专题01 指数函数、对数函数与幂函数 2025-2026高中数学必修二高一下期末复习专题课件（人教版2019B）

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人教B版 2019 高中数学
期末专题复习
专题01 指数函数、对数函数与幂函数
01
知识剖析
考点一 指数运算
1.根式的概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中,且,.
（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号表示.
（2）当n是偶数时,正数的n次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作=0.
式子叫做根式,其中n(
),且叫做根指数,a叫做被开方数.
壹
考点一 指数运算
2.根式的性质
根据n次方根的意义,可以得到:（1）；
（2）当n是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当n为奇数时, ,n为偶数时,a,...,而中a.
壹
考点一 指数运算
3．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个n相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
壹
考点一 指数运算
4．有理数指数幂的运算性质
（1）;
（2）(ar)s=ars(a>0,r,s);
（3）.
壹
考点一 指数运算
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(,是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
壹
考点二 指数函数
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是x自变量，函数的定义域为R
温馨提示：指数函数解析式的3个特征：
（1）底数a为大于0且不等于1的常数．（2）自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
（3）的系数是1.
壹
考点二 指数函数
2．指数函数的图形及性质
温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的．
壹
考点二 指数函数
（2）指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数的大致图象．
3．图象位置关系
壹
考点二 指数函数
（2）指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,)，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数的大致图象．
3．图象位置关系
壹
考点二 指数函数
底数a的大小决定了图象相对位置的高低．
（1）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x=1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．
（2）在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为.
壹
考点三 对数运算
1．对数的概念
一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为e底的对数称为自然对数，并记为lnN.
壹
考点三 对数运算
2．指数与对数的互化
当时，.
壹
考点三 对数运算
3．对数的性质
（1）；（2）；（3）零和负数没有对数．
4．对数恒等式
（1）；（2）
壹
考点三 对数运算
壹
考点三 对数运算
壹
考点四 对数函数
1．对数函数的概念
函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是．
温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将x,y互换得到的．
（2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数
壹
考点四 对数函数
2．对数函数的图象及性质
壹
考点四 对数函数
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.
壹
考点五 反函数
1．反函数的概念
一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称y=f(x)的反函数．此时，称y=f(x)存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(x)中求出y得到．
壹
考点五 反函数
2．反函数的性质
若函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x)，则具有以下性质：
（1）定义域与值域互逆：y=f(x)的定义域是y=f-1(x)的值域，y=f(x)的值域是y=f-1(x)的定义域。
（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线y=x呈轴对称；
（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。
壹
考点五 反函数
3．求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数y=f(x)，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由y=f(x)变形得到x=f-1(x)，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到y=f-1(x)，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
壹
考点五 反函数
4．指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称。
壹
考点六 求反函数的步骤
①确定值域：先根据原函数y=f(x)，求出因变量y的取值范围。
②求解x的表达式：由y=f(x)变形得到y=f-1(x)，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。
③得到反函数：将x与y的符号互换，得到y=f-1(x)，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。
壹
考点七 指数函数与对数函数的关系
（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数是一对反函数。
（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称。
壹
考点八 幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．
幂函数的特征
①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“x”；③中是常数
壹
考点九 常见幂函数的图象与性质
壹
考点九 常见幂函数的图象与性质
壹
考点九 常见幂函数的图象与性质
壹
考点十 平均变化率的概念
对于函数，若取定义域内两个不相等的点x1和x2，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间[x1,x2]（或[x2,x1]）上的平均变化率为
壹
考点十一 平均变化率的几何意义
函数在区间[x1,x2]上的平均变化率
表示函数图象上过点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))的直线的斜率．
壹
考点十二 增长速度的比较
1．四类函数模型的增长特点
（1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。
（2）指数函数模型（y=ax,a>1）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。
（3）对数函数模型（y=logax,a>1）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。
（4）幂函数模型（y=xn,x>0,n>1）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。
壹
考点十二 增长速度的比较
2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异
在区间(0,+)上，尽管函数y=ax,a>1，y=logax,a>1和y=xn,x>0,n>1都是增函数，但增长速度不在同一“档次”．
随着x的增大，y=ax,a>1的增长速度越来越快，最终会远超y=xn,x>0,n>1,y=logax,a>1的增长速度则持续变慢．
因此，总会存在某个x0，当时，就有．
壹
考点十三 指数型函数模型
函数y=abx+c(b>0，b≠1，a≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸.
壹
考点十四 对数型函数模型
y=mlogax+m(a>0，a≠1，m≠0)图象的增长特点是随着自变量x的增长，函数值增大的速度越来越慢(a>1，m>0).
壹
考点十五 解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型，得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.
壹
考点十六 数学建模
1.数学问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现.解决实际问题的重要手段就是数学建模.数学建模是一个重要的核心素养.1.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为:发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
壹
2.数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.
