湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-06-05 00:00:00 | ||
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文档简介
湖北十堰市郧阳中学、恩施土家族苗族自治州高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是（）
A. 命题“”的否定是“”.
B. 存在整数，使得.
C. 存在一个无理数，它的立方是有理数.
D. 至少有一个整数，使得为奇数.
4.设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（ ）
A. －2 B. C. D. 2
5.在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正，点与原点重合，边与轴重合，则用斜二测画法画出的的直观图的周长为（）
A. B. C. D.
6.若满足，则下列结论正确的有（ ）① ② ③ ④
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
7.如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则或．
B. 若，，，则．
C. 若，，，则．
D. 若，为异面直线，，，则．
10.已知复数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则．
B. 在复平面内对应的点为，且满足，则．
C. 若，则．
D. 若，则．
11.某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）
A.
B. 当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒．
C. 记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称．
D. 当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则的虚部是 ．
13.已知平面向量，，．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则 ，投影向量坐标为
14.如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球.将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切.点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设实数，复数.
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.
16.(本小题15分)
如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面经过点、、三点，且与棱交于点，请作图画出在棱上的位置，并求出的值.
17.(本小题15分)
函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和.
（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）求方程在内所有解的和.
18.(本小题17分)
已知函数，其中.
（1）若，求方程的解；
（2）若，对，均有，求的取值范围；
（3）若，对，均有，证明：恒成立，并求出等号成立时的值.
19.(本小题17分)
已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，求；
(2)若不是直角三角形．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过点作直线分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】 /
13.【答案】 ； ； ； ； ； ；
14.【答案】
15.【答案】解：(1) ∵ z为纯虚数，
∴，
解得；
(2) 当时，代入得，
将代入方程得，
整理得，
则，
解得，则.
16.【答案】解：(1) 取PD的中点M，连接FM、CM，
∵F为AP中点，M为PD中点，
∴FM为△APD的中位线，且.
∵，∴且，
又E为BC上靠近C的三等分点，
∴，且，
故且，四边形FMCE为平行四边形，
∴.
∵平面PDC，平面PDC，
故平面PDC.
(2) 延长EG交BA的延长线于点K，连接FK，
KF的延长线与PB的交点即为H.
∵且，
∴四边形ABED为平行四边形，.
∵G为AD中点，∴，且，
故△KAG∽△KBE，相似比为，
得，即，A为线段KB的中点.
过A作，交FK于点N，
∵F为AP中点，∴.
又，，
故△AFN≌△PFH，得.
∵，故△KAN∽△KBH，
相似比为，得，
结合，故.
17.【答案】解：（1）由函数最值可得，解得，，
相邻最高点与最低点的水平距离为，
即，得周期，
由得，
故.
将点代入得，
即，
∴，解得.
又，取得，
故.
令，
解得，
即的单调递减区间为.
（2）分类讨论去绝对值：
①当时，，
代入方程得，解得，
与矛盾，此情况无解；
②当时，，
代入方程得，解得，符合条件,
故原方程等价于，
即，化简得，
解得，即.
结合，
当时，；
当时，，
或时不满足，
故所有解的和为.
18.【答案】解：先化简得，真数恒大于0。
(1) 当时，，
∵为增函数，∴真数等于2，设，则，整
理得，解得或，
由舍去负根，即，解得，检验得真数大于0，符合要求。
(2) 当时，由得，
∵为增函数，
∴，设，则对恒成立，即对恒成立。由基本不等式，时，当且仅当时取等号，
故的最大值为，因此。
(3) 当时，由，
∵为增函数，∴，
设，则对恒成立。
令，代入得，故，结论得证。
当等号成立时，即，
代入不等式得对恒成立，即对恒成立。
由基本不等式，时，当且仅当时取等号，故最小值，
整理得，由平方数非负性得，解得，即。
19.【答案】解：（1）通过移项可得，
利用二倍角公式得到，
当时等式成立，；
当时，，整理得，解得
综上，或；
（2）由（1）可知，，可得，
由正弦定理得
易得，设，则．
又函数在区间上单调递减，区间上单调递增，
所以当时原式取得最小值为；当和1，原式取得最大值均为1．
综上，．
（II）由可得，，则
，易证与相似，解得．
设，由勾股定理可得，解得．
由正弦定理得，
解得，
因此有，根据内切圆半径公式，得
，则．
另解：如图所示，容易算出，
过点作，于是四边形为矩形，三角形为等腰三角形．
设，在中，，结合，
可算出．一方面，，
代入，即得；
另一方面，．
从而．
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一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是（）
A. 命题“”的否定是“”.
B. 存在整数，使得.
C. 存在一个无理数，它的立方是有理数.
D. 至少有一个整数，使得为奇数.
4.设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（ ）
A. －2 B. C. D. 2
5.在平面直角坐标系中，放置一个边长为4的正，点与原点重合，边与轴重合，则用斜二测画法画出的的直观图的周长为（）
A. B. C. D.
6.若满足，则下列结论正确的有（ ）① ② ③ ④
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
7.如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则或．
B. 若，，，则．
C. 若，，，则．
D. 若，为异面直线，，，则．
10.已知复数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则．
B. 在复平面内对应的点为，且满足，则．
C. 若，则．
D. 若，则．
11.某摩天轮半径为18米，圆心离地面高度为20米．当时，游客从最低点进舱，此时座舱和座舱与点等高．摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈用时36秒．设表示秒时游客距离地面的高度（高度：米），已知，其中，下列说法正确的是（）
A.
