16.3分式方程及应用
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第十六章 分式
第3课时 16.3分式方程及应用
理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，初步了解分式方程产生增根的原因．掌握解分式方程验根的方法．能够列出一些可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．
学习本章的知识应注重下列数学方法的巩固和训练：
1，类比的思想 在学习过程要注意不断地与分数的情形类比，以加深对分式知识的理解和运用，列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本一致，验根这一步也是必不可少的．
2，转化的思想 解分式方程时，把方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，所以必须进行验根．
点击一：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程
分式方程的重要特征：（1）是等式；（2）含分母；（3）分母中含有未知数
分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式 方程，分母中不含有未知数的方程式整式方程。
针对练习1:指出下列方程中的分式方程
答案：（1）(3)(4)(5)(6)(7)
点击二：解分式方程
解分式方程的基本思想：
把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解
解分式方程的方法：
在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程
解分式方程的解的两种情况：
1 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根
原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根
产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零
验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根。
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整
2．解这个整式方程；――解整
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。——验根
针对练习2：解方程(1) （2）
（3） （4）
答案：（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=
点击三：分式方程的增根
利用分式方程的增根求待定字母的值，一般是先把分式方程化为整式方程，再把所有可能的未知数（增根）的值代人整式方程，从而求出待定字母系数的值．
针对练习3:
１．若方程有增根，则ｍ的值为（ ）．
（Ａ）３ （Ｂ）９ （Ｃ）３或９ （Ｄ）不确定
２．若方程有增根，则的值为 ．
３．若方程无解，则ｋ的值为 ．
参考答案：１．Ｃ；２．－１；３．－１．
点击四：分式方程的应用
列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
1、审题分析题意
2、设未知数
3、根据题意找相等关系，列出方程；
4、解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5、写答案
解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.
针对练习4：
1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天
3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
答案：
1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时
类型之一：解分式方程
例1：解分式方程：
【解析】此题考查的是解分式方程。方程的左右两边同时乘以，得，解方程即可。
【答案】解：方程的左右两边同时乘以得
整理方程得，解得，经检验是方程的根。
例2：解分式方程：
【解析】此题考查的是解分式方程。方程的左右两边同时乘以，得，解方程即可。
【答案】解：方程两边同乘，
解这个方程，得 x=2
检验：当x=2时，=0，所以x=2是增根，原方程无解．
类型之二：分式方程的实际应用
例1： A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
解析：本题的基本关系式是：用水量＝。
设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元，依题意得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
解得x = 2。
经检验x = 2是原方程的解，所以1.25x = 2.5（元）。
答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。
例2： 甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？
解析：等量关系式：甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等。
设每天加工个玩具，那么乙每天加工（）个玩具，由题意得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
解得：
经检验：是原方程的根，所以。
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具。
例3 ：某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
解析：基本关系式：销售件数＝。
设此商品进价为元，
根据题意，得：。
解之，．
经检验之是原方程的根．
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 （件）．
答：此商品进价是元，第二个月共销售件．
例4 ：翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分．求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？
解析：基本关系式：耗用时间＝HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 。
设人工翻译每分钟翻译个字，则电脑翻译每分钟翻译75x个字，依题意，得
．
解之，得．
经检验，是原方程的解．
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，符合题意．
