.10个 B.16个 C.20个 D.32个
8.设函数f (x)定义域为D，如果对于任意的x1∈D,存在惟一的x2∈D,使=c(c为常数)成立，则称函数y=f (x)在D上的均值为c,给出下列四个函数：①y=x3,②y=4sinx,③y=lgx,④y=2x,则满足在其定义域上均值为2的函数是 ( )
A.①② B.③④ C.①③④ D.①③
9.在自然数集Ｎ上定义的函数f (n)=则f (90)的值是 ( )
A.997 B.998 C.999 D.1000
10.一组实验数据如下表：
t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12
V 0.02 1.50 4.04 7.50 12.50 18.22
与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的 ( )
A.V=log2t B.V=-log2t C.V=(t2-1) D.V=2t-2
二、填空题（5×5′=25′）
11.将正整数n表示成k个正整数的和(不计数的顺序),称为将n分成k个部分的一个划分,一个划分中的各加数与另一划分中各加数不全相同的划分,将正整数n划分成k个部分的不同划分记为Ｐ(n,k),则P (10,3)等于 等共 个.
12.函数f (x)=logax (a＞0,且a≠1)在其定义域(０,+∞)上有性质f ()=-f (x),则写出在定义域(０,+∞)上也有上述性质的一个非对数函数为 .(只需填上一个符合条件的函数解析式即可)
13.设函数f (x)=|x|·x+bx+c,给出下列命题：
①b=0,c>0时，f (x)=0只有一个实根；
②c=0时，y=f (x)是奇函数；
③y=f (x)的图象关于点(0,c)对称；
④方程f (x)=0至多有2个实根.
上述命题中的所有正确命题的序号是 .
14.设f (x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1,则f (x)的反函数为f-1(x)= .
15．若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0三、解答题（4×12′+13′+14′=75′）
16．已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
17.设f (x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f (x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2.设g(x)=f(x)-x.
(1)求证:g(x)是周期函数;
(２)如果f (996)=1002,求g (2004)的值.
18.设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈,都有f (x1+x2)=f (x1)·f (x2)，且f (1)=a>0.
(1)求f , f ;
(2)证明f (x)是周期函数;
(3)若an=f ,求
19.定义在R上的函数f (x)满足：如果对任意x1、x2∈R,都有f ，则称f (x)是R上的凹函数.已知二次函数f (x)=ax2+x(a∈R,且a≠0).
(1)求证：当a>0时，函数f (x)是凹函数；
(2)如果x∈［0,1］时，|f (x)|≤1，试求a的取值范围.
20.已知函数f (x)=x2-4ax+a2(a∈R).
(1)如果关于x的不等式f (x)≥x的解集为R，求实数a的最大值.
(2)在(1)的条件下，对于任意的实数x,试比较f {f［f (x)］}与x的大小.
(3)设函数g(x)=2x3+3af(x),如果g(x)在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围.
21.已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.
(1)求f (1);
(2)求f (x)的表达式；
(3)设g(x)=,定义域为D，现给出一个数学运算程序：
x1→x2=g (x1)→x3=g(x2)→…→xn=g(xn-1),若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出x1=,请你写出满足上述条件的集合D={x1,x2,x3,…,xn}.
（2）函数及其基本性质检测题参考答案
一、选择题
1.B 设-1.
∵>0,
即.
∴lg.∴f (x1)>f (x2).
即f (x)在(-1,1)上是减函数.
∵f (0)=,
∴f (x)的图象与y轴只有一个交点.
由互为反函数的函数图象关于直线y=x对称知，y=f -1(x)的图象与x轴只有一个交点，故选B.
2.D 将f (x)变为f (x)=(x3-3x2+3x-1)+(3x-3)-2=(x-1)3+3(x-1)-2.因为f (a)=1,f (b)=-5,
所以f (a)=(a-1)3+3(a-1)-2=1,即(a-1)3+3(a-1)=3,
f (b)=(b-1)3+3(b-1)-2=-5,即(b-1)3+3(b-1)=-3.
构造函数g(t)=t3+3t,易知g(t)是奇函数且在R上单调递增,所以g(a-1)=-g(b-1)=g(1-b)=3,所以a-1=1-b,即a+b=2,故选Ｄ.
