湖北武汉高三数学2026年5月临门押题实战演练试卷（含答案）

临门押题实战演练 数学（二）
（120分钟150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知集合 ， ， 若 ， 则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ， 则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数据 ，，，， 的平均数为 ， 方差为 ， 数据 ，，，，， 的平均数为 ， 方差为 ， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 ， 则 “” 是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数， 且在 上单调递增， 若 ， 则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知圆台的母线与底面所成的角为 ， 其内切球的体积为 ， 则该圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、， 过点 作倾斜角为 的直线与双曲线 的右支交于点 ， 线段 的中点 在以 为直径的圆上， 则该双曲线 的离心率为（ ）
A.2 B.
C. D.
8. 已知 ， 曲线 与 相邻的三个交点构成一个内角为 的三角形， 则 （ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9已知 ，，，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为1
B. 的最小值为2
C. 的最大值为
D. 的最小值为2
10. 在 中，角 、、 的对边分别为 、、，且满足 ， 外接圆的直径为1，若 ，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在正四棱柱 中，，点 是侧面 上的一个动点（含边界），且 ，、 分别是棱 、 上一点，满足 ，，下列说法正确的是（ ）
A. 平面 截该正四棱柱所得的截面的周长为
B. 侧面 上存在点 ，使得 平面
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12. 若定义在 上的增函数 满足 ，请写出一个满足条件的函数 。
13. 北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕。本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成 、、 三组比赛。现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到 、、 三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去 组，则组委会一共有 种安排方法。
14. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示. 记较小的锐角为α，大正方形ABCD的边长为a，小正方形EFGH的边长为b，点P是GC的中点，若，，则 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有.
（1） 求数列和的通项公式；
（2） 记数列的前n项和为，求满足的最大正整数n.
16.（本小题满分15分）
某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语. 记第i次猜中得分（，，），若三次均未猜中则得分为0分. 已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数X的均值为.
（1） 求乙猜2次的概率；
（2） 记乙猜谜语的次数的均值为，若，求p的取值范围；
（3） 已知，且甲最终的得分为Y，若，则认定甲是猜谜语高手. 请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，平面，、分别是、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为：
（ⅰ）求的长；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的焦距为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，点满足：
（ⅰ）若，且，求直线的方程；
（ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，曲线在处的切线在轴上的截距为，求的最小值；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：函数在上有两个极值点，
数学（二）
1.B因为，所以，所以，则，因为，所以，则，因为，所以，所以，故选B.
2.A因为，所以，所以，则在复平面内对应的点为，故选A.
3.D因为，所以，，因为，所以，即，故选D.
4.A因为，所以，所以，即成立；反之，若，则，所以，解得或，所以推不出，故选A.
5.C因为函数是定义在上的偶函数，且，又函数在上单调递增，所以等价于，解得，故选C.
6.C作出圆台的轴截面，如图，设圆台的上底面的圆心为，半径为，下底面的圆心为，半径为，高为，内切球的球心为，半径为。由内切球的体积为，可得，解得，所以圆台的高，因为，所以在中，，，所以，同理求得，所以圆台的体积，故选C.
7.D依题意，如图，因为是的中点，是的中点，所以是的中位线，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选D.
8.B设三个相邻的交点分别为，，，不妨设，由，得，整理得，所以，所以，不妨令，，，得，，，则，，，所以，
， ， 所以 ， ， ， 所以 . 因为 是一个内角为 的三角形， 所以 是等边三角形， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因为 ， 所以 ， 故选B.
9.BD对于A， 因为 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 ， 时， 等号成立， 此时是最小值不是最大值， 故A不正确； 对于B， ， 当且仅当 ， 即 ， 时， 等号成立， 故B正确； 对于C， 因为 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 ， 时， 等号成立， 故C不正确； 对于D， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 令 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 ， 所以 ， 时， 等号成立. 故D正确； 故选BD.
10.ABD对于A， 因为 外接圆的直径为1， 所以由正弦定理 得 ， ， ， 因为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 故A正确； 对于B， 因为 ， 又 ， 所以 ， 解得 ， 故B正确； 对于C， 由A知 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又由 得 ， 所以 ， 所以 ， 故C不正确； 对于D， 因为 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故D正确. 故选ABD.
