河北保定高一下学期数学2026年5月质量检测试卷（含答案）

2025～2026学年度高一年级5月质量检测
数 学
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知向量，，若，则实数的值为
A.
B.
C.
D.
3. 已知，是两条不同的直线，则“与没有公共点”是“与是异面直线”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，，则平面图形的周长为
A.
B.
C.
D.
5. 已知向量，，且，，则的最大值为
A.8
B.7
C.
D.
6. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
7. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂的断点，两点间的距离为
A. B.
C. D.
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点，分别为棱，的中点，且，，，则球的表面积为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知向量，，都是非零向量，则下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是
A. 若，则
B. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则为等腰三角形
11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是
A.
B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 点到平面的距离为定值
D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 复数的虚部是 。
13. 已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和；记甲、乙两个圆台的体积分别为，，则 。
14. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 ；若的面积为，点满足，则线段的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知复数，。
（1）若复数是纯虚数，求的值；
（2）若是关于的方程的一个根，求的值。
16.（本小题满分15分）
某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱，，米，米，米：
（1）现需使用油漆对该模型的表面（含底面）进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用；
（2）若是的中点，证明：平面。
17.（本小题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，且。
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值；
（3）若，，求的值。
18.（本小题满分17分）
如图，在等腰梯形 中， ， ， ， 满足 ， ， 其中 ，， 与 交于点 .
（1） 用向量 ， 表示 ，；
（2） 若 ，， 求 的值；
（3） 若 ， 求 的取值范围.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱柱 中，底面 是边长为3的等边三角形， ， .
（1） 证明： 平面 ；
（2） 求二面角 的正弦值；
（3） 若点 是棱 上的动点（包括端点），求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
2025～2026学年度高一年级5月质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A由，知复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选A.
2.B ，因为，所以，解得. 故选B.
3.B若与没有公共点，则或与是异面直线；若与是异面直线，则与没有公共点，所以“与没有公共点”是“与是异面直线”的必要不充分条件. 故选B.
4.C由题意可知，原平面图形为直角梯形，，，，，周长为. 故选C.
5.D . 故选D.
6.D如图，连接，，易得，又，分别是，的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，，，所以. 故选D.
7.A如图，延长，交于点，因为，所以，在中，由正弦定理，得，得. 由题意得，，，在中，由余弦定理得，故，两点之间的距离为. 故选A.
8.C因为，是等边三角形，易得，又点，分别为棱，的中点，且，故，，又，，平面，所以平面. 设外接圆的圆心为，半径为，易得，，所以球的半径，所以球的表面积为. 故选C.
9.ABC因为，，且，，都是非零向量，所以，A正确；因为，，所以，B正确；因为，，所以，，则，所以，C正确；当时，，但，不一定相等，D错误. 故选ABC.
10.AC若，则，由正弦定理得，故A正确；因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误；若，由正弦定理得，由余弦定理得，则角A为钝角，则是钝角三角形，故C正确；若，则或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，D错误. 故选AC.
11.AC因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，A正确；取的中点G，连接EG，GA，EC，易得，所以过点E，A，C的平面截该正方体所得的截面为梯形EGAC，又，，，易得梯形EGAC的高为，所以截面面积为，故B错误；因为点E，F分别是，的中点，易得，又平面，平面，所以平面，又点P是线段EF上的一动点，所以点P到平面的距离为定值，故C正确；因为点P到平面的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP与平面所成角的正弦值取得最大值，此时P是EF的中点，，故D错误. 故选AC.
12. 因为，所以的虚部是.
13. 由题可得两个圆台的高分别为，，所以.
14. （2分） （3分） 因为，所以，即，又，所以，所以，又，所以；的面积，所以，又点G满足，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以线段AG的最小值为.
15. 解：(1) ，16.（1）解：因为直三棱柱 中， ， ， ， ，所以 . 3分
所以 ， ， ， ， 5分
所以直三棱柱 的表面积为 平方米. 6分
所以所需油漆总费用为 元. 7分
（2）证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ， 9分
则 为矩形 对角线的交点， . 11分
又点 为 的中点，所以 ， 13分
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 15分
17. 解：（1）因为 ，
由正弦定理得 ，化简得 ，
由余弦定理可得 . 3分
又 ，所以 . 5分
（2）因为 的面积为 ，解得 . 7分
由（1）可得 ，所以 ，即 ， 9分
所以 . 10分
（3）由 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 . 12分
所以 ， 14分
由正弦定理 可知 . 15分
18. 解：（1）由题意可知 ， 2分
.
4分
（2）若 ， ， ， ，
设 ， ， ，则 ， ，
又 ， 7分
因为 ， 不共线，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 . 10分
（3）由题意可知 ， 11分
若 ，则 ，
， 13分
， …………………… 15分
当时，则
所以的取值范围为． ………………………………………………… 17分
）.（1）证明：在中，，，，所以，所以， ………… 1分
在中，，，，所以，所以， …………………… 2分
又，平面，，所以平面． …………………………… 3分
（2）解：如图，连接，取的中点，连接，，．
因为平面，平面平面，平面，所以， ………… 4分
因为，，所以， …………………………………………………………… 5分
因为，，是的中点，所以，，
所以是二面角的平面角． …………………………………………… 6分
在等边中，，，所以， …………………………………… 7分
在中，因为，，所以， …………………… 8分
在平行四边形中，，
所以，， …………………………… 9分
在中，，
所以，
故二面角的正弦值为． ………………………………………………… 10分
（3）解：如图，过点作，交的延长线于点．
因为，，，，平面，所以平
面．
因为平面，所以． ………………………………………… 11分
又，，，平面，
所以平面，，
所以． …………………… 12分
因为，平面，平面，所以平面．
又因为点在棱上，所以点到平面的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦值为， …………………………… 13分
当时，最短，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
当点与重合时，最长，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． …………………… 15分