16.2分式的运算
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第十六章 分式
第2课时 16.2分式的运算
本节内容主要涉及到分式的加减乘除乘方及混合运算。这些内容是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解的基础上进行的。通过与分数运算的类比学习分式的运算为今后继续学习代数运算、统计、概率等奠定基础。教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.
分式及其运算是本章的重点，分式的异分母加减运算及分式方程变形是本章的难点。掌握分式的加、减、乘、除运算法则，能进行简单的分式运算。由于分式的运算与整式、分数运算相比运算步骤增多，符号变化更复杂，方法更灵活，不仅需要掌握基本知识和基本方法，而且要具有细心、耐心、不畏艰难的良好心理素质和善于灵活应变的能力。
点击一：分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积得分子， 分母的积作为积得分母
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
针对练习1:
1． ·（-）等于（ ）C
A．6xyz B．- C．-6xyz D．6x2yz
2．计算：·．
答案：
3.÷等于（ ）C
A． B．b2x C．- D．-
4．计算：÷．
答案：
5．（-）÷6ab的结果是（ ）D
A．-8a2 B．- C．- D．-
6．-3xy÷的值等于（ ）A
A．- B．-2y2 C．- D．-2x2y2
7．若x等于它的倒数，则÷的值是（ ）A
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
8．计算：（xy-x2）·=________．答案：-x2y
9．将分式化简得，则x应满足的条件是________．答案：x≠0
10．下列公式中是最简分式的是（ ）C
A． B． C． D．
11．计算·5（a+1）2的结果是（ ）B
A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1
12．（2005·南京市）计算÷．答案：
13．已知+=，则+等于（ ）B
A．1 B．-1 C．0 D．2
点击二：分式的乘方
分式的乘方要把分子、分母分别乘方
针对练习2：
1．计算：（-）3．答案：-
2．（-）2n的值是（ ）C
A． B．- C． D．-
点击三：分式的乘方、乘除混合运算
要注意运算顺序，先算乘方后算乘除
针对练习3：
1．计算：（）2÷（）·（-）3．答案：
2．计算（）2·（）3÷（-）4得（ ）A
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
3．计算（）·（）÷（-）的结果是（ ）B
A． B．- C． D．-
4．（-）2n+1的值是（ ）D
A． B．- C． D．-
5．化简：（）2·（）·（）3等于（ ）B
A． B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z
6．计算：（1）÷（x+3）·；答案：-
（2）÷·．答案：
点击四：分式的加减运算
1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
2、异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减
如果分式的分母是多项式的，先把它分解因式，然后通分，转化为同分母
分式相加减。
（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分
（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：
（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
针对练习4：
1．计算：+=________．
2．计算：- =________．
3．计算：+=________．
4．计算：++．
5．计算：+=________．
答案：1．1 2． 3． 4．0 5．
点击五：整数指数幂
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是整数)；
（3）积的乘方：(n是整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是整数)
（5）商的乘方：(n是整数)；
（6）0指数幂的规定，即当a≠0时，.
（7）负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
针对练习5：
1、 2、 3、
4. 5.
点击六：科学计数法
小于1的正数可以用科学计数法表示为a×10-n的形式，其中a是整数数位只有一位的正数，n是正整数。
针对练习6：
(1)0.000 000 001=____________， (2)0.001 2=_____________，
(3)0.000 000 345=____________， (4)-0.000 03=____________，
(5)0.000 000 010 8=___________， (5)3780 000=____________
类型之一：分式的分子和分母都是单项式的乘除运算
解法：直接按法则运算
例1计算：（1）； （2）.
解：（1）=；
（2）=
说明：分式乘以分式，当分式的分子和分母都是单项式时，可直接按乘法法则运算即可；分式的除法运算，应先将除法转化成乘法，再按乘法法则运算。运算结果如能约分，应约分，将结果化成最简形式。
类型二：分式的分子和分母都是多项式的乘除运算
解法：先分解因式，再按法则运算。
例2计算：（1）； （2）.
解：（1）=；
（2）=.