答：用人工翻译每分钟翻译22个字，电脑翻译每分钟翻译1 650个字．
类型之三：分式方程增根的应用
例１：若关于ｘ的方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 有增根，求ｍ的值．
解析： 去分母化为整式方程得，２ｘ＋１＝ｍ＋ｘ①，因为原方程有增根，则增根只能是ｘ＝３，把ｘ＝３代人方程①，得ｍ＝４．∴当ｍ＝４时，分式方程有增根．
例２：为何值时，分式方程有增根．
解析：去分母化为整式方程得，３(ｘ＋３)＋ｘ＝４（ｘ－３）①，因为原方程有增根，则增根只能是ｘ＝３或ｘ＝－３．将ｘ＝３代人方程①得，＝－６；将ｘ＝－３，代人方程①得，＝８．∴当＝－６或＝８时，分式方程有增根．
例３：若关于ｘ的方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＋３无解，求ｍ的值．
解析：去分母化为整式方程得，ｘ－４＝ｍ＋３（ｘ－５），解之得，，因为原方程无解，所以一定是原方程的增根，而原方程的增根只能是ｘ＝５，所以＝５，解得ｍ＝１．
1、 选择题
1. 方程，，,
中，分式方程有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 解分式方程的结果是 （ ）
A． B． C． D．无解
3. 的分子和分母各加上同一个数后，所得的值是2，则这个数是 （ ）
A．4 B．－4 C．－5 D．5
4. 如果，那么用y的代数式表示x为 （ ）
A． B． C． D．
5. 若关于x的分式方程无解，则m等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 使代数式等于零的a的值为 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
7. 若分式与的值互为倒数，则x等于 （ ）
A．－2 B．2 C． D．
8. 甲乙两个班的学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用
天数与乙班植树70棵所用天数相等. 设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是（ ）
A． B． C． D．
2、 填空题
9. 方程的解是________．
10. 关于x的分式方程的根是，则_______．
11. 如果方程有增根，那么增根是__________．
12. 分式与的值相等，则x＝_______．
13. 已知公式中的是已知数，则R＝_________．
14. 解方程：，得x＝_______．
3、 解答题
15. 解方程：．
16. 解方程：．
17. 解方程：．
18. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学速度．
19. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨玉米的一块土地，现在的总产量增加了20吨，原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
20. 某服装厂要在规定日期内生产一批服装，如果甲车间单独做则要超过1天才能完成，如果乙车间单独做则可提前1天完成，现在先由乙车间独做4天，余下的由甲车间接着做，正好按期完成，那么规定日期是多少天？
答案：一、1. B. 2. D. 3. C. 4. D. 5. B. 6. A. 7. B. 8. D.
二、9. . 10. 3. 11. . 12. 9. 13. . 14. －3.
三、15. . 16. 是增根舍去，所以原方程无解. 17.. 18. 设骑车同学速度为x千米/时，则.解得.经检验是原方程的根，答：骑车同学速度为15千米/时. 19. 设这块地有x公顷，则.解得，从而原来和现在玉米的平均每公顷产量分别是，. 20. 设规定日期为x天，则甲、乙独做分别需（x＋1）天，（x－1）天，甲、乙的工作效率分别是、.根据题意有.解得x＝9. 经检验知x＝9是所列方程的根，且符合题意. 答：规定日期为9天.
1、 选择题（每题4分，共32分）
1. 方程 的解是 （ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．0
2. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：.
若u＝12㎝，f＝3㎝，则v的值为 （ ）
A．8㎝ B．6㎝ C．4㎝ D．2㎝
3. 如果，且，那么等于 （ ）
A．0 B． C． D．没有意义
4. 已知a、b 为实数，且a b＝1，设M＝，N＝，则M、N的大小关系是 （ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
5. 已知，，则用z表示x的代数式是 （ ）
A． B． C． D．
6. 甲、乙两人同时从A地出发，步行15 km到B地，甲比乙每小时少走1 km，结果比乙晚
到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走x km，则列出方程是 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知，则n等于 （ ）
A． B． C． D．
8. 甲乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：
天数 第3天 第5天
工作进度
则完成这项工作共需 （ ）
A．9天 B．10天 C．11天 D．12天
2、 填空题（每题3分，共18分）
9. 方程的根是___________．
10. 若与互为相反数，则x＝_________．
11. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务．甲单独做需要12天完成．求乙独做需要多少天？设乙独做需要x天，则可列方程________________________．
12. 使分式方程产生增根的m的值________．
13. 若分式与分式的值相等，则_______．
14. 已知，，则用x的代数式表示y，y ＝_________．
3、 解答题（第15－19题每题8分，第20题10分，共50分）
15. 解方程：．
16. 解方程：．
17. 关于x的分式方程有增根，求k的值．
18. 轮船顺水航行80千米所需时间和逆水航行60千米所需时间相同，已知轮船在静水中的速度是每小时21千米．求水流速度．
19. 甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3 ：4，结果甲比乙提前20分到达目的地．求甲、乙的速度．
20. 有三堆数量相同的煤，用小卡车单独运第一堆煤的天数是用大卡车单独运第二堆煤所用天数的1.5倍，大小卡车同时运第三堆煤，6天运了一半．问大、小卡车单独运一堆煤各需多少天？
答案：
一、1. D. 2. C. 3. C. 4. B. 5. A. 6. B. 7. C. 8. A.
二、9. . 10.. 11. . 12. 3. 13. . 14. .
