河南青桐鸣高一数学2026年5月阶段检测试卷（含答案）

高一数学（人教A卷）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知，，且，则
A. B.
C. D.
2. 已知为虚数单位，则
A. B.
C. D.
3. 为了解某校学生每天课外运动时长，按年级采用比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三中共抽取130名学生进行调查，已知该校高一有1500名学生，高二有1200名学生，高三有1200名学生，则高一、高二共抽取
A.40名学生 B.50名学生 C.80名学生 D.90名学生
4. 在中，为边上的中线上一点，且，若，则
A. B.
C. D.
5. 已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是
A. 若，则，共面
B. 若，则与有公共点
C. 若与无公共点，且，则
D. 若存在平面，使得，，，则
6. 在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 如图，在直三棱柱 中，，，，， 分别为 ， 的中点，过点 作与 垂直的平面 ，且平面 与该三棱柱的侧面 的交线为线段 ，则
A.3 B.
C. D.2
8. 已知 ， 是两个暗礁群，将其视为质点，相距 km。为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道 （视为直线）上选取 ， 点建两座灯塔，其中 选取在距 比距 近的地方，且在灯塔 处测得 在它的南偏东 方向，测得 在它的南偏东 方向。从灯塔 沿航道 向正东行驶 km可到灯塔 ，在灯塔 处测得 在它的南偏西 方向，则在 处测得 在它的
A. 南偏西 方向
B. 南偏西 方向
C. 南偏西 方向
D. 南偏西 方向
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知一组从小到大排列的数据 ，，，，，，， 的上四分位数为6，则
A.
B. 该组数据的众数为4和5
C. 剔除该组数据中的 后，剩下数据的平均数变小
D. 剔除该组数据中的 后，剩下数据的方差变大
10. 已知复数 ， 满足 ，其中 为虚数单位，则
A. B.
C. D.
11. 如图，梯形 为圆台的轴截面，已知 ，，且梯形 的面积为 ，则
A. 圆台的母线长为3
B. 圆台的体积为
C. 已知点 为 上靠近点 的三等分点，则沿着圆台表面从 到 的最短路径的长度为
D. 在该圆台内能放入一个可以绕正方体中心自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体棱长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知（，为虚数单位），则 。
13. 已知用斜二测画法作出的直观图如图所示，，轴，，且的面积为，则的边上的高为 。
14. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，当时，的最小值为，则 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知复数满足为实数，为纯虚数，为虚数单位。
（1）求；
（2）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围。
16.（15分）
2026年春晚节目中机器人完美展示了中国武术，激发了同学们对人工智能的强烈兴趣。某校组织开展人工智能知识竞赛（满分100分），随机抽取了30名男生的成绩和30名女生的成绩，得到如下统计表：
竞赛成绩/分
男生人数/人 5 10 10 5
女生人数/人 6 9 9 6
（1）分别估计该校男生成绩的平均分与女生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）定义波动参数，其中表示区间的个数，表示第个区间中学生的成绩，取该区间的中点值为代表，表示学生成绩在第个区间的人数，表示样本的平均值，。参数越小，表示学生成绩的波动性越小。请通过计算，比较男生、女生成绩的波动性。
17.(15分)
如图，在棱长为2的正方体 中， 为侧面 的中心.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的大小；
（3）求三棱锥 的外接球的表面积.
18.(17分)
设 的内角 ，， 的对边分别为 ，，， 已知 .
（1）证明： ；
（2）若 ，， 求 的面积；
（3）若 为锐角三角形， 且 ， 求 的周长的取值范围.
9.(17分)
如图，在梯形 中， ，，， 为 的中点， 将 沿 翻折至 的位置， 使点 落在点 的位置， 且 ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明：平面 平面 .