说明：分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再根据乘除法的法则进行运算。分子、分母能约分的要约分，从而使运算简化或结果简单。
类型三：分式的乘除混合运算
解法：先将除法转化为乘法，再乘法法则运算。
例3计算：
解：
说明：乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算，运算时将除法转化成乘法，再按乘法法则进行运算。当整式与分式一起进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的式子，然后依照分式乘除法则进行运算。
类型四：分式乘方与乘除混合运算
解法：先乘方，再乘除。
例4计算
解：原式 ===
说明：含有乘方、乘除的混合运算，应先算乘方，再算乘除。运算中还应注意符号问题。
类型五：同分母分式加减法
解法：分母不变，只把分子相减分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
例5：计算
[解析] 此题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
类型六：异分母分式加减法
解法：先把分母进行因式分解，然后确定最简公分母，进行通分
例6：计算：
[解析] 此题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：=
====
类型七：整数指数幂的运算
例8：计算：
（1） （2）
[解析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数
指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
类型八：用科学计数法表示小于1的整数
例9 纳米是非常小的长度单位，1纳米=米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？
[解析] 本例题是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.
一、填空题
1．计算：．
2．计算：．
3．计算：．
4．计算：．
5．计算：．
6．若则．
7．若x＋y＝－1，则．
8．．
二、选择题
9．时，代数式的值是( )
A． B． C． D．
10．化简的结果是( )
A． B． C． D．
11．下面的计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
12．化简分式的结果是( )
A．10 B． C． D．
13．计算的结果是( )
A．1 B．x＋1 C． D．
三 计算
1 2 8a2b4·
3 4
5 6
7 8
9化简：．10．化简：．
11．已知，则 12．求 的值
13．已知，求代数式的值
14．化简： 15．化简：
16． 17．
18． 19．
答案
一、
1．1 2． 3． 4．
5． 6．14 7． 8．
二、
9．B 10．B 11．C 12．C 13．C
三 1. 2 -6a3b 3 4.x 5. 1 6 . 7. 8. 9. -10. 11.24 12.1 13.1+ 14.x+4 15.x 16..a+b 17. 18.-2 19.
一、选择题（每题3分，计24分）
1．·（-）等于（ ）
A．6xy B．- C．-6xy D．6x2yz
2．计算（）2·（）3÷（-）4得（ ）
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
3.下列算式中，你认为正确的是( B )
A． B．
C． D．
4．如果,则m为（ ）
A．y2 B．axy2 C．－axy2 D．y4
5．计算+-得（ ）
A．- B． C．-2 D．2
6.已知:又则用z表示x的代数式应为( )
A. B. C. D.
7．计算（1-）（-1）的正确结果是（ ）
A． B．- C． D．-
8．一件工作，甲、乙二人合作需t小时完成，甲单独做需s小时完成，乙单独做需要的小时数是（ ）
A．s-t B． C．- D．
二、填空题（每题3分，计24分）
9. ．
10. （08年中考）已知,则代数式的值为 ．
11. 在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 ．
12．若（x-3）—2有意义，则x_______．
13．计算：+=________．
14.已知且，则当时，的值等于 ．
15. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 ．
16．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时________千米．
三、解答题（共28分）
17．（6分）（1）计算：·÷；
（2）化简：（-2m2n—3）·（3m—3n—1）．使结果只含有正整数指数幂．
18.已知，，求的值．
19．（8分）化简求值：.（选择你所喜欢的值代入）
有一道题：“先化简，再求值：，其中“x=一”．小亮同学做题时把“x= 一”错抄成了“=”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么一回事．
四、拓广探索（共16分）
20．（8分）特殊的问题中往往蕴含有一些规律与技巧，当一个问题出现时，不妨先观察一下问题的特征，探究出规律再应用于解题，这是数学中常用的“特殊── 一般──应用”方法．请先阅读材料，再解题．
计算-=，即有=-．
例如：等．
试用上式计算：++．
21．（8分）甲、乙两人两次同时在同一个粮店买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元，若用、表示两次购买粮食的单价.
（1）用含有、的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款多少元？乙两次共购买多少千克粮食？若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，则、分别是多少？
（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.
22．(8分)解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.
（1）设A＝－，B＝，求A与B的积；
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C
二、填空题
9. 10. 4 11. ：答案不惟一如：
12．x≠3 13． 14. 15. 分钟 16．
三、解答题
17．（1）原式=·；
（2）原式=．
18.解：原式=．
当时，原式=1．
（注：本题若直接代入求值正确，也相应给分）
19．原式=
取x=5，则原式=．
四、拓广探索
20．原式=
21.（1）甲：（）元，乙：（）千克；，.
（2），所以，故乙的购粮方式合算.