三、15. 是增根舍去，无解. 16. . 17. 去分母得 x＋2＋k (x－2) ＝3 如果x＝2，那么有4=3，矛盾；如果x＝－2，那么有－4k＝3，k＝，所以k＝. 18. 设水流速度为x千米/时，则.解得 x＝3. 经检验知x＝3是所列方程的解，且符合题意. 答：水流速度为3千米/时. 19.设甲、乙速度分别是3x千米/时、4x千米/时，则. 解得x＝. 经检验知x＝是所列方程的解，且符合题意. 从而 3x＝，4x＝6. 答：甲、乙速度分别是千米/时、6千米/时. 20.设大卡车单独运一堆煤所用天数为x，则小卡车单独运一堆煤所用天数为1.5x，根据题意有.解得x＝20.经检验，x＝20是方程的根，当x＝20时，1.5x＝30. 答：大、小卡车单独运一堆煤分别需20天、30天.
1. 已知方程＝1的解是；
＝２的解是；
＝３的解是；
＝４的解是．
问题：（１）观察上述方程及其解，再猜想（n为正整数）的解（不要求证明）；
（２）写出方程的解，并验证你写的解是否正确.
答案：（１）x1=n+1,x2=-
（2）x1=11,x2=－，把x＝11代入原方程，左边=11-=10=右边，
所以x=11是原方程的解；
把x=-代入原方程，左边=--=10=右边，
所以x=-也是原方程的解，因此解得正确.毛
2.编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答.编题要求：（1）要联系实际生活，其解符合实际；（2）根据题意列出的分式方程只含有两个分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；（3）题目完整，题意清楚.
3. 某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进价，利润率）
答案：解：设这种计算器原来每个的进价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根．
答：这种计算器原来每个的进价是40元．
课时作业：
A等级
1．分式方程的解为 ．
2．要使分式的值为，则的值为____________．
3．如果的值与的值相等，则___________．
4．若分式方程的解为，则的值为__________．
5．若关于的方程无解，则的值为___________．
6．下列方程中是分式方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．解分式方程，去分母后所得的方程是 （ ）
A． B． C． D．
8．化分式方程为整式方程时，方程两边必须同乘 （ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中，错误的是 （ ）
A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C．检验是解分式方程必不可少的步骤
D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
10．解方程：（1）； （2）+ 3 =HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ．
11．解方程：（1）； （2）．
12．若方程的一个解为，求代数式的值．
13．已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
B等级
1． 新农村，新气象，农作物播种全部实现机械化．已知一台甲型播种机4天播完一块地的一半，后来又加入一台乙型播种，两台合播，1天播完这块地的另一半．求乙型播种单独播完这块地需要几天？设乙型播种单独播完这块地需要x天，根据题意可列方程 ．
2． 小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王、小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x个零件，根据题意可列方程 ．
3． 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d ．
4． 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走．怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）．为解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土．列方程为 ①；②；③；④．上述所列方程，正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5． “五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x人，则所列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6． 某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
7． 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
8． 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？小明和同学买了科普书和文学书各多少本？
9． 某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
10．某单位将沿街的一部分房屋出租作为店面房，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
（1）求出租的房屋总间数；
（2）分别求历年每间房屋的租金．
C等级
1. 下列关于的方程，是分式方程的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2.解分式方程+=，下列四步中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是x2-1
B．方程两边都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6
C．解这个整式方程得：x=1
D．原方程的解为x=1
3. 若与互为相反数，则的值为（ ）.
（A） （B）－ （C）1 （D）－1
4. （2007年徐州）方程的解的情况是（ ）.
（A） （B） （C） （D）无解
5. 已知与的值互为倒数，则的值为（ ）。
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
6. 若方程有增根，则的值是（ ）.
（A）2 （B）3 （C）－3 （D）1
7. 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块实验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则可列出分式方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.十一”期间，红旗中学“东升文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“东升文学社”有x人，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
9.当____________时，分式的值为－1.
10.小明同学解分式方程，得出原方程的解为或.请认为他的解答对吗？请你作出判断，并说明理由：_______________________.
11.分式方程的解为 ．
12. 如果的值与的值相等，则___________.
13.若方程无解，则 ．
14. 已知,则代数式的值为 ．
15.在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 ．
16. 汛期将至，我军机械化工兵连的官兵为驻地群众办实事，计划加固驻地附近20千米的河堤。根据气象部门预测，今年的汛期有可能提前，因此官兵们发扬我军不怕苦，不怕累的优良传统，找出晚归，使实际施工速度提高到计划的1.5倍，结果比计划提前10天完成，问该连实际每天加固河堤多少千米？列方程解此实际问题时，若计划每天加固河堤x千米,则实际每天加固1.5x千米，根据题意可列方程为 _____________ .
