第1课时 勾股定理
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第十八章 勾股定理
第7课时 勾股定理
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
通过本节课的学习理解并掌握勾股定理及其证明；能够灵活地运用勾股定理及其计算；培养学生观察、比较、分析、推理的能力；通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。本节课的重点是勾股定理的证明和应用；难点是勾股定理的证明。
点击一：勾股定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2 = c2．
即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．
因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：
（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；
（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；
（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．
如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．
请读者证明．
如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab = 2ab．
由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2 =（b－a）2＋2ab，则a2＋b2 = c2问题得证．
请同学们自己证明图（2）、（3）．
点击三：在数轴上表示无理数
将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：
，，，
所以.即.
也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.
点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则
c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,
点击六：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、、的点，即作出长为的线段．
针对练习:
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
A．-10 B．--10
C．2 D．-2
5．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
8．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55
9.已知直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线为1，求它的面积.
10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.
答案：1．D 2．C 3． C 4．D 5．A 6．C 7．C 8．C
9. 解：∵斜边上的中线为1，
∴斜边长为2，即，
∴.
∴.
10. 解：这里，.
∵，
=262＋4×120=1156.
又∵，
∴，
∴周长=.
11. 解：∵AC＋BC=17，AB=13.
∴，
又·，
∴（cm）.
类型之一：勾股定理
例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．
解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．
解：由勾股定理，得
132－52=144，所以另一条直角边的长为12．
所以这个直角三角形的面积是×12×5 = 30（cm2）．
例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到
顶点B,则它走过的最短路程为( )
A． B． C．3a D．
解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的
各棱长相等,因此只有一种展开图．
解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．
由图知AC=2a,BC=a．
根据勾股定理得
故选D．
类型之二：在数轴上表示无理数
例3：在数轴上作出表示的点．
解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．
解：以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为的线段即可．
类型之三：勾股定理的证明与应用
例1：如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形证明勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
解析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的．此题是对学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习．
解：（1）图形要规范、正确．如图，写出是直角梯形．
（2）∵ S梯形 =， S梯形 =
∴. 整理，得 .
（3）拼出能证明勾股定理的图形即可．下面举出三种拼图方法：
例2：（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.
（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）
解析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5①
由勾股定理，得a2+b2=13②.
①2 – ②，得 2ab=12.
∴(a-b)2 = a2+b2-2ab=13 –12 =1③.
即 所求的中间小正方形的面积为1.
（2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm2)，所以，可按照图甲制作.
由③，得a-b=1.
由①、③组成方程组解得 a=3，b=2.
结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-×3×2×4=13-12=1(cm2)，恰好等于中间的小正方形面积. 于是，得到以下分割拼合方法：
小结：例1拼合、例2分割相得益彰．
例3：据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
⑵根据⑴的规律，用(为奇数且≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
⑶继续观察4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用(为偶数且＞4)的代数式来表示他们的股和弦.
解析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识．
解：(1)∵，；，；
∴7，24，25的股的算式为
弦的算式为
(2)当为奇数且≥3，勾、股、弦的代数式分别为：， ，.
例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：
证明关系式①：弦－股＝
或证明关系式②：
∴猜想得证．
(3)例如探索得，当为偶数且＞4时，股、弦的代数式分别为：
，
例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股.
即上一组为：， ，(为奇数且≥3)，
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：， ， (为奇数且≥3)，
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+ A2＝++()＝＝＝ B2.
或B1+ C2＝ B2+ C1(证略)等等.
例4：如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 .
(1) S1=S2+S3 .
(2) S1=S2+S3 . 证明如下：
显然，S1=，S2=， S3=，
∴S2+S3==S1 .
(也可用三角形相似证明)
(3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 . 证明如下：
∵ 所作三个三角形相似， ∴
.
(4) 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3
下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用
例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．
OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8
解：；；；；；；；；这8条线段的长的乘积是
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
（A）13 （B）19 （C）25 （D）169
解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.