22. （1）.
（2）“逆向”问题一：
已知，，求．
解答：．
“逆向”问题二：
已知，，求．
解答：
．
“逆向”问题三：
已知，求．
解答：．
本题为开放题，只要将“”作为条件之一的数学问题，都是问题（1）的“逆向”问题．
1．（巧解题）已知x2-5x-1 997=0，则代数式的值是（ ）C
A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002
2．（学科综合题）使代数式÷有意义的x的值是（ ）D
A．x≠3且x≠-2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2且x≠3且x≠4
3．（数学与生活）王强到超市买了a千克香蕉，用了m元钱，又买了b千克鲜橙，也用了m元钱，若他要买3千克香蕉2千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．
答案：（+）元
4. 已知│3a-b+1│+（3a-b）2=0．求÷[（）·（）]的值．
答案：-1
5. 已知两个分式：A=，B=+，其中x≠±2，下面有三个结论：①A=B；②A·B=0；③A+B=0．请问哪个正确？为什么？
答：③正确．理由：因为B=-==-．
6.按下列程序计算：
（1）填表。
输入n 3 …
输出答案 1 1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简。
解：（1）均填1
（2）
7.小玲遇到一道题：“先化简，再求的值，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的。请你解释这是怎么回事。
解：
因为或时，x2的值均为3，原式的计算结果都为7，所以把“”错抄成了“”，计算结果也是正确的。
8.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦）代入下式求值：
解：
当时，原式
注意：这里的a不能取1，否则分母的值为0，原式就没有意义了。同学们可选择不等于1的任意实数，只要求出的值均可。
9.先化简，再求值：，其中a满足。
解：原式
因
注意：如果先求a的值，则由得或，但切不能把代入求值（尽管答案也是），因为由原式的分母不等于0，可知a不能取1。
10.（1）请你任意写出五个正的真分数：___________、___________、___________、_____________、_____________。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：_____________、_____________、_____________、_____________、_____________。
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a、b均为正数，a（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：__________________________。
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1所示，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，原来的绿地与现在铺过小路后的绿地的长与宽的比值是否相等？为什么？
图1
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。
解：（1）略
（2）>
（3）给一正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数
（4）如图2所示，由a图2
（5）两块绿地的长与宽的比值不相等。理由略。
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全为正数，情况如何？
课时作业：
A等级
1. 下列各式中，，，分式有 ( )
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 当时，下列分式有意义的是 ( )
A． B． C． D．
3. 与式子相等的是 ( )
A． B． C． D．
4. 下列等式中正确的是 ( )
A． B． C． D．
5. 分式约分结果是 ( )
A． B． C． D．
6. 若分式中，a，b都乘以2，那么分式的值 ( )
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
7. 若分式的值为正数，则x的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
8. 若分式的值为0，则x的值是 ( )
A．1 B．－1 C．1 D．0
9. 计算的结果是 ( )
A． B． C． D．
10. 计算的结果为 ( )
A．x5 B．x6 C．2x5 D． x
11.分式，，的最简公分母是 ( )
A． 12abc B．－12abc C． D．
12.计算的结果是 ( )
A． B． C． D．
13.下列运算中，计算结果正确的是 ( )
A． B．2a＋3b=5a b C． D．
14.2004年全年国内生产总值可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元．136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为 ( )
A．1.365×10元 B．1.3652×10元 C．13.65×10元 D．1.365×10元
15. 计算： 的结果是 ( )
A．－1 B．0 C． D．
16.，则的值为 ( )
A．1 B．－1 C．0 D．3
17. 方程，，,
中，分式方程有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18. 解分式方程的结果是 （ ）
A． B． C． D．无解
19. 的分子和分母各加上同一个数后，所得的值是2，则这个数是 （ ）
A．4 B．－4 C．－5 D．5
20.如果，那么用y的代数式表示x为 （ ）
A． B． C． D．
21. 若关于x的分式方程无解，则m等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22. 使代数式等于零的a的值为 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
23. 若分式与的值互为倒数，则x等于 （ ）
A．－2 B．2 C． D．
24. 甲乙两个班的学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用天数与乙班植树70棵所用天数相等. 设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是（ ）
A． B． C． D．
B等级
25. 当x_________时，分式的值是正数；当x_________时，分式的值等于－1 ．
26. 当x_________时，分式有意义；当x_________时，分式有意义．
27. 约分：＝_________；＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
28. ，．
