湖南多校高三数学2026年5月仿真演练试卷（含答案）

高 三 数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
A. B.
C. D.
2. 若集合，则的子集个数为
A. B.
C. D.
3. 若，则
A. B.
C. D.
4. 直线与圆的位置关系是
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定的
5. 如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏. 已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为，则该椭圆的短轴长约为（取）
A. B.
C. D.
6. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则
A. B.
C. D.
7. 已知正方体的棱长为，为棱上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为
A. B.
C. D.
8. 诗句“花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄. 现将该诗句中的个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数的图象关于直线对称的有
A. B.
C. D.
10. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则
A.
B. 的渐近线方程为
C.
D. 当时，
11. 已知函数，则
A. 是奇函数
B. 可能是的极值点
C. 可能有个极值点
D. 当在上有极大值时，的取值范围为
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分.
12. 若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为 .
13. 如图，点，均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为 .
14. 某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得张卡片，每集齐张卡片可升颗星，每次通关结果相互独立. 若小张连续通关次，则他升星颗数的期望为 .
四、解答题：本题共小题，共分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份序号 1 2 3 4 5
运营里程 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0
（1） 求关于的经验回归方程；
（2） 预测2026年我国高铁的运营里程.
附：在经验回归方程中，
，.
16.(15分)
已知抛物线 的焦点为 ，且 关于 的准线的对称点为 。
（1） 求 的方程；
（2） 过点 的直线 与 交于 ， 两点，， 在 轴上的投影分别为 ，，且梯形 的中位线的长度为9，求 的方程。
17.(15分)
已知函数 ，。
（1） 证明：。
（2） 讨论 的单调性。
（3） 若 ，求 的取值集合。
18.(17分)
在△ABC中， ，，D，E分别为AC，AB的中点。将沿线段DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，取BC的中点F，连接PF。
(1) 证明：。
(2) 如图1，当平面平面BCDE时，求二面角的大小。
(3) 如图2，设二面角的大小为θ，在折叠过程中，即θ在(0， π)上变化时，求的重心G在空间中的运动轨迹的长度。
19.(17分)
已知是定义在（0， +∞）上的函数f（x）的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为f（x）的衍生数列。
（1） 若，，判断是否是f（x）的衍生数列，并说明理由。
（2） 若为的衍生数列，证明：。
（3） 若为的衍生数列，证明：。
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A B D A B C B D ABD ACD AC -3
15.解：（1）由题意得 ， 2分
， 4分
则
， 6分
. 8分
故 关于 的经验回归方程为 . 9分
（2）当 时，. 11分
故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里. 13分
16.解：（1）由题意得， ………………………………………………………………………… 1分
的准线方程为， ………………………………………………………………………… 2分
则， ………………………………………………………………………… 4分
得. ……………………………………………………………………………………………… 5分
故的方程为. ………………………………………………………………………… 6分
（2）易得的斜率存在，设，，. ……………………………… 7分
由得， …………………………………………………… 8分
得 ………………………………………………………………………… 10分
由题意得. ………………………………………………………………………… 11分
因为， ………
…………………………………………………………………………………………………… 13分
所以. ……………………………………………………………………………………………… 14分
故的方程为或. …………………………………………………… 15分
17. （1）证明：的定义域为，. ………………………………………… 1分
令，得，则在上单调递增， ………………………………………… 2分
令，得，则在上单调递减， ………………………………………… 3分
所以.故. ……………………………………………………………… 4分
（2）解：由，得. …………………………………………………… 5分
当时，，在上单调递减. …………………………………………………… 7分
当时，令，得，则在上单调递减， …… 8分
令，得，则在上单调递增. …………………… 9分
（3）解：当时，在上单调递减，当时，，不符合题意. ……
…………………………………………………………………………………………………… 11分
当时，. 12分
由（1）可知，当且仅当时，等号成立.
因为，，所以， 14分
所以，得.故的取值集合为. 15分
18.（1）证明：如图1，取的中点，连接，. 1分
，，分别为，的中点，
,. 2分
,平面. 3分
平面,. 4分
(2)解:,,, 5分
二面角的平面角为. 6分
，平面平面，平面平面，
平面, 7分
.易得，，即二面角为. 9分
（3）解：如图2，取的中点，连接，.
由（1）可知，，则. 10分
以为原点，建立空间直角坐标系，则，
,. 11分
设.
由重心性质可得，，. 13分
为定值，重心在固定平面内运动. 14分
由，，得， 15分
点 在圆心为 , 半径 的圆上.（3）证明：. 由，得. … 10分
令，得，.
将两边平方，得，得. ……… 11分
当时，，得.
又，所以. …………………………………………………… 12分
. ……………………………………………………………… 13分
当时，，
得. ……………………………………………………………… 14分
当时，，
则. ………………………………………………………………………… 15分
要证，只需证，
即证，即证，这显然恒成立，则.
………………………………………………………………………………… 16分
综上，. ………………………………………………………………………… 17分