（2）若线段 上存在点 ， 使得平面 平面 ，
（Ⅰ）猜想 的值， 并说明理由；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
高一数学（人教A卷） 参考答案
1.B 因为，所以，解得。
故选B。
2.A 因为，所以。
故选A。
3.D 设高一、高二共抽取名学生，
由比例分配的分层随机抽样可知，
，
解得。
则高一、高二共抽取90名学生。
故选D。
4.C
，
则，，解得。
故选C。
5.D 当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；
当，时，因为，所以，所以与没有公共点，B错误；
若与无公共点，则，如图，显然满足，但与不垂直，C错误；
因为存在平面，使得，，所以，因为，所以，又，则，所以，D正确。
故选D。
6.A 以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，当且时，过作轴于点，则，所以（当或时也成立），
则，，，所以，当时，取得最小值；当或时，取得最大值。
故的取值范围为。
故选A。
7.B 如图，作，为垂足，则平面，连接，过作，交于点，易知，且，所以平面，又平面，则，
易知，，又，且，，所以，则，即，所以。
连接，过作，交于，因为，所以，则平面，所以，又，所以平面，则，
连接，则平面就是平面。
由，得，
则，所以，
所以。
故选B。
8.C 根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则，由正弦定理得，所以。
在中，，由余弦定理得，
即，
整理得，
解得或，
因为，所以。
在中，，则，
因为，所以，则，所以在处测得在它的南偏西方向上。
故选C。
9.ABD 因为，所以数据，，，，，，，的上四分位数为第个数据与第个数据的平均数，所以，解得，A正确；
该组数据的众数为和，B正确；
数据，，，，，，，的平均数为，
易知剔除该组数据中的后，剩下数据的平均数不变，C错误；
数据，，，，，，，，剔除该组数据中的后，根据方差公式可知，剩下数据的方差变大，D正确。
故选ABD。
10.BCD 设，则，所以，则与不一定相等，A错误；
因为，，所以，B正确；
，C正确；
，所以，D正确。
故选BCD。
11.ACD 过作于，由，解得，
所以，A正确；
由上可知，该圆台的高为，所以该圆台的体积为，B错误；
设，分别为圆台的上、下底面的圆心，将圆台补成圆锥，则，即，
所以 ，
圆锥 的展开图如图，
过点 作 于点 ，易知 ，，则所求的最短距离为 ， 正确；
圆台补成的圆锥的轴截面是一个边长为 的正三角形，且该正三角形的内切圆的半径为 ，因为 ，所以该圆台内能放入的最大球的半径为 ，设正方体棱长的最大值为 ，则 ，所以 ， 正确。
故选 。
12. ，则 解得 所以 。
13. 过 作 轴，垂足为 ，过 作 轴，交 轴于点 ，
易知 为等腰直角三角形，由 ，得 ，所以 ，
故 的边 上的高为 。
14. 由 ，得 ，整理得 ，
因为 在 上的投影向量为 ，
所以 ，整理得 ，
因此 ，
所以 ，，
则 ， 的夹角为 。
设 ，，如图所示，
则 ，显然当且仅当 ，即点 与点 重合时， 取得最小值 ，所以 ，则 ，故 。
15. 解：（1） 设 ，
因为 为实数，
所以 ，解得 。
因为 为纯虚数，所以 ，解得 ，
故 。
（2） 由（1）可知，。
，
由题意可知，
解得 ，
故实数 的取值范围为 。
16. 解：（1） ，
所以该校男生成绩的平均分的估计值为80； （3分）
， （5分）
所以该校女生成绩平均分的估计值为80. （6分）
（2）男生成绩的波动参数为
， （10分）
女生成绩的波动参数为
， （14分）
因为，所以男生成绩的波动性比女生成绩的波动性小. （15分）
17. 解：（1）证明：连接，与交于点，连接，
因为为侧面的中心，所以为的中点， （1分）
连接，因为，，且，，
所以，且，
则四边形为平行四边形， （2分）
因为为的中点，易知， （3分）
又平面，平面，
故平面. （4分）
（2）连接，则，则， （5分）
易知四边形为平行四边形，
在正方体中，平面，
又平面，所以， （6分）
因为，故平面，
即平面，
所以为直线与平面所成的角， （7分）
在中，易求，
，所以， （8分）
则，
故直线与平面所成角的大小为. （9分）
（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
因为的外接圆的圆心为，所以平面， （10分）
由（1）可知，，平面，
所以平面，因此球心在线段上， （11分）
易求，，由， （13分）
解得， （14分）
故三棱锥的外接球的表面积为. （15分）
18. 解：（1）证明：由，得， （1分）
由余弦定理，得，
所以， （2分）
因为，所以， （3分）
又，
所以或， （4分）
因为，所以，
所以. （5分）
（2）由，得， （6分）
由正弦定理与余弦定理，得， （7分）
又，，所以，
整理得，
解得，（8分）
则，
所以，（9分）
故的面积为。（10分）
（3）由题意可知，即
解得，（12分）
由正弦定理得，则，（13分）
所以，，（14分）
则，
所以的周长的取值范围为。（17分）
19. 解：（1） 证明：在梯形中，，，，为的中点，
所以，且，
则四边形为菱形，所以，（1分）
则，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以。（2分）
易得，，
又，则，
所以，（3分）
因为，，平面，
所以平面，（4分）
又平面，故平面平面。（5分）
（2）（Ⅰ）。（6分）
理由如下：
连接，与，分别交于点，，连接，。
因为，分别为，的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，（7分）
因为为的中点，所以为的中位线，所以，则，（8分）
又，所以，
又平面，平面，
所以平面。
又，，平面，
所以平面平面，
综上可知，。（10分）
（Ⅱ） 由（2）（Ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点。
由（1）可知，，，且，，平面，所以平面，（11分）
又，所以平面，
又平面，则，
所以 ，则 。（12分）
在中，，，则 ，
又 ，所以 。
过作于点，
由等面积法可知，。（13分）
在中，，，则边上的高为
，（14分）
设点到平面的距离为，
则
（15分）
所以，
解得，（16分）
设二面角的大小为，
则。
故二面角的正弦值为（17分）