29. 通分：,，最简公分母是___________．
30. 小李要打一份12000字的文件，第一天她打字2小时，打字速度为w字/分，第二天她打字速度比第一天快了10字/分，并打完全部文件，第二天她打字用了___________分
31. 某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米．
32. ＝____________．
33. 化简：＝__________．
34. 计算：_____________．
35. 化简（a b－b2）÷的结果是_________．
36. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用
3天，现在比原来每天节约用水_____________吨．
37. 方程的根是___________．
38. 若与互为相反数，则x＝_________．
39. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务．甲单独做需要12天完成．求乙独做需要多少天？设乙独做需要x天，则可列方程________________________．
40. 使分式方程产生增根的m的值________．
41. 若分式与分式的值相等，则_______．
42. 已知，，则用x的代数式表示y，y ＝_________．
C等级
43．
44．先化简，再求值：，其中a=－3。
45．已知，求代数式的值．
46．请你先化简下式，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数值代入求值：。
47．已知，求的值．
48.先化简代数式，然后请你自取一组a、b的值代入求值(所取a、b的值要保证原代数式有意义)．
49.已知实数x、y满足，求代数式的值．
50．已知，求．
课时作业答案
A等级
1. B. 2. A. 3.D. 4. D. 5.A. 6.A. 7.C. 8.A.
9. C. 10. A. 11. D. 12. A. 13. B. 14. A. 15. A. 16. C.
17. B. 18. D.19. C. 20. D. 21. B. 22. A. 23. B. 24. D.
B等级
25. 小于1；等于1. 26. 不等于0且不等于1；为一切实数. 27. ;.
28. ; a . 29. . 30. .31. 1.2×. 32. 1 . 33. x＋3 . 34. 16y . 35. b. 36. .37. . 38.. 39. . 40. 3. 41. . 42. .
C等级
43. 44.化简得
45. 原式=-.，值为-3，2.23。 46.原式=2x-1,值略 47.，48
48.m+n 49.,原式= 50. 原式=
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第十六章 分式
第2课时 16.2分式的运算
本节内容主要涉及到分式的加减乘除乘方及混合运算。这些内容是在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解的基础上进行的。通过与分数运算的类比学习分式的运算为今后继续学习代数运算、统计、概率等奠定基础。教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.
分式及其运算是本章的重点，分式的异分母加减运算及分式方程变形是本章的难点。掌握分式的加、减、乘、除运算法则，能进行简单的分式运算。由于分式的运算与整式、分数运算相比运算步骤增多，符号变化更复杂，方法更灵活，不仅需要掌握基本知识和基本方法，而且要具有细心、耐心、不畏艰难的良好心理素质和善于灵活应变的能力。
点击一：分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积得分子， 分母的积作为积得分母
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
针对练习1:
1． ·（-）等于（ ）C
A．6xyz B．- C．-6xyz D．6x2yz
2．计算：·．
答案：
3.÷等于（ ）C
A． B．b2x C．- D．-
4．计算：÷．
答案：
5．（-）÷6ab的结果是（ ）D
A．-8a2 B．- C．- D．-
6．-3xy÷的值等于（ ）A
A．- B．-2y2 C．- D．-2x2y2
7．若x等于它的倒数，则÷的值是（ ）A
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
8．计算：（xy-x2）·=________．答案：-x2y
9．将分式化简得，则x应满足的条件是________．答案：x≠0
10．下列公式中是最简分式的是（ ）C
A． B． C． D．
11．计算·5（a+1）2的结果是（ ）B
A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1
12．（2005·南京市）计算÷．答案：
13．已知+=，则+等于（ ）B
A．1 B．-1 C．0 D．2
点击二：分式的乘方
分式的乘方要把分子、分母分别乘方
针对练习2：
1．计算：（-）3．答案：-
2．（-）2n的值是（ ）C
A． B．- C． D．-
点击三：分式的乘方、乘除混合运算
要注意运算顺序，先算乘方后算乘除
针对练习3：
1．计算：（）2÷（）·（-）3．答案：
2．计算（）2·（）3÷（-）4得（ ）A
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
3．计算（）·（）÷（-）的结果是（ ）B
A． B．- C． D．-
4．（-）2n+1的值是（ ）D
A． B．- C． D．-
5．化简：（）2·（）·（）3等于（ ）B
A． B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z
6．计算：（1）÷（x+3）·；答案：-
（2）÷·．答案：
点击四：分式的加减运算
1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减
2、异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减
如果分式的分母是多项式的，先把它分解因式，然后通分，转化为同分母
分式相加减。
（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分
（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：
（3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
针对练习4：
1．计算：+=________．
2．计算：- =________．
3．计算：+=________．
4．计算：++．
5．计算：+=________．
答案：1．1 2． 3． 4．0 5．
点击五：整数指数幂
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是整数)；
（3）积的乘方：(n是整数)；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0，m,n是整数)
（5）商的乘方：(n是整数)；
（6）0指数幂的规定，即当a≠0时，.
