重庆八中高一数学2026年5月学科训练5试卷（含答案）

重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练5
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数，则
A. B.
C.3 D.5
2. 已知，，表示不同的点，表示直线，，表示不同的平面，则下列推理错误的是
A. ，，，
B. ，，，
C. ，与重合
D. ，，
3. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则
A. B.
C.2 D.
4. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为
A. B.
C. D.
5. 若是正方体的面上的动点，则下列结论不可能成立的是
A. B.
C. D.
6. 如图，将六个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，，是原来小正方形的两个顶点，是小正方形的其余顶点，的所有不同的数值有
A.10个 B.7个 C.5个 D.3个
7. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为线段的中点，为上一点，当平面时，
A. B.
C. D.
8. 已知斜二测画法下的直观图是面积为的正三角形（如图所示），则顶点对应的点到轴的距离是
A. B
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若空间中三条两两不同的直线，，，满足，，，则
A. 三条直线可以两两相交 B. 三条直线可以两两异面
C. 三条直线中必有两条直线平行 D. 三条直线必定不共面
10. 已知圆半径为，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是
A.
B. 的最大值为
C.
D. 满足的点仅有一个
11. 在中，已知，，则
A.
B.
C.
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若一个半径为的球与一个高为的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为 。
13. 已知复数满足，且，则的最小值是 。
14. 已知在底面边长为，高为的正三棱柱内有一个半径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在直三棱柱中，点，分别是边，的中点，且，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面．
16．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若，求；
（2）若，求的面积．
17．如图，是的直径.与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于，），为线段的中点，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求直线与直线所成角的余弦值．
18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，
（1）求；
（2）若的面积为。
①求的周长；
②如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围。
19. 如图，已知四边形是矩形，平面，上的点，满足。
（1）若，求证：直线平面；
（2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；
（3）若，求直线与直线所成最大角的余弦值。
，.
且，M、N是线段PB、DC
重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练5参考答案
1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D
7.A连接交于点，连接，显然平面平面，又平面，平面，则，即。
由为平行四边形，且为线段的中点，易知，所以。故选：A
8.D过点作轴交轴于点，如下图所示：
设正三角形的边长为，则，解得，
在中，，，
，
由正弦定理，即，
可得，因此，顶点对应的点到轴的距离是。
9.ABD
10.AB对于A，圆半径为，弦，故为等边三角形，
所以，A正确；
对于B，过点作，交圆于点，过点作，并交的延长线于点，连接，取中点，连接，因为，且，
所以是平行四边形，又，所以是菱形，
由投影向量可知，当，两点重合时，取得最大值，此时，所以的最大值，B正确；
对于C，因为是菱形，，
因为，，所以当与平行且方向相同时，取最大值为，当与平行且方向相反时，取最小值为，所以，C错误；对于D，因为点为圆上任意一点，故当，重合时，，又当时，满足，故满足的点有个，D错误。
11.ACD由辅助角公式得，其中，
则的最大值为，当且仅当时取得最大值，
同时的最大值也为，因为，所以，
由，结合，，解得，，且，
由，得，且，解得，由，则，
所以，即，则，又，则，
故错误；，则，可得，则，
又，且，所以，故正确；，由及
正弦定理得，，，即，，所以，故正
确；的面积，故正确.
12. 设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为.由题
，故，即故（负根舍去），
所以.
13.设，，由题意可知
，则，又，由复数的
几何意义知在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标
轴上运动，如图所示即在线段，上运动，
设，则，由图象可知，所以.
14. 由题意，正三棱柱的高为4，小球的半径为1，
当小球与上底面相切时，球心到上底面的距离为1，当小球与下底面相切时，球心
到下底面的距离为1，所以在上下方向上，球心的轨迹在距离上下底面各为1的位
置，即在高为的范围内.正三棱柱底面是边长为的正三角形，当小
球与侧面相切时，球心到侧面的距离为1，
相当于在正三角形的内切圆基础上，向正三角形的中心方向移动了1个单位，如图，
而，，在正三角形中，可得，
又为正三角形的中心，所以，所以，又，所以，
所以，所以，这样，球心的轨迹在底面形成的图形是一个边长
为，高为2的正三棱柱.因此，该几何体的体积为.
15.（1）直三棱柱中，，点，分别是边，的中点，
，即四边形为平行四边形，从而，而平面，平
面，故平面，连接，，，
，四边形为平行四边形. 从而，而平面，平面
，故平面. 又平面，平面，，，
平面，所以平面平面.
（2）为中点，，，直三棱柱中平面，平
面，，，，平面平面，
平面，，又在矩形中，，，
，，，所以
，，又，，，平面，
平面．
16.（1）因为，，，所以由正弦定理得：，
因为，所以或．所以当时，，符合题意；所以当时，，符合题意．
（2）在中，因为，所以
，把，，代入得
，又因为，
所以，，所以，
所以，所以的面积为．
17.（1）因为平面，平面，所以，因为是的
直径，所以，又，且，平面，所以平面．
又因为平面，所以．因为，且，，平面，
所以平面，因为平面，所以．故．
（2）因为，所以在等腰直角三角形中，，得．
又在直角三角形中，，得．因为为等腰直角三角形，为的中点，
且，得，所以，取的中点为，连接，则，且，
所以为异面直线与所成的角或其补角，在中，，，所以
，在中，，，，所以
，故直线与直线所成角的余弦值为．
18.（1）由正弦定理可得：．
在中，，所以，
因为在中，，所以，所以，所以，
因为，所以；
（2）①因为，所以，因为，所以
，又，所以，所以周长为；
②由，得，代入，可得：，
解得：或，所以或，如图可知：，
所以，故，，由正弦定理可得：，
所以，，设，其中，
则，，在中，由正弦定理可得，
所以，在中，由正弦定理可得，
所以，所以，
因为，则，所以。
19.（1）取的中点，连接，，因为，所以是线段上的中点，
因此，，因为是矩形，是线段上的中点，
所以，，因此有，，所以四边形是平行四边形，所以
有，而平面，平面，所以直线平面；
（2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，
因为四边形是矩形，所以，即，，而，，平面
，所以平面，因为是矩形，所以，因为平面，平
面，所以，而，，平面，所以平面，因此，
显然不可能，所以假设不成立，因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线；
（3）当时，由（2）可知：，所以是直线与直线所成角，设，
由（2）可知，所以，，在中，由余弦定理可知：
，
令，所以，
于是有，当时，
有最小值，最小值为，此时有最大值.则直线与
直线所成最大角的余弦值为。