17.解下列方程：
（1）；
（2）．
18.设，当为何值时，与的值相等？
19.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
20. 某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元。已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6m3，求该市今年居民用水的价格。
课时作业答案
A等级
1． 2．1 3．－1 4．5 5．1 6．A 7．C 8．D 9．A 10．（1）；（2）无解 11．（1）；（2）无解 12． 13．m＜－2
B等级
1． 2． 3． 4．C 5．B 6．B （1）60天，（2）24天 8．科普书7．5元/本、文学书5元/本；（2）科普书2本、文学书3本 9．此商品进价是元，第二个月共销售件． 10．（1）12间，（2）8000元、8500元
C等级
1.D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.1；
10.不对，因为时，分母为零，无意义，所以是原方程的增根；
11. －1；
12. ；
13.答案不唯一，只要符合题意即可，略；
14.4；
15. 1；
16. ；
17.（1）；（2）是增根，原方程无解．
18. 解：当时，．
．
方程两边同时乘以，得
．
．
．
检验：当时，．
是分式方程的根．
因此，当时，．
19. 解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需x天，
根据题意，得 ＋＝1.
解这个方程，得x＝25.
经检验，x＝25是所列方程的根.
当x＝25时，x＝20.
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．
20. 设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年用水价格为（1＋25%）x元/m3。根据题意，得＝6。解这个方程，得x＝1.8。经检验，x＝1.8是原方程的解，则（1＋25%）x＝2.25（元/m3）。
答：该市今年居民用水的价格为2.25元/m3。
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第十六章 分式
第3课时 16.3分式方程及应用
理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，初步了解分式方程产生增根的原因．掌握解分式方程验根的方法．能够列出一些可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题．
学习本章的知识应注重下列数学方法的巩固和训练：
1，类比的思想 在学习过程要注意不断地与分数的情形类比，以加深对分式知识的理解和运用，列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本一致，验根这一步也是必不可少的．
2，转化的思想 解分式方程时，把方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，所以必须进行验根．
点击一：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程
分式方程的重要特征：（1）是等式；（2）含分母；（3）分母中含有未知数
分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式 方程，分母中不含有未知数的方程式整式方程。
针对练习1:指出下列方程中的分式方程
答案：（1）(3)(4)(5)(6)(7)
点击二：解分式方程
解分式方程的基本思想：
把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解
解分式方程的方法：
在方程的两边同乘最简公分母，就可约去分母，化成整式方程
解分式方程的解的两种情况：
1 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根
原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根
产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零
验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根。
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整
2．解这个整式方程；――解整
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。——验根
针对练习2：解方程(1) （2）
（3） （4）
答案：（1）x=18 （2）原方程无解 （3）x=1 （4）x=
点击三：分式方程的增根
利用分式方程的增根求待定字母的值，一般是先把分式方程化为整式方程，再把所有可能的未知数（增根）的值代人整式方程，从而求出待定字母系数的值．
针对练习3:
１．若方程有增根，则ｍ的值为（ ）．
（Ａ）３ （Ｂ）９ （Ｃ）３或９ （Ｄ）不确定
２．若方程有增根，则的值为 ．
３．若方程无解，则ｋ的值为 ．
参考答案：１．Ｃ；２．－１；３．－１．
点击四：分式方程的应用
列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
1、审题分析题意
2、设未知数
3、根据题意找相等关系，列出方程；
4、解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5、写答案
解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.