11.ACD对于A， 如图1， 取 的中点 ， 连接 ， 过点 作 ， 交 于点 ， 连接 ， 则四边形 为平面 截该正四棱柱所得的截面， 因为四棱柱 是正四棱柱， 所以四边形 为平行四边形， 因为 ， ， ， 所以 ， ，
故D正确；故选BD。
10.ABD对于A，因为外接圆的直径为1，所以由正弦定理 ，所以 ，，所以平行四边形ENFD 的周长为 ，故A正确；对于B，以 为正交基底，建立如图2所示的空间直角坐标系，则 ，，，，，，所以 ，，，，，因为 ，所以 ，所以 ，若 平面 ，则 ，所以 ，解得 ，此时 与 矛盾，所以平面 上不存在点 ，使得 平面 ，故B不正确；对于C，因为 ，所以 ，， 三点共线，当 时， 取得最小值，在 中，，，所以 ，所以 ，所以在 中，，故C正确；对于D，当 时，，由B知 ，所以 ，化简得 ，令 ，，其中 ，所以 ，其中 ，，当 时， 取得最大值为 ，此时 ，所以 ，，满足题意，故D正确，故选ACD。
柱 是正四棱柱，所以四边形 为平行四边形，因为 ，，，，所以 ，，。
12. （答案不唯一，可以是 ） 根据 是定义在 上的增函数，再结合题意，可以令 ，则 ，满足题意。
13.24因为4名志愿者去三个组，每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，则出现1，1，2分组情形，因为甲不去A组，则有两种情形，情形1：甲单独一组，则有 种安排方法，情形2：甲与乙、丙、丁中的一人组成一组，则有 种安排方法，所以组委会一共有24种安排方法，故答案为24。
14.5在 中，，，所以 ，，因为 ，，所以 （*），两边平方得 ，即 ，因为 是锐角，所以 ，，所以 （**），将（*）式与（**）式联立解得 ，，所以 ，，因为点 是 的中点，所以 ，因为 ，所以 。
15.（1） 因为 。
所以，所
以，
当时，，
两项相除得，
当时，，所以，满足
式，
综上所述，
所以，，
设数列的公差为，由，
得，
解得或，因为，所以
，
所以；…
…………………………………… 6分
（2）由（1）知
，所以
单调递增，
因为
①，
②，
① - ②得
，
所以，
因为，
，所以，
故满足的最大正整数为8. …
…………………………………… 13分
16.（1）记“乙猜2次”为事件，则
，
所以乙猜2次的概率为；…………… 4分
（2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3，
1 2 3
所以
，
因为乙每次猜中的概率为，所以
，
因为，所以，
解得或，
因为，所以；……… 9分
（3）因为，则由（2）知
，解得或，
因为，所以，
甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，
3，
，
，
，
，
所以
，
所以，所以有理由认定甲是
猜谜高手. ……………………… 15分
17.（1）在平面中，、分别是、
的中点，
所以，因为平面，
平面，所以平面，
因为四边形是直角梯形，且
，所以，
又，是的中点，所以
，，
所以四边形是矩形，所以，
因为平面，平面，所
以平面，
因为，平面，
平面，
所以平面平面；………… 5分
（2）（ⅰ）连接，，
由（1）同理可证四边形是平行四边
形，所以，
因为四边形是矩形，，所以
四边形是正方形，
所以，所以，
又 平面 ， 平面 ，所
以 ，
因为 ，
平面 ，
平面 ，
所以 平面
，所以 是
二面角
的平面角，即
，
所以 ，因为四边形 是正方
形，且 ，所以 ，
所以 ；
10分
（）以
为正交基底建
立如图所示的空间
直角坐标系，
则 ，
，
，，．
所以 ，，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以 ，取 ，则 ，
，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值
为 ． 15分
18.（1） 因为椭圆 的焦距为 ，所以
，所以 ，
所以 ，
由椭圆 过点 ，所以 ，所
以 ，
化简得 ，解得 或
1（舍去），所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
4分
（2） 设 ，，，
，得 ，
即 ，
所以
，所以 ，
且 ，，
所以
．
（）因为 ，，所以
，
又 ，所以
，
化简得 ，解得 或
（舍去），所以 ，
所以直线 的方程为 或
； 10分
（）因为
，
又原点 到直线 的距离为 ，
由 知四边形 是平行
四边形，
所以面积
．
因为点 在椭圆 上，所
以 ，
解得 ，
所以
，
（1）依题意 ，所以 ，又 ，
所以曲线 在 处的切线方
程为 。
令 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 恒成立，所以
在 上单调递减，
所以 ；…… 4分
（2）因为 ，所以 ，
即 对 恒成
立，
变形得 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ，则
等价于 对 恒
成立，因为 ，所以当
时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， 等价于
，即 在 上恒成立，
令 ，则
在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，所
以 ，所以 。
所以实数 的取值范围是 ；……
…… ………… ………… ………… 10分
（3）当 时，
，
则 ，
令 ，则 。
令 ，则
在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，当
时，，
即 有且仅有一个零点，设为 ，则
，且 ，
故当 时，；当 时，
；
则 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，而 ，故 ，，
，而 ，，，
又当 时，，，故 ，
当 时，，， 变化的幅度远大于 变化的幅
度，故 ，
则 的大致图象如图所示：
即 有两个变号零点，所以函数 在
上有两个极值点. ………… 17分