B. 当时，则游客距离地面高度不低于29米的时长为12秒．
C. 记摩天轮转动一圈过程中游客距离地面的高度不低于米的时长为，则函数的图象关于对称．
D. 当时，摩天轮逆时针匀速转动过程中座舱的游客和座舱的游客距离地面的高度分别为和，满足的时长为18秒．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则的虚部是 ．
13.已知平面向量，，．若在上的投影向量与在上的投影向量相等，则 ，投影向量坐标为
14.如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球.将石球看作一个标准球体，石狮子张开的嘴内部形状看作下底边长为24，上底边长为14，高为12的正四棱台，若石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切.点为石球球面上一点，则石球在此棱台内部任意运动时，点所形成的轨迹图形的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设实数，复数.
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.
16.(本小题15分)
如图，在空间几何体中，底面满足，点为线段上靠近点的三等分点，点、为线段、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面经过点、、三点，且与棱交于点，请作图画出在棱上的位置，并求出的值.
17.(本小题15分)
函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和.
（1）求函数的解析式及单调递减区间；
（2）求方程在内所有解的和.
18.(本小题17分)
已知函数，其中.
（1）若，求方程的解；
（2）若，对，均有，求的取值范围；
（3）若，对，均有，证明：恒成立，并求出等号成立时的值.
19.(本小题17分)
已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，求；
(2)若不是直角三角形．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过点作直线分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】 /
13.【答案】 ； ； ； ； ； ；
14.【答案】
15.【答案】解：(1) ∵ z为纯虚数，
∴，
解得；
(2) 当时，代入得，
将代入方程得，
整理得，
则，
解得，则.
16.【答案】解：(1) 取PD的中点M，连接FM、CM，
∵F为AP中点，M为PD中点，
∴FM为△APD的中位线，且.
∵，∴且，
又E为BC上靠近C的三等分点，
∴，且，
故且，四边形FMCE为平行四边形，
∴.
∵平面PDC，平面PDC，
故平面PDC.
(2) 延长EG交BA的延长线于点K，连接FK，
KF的延长线与PB的交点即为H.
∵且，
∴四边形ABED为平行四边形，.
∵G为AD中点，∴，且，
故△KAG∽△KBE，相似比为，
得，即，A为线段KB的中点.
过A作，交FK于点N，
∵F为AP中点，∴.
又，，
故△AFN≌△PFH，得.
∵，故△KAN∽△KBH，
相似比为，得，
结合，故.
17.【答案】解：（1）由函数最值可得，解得，，
相邻最高点与最低点的水平距离为，
即，得周期，
由得，
故.
将点代入得，
即，
∴，解得.
又，取得，
故.
令，
解得，
即的单调递减区间为.
（2）分类讨论去绝对值：
①当时，，
代入方程得，解得，
与矛盾，此情况无解；
②当时，，
代入方程得，解得，符合条件,
故原方程等价于，
即，化简得，
解得，即.
结合，
当时，；
当时，，
或时不满足，
故所有解的和为.
18.【答案】解：先化简得，真数恒大于0。
(1) 当时，，
∵为增函数，∴真数等于2，设，则，整
理得，解得或，
由舍去负根，即，解得，检验得真数大于0，符合要求。
(2) 当时，由得，
∵为增函数，
∴，设，则对恒成立，即对恒成立。由基本不等式，时，当且仅当时取等号，
故的最大值为，因此。
(3) 当时，由，
∵为增函数，∴，
设，则对恒成立。
令，代入得，故，结论得证。
当等号成立时，即，
代入不等式得对恒成立，即对恒成立。
由基本不等式，时，当且仅当时取等号，故最小值，
整理得，由平方数非负性得，解得，即。
19.【答案】解：（1）通过移项可得，
利用二倍角公式得到，
当时等式成立，；
当时，，整理得，解得
综上，或；
（2）由（1）可知，，可得，
由正弦定理得
易得，设，则．
又函数在区间上单调递减，区间上单调递增，
所以当时原式取得最小值为；当和1，原式取得最大值均为1．
综上，．
（II）由可得，，则
，易证与相似，解得．
设，由勾股定理可得，解得．
由正弦定理得，
解得，
因此有，根据内切圆半径公式，得
，则．
另解：如图所示，容易算出，
过点作，于是四边形为矩形，三角形为等腰三角形．
设，在中，，结合，
可算出．一方面，，
代入，即得；
另一方面，．
从而．
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