浙江省金华市2025-2026学年下学期八年级期末模拟试卷
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B．，
C．， D．，
3．下列根式是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
4．某校为了解九年级学生的综合成绩情况，随机抽取8名学生，其综合成绩如下（单位：分）：692，693，692，694，694，693，695，691．对这组数据判断正确的是（ ）
A．平均数为693，方差为 B．平均数为693，众数为694
C．中位数为693，方差为 D．众数为692，693，694，平均数为693.5
5．如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
7．由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，点E，F分别是边中点，若，则的长为（ ）
A．7 B． C．8 D．
9．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（ ）
A． B． C． D．4
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______．
12．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是______．
13．一组数据的中位数是6，则的最小值为___________．
14．如图，在中，，对角线相交于点，若的周长比的周长大2，则的长为______．
15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ．
16．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．如图为某地区2025年5月和6月的空气质量指数（AQI）的箱线图，AQI值越小，空气质量越好．
(1)该地区在这两个月中，哪个月的AQI值分布比较集中？
(2)你认为该地区哪个月的空气质量更好，请说明理由．
20．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
【解决问题】
(1)仿照上面的解题过程，化简：；
(2)已知，，求的值．
21．一家服装店销售某种款式的衬衫，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为扩大销售、增加盈利，该店决定降价销售，在每件盈利不少于30元的前提下，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
(1)若降价4元，则平均每天销售数量为 件．
(2)当每件衬衫降价多少元时，该服装店每天销售利润为950元？
22．如图，在中，，、分别是、边上的中点，连接，过点作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，在中，点E、F分别为、的中点，连接并延长到点D，连接、、，．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
24．在正方形中，将线段绕着点B旋转，得到线段，连接、．
(1)如图1，延长交于H，求的度数；
(2)如图2，若，作的角平分线交延长线于点P，连接、．求证：；
(3)如图3，在线段旋转的过程中，直线交于点M，连接，直线交于点K，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C C C D B B A
1．D
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据定义逐一分析即可．
解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
2．D
使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
3．D
本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，被开方数是整数或整式，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一分析选项即可．
解：选项A中，，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项B中，，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C中，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
选项D中，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式．
4．C
本题考查了平均数、众数、中位数和方差的概念及计算，解决本题的关键是熟练掌握以上概念并正确计算．
计算数据的平均数、众数、中位数和方差，与选项对比即可．
解：数据排序后为：691， 692， 692， 693， 693， 694， 694， 695，
∵ 平均数为；
众数为出现次数最多的数，692、693、694均出现2次，
∴众数为692， 693， 694；
中位数为；
方差为
；
选项C中位数为693，方差为，正确．
故选：C．
5．C
根据，，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高，进而得出结论．
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，共有3个．
6．C
本题结合新定义“倍根方程”，考查一元二次方程的解法和根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论．
解：①解方程，
因式分解得，
解得，
，满足倍根方程定义，
①正确；
②的两根为，，
方程是倍根方程，分两种情况：
当时，，解得，
当时，，解得，
或，故②错误；
③若，则方程的判别式，
所以方程有两个不相等的实数根，
解方程可得，，
即，，
因为，所以该方程是倍根方程，故③正确，
④设的两根为，
由根与系数的关系得：
，即，得，
，即，
将代入得，
两边同乘，整理得，故④正确；
综上，①③④正确．
7．D
本题直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果。
解：∵三边长分别为 ，
∴半周长
代入海伦公式计算得：
．
8．B
分别取，的中点G，H，连接，根据三角形中位线定理可得，，，从而得到点G，H，F三点共线，进而得到，连接，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，，进而得到，，即可求解．
解：如图，分别取，的中点G，H，连接，
∵，
∴，即，
∵点E，F分别是边中点，，，
∴，，即，
∴点G，H，F三点共线，
∴，
连接，，
∵，点E为的中点，，的中点分别为G，H，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
9．B
根据菱形对角线互相平分可得 为 中点，结合 利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出 的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ．
解： 四边形 是菱形
平分
∵在中，为中点
∵在中，
10．A
根据，得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
11．（答案不唯一）
根据二次根式被开方数为非负数求解．
解：在实数范围内有意义，
，
解得，
使在实数范围内有意义的整数可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．，