针对练习4：
1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天
3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
答案：
1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时
类型之一：解分式方程
例1：解分式方程：
【解析】此题考查的是解分式方程。方程的左右两边同时乘以，得，解方程即可。
【答案】解：方程的左右两边同时乘以得
整理方程得，解得，经检验是方程的根。
例2：解分式方程：
【解析】此题考查的是解分式方程。方程的左右两边同时乘以，得，解方程即可。
【答案】解：方程两边同乘，
解这个方程，得 x=2
检验：当x=2时，=0，所以x=2是增根，原方程无解．
类型之二：分式方程的实际应用
例1： A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
解析：本题的基本关系式是：用水量＝。
设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元，依题意得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
解得x = 2。
经检验x = 2是原方程的解，所以1.25x = 2.5（元）。
答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。
例2： 甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？
解析：等量关系式：甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等。
设每天加工个玩具，那么乙每天加工（）个玩具，由题意得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
解得：
经检验：是原方程的根，所以。
答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具。
例3 ：某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
解析：基本关系式：销售件数＝。
设此商品进价为元，
根据题意，得：。
解之，．
经检验之是原方程的根．
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 （件）．
答：此商品进价是元，第二个月共销售件．
例4 ：翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分．求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？
解析：基本关系式：耗用时间＝HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 。
设人工翻译每分钟翻译个字，则电脑翻译每分钟翻译75x个字，依题意，得
．
解之，得．
经检验，是原方程的解．
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，符合题意．
答：用人工翻译每分钟翻译22个字，电脑翻译每分钟翻译1 650个字．
类型之三：分式方程增根的应用
例１：若关于ｘ的方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 有增根，求ｍ的值．
解析： 去分母化为整式方程得，２ｘ＋１＝ｍ＋ｘ①，因为原方程有增根，则增根只能是ｘ＝３，把ｘ＝３代人方程①，得ｍ＝４．∴当ｍ＝４时，分式方程有增根．
例２：为何值时，分式方程有增根．
解析：去分母化为整式方程得，３(ｘ＋３)＋ｘ＝４（ｘ－３）①，因为原方程有增根，则增根只能是ｘ＝３或ｘ＝－３．将ｘ＝３代人方程①得，＝－６；将ｘ＝－３，代人方程①得，＝８．∴当＝－６或＝８时，分式方程有增根．
例３：若关于ｘ的方程HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ＋３无解，求ｍ的值．
解析：去分母化为整式方程得，ｘ－４＝ｍ＋３（ｘ－５），解之得，，因为原方程无解，所以一定是原方程的增根，而原方程的增根只能是ｘ＝５，所以＝５，解得ｍ＝１．
1、 选择题
1. 方程，，,
中，分式方程有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 解分式方程的结果是 （ ）
A． B． C． D．无解
3. 的分子和分母各加上同一个数后，所得的值是2，则这个数是 （ ）
A．4 B．－4 C．－5 D．5
4. 如果，那么用y的代数式表示x为 （ ）
A． B． C． D．
5. 若关于x的分式方程无解，则m等于 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 使代数式等于零的a的值为 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
7. 若分式与的值互为倒数，则x等于 （ ）
A．－2 B．2 C． D．
8. 甲乙两个班的学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用
天数与乙班植树70棵所用天数相等. 设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是（ ）
A． B． C． D．
2、 填空题
9. 方程的解是________．
10. 关于x的分式方程的根是，则_______．
11. 如果方程有增根，那么增根是__________．
12. 分式与的值相等，则x＝_______．
13. 已知公式中的是已知数，则R＝_________．
14. 解方程：，得x＝_______．
3、 解答题
15. 解方程：．
16. 解方程：．
17. 解方程：．
18. 八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学速度．
19. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a吨，原来产m吨玉米的一块土地，现在的总产量增加了20吨，原来和现在玉米的平均每公顷产量各是多少？
20. 某服装厂要在规定日期内生产一批服装，如果甲车间单独做则要超过1天才能完成，如果乙车间单独做则可提前1天完成，现在先由乙车间独做4天，余下的由甲车间接着做，正好按期完成，那么规定日期是多少天？
答案：一、1. B. 2. D. 3. C. 4. D. 5. B. 6. A. 7. B. 8. D.
二、9. . 10. 3. 11. . 12. 9. 13. . 14. －3.
三、15. . 16. 是增根舍去，所以原方程无解. 17.. 18. 设骑车同学速度为x千米/时，则.解得.经检验是原方程的根，答：骑车同学速度为15千米/时. 19. 设这块地有x公顷，则.解得，从而原来和现在玉米的平均每公顷产量分别是，. 20. 设规定日期为x天，则甲、乙独做分别需（x＋1）天，（x－1）天，甲、乙的工作效率分别是、.根据题意有.解得x＝9. 经检验知x＝9是所列方程的根，且符合题意. 答：规定日期为9天.
1、 选择题（每题4分，共32分）
1. 方程 的解是 （ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．0
2. 一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：.
