专题03 面向量初步 2025-2026高中数学必修二高一下期末复习专题课件（人教版2019B）

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人教B版 2019 高中数学
期末专题复习
专题03 面向量初步
02
知识剖析
向量的概念及表示
1
定义
既有大小又有方向的量叫做向量.
01
向量的概念及表示
2
表示
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段 表示,记作向量 .有向线段的长度 表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量 的大小称为向量的长度(或称模),记作 .
②字母表示:书写时用 表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以 为起点,以 为终点的向量记作 .
01
向量的概念及表示
3
两个特殊向量
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为 ,长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
01
向量间的关系
1
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量 平行，记作 .规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量 ，都有 .
01
向量间的关系
2
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量 与 相等，记作 .
01
向量的线性运算
1
向量的加法
三角形法则：已知非零向量 ，在平面内任取一点 ，作 ，再作向量 ，则向量 叫做 与 的和，记作
01
向量的线性运算
1
向量的加法
平行四边形法则：已知不共线的两个向量 ，在平面内任取一点 ，以同一点 为起点的两个已知向量 ，以 为邻边作 ，则 就是 与 的和，
规定：零向量与任意向量 的和，都有
运算律：①交换律： ；②结合律：
01
相反向量
1
定义
与向量 长度相等、方向相反的向量,叫做 的相反向量，记作 ， 与 互为相反向量，
01
相反向量
2
性质
① ；②若 互为相反向量，则 ；
③ 的相反向量是
01
向量的减法
1
向量的减法的定义
向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 ，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
01
向量的减法
2
运算法则
在平面内取一点O,作 ，则 .
01
向量的减法
3
几何意义
表示从向量 的终点指向 的终点的向量.
01
向量的减法
4
向量减法的两个重要结论
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量 等于它的终点相对于点 的位置向量 减去它的始点相对于点 的位置向量 或简记“终点向量减去始点向量”.
01
向量的数乘运算
1
定义
规定实数 与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ，它的长度和方向规定如下:
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
01
向量的数乘运算
2
运算律
设 为任意实数，则有① ；② ；③
特别地，有 .
01
向量的数乘运算
3
向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 以及任意实数 恒有 .
01
共线向量定理
1
共线向量定理的内容
向量共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使= .
01
共线向量定理
2
三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点 共线的充要条件是存在唯一实数 ,使得 .
结论2：如图2，设 是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数 使得 .
01
平面向量基本定理
1
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，
有且只有一对实数 ，使 .
01
平面向量基本定理
2
基底
我们把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
01
平面向量基本定理
3
对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一． 是被 唯一确定的数值．
01
平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与 轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量 ，有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对 叫做 向量的坐标.
（4）坐标表示 .
（5）特殊向量的坐标:
01
平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量 则有下表
01
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知 ,
则
平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
(1）条件: ,其中 ；
（2）结论:当且仅当 时,向量 共线.
01
向量线性运算的应用
1
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
01
向量线性运算的应用
1
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
01
02
综合训练
一．平面向量的概念与几何表示
飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减．已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：km/h）（　　）
A．400 B．450 C．560 D．630
B
【答案】B
【解答】解：因为某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），
则飞行器在该时刻的空速向量为（45，25）+（315，245）＝（360，270），
大小为．
故选：B．
二．平面向量中的零向量与单位向量
以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则=
C
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则||=||，故D错误．
故选：C．
三．平面向量的相等向量
已知平面向量，，则“=或= ”是“||＝||”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A
【答案】A
【解答】解：若a=或= ，则||=||；
||=||且，不共线时，得不出=或= ，
所以“=或= ”是“||=||”的充分不必要条件．
故选：A．
四．平面向量的平行向量
已知向量A=( 3，1)，B=(1， 2)，C=(x 6，x+5)，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
B
【答案】B
【解答】解：由题意可得B=（4，﹣3），C=（x﹣7，x+7），
若点A，B，C三点共线，则4（x+7）+3（x﹣7）＝0，
解得x＝﹣1，
∴x的值不可以为﹣1．
故选：B．
五．平面向量的加法
在四边形ABCD中，若C=B+D，则（　　）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
D
【答案】D
【解答】解：C=B+D可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．
故选：D．
六．平面向量的减法
化简B D=（　　）
A．D B．C C．B D．B
C
【答案】C
【解答】解：B D=A+B=B．
故选：C．
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
A B+C=（　　）
A．C B．C C．B D．A
B
【答案】B
【解答】解：A B+C=A+C=C．
故选：B．
八．平面向量的加减混合运算
化简E+N N=（　　）
A．P B．N C．M D．M
A
【答案】A
【解答】解：E+N N=N N，
=P M=P．
故选：A．
九．两个平面向量的和或差的模的最值
已知向量，满足||=2，||=8，则|+|的最小值为 　　 ，当且仅当与的方向 　 　 时取得最小值．
6
【答案】6；相反．
【解答】解：向量，满足||=2，||=8，
则：|+|≥||| |||=|8 2|=6，当且仅当与的方向相反时等号成立，
取得最小值．
故答案为：6，相反．
相反
十．平面向量的数乘与线性运算
在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若B=mM，C=nN，m＞0，n＞0，则+的最小值为
（　　）
A．3
B．8
C．
D．9
B
十．平面向量的数乘与线性运算
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，点O是BC的中点，则O=B+C，
又若B=mM，C=nN，m＞0，n＞0，
则有O=M+N，
因为M，O，N三点共线，所以+=1，即m+n＝2，
所以+=12（+）（m+n）
=(10++)≥(10+)=8，
当且仅当m=，n=时等号成立，
故+的最小值为8．
故选：B．
十一．平面向量的基底
（多选）已知{，}是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（　　）
A．{ 3， +3} B．{+3，}
C．{+， 2} D．{ 3，4 6}
BC
【答案】BC
【解答】解：对于A：已知{，}是平面向量的一组基底，由于 3= ( +3)，故A错误；
对于B：不存在实数λ，使得+3=λ，故B正确；
对于C：不存在实数λ，使得+=λ( 2)，故C正确；
对于D：由于2 3=12(4 6)，故D错误．
故选：BC．
十二．用平面向量的基底表示平面向量
在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记A=，D=，则B=（　　）
A．3 2 B． 2+3 C． 3+4 D．3+2
C
十二．用平面向量的基底表示平面向量
【答案】C
【解答】解：根据BD＝3DA，可得D=3A，
即D B=3(A D)，整理得B= 3A+4D，
结合A=，D=，可得B= 3+4．
故选：C．
十三．平面向量加减法的坐标运算
已知=(3， 1)，=(5，2)，则 为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
A
【答案】A
【解答】解：由题可得： =(3 5， 1 2)=( 2， 3)．
故选：A．
十四．平面向量数乘和线性运算的坐标运算
在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若B=(2 ， 4)，C=(1 ， 3)，
则B=（　　）
A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4）
A
【答案】A
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，B=(2 ， 4)，C=(1 ， 3)，
可得C=C B=（﹣1，﹣1）=D，
故B=B D=（3，5）．
故选：A．
十五．平面向量共线（平行）的坐标表示
已知向量=（4，x），=（x，1），那么“x＝2”是“∥”的
（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A
【答案】A
【解答】解：向量=（4，x），=（x，1），∥，则4＝x2，解之得x＝±2，
则“x＝2”是“x＝±2”的充分而不必要条件，
即向量=（4，x），=（x，1），那么“x＝2”是“∥”的充分而不必要条件，
故选：A．
十六．平面向量在物理中的应用
河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．m/s C．m/s D．12 m/s
B
【答案】B
【解答】解：根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|=，
故选：B．