（7）负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
针对练习5：
1、 2、 3、
4. 5.
点击六：科学计数法
小于1的正数可以用科学计数法表示为a×10-n的形式，其中a是整数数位只有一位的正数，n是正整数。
针对练习6：
(1)0.000 000 001=____________， (2)0.001 2=_____________，
(3)0.000 000 345=____________， (4)-0.000 03=____________，
(5)0.000 000 010 8=___________， (5)3780 000=____________
类型之一：分式的分子和分母都是单项式的乘除运算
解法：直接按法则运算
例1计算：（1）； （2）.
解：（1）=；
（2）=
说明：分式乘以分式，当分式的分子和分母都是单项式时，可直接按乘法法则运算即可；分式的除法运算，应先将除法转化成乘法，再按乘法法则运算。运算结果如能约分，应约分，将结果化成最简形式。
类型二：分式的分子和分母都是多项式的乘除运算
解法：先分解因式，再按法则运算。
例2计算：（1）； （2）.
解：（1）=；
（2）=.
说明：分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再根据乘除法的法则进行运算。分子、分母能约分的要约分，从而使运算简化或结果简单。
类型三：分式的乘除混合运算
解法：先将除法转化为乘法，再乘法法则运算。
例3计算：
解：
说明：乘除是同一级运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算，运算时将除法转化成乘法，再按乘法法则进行运算。当整式与分式一起进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的式子，然后依照分式乘除法则进行运算。
类型四：分式乘方与乘除混合运算
解法：先乘方，再乘除。
例4计算
解：原式 ===
说明：含有乘方、乘除的混合运算，应先算乘方，再算乘除。运算中还应注意符号问题。
类型五：同分母分式加减法
解法：分母不变，只把分子相减分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
例5：计算
[解析] 此题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
类型六：异分母分式加减法
解法：先把分母进行因式分解，然后确定最简公分母，进行通分
例6：计算：
[解析] 此题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：=
====
类型七：整数指数幂的运算
例8：计算：
（1） （2）
[解析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数
指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
类型八：用科学计数法表示小于1的整数
例9 纳米是非常小的长度单位，1纳米=米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？
[解析] 本例题是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.
一、填空题
1．计算：．
2．计算：．
3．计算：．
4．计算：．
5．计算：．
6．若则．
7．若x＋y＝－1，则．
8．．
二、选择题
9．时，代数式的值是( )
A． B． C． D．
10．化简的结果是( )
A． B． C． D．
11．下面的计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
12．化简分式的结果是( )
A．10 B． C． D．
13．计算的结果是( )
A．1 B．x＋1 C． D．
三 计算
1 2 8a2b4·
3 4
5 6
7 8
9化简：．10．化简：．
11．已知，则 12．求 的值
13．已知，求代数式的值
14．化简： 15．化简：
16． 17．
18． 19．
答案
一、
1．1 2． 3． 4．
5． 6．14 7． 8．
二、
9．B 10．B 11．C 12．C 13．C
三 1. 2 -6a3b 3 4.x 5. 1 6 . 7. 8. 9. -10. 11.24 12.1 13.1+ 14.x+4 15.x 16..a+b 17. 18.-2 19.