若u＝12㎝，f＝3㎝，则v的值为 （ ）
A．8㎝ B．6㎝ C．4㎝ D．2㎝
3. 如果，且，那么等于 （ ）
A．0 B． C． D．没有意义
4. 已知a、b 为实数，且a b＝1，设M＝，N＝，则M、N的大小关系是 （ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
5. 已知，，则用z表示x的代数式是 （ ）
A． B． C． D．
6. 甲、乙两人同时从A地出发，步行15 km到B地，甲比乙每小时少走1 km，结果比乙晚
到半小时，两人每小时各走几千米？设甲每小时走x km，则列出方程是 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知，则n等于 （ ）
A． B． C． D．
8. 甲乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：
天数 第3天 第5天
工作进度
则完成这项工作共需 （ ）
A．9天 B．10天 C．11天 D．12天
2、 填空题（每题3分，共18分）
9. 方程的根是___________．
10. 若与互为相反数，则x＝_________．
11. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务．甲单独做需要12天完成．求乙独做需要多少天？设乙独做需要x天，则可列方程________________________．
12. 使分式方程产生增根的m的值________．
13. 若分式与分式的值相等，则_______．
14. 已知，，则用x的代数式表示y，y ＝_________．
3、 解答题（第15－19题每题8分，第20题10分，共50分）
15. 解方程：．
16. 解方程：．
17. 关于x的分式方程有增根，求k的值．
18. 轮船顺水航行80千米所需时间和逆水航行60千米所需时间相同，已知轮船在静水中的速度是每小时21千米．求水流速度．
19. 甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3 ：4，结果甲比乙提前20分到达目的地．求甲、乙的速度．
20. 有三堆数量相同的煤，用小卡车单独运第一堆煤的天数是用大卡车单独运第二堆煤所用天数的1.5倍，大小卡车同时运第三堆煤，6天运了一半．问大、小卡车单独运一堆煤各需多少天？
答案：
一、1. D. 2. C. 3. C. 4. B. 5. A. 6. B. 7. C. 8. A.
二、9. . 10.. 11. . 12. 3. 13. . 14. .
三、15. 是增根舍去，无解. 16. . 17. 去分母得 x＋2＋k (x－2) ＝3 如果x＝2，那么有4=3，矛盾；如果x＝－2，那么有－4k＝3，k＝，所以k＝. 18. 设水流速度为x千米/时，则.解得 x＝3. 经检验知x＝3是所列方程的解，且符合题意. 答：水流速度为3千米/时. 19.设甲、乙速度分别是3x千米/时、4x千米/时，则. 解得x＝. 经检验知x＝是所列方程的解，且符合题意. 从而 3x＝，4x＝6. 答：甲、乙速度分别是千米/时、6千米/时. 20.设大卡车单独运一堆煤所用天数为x，则小卡车单独运一堆煤所用天数为1.5x，根据题意有.解得x＝20.经检验，x＝20是方程的根，当x＝20时，1.5x＝30. 答：大、小卡车单独运一堆煤分别需20天、30天.
1. 已知方程＝1的解是；
＝２的解是；
＝３的解是；
＝４的解是．
问题：（１）观察上述方程及其解，再猜想（n为正整数）的解（不要求证明）；
（２）写出方程的解，并验证你写的解是否正确.
答案：（１）x1=n+1,x2=-
（2）x1=11,x2=－，把x＝11代入原方程，左边=11-=10=右边，
所以x=11是原方程的解；
把x=-代入原方程，左边=--=10=右边，
所以x=-也是原方程的解，因此解得正确.毛
2.编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答.编题要求：（1）要联系实际生活，其解符合实际；（2）根据题意列出的分式方程只含有两个分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；（3）题目完整，题意清楚.