3.C 本小题考查对函数概念的理解,只有定义域与对应法则都完全相同的两个函数才表示同一函数.
①y=且定义域均为x≠0,1-x＞0,即x＜1且x≠0，即二者定义域相同(注:这是两个函数表达式,表示同一函数的基本要素,否则,不必再考虑对应法则是否相同,即可确定这两个函数不同).在相同的定义域前提下,y=与y=恒等,所以①是同一函数.
②y=(sinx+x2+3)′=cosx+2x,显然与y=-cosx+2x不同.
③f (x2+1)=x4+x2+1=(x2+1)2-(x2+1)+1,
∴f (x)=x2-x+1,(x≥1).而y=f (x)=x2+x+1的定义域为一切实数,二者定义域不同,是不同函数(注:函数方程换元时一定要考虑定义域).
④y=f (x)=,(x≠0)的反函数是它本身,④正确.所以表示同一函数的为①④,正确答案为C.
4.C (构造法)令f (x)=x,g(x)=|x|.当a>b>0时，显然①f (b)-f (-a)>g (a)-g (-b)成立，③f (a)-f (-b)>g(b)-g(-a)成立.故选C.
5.D ∵f (x)、g (x)都是奇函数，∴f (x)·g(x)是偶函数，由对称性，只需求f (x)>0,g(x)>0的解集,
由条件知：f (x)>0的解集为40的解集为2故f (x)·g(x)>0的解集为（-5，-4）∪（4，5）,故选D.
6.C 解法一 由于y=x2-2x=(x-1)2-1的图象的对称轴是直线x=1,且函数的最小值是-1,令y=3时，x=-1或x=3,从而当a=-1时，1≤b≤3,当b=3时，-1≤a≤1.
解法二 代值检验知E（-1，3），F（-1，1），H（1，3）均满足，故选C.
7.D 因为要求任意两数之和不等于１１,则１和１０,２和９,…,５和６不能同时出现,利用这种排斥性,可制作５张卡片,互相排斥的两个数分别位于同一张卡片的正反面(1 (10)、2 (9)、3 (8)、4 (7)、5 (6)),每张卡片各取一个数组成一组,这样所得的组数即为所求子集的个数,根据乘法原理,子集个数为25=32个.
8.D 均值为2，即f (x1)+f (x2)=4.
①中x2=时满足条件.
③中x2=时满足条件.
②中在x1确定时，使sinx1+sinx2=1的x2值并不惟一.
④中x1>2时不存在x2,使2＝4.
9.C 因为f (1 000)=997,
f (999)=f［f (1 006)］=f (1 003)=1 000,
f (998)=f［f (1 005)］=f (1 002)=999,
f (997)=f［f (1 004)］=f (1 001)=998,
f (996)=f［f (1 003)］=f (1 000)=997,
f (995)=f［f (1 002)］=f (999)=1 000,
f (994)=f［f (1 001)］=f (998)=999.
据此归纳:f (n)是以４为周期的周期函数(证明略),
所以f (90)=f (22×4+2)=f (2)=f (249×4+2)=f (998)＝999.
10.C 表式解读题，应从表中捕捉信息，采用估算与筛选相结合的方法，达到快捷解题之目的，本题理应采用近似估算法：当t=1.99≈2时，log2t=1,-log2t=-1,2t-2=2,均与表中V=1.50相差甚远，于是可剔除A、B、D.故应选C.
二、填空题
11.118,127,136,145,226,235,224,334,共８个(写其中的任意两个)
12.f (x)=0,x∈(０,+∞) 构造这样一个函数f (x)=x-,x∈(０,+∞),则f ()=-x,而-f (x)=-x,
即有f ()=-f (x).构造出类似的函数还不止一个,例如,f (x)=0,x∈(０,+∞),那么f ()=０,且有-f (x)=0,即有f()=-f (x).
13.①②③ ①是正确命题：|x|x+c=0,当x<0时，x2=c,∴x=-;
②是正确命题：f (-x)=(-x)|x|-bx=-f (x),
∴f (x)为奇函数;
③是正确命题：∵f (x)+f (-x)=2c,∴f (x)的图象关于点（0,c）对称;
④是错误命题：反例：c=0,b<0时，|x|·x+bx=0有三个实根.故正确答案是：①②③.