一、选择题（每题3分，计24分）
1．·（-）等于（ ）
A．6xy B．- C．-6xy D．6x2yz
2．计算（）2·（）3÷（-）4得（ ）
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
3.下列算式中，你认为正确的是( B )
A． B．
C． D．
4．如果,则m为（ ）
A．y2 B．axy2 C．－axy2 D．y4
5．计算+-得（ ）
A．- B． C．-2 D．2
6.已知:又则用z表示x的代数式应为( )
A. B. C. D.
7．计算（1-）（-1）的正确结果是（ ）
A． B．- C． D．-
8．一件工作，甲、乙二人合作需t小时完成，甲单独做需s小时完成，乙单独做需要的小时数是（ ）
A．s-t B． C．- D．
二、填空题（每题3分，计24分）
9. ．
10. （08年中考）已知,则代数式的值为 ．
11. 在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 ．
12．若（x-3）—2有意义，则x_______．
13．计算：+=________．
14.已知且，则当时，的值等于 ．
15. 某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 ．
16．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时________千米．
三、解答题（共28分）
17．（6分）（1）计算：·÷；
（2）化简：（-2m2n—3）·（3m—3n—1）．使结果只含有正整数指数幂．
18.已知，，求的值．
19．（8分）化简求值：.（选择你所喜欢的值代入）
有一道题：“先化简，再求值：，其中“x=一”．小亮同学做题时把“x= 一”错抄成了“=”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么一回事．
四、拓广探索（共16分）
20．（8分）特殊的问题中往往蕴含有一些规律与技巧，当一个问题出现时，不妨先观察一下问题的特征，探究出规律再应用于解题，这是数学中常用的“特殊── 一般──应用”方法．请先阅读材料，再解题．
计算-=，即有=-．
例如：等．
试用上式计算：++．
21．（8分）甲、乙两人两次同时在同一个粮店买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元，若用、表示两次购买粮食的单价.
（1）用含有、的代数式表示：甲两次购买粮食共需付粮款多少元？乙两次共购买多少千克粮食？若甲两次购粮的平均单价为每千克元，乙两次购粮的平均单价为每千克元，则、分别是多少？
（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.
22．(8分)解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等.
（1）设A＝－，B＝，求A与B的积；
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C
二、填空题
9. 10. 4 11. ：答案不惟一如：
12．x≠3 13． 14. 15. 分钟 16．
三、解答题
17．（1）原式=·；
（2）原式=．
18.解：原式=．
当时，原式=1．
（注：本题若直接代入求值正确，也相应给分）
19．原式=
取x=5，则原式=．
四、拓广探索
20．原式=
21.（1）甲：（）元，乙：（）千克；，.
（2），所以，故乙的购粮方式合算.
22. （1）.
（2）“逆向”问题一：
已知，，求．
解答：．
“逆向”问题二：
已知，，求．
解答：
．
“逆向”问题三：
已知，求．
解答：．
本题为开放题，只要将“”作为条件之一的数学问题，都是问题（1）的“逆向”问题．
1．（巧解题）已知x2-5x-1 997=0，则代数式的值是（ ）C
A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002
2．（学科综合题）使代数式÷有意义的x的值是（ ）D
A．x≠3且x≠-2 B．x≠3且x≠4
C．x≠3且x≠-3 D．x≠-2且x≠3且x≠4
3．（数学与生活）王强到超市买了a千克香蕉，用了m元钱，又买了b千克鲜橙，也用了m元钱，若他要买3千克香蕉2千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．
答案：（+）元
4. 已知│3a-b+1│+（3a-b）2=0．求÷[（）·（）]的值．
答案：-1
5. 已知两个分式：A=，B=+，其中x≠±2，下面有三个结论：①A=B；②A·B=0；③A+B=0．请问哪个正确？为什么？
答：③正确．理由：因为B=-==-．
6.按下列程序计算：
（1）填表。
输入n 3 …
输出答案 1 1
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简。
解：（1）均填1
（2）
7.小玲遇到一道题：“先化简，再求的值，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的。请你解释这是怎么回事。
解：
因为或时，x2的值均为3，原式的计算结果都为7，所以把“”错抄成了“”，计算结果也是正确的。
8.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦）代入下式求值：
解：
当时，原式
注意：这里的a不能取1，否则分母的值为0，原式就没有意义了。同学们可选择不等于1的任意实数，只要求出的值均可。
9.先化简，再求值：，其中a满足。
解：原式
因
注意：如果先求a的值，则由得或，但切不能把代入求值（尽管答案也是），因为由原式的分母不等于0，可知a不能取1。
10.（1）请你任意写出五个正的真分数：___________、___________、___________、_____________、_____________。请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：_____________、_____________、_____________、_____________、_____________。
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a、b均为正数，a
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1所示，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，原来的绿地与现在铺过小路后的绿地的长与宽的比值是否相等？为什么？
图1