3. 某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润售价进价，利润率）
答案：解：设这种计算器原来每个的进价为元，
根据题意，得．
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根．
答：这种计算器原来每个的进价是40元．
课时作业：
A等级
1．分式方程的解为 ．
2．要使分式的值为，则的值为____________．
3．如果的值与的值相等，则___________．
4．若分式方程的解为，则的值为__________．
5．若关于的方程无解，则的值为___________．
6．下列方程中是分式方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．解分式方程，去分母后所得的方程是 （ ）
A． B． C． D．
8．化分式方程为整式方程时，方程两边必须同乘 （ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法中，错误的是 （ ）
A．分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解
B．解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程
C．检验是解分式方程必不可少的步骤
D．能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解
10．解方程：（1）； （2）+ 3 =HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ．
11．解方程：（1）； （2）．
12．若方程的一个解为，求代数式的值．
13．已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
B等级
1． 新农村，新气象，农作物播种全部实现机械化．已知一台甲型播种机4天播完一块地的一半，后来又加入一台乙型播种，两台合播，1天播完这块地的另一半．求乙型播种单独播完这块地需要几天？设乙型播种单独播完这块地需要x天，根据题意可列方程 ．
2． 小王做90个零件所需要的时间和小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两人共做35个机器零件．求小王、小李每小时各做多少个零件？设小王每小时做x个零件，根据题意可列方程 ．
3． 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d ．
4． 某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走．怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）．为解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土．列方程为 ①；②；③；④．上述所列方程，正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5． “五一”期间，东方中学“动感数学”活动小组的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“动感数学”活动小组有x人，则所列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
6． 某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林公顷，根据题意列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
7． 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
8． 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？小明和同学买了科普书和文学书各多少本？
9． 某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了件，并且商场第二个月比第一个月多获利元．问此商品的进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
10．某单位将沿街的一部分房屋出租作为店面房，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．
（1）求出租的房屋总间数；
（2）分别求历年每间房屋的租金．
C等级
1. 下列关于的方程，是分式方程的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
2.解分式方程+=，下列四步中，错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是x2-1
B．方程两边都乘以（x2-1），得整式方程2（x-1）+3（x+1）=6
C．解这个整式方程得：x=1
D．原方程的解为x=1
3. 若与互为相反数，则的值为（ ）.
（A） （B）－ （C）1 （D）－1
4. （2007年徐州）方程的解的情况是（ ）.
（A） （B） （C） （D）无解
5. 已知与的值互为倒数，则的值为（ ）。
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
6. 若方程有增根，则的值是（ ）.
（A）2 （B）3 （C）－3 （D）1
7. 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块实验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则可列出分式方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.十一”期间，红旗中学“东升文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“东升文学社”有x人，则所列方程为（ ）
A. B. C. D.
9.当____________时，分式的值为－1.
10.小明同学解分式方程，得出原方程的解为或.请认为他的解答对吗？请你作出判断，并说明理由：_______________________.
11.分式方程的解为 ．
12. 如果的值与的值相等，则___________.
13.若方程无解，则 ．
14. 已知,则代数式的值为 ．
15.在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 ．
16. 汛期将至，我军机械化工兵连的官兵为驻地群众办实事，计划加固驻地附近20千米的河堤。根据气象部门预测，今年的汛期有可能提前，因此官兵们发扬我军不怕苦，不怕累的优良传统，找出晚归，使实际施工速度提高到计划的1.5倍，结果比计划提前10天完成，问该连实际每天加固河堤多少千米？列方程解此实际问题时，若计划每天加固河堤x千米,则实际每天加固1.5x千米，根据题意可列方程为 _____________ .
17.解下列方程：
（1）；
（2）．
18.设，当为何值时，与的值相等？
19.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
20. 某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元。已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6m3，求该市今年居民用水的价格。
课时作业答案
A等级
1． 2．1 3．－1 4．5 5．1 6．A 7．C 8．D 9．A 10．（1）；（2）无解 11．（1）；（2）无解 12． 13．m＜－2
B等级
1． 2． 3． 4．C 5．B 6．B （1）60天，（2）24天 8．科普书7．5元/本、文学书5元/本；（2）科普书2本、文学书3本 9．此商品进价是元，第二个月共销售件． 10．（1）12间，（2）8000元、8500元
C等级
1.D 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.1；
10.不对，因为时，分母为零，无意义，所以是原方程的增根；
11. －1；
12. ；
13.答案不唯一，只要符合题意即可，略；
14.4；
15. 1；
16. ；
17.（1）；（2）是增根，原方程无解．
18. 解：当时，．
．
方程两边同时乘以，得
．
．
．
检验：当时，．
是分式方程的根．
因此，当时，．
19. 解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需x天，
根据题意，得 ＋＝1.
解这个方程，得x＝25.
经检验，x＝25是所列方程的根.
当x＝25时，x＝20.
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．
20. 设该市去年居民用水的价格为x元/m3，则今年用水价格为（1＋25%）x元/m3。根据题意，得＝6。解这个方程，得x＝1.8。经检验，x＝1.8是原方程的解，则（1＋25%）x＝2.25（元/m3）。
答：该市今年居民用水的价格为2.25元/m3。
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