14.∵f (x)=x5-5x4+10x3-10x2+5x+1=x5-5x4+10x3-10x2+5x-1+2=(x-1)5+2，
令y=(x-1)5+2,则(x-1)5=y-2,∴x-1=,即x=+1
∴f (x)的反函数为f -1(x)= +1,x∈R.
15．(－∞,0） ∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
三、解答题
16．证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，?
即f(x2)∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
17.证明 (1)一方面,g (x+6)=f (x+6)-(x+6)=f［(x+3)+3］-(x+6)≤f (x+3)+3-(x+6)≤f (x)-x=g(x).即g(x+6)≤g(x);另一方面,g(x+6)=f (x+6)-(x+6)=f［(x+4)+2］-(x+6)≥f (x+4)+2-(x+6)≥f (x+2)+2-(x+4)≥?f (x)-x=g(x).即g(x+6)≥g(x),故g(x+6)=g(x),即g(x)是周期为６的周期函数.
(２)g(996)=f (996)-996=1 002-996=6,所以g(2 004)=g(1 008+996)=g(168×6+996)=g(996)=6.
18.（1）∵+=1,∴f (1)==a>0.
∴f=.同理,f .
(2)由f (x)的图象关于直线x=1对称知f (x)=f (2-x).
又∵f (x)为偶函数,∴f (2-x)=f(x-2).∴f (x)=f (x-2).
故f(x)是以2为周期的周期函数.
(3)由(2)得an=f =f,再联想到（1）是（3）的特例，猜想f =,下面证明这个不等式.
用数学归纳法易证：对于任意的x1,x2,…,xn∈,都有f (x1+x2+…+xn)=f (x1)·f (x2)…f (xn).
∵f (1)=f =.
∴an=f.
故
点评 从特殊到一般，又从一般到特殊，这是人人皆知的哲理，但在解题过程中，我们有时容易忽略.合理的联想成了解题的技巧.
19.（1）证明 任取x1、x2∈R，
则［f (x1)+f (x2)］-2f=ax+x1+ax+x2-2［a］
=≥0.
∵(x1-x2)2≥0,a>0,∴a(x1-x2)2≥0.
∴f [≤［f (x1)+f(x2)］.∴当a>0时，函数f(x)是凹函数.
(2)解 |f (x)|≤1-1≤f (x)≤1-1≤ax2+x≤1(*).
当x=0时，a∈R;当x≠0时，（*）式
当x∈(0,1)时，-的最大值是-2, 的最小值是0,
∴,但a≠0,∴-2≤a<0,即为a的取值范围.
点评 本题以高等数学中的凹函数为背景，通过给出它的定义（设置新情境），考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解恒成立不等式问题的能力.在高等数学与高中数学的知识交汇处命题，是近几年高考命题的一种趋向.在这种问题中，又以函数问题居多.
20.（1）∵f (x)≥x的解集为R，∴x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立.
∴Δ=(4a+1)2-4a2≤0,即12a2+8a+1≤0,
解得-≤a≤-，故a的最大值为-.
(2)由（1）得f (x)≥x恒成立，f［f (x)］≥f (x),f{f［f (x)］}≥f［f (x)］.
从而f{f［f (x)］}≥f［f (x)］≥f (x)≥x,
即f{f［f (x)］}≥x.
(3)由已知可得g(x)=2x3+3ax2-12a2x+3a3,
则g′(x)=6x2+6ax-12a2=6(x2+ax-2a2)=6(x-a)(x+2a),
令g′(x)=0得x=a或x=-2a.
①若a=0,则g′(x)≥0,∴g(x)在R上单调递增，在（0，1）上无极值.
②若a>0,则当x<-2a或x>a时，g′(x)>0;
当-2a∴当x=a时，g(x)有极小值.∵g(x)在开区间（0，1）上存在极小值，∴0③若a<0,则当x-2a时，g′(x)>0;当a∴当x=-2a时，g(x)有极小值.
∵g(x)在开区间（0，1）上存在极小值,
∴0<-2a<1,∴-所以当-21.(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,
∴f (1)=8.
(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.
又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,
∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.
(3)由g(x)=
由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={,,-,-1}
第6题图
1
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