3.通过高中数学课程的学习，同学们能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用;加深对数学内容的理解;学会交流与合作;提升应用能力，增强创新意识和科学精神.
壹
考点十六 数学建模
03
综合训练
一．函数的单调性与函数图象的特征
以下函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．f(x)= B．f（x）＝|x| C．f（x）＝sinx D．f（x）＝﹣x3
D
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=，是反比例函数，是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝|x|是R上的偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝sinx是R上的奇函数，在（0，+∞）上不单调，不符合题意；
对于D，f（x）＝﹣x3是R上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意．
故选：D．
二．幂函数的特征及辨识
“y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
B
【答案】B
【解答】解：若y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数，则m﹣1＞1，即m＞2，
若函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数，则m2﹣7m+13＝1，
解得m＝3或m＝4，
因为{3，4} {m|m＞2}，
所以“y＝log（m﹣1）x在定义域内是增函数”是“函数f（x）＝（m2﹣7m+13）xm是幂函数”的必要不充分条件．
故选：B．
三．由幂函数的解析式求解参数
若f（x）＝（m2﹣4m+5）x﹣m是幂函数，则f（2）＝ ．
【答案】．
【解答】解：由题意得，m2﹣4m+5＝1，解得m＝2，则f（x）＝x﹣2，
所以f(2)=2 2=．
故答案为：．
四．由幂函数的单调性求解参数
“k＝﹣1”是“幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A
【答案】A
【解答】解：f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k是幂函数，则k2﹣2k﹣2＝1，解得k＝3，k＝﹣1，
k＝﹣1时，f（x）＝x﹣2在区间（0，+∞）上单调递减，充分性成立，
k＝3时，f（x）＝x6在区间（0，+∞）上单调递增，故舍去，
若幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减，则k＝﹣1，必要性成立，
因此“k＝﹣1”是“幂函数f（x）＝（k2﹣2k﹣2）x2k在区间（0，+∞）上单调递减”的充要条件．
故选：A．
五．有理数指数幂及根式化简运算求值
已知ax＝4，loga3＝y，则ax+y＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．12
D
【答案】D
【解答】解：因为loga3＝y，所以ay＝3，
所以ax+y＝ax ay＝4×3＝12．
故选：D．
六．指数函数的特征及解析式
函数f（x）＝a2x﹣1+1（a＞0）的图象一定经过点（　　）
A．(，2) B．(，1) C．（0，2） D．（0，1）
A
【答案】A
【解答】解：令2x﹣1＝0，得x=，所以y＝f（）＝1+1＝2，
所以函数f（x）＝a2x﹣1+1的图象过点（，2）．
故选：A．
七．指数函数的值域
函数y=22x 的值域为（　　）
A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．(0，] D．（0，2]
D
【答案】D
【解答】解：设u＝f（x）＝2x﹣x2，f（x）max＝f（﹣1）＝1，
y＝2u∈（0，2]．
故选：D．
八．指数函数图象特征与底数的关系
已知a＞0且a≠1，则函数y＝ax+a与函数y＝ax﹣a在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
A
【答案】A
【解答】解：对于A，B，由图象得a＞1，且对于y＝ax﹣a，当x＝0时，y＝﹣a，
则﹣a＜﹣1，故A正确，B错误，
对于C，由题意得0＜a＜1，则﹣1＜﹣a＜0，与图象不符，故C错误，
对于D，由指数函数性质结合图象得0＜a＜1，
对于y＝ax+a，当x＝0时，y＝a0+a＝1+a，则1＜a+1＜2，与图象不符，故D错误．
故选：A．
九．指数函数及指数型复合函数的图象
已知函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），则m+n的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣1，0） C．（0，+∞） D．（0，1）
A
【答案】A
【解答】解：因为函数f（x）＝|2x﹣1|，若m＜n且f（m）＝f（n），
则1﹣2m＝2n﹣1，即2＝2m+2n≥2=2，当且仅当m＝n时取等号，显然等号无法取得，
则m+n＜0．
故选：A．
十．指数函数的实际应用
在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（　　）
A．2h B．4h C．20h D．40h
B
【答案】B
【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即，
所以klog21024＝20，解得，
所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝
故选：B．
十一．指数函数综合题
已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间[，16]上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数g(x)=的值域为[2，+∞），求不等式loga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
十一．指数函数综合题
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在区间[，16]上的最大值是2．
a＞1时，f（x）在区间[，16]上单调递增，