本题考查一元二次方程的解，利用换元思想对比已知方程与待求方程的结构，根据已知方程的解即可得到待求方程的解．
解：将已知方程整理得 ，其解为．
将待求解方程 变形为
令，则方程变为 ，可得，
即或，
解得．
13．6
根据中位数的定义，这组数据共个，为奇数个，中位数是从小到大排列后的第个数，结合中位数为，确定的取值范围，即可得到的最小值．
解：将一组数据从小到大排列后，数据个数为奇数时，中位数是最中间的数，本题共有个数据，因此中位数是排列后的第个数．
已知中位数为，则排列后第个数为．
原数据中小于的数有和共个，若，则小于的数共个，排列后第个数小于，不符合要求．
因此，则的最小值为．
14．8
由题意易得，，求出即可．
解：∵的周长比的周长大2，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得．
15．
根据题目中的面积公式和的三边长即可解答．
解：∵的三边长分别为1，，3，
则的面积为．
16．
如图，连接，作于．则四边形是矩形，设，则，首先证明，推出 ，在中，根据，构建方程求出即可．
解：如图，连接，作于．则四边形是矩形，
设，则，
垂直平分，四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∴．
17．(1)
(2)
（1）根据二次根式的加减运算进行计算即可；
（2）根据平方差公式以及二次根式的除法进行计算即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)，
(2)，
用因式分解法解一元二次方程．
（1）解：，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
∴或，
解得，．
19．(1)该地区5月的AQI值分布比较集中．
(2)5月空气质量更好，因为5月AQI值更小．
本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础，根据统计图中数据判断即可．
（1）解：观察箱线图，5月的箱形更窄，数据更集中，6月的箱形更宽，数据更分散，
∴该地区5月的AQI值分布比较集中．
（2）观察箱线图，5月AQI值更小，故5月空气质量更好．
20．(1)
(2)10
（1）分子分母分别乘即可；
（2）由条件可得：，，可得：，，再利用完全平方公式计算即可．
本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）．
（2），，
．
21．(1)23
(2)当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元
（1）根据题意，降价4元，平均每天可多售出8件，即可求得答案；
（2）设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元，则每件盈利元，平均每天可售出件，即可列方程求解．
（1）解：因为销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，
所以降价4元，平均每天可多售出8件，则平均每天销售数量为（件）．
（2）解：设当每件衬衫降价x元时，该服装店每天销售利润为950元，
根据题意得，
整理，得，
，
，，
每件盈利不少于30元，
，
，
，
答：当每件衬衫降价元时，该服装店每天销售利润为950元．
22．(1)见解析
(2)
（1）根据三角形中位线定理得到，即可得证；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）证明：、分别是、边上的中点，
是的中位线，
，
，
．
（2）解：在中，是边上的中点，
，
，
设，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，即．
23．(1)见解析
(2)
（1）先证明四边形是平行四边形，再进一步证明即可；
（2）利用勾股定理求解，再结合三角形的中位线的性质可得答案.
（1）证明：∵点E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
．
，
∴四边形是平行四边形．
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，
，
．
由（1）得是的中位线，
．
24．(1)
(2)见解析
(3)．
（1）利用旋转的性质结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可；
（2）过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，求得，证明，推出，据此即可证明结论成立；
（3）点在以为圆心，为半径的上，连接并延长交于点，当点在点处，最大，据此求解即可．
（1）解：由旋转的性质得，，，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交的延长线于点，
同（1）知，即，
由旋转的性质得，，，
∵是的平分线，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴点在以为圆心，为半径的上，连接并延长交于点，
则，当点在点处，最大，
即线段取得最大值时，如图，
∵，，
∴，，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
过点作交于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
浙江省金华市2025-2026学年下学期八年级
期末数学模拟试卷 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.95 中心对称图形的识别
2 0.85 因式分解法解一元二次方程
3 0.85 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
4 0.65 求一组数据的平均数；求中位数；求众数；求方差
5 0.72 利用平行线间距离解决问题
6 0.6 因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 二次根式的应用
8 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；三线合一；用勾股定理解三角形
9 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质证明；直角三角形的两个锐角互余；等边对等角
10 0.65 以弦图为背景的计算题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
二、填空题
11 0.84 二次根式有意义的条件
12 0.65 换元法解一元二次方程
13 0.65 利用中位数求未知数据的值
14 0.65 利用平行四边形的性质求解
15 0.7 二次根式的应用
16 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题
17 0.7 二次根式的除法；二次根式的加减运算；二次根式的混合运算
18 0.63 因式分解法解一元二次方程
19 0.73 运用众数做决策；利用合适的统计量做决策
20 0.68 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；分母有理化
21 0.69 营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形
23 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；证明四边形是矩形；用勾股定理解三角形
24 0.4 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