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题。请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。
解：（1）略
（2）>
（3）给一正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数
（4）如图2所示，由a
（5）两块绿地的长与宽的比值不相等。理由略。
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全为正数，情况如何？
课时作业：
A等级
1. 下列各式中，，，分式有 ( )
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 当时，下列分式有意义的是 ( )
A． B． C． D．
3. 与式子相等的是 ( )
A． B． C． D．
4. 下列等式中正确的是 ( )
A． B． C． D．
5. 分式约分结果是 ( )
A． B． C． D．
6. 若分式中，a，b都乘以2，那么分式的值 ( )
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
7. 若分式的值为正数，则x的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
8. 若分式的值为0，则x的值是 ( )
A．1 B．－1 C．1 D．0
9. 计算的结果是 ( )
A． B． C． D．
10. 计算的结果为 ( )
A．x5 B．x6 C．2x5 D． x
11.分式，，的最简公分母是 ( )
A． 12abc B．－12abc C． D．
12.计算的结果是 ( )
A． B． C． D．
13.下列运算中，计算结果正确的是 ( )
A． B．2a＋3b=5a b C． D．
14.2004年全年国内生产总值可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元．136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为 ( )
A．1.365×10元 B．1.3652×10元 C．13.65×10元 D．1.365×10元
15. 计算： 的结果是 ( )
A．－1 B．0 C． D．
16.，则的值为 ( )
A．1 B．－1 C．0 D．3
17. 方程，，,
中，分式方程有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18. 解分式方程的结果是 （ ）
A． B． C． D．无解
19. 的分子和分母各加上同一个数后，所得的值是2，则这个数是 （ ）
A．4 B．－4 C．－5 D．5
20.如果，那么用y的代数式表示x为 （ ）
A． B． C． D．
21. 若关于x的分式方程无解，则m等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22. 使代数式等于零的a的值为 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
23. 若分式与的值互为倒数，则x等于 （ ）
A．－2 B．2 C． D．
24. 甲乙两个班的学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用天数与乙班植树70棵所用天数相等. 设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是（ ）
A． B． C． D．
B等级
25. 当x_________时，分式的值是正数；当x_________时，分式的值等于－1 ．
26. 当x_________时，分式有意义；当x_________时，分式有意义．
27. 约分：＝_________；＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
28. ，．
29. 通分：,，最简公分母是___________．
30. 小李要打一份12000字的文件，第一天她打字2小时，打字速度为w字/分，第二天她打字速度比第一天快了10字/分，并打完全部文件，第二天她打字用了___________分
31. 某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米．
32. ＝____________．
33. 化简：＝__________．
34. 计算：_____________．
35. 化简（a b－b2）÷的结果是_________．
36. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用
3天，现在比原来每天节约用水_____________吨．
37. 方程的根是___________．
38. 若与互为相反数，则x＝_________．
39. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务．甲单独做需要12天完成．求乙独做需要多少天？设乙独做需要x天，则可列方程________________________．
40. 使分式方程产生增根的m的值________．
41. 若分式与分式的值相等，则_______．
42. 已知，，则用x的代数式表示y，y ＝_________．
C等级
43．
44．先化简，再求值：，其中a=－3。
45．已知，求代数式的值．
46．请你先化简下式，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数值代入求值：。
47．已知，求的值．
48.先化简代数式，然后请你自取一组a、b的值代入求值(所取a、b的值要保证原代数式有意义)．
49.已知实数x、y满足，求代数式的值．
50．已知，求．
课时作业答案
A等级
1. B. 2. A. 3.D. 4. D. 5.A. 6.A. 7.C. 8.A.
9. C. 10. A. 11. D. 12. A. 13. B. 14. A. 15. A. 16. C.
17. B. 18. D.19. C. 20. D. 21. B. 22. A. 23. B. 24. D.
B等级
25. 小于1；等于1. 26. 不等于0且不等于1；为一切实数. 27. ;.
28. ; a . 29. . 30. .31. 1.2×. 32. 1 . 33. x＋3 . 34. 16y . 35. b. 36. .37. . 38.. 39. . 40. 3. 41. . 42. .
C等级
43. 44.化简得
45. 原式=-.，值为-3，2.23。 46.原式=2x-1,值略 47.，48
48.m+n 49.,原式= 50. 原式=
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