0＜a＜1时，f（x）在区间[，16]上单调递减，
则或，解得a=或a＝4．
（2）令y＝2m，m＝x2﹣2x+a，y的最小值为2，y＝2m单调递增，则m＝x2﹣2x+a的最小值为1，
则当x＝1，m＝1﹣2+a＝1，所以a＝2，
loga（1﹣t）≤1，得0＜1﹣t≤2，
解得﹣1≤t＜1，即不等式的解集为[﹣1，1）．
十二．指数式与对数式的互化
已知实数a，b满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然对数的底数，则a+b＝（　　）
A．2 B．e C．3 D．4
D
【答案】D
【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0，
由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0．
令f（x）＝ex+x﹣3，
所以函数f（x）＝ex+x﹣3为增函数，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb，
又因为lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4．
故选：D．
十三．对数运算求值
已知函数，则f（2+log23）的值为（　　）
A．24 B．4 C．12 D．8
A
【答案】A
【解答】解：因为1＜log23＜2，所以2+log23＜4，
所以f（2+log23）＝f（3+log23），
又因为3+log23＞4，
所以f(3+log03)=23+log23=23×2log23=8×3=24，
即f（2+log23）＝24．
故选：A．
十四．对数方程求解
已知函数f(x)=，则f（x）＝2是x＝﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B
【答案】B
【解答】解：当f（x）＝2时，
若x≤0，则有2﹣x＝2，解得x＝﹣1；
若x＞0，则有lnx＝2，解得x＝e2．
可得：x＝﹣1或x＝e2，不一定能推出x＝﹣1，故f（x）＝2不是x＝﹣1成立的充分条件；
反之，当x＝﹣1时，f（﹣1）＝2，即f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要条件，
综上，f（x）＝2是x＝﹣1成立的必要不充分条件．
故选：B．
十五．求对数型复合函数的定义域
函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣1，0）∪（0，+∞）
B
【答案】B
【解答】解：函数，
令，解得x＜0且x≠﹣1，
所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．
故选：B．
十六．求对数型复合函数的值域
（多选）已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（　 　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域为R
C．f（x）在（a，+∞）上单调递增
D．f（x）的图象关于直线x＝a对称
BCD
【答案】BCD
【解答】解：由|x﹣a|＞0可得x≠a，值域为R，A错误，B正确；
由于y＝|x﹣a|在（a，+∞）单调递增，在（﹣∞，a）单调递减，而y＝lnx为（0，+∞）上的单调递增函数，因此f（x）在（a，+∞）上单调递增，C正确；
由于f（﹣x+2a）＝ln|﹣x+2a﹣a|＝ln|x﹣a|＝f（x），故f（x）的图象关于直线x＝a对称，D正确．
故选：BCD．
十七．由对数函数的单调性求解参数
如果lnx＜lny＜0，那么（　　）
A．0＜x＜y＜1 B．0＜y＜x＜1 C．x＞y＞1 D．y＞x＞1
A
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞）且单调递增，
又lnx＜lny＜0＝ln1，所以0＜x＜y＜1．
故选：A．
十八．对数值大小的比较
已知，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c
B
【答案】B
【解答】解：因为b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，a=0.5＜1=0，
0＜c＝0.50.2＜0.50＝1，
所以a＜c＜b．
故选：B．
十九．指数函数与对数函数的关系
（多选）已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列式子可以成立的是
（ 　 　）
A．0＜a＜b＜1 B．1＜a＜b C．a＝b＝1 D．0＜b＜a＜1
BCD
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，设log2a＝log3b＝t，则a＝2t，b＝3t，
当t＜0时，有0＜b＝3t＜a＝2t＜1，即0＜b＜a＜1，D正确；
当t＞0时，有1＜a＝2t＜b＝3t，即1＜a＜b，B正确；
当t＝0时，有2t＝3t＝1，即a＝b＝1，C正确，
故选：BCD．
二十．反函数
函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于　　 对称；若函数h（x）是函数g（x）的反函数，则h（3）＝ 　　 ．
原点
【答案】原点；log23．
【解答】解：在函数f（x）图象上任取一点（x，﹣2﹣x），
其关于原点对称的点为（﹣x，2﹣x），
因为g（﹣x）＝2﹣x，
所以点（﹣x，2﹣x）在函数g（x）图象上，
所以函数f（x）＝﹣2﹣x与g（x）＝2x的图象关于原点对称，
因为函数h（x）是函数g（x）的反函数，
所以h（x）＝log2x，
所以h（3）＝log23．
故答案为：原点；log23．
log23
二十一．根据实际问题选择函数类型
若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（　　）（lg11≈1.04）
A．15个月 B．25个月 C．35个月 D．45个月
B
【答案】B
【解答】解：设初始用户数为a万户，x个月后用户数为y万户，
若某社交APP的用户数每月增长10%，
则y＝a（1+10%）x，即y＝a 1.1x，
设x1个月后用户数为100万户，x2个月后用户数为1000万户，
则100=a 1．，1000=a 1．，
两式相除可得1．，
x2 x1=≈25，
则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为25个月．
故选：B．