河北多校高一下学期数学2026年5月质量检测试卷（含答案）

25级创新班5月质量检测
高一数学
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线的倾斜角为，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则
A.
B.
C.
D.5
3. 已知圆的方程为，则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
4. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
5. 已知双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10，是双曲线上的一点，且，则的值为
A.14
B.13
C.13或1
D.14或1
6. 已知，，三点不共线，点在平面外，点满足，则当点，，，四点共面时，实数
A.
B.
C.
D.
7. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于 ， 两点。若 ，则 的渐近线方程为
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，，短轴的两个端点分别为 ，， 为坐标原点，点 在椭圆 上，且满足 。当 变化时， 的最小值为
A.2 B.
C. D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知直线 ， 满足 ，且 ， 间的距离为 ，若 的方程为 ，则 的方程为
A. B.
C. D.
10. 已知圆 和圆 相交于 ， 两点，则
A. 直线 的方程为
B.
C. 四边形 的面积为
D. 圆 与圆 和圆 都相切
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，， 分别是棱 ， 的中点，点 是正方形 内部任意一点（包括边界），则
A. 的长度的最大值为
B. 若 平面 ，则点 为 的一个三等分点
C. 平面 截正方体 所得截面的周长为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 点 关于 轴对称的点的坐标为 。
13. 已知 ， 是直线 上的两点，若 ，则 。
14. 已知圆 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，，则直线 的方程为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知圆，过点作斜率为1的直线交圆于，两点。
（1） 求线段的中垂线方程；
（2） 求弦的长。
16.（本小题满分15分）
已知离心率为的双曲线经过点。
（1） 求的方程；
（2） 已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值。
17.（本小题满分15分）
如图，在平行六面体中，，且，。
（1） 分别求，的长；
（2） 证明：。
18.（本小题满分17分）
如图，在圆锥 中， 是圆锥的顶点， 是圆锥底面圆的圆心， 是圆锥底面圆的直径， ， 是圆 上的动点（异于点 ，）， 是劣弧 的中点， 是 的中点.
（1） 证明： 平面 ；
（2） 若 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3） 若平面 和平面 的夹角为 ， 求 的最大值.
19.（本小题满分17分）
已知 ， 分别是椭圆 的左、右顶点， ， 是椭圆 上异于 ， 的两个点， 当四边形 为菱形时， 四边形 的周长为 ， 面积为4.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 若 ， 的斜率分别为 ，， 且 .
（ⅰ） 证明： 直线 过定点；
（ⅱ） 若直线 ， 交于点 ， 直线 ， 交于点 ， 求 的最小值.
25级创新班5月质量检测·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1.A因为直线 的倾斜角为 ，所以 。故选A。
2.B由题知点 在坐标平面 内的射影的坐标为 ，则 。故选B。
3.D由题意得 ，解得 。故选D。
4.C若方程 表示椭圆，则 解得 且 。故选C。
5.B由题知 ，，所以 ，。由双曲线的定义，知 ，解得 或 。又 ，所以 舍去，所以 。故选B。
6.D由 ，得 。又点 ，，， 四点共面，所以 ，解得 。故选D。
7.B易知点 ， 关于 轴对称，令 ，，，，，。 ，，。故选B。
8.A由题可知 ，所以点 同时也在以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆上，其椭圆方程为 （）。联立 即 即 两式相加可得 ，则 ，当 时， 的最小值为4，即 的最小值为2。故选A。
9.AB设直线 的方程为 ，则 ， 间的距离 ，解得 ，或 ，所以直线 的方程为 或 。故选AB。
10.ABD圆 可化为 ，圆 和圆 的方程作差可得 的方程为 ，A正确；圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，B正确；由题知 ，，所以四边形 的面积为 ，C错误；由 ，，得圆 与圆 和圆 都相切，D正确。故选ABD。
11.ABD如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.设点的坐标为，其中，则，所以长度的最大值为，A正确；由，，，平面，得解得所以点的坐标为.因为，所以点为的一个三等分点，B正确；如图，延长分别与，相交于点，，连接，分别与，相交于点，，连接，，则五边形是平面截正方体所得的截面.由，，得，所以，.又，，，所以五边形的周长为，C错误；由平面的一个法向量为，.设直线与平面所成的角为，则，（当且仅当时取等号），D正确.故选ABD.
12. 点关于轴对称的点的坐标为.
13.13因为，在直线上，所以，.由已知，得，所以.
14. 连接，，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，其方程为，与两边分别作差，得，即直线的方程为.
15. 解：（1）由直线的斜率为，得线段的中垂线的斜率为， 2分
又过圆心，则的方程为， 4分
所以线段的中垂线方程为. 6分
（2）由题意可得直线的方程为， 8分
圆心到直线的距离为：， 11分
所以. 13分
16.（1）解：由题意可得 2分
解得 5分
所以的方程为. 7分
（2）证明：设，，
因为点在双曲线上，所以，即， 10分
所以，为定值. 15分
17.（1）解：由题知，，. 2分
因为， 3分
所以
. 6分
因为， 7分
所以
，
所以，. 10分
(2)证明：由题知， 11分
所以
，
所以. 15分
18.（1）证明：如图，连接，交于点，连接， 1分
因为是的中点，所以.
又，所以， 2分
因为平面，平面，所以平面.
同理平面. 3分
因为，，平面，所以平面平面.
因为平面，所以平面. 4分
（2）解：以为坐标原点，过点在底面作的垂线为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，， 5分
因为，所以，所以，，，
设平面的法向量为，则 取，得，，所以平面
的一个法向量， 7分
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为. 9分
（3）解：设点的坐标为（），由，得.
设平面的法向量为，则，，
取，得，，
所以平面的一个法向量， 11分
设平面的法向量为，则，，
取，得，，所以平面的一个法向量。 13分
则
， 15分
又，所以，故，当且仅当，时，，
所以的最大值为。 17分
19.（1） 解：根据椭圆的对称性知，仅当，分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形，
由，，得，， 4分
所以椭圆的方程为。 4分
（2）（ⅰ） 证明：依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，
由消去整理得，
则， ，
而，，则，， 7分
因此
，
解得，
所以直线：恒过定点。 10分
（ⅱ） 解：由（ⅰ）知，，，得，
直线的方程为，直线的方程为， 12分
则，
即，解得，
即可得点有，，
同理可得点有，， 14分
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为。 17分