由题意，得 (b-a)2=1 ②.
由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.
把①代入③，得 13-2ab=1
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.
因此，选C.
说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
赵爽在这本书中，画了一个弦图：
两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2.
他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”
即2ab+（b-a）2=c2
化简便得出：a2+b2=c2
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1： 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解析： 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.即本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有
∴ ∠2＝∠C
又
∴
∴CD的长是2.4cm
（二）求面积
例2： （1）观察图形思考并回答问题
（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；
正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；
正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.
②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
（2）做一做：
①观察图1－3、图1－4，并填写下表：
②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
（3）议一议：
①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？
解析： 注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：
①9 9 9 9 18 18；
②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；
③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.
（2）①答案：
②答案：.
（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）
；
②，
.
③成立.
（三）作线段
例3 作长为、、的线段．
解析： 作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；
2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；
3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．
证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，
∵AB>0，
∴AB=．
其他同理可证．
点评 由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是．类似地也可作出……；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看．
（四）证明平方关系
例4： 已知：如图，在中，，是边上的中线，于，求证：.
解析： 根据勾股定理，在中，，在中，，在中，，
∴.
又∵，∴.
点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.
（五）实际应用
例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30 方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解析 （1）由点A作AD⊥BC于D，
则AD就为城市A距台风中心的最短距离
在Rt△ABD中，∠B=30 ，AB＝220，
∴AD=AB=110.
由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．
故该城市会受到这次台风的影响．
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，
将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，
该城市都会受到这次台风的影响.
由勾股定理得
∴EF＝2DE＝60.
因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，
所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
一、 选择题
1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）
（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、12
2、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）
A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，68
3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）
（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米
5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S、S、S，则S、S、S之间的关系是（ ）
（A）S+S>S （B）S+S（C）S+S=S （D）S+S=S
二、填空题
1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.
2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．
3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .
6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为 m（结果保留根号）
8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而
c2＝ ＋ ．化简后即为c2＝ ．
9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .
12、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.
13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝，12＝，24＝，…，若设某组数的第一个数为，则这组数为（， ， ）．
三、解答题
1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1） 分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：
a = ，b = ，c =
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
2、若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：
根据以上规律，回答以下问题：
（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？
（2） 写出各数都大于30的两组商高数．
（3） 用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．
3、阅读并填空：
寻求某些勾股数的规律：
⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到和，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ．
⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为，则有；
若勾股数为5，12，13，则有；
若勾股数为7，24，25，则有 ；……
若勾股数为(为奇数)，， ，则有 ，用来表示＝ ；
当时，则＝ ，此时勾股数为 ．
⑶对于大于4的偶数：
若勾股数为6，8，10，因为，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．
4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.
5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形. 证：△ABF≌△DAE
6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出的值．
【参考答案】
一、 选择题
1、C 2、D 3、B 4、B 5、C
二、填空题
1、3；2、6.5；3、判断一个三角形是直角三角形分类讨论8；4、6；5、100mm；6、10；7、80；8、，b2 – a2，a2+b2 ； 9、4，6；10、13；11、（或4096）12、③；13、，
三、解答题
1、解：（1）n2-1 2 n n2+1
（2）答：以a、b、c为边的三角形是直角三角形
证明：∵a2+ b2=(n2-1)2+4 n2= n4-2 n2+1+4 n2= n 4+2 n2+1=( n2+1)2=c2
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
2、分析：由题中给出的五组商高数的构成形式，便可掌握商高数的构成规律，从而得到商高数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．
解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数．
（2）（40，42，58，），（119，120，169）
（3）a = 2mn， b = m2 – n2， c = m2 + n2
证明：a2 +b2 = (2 m n)2+ ( m2 – n2)2
= 4m2n2 +m4 -2m2n24
= m4 +2m2n2+n4 = (m2+n2 )2
∴ a2+b2 = c2
3、⑴
⑵ 144 （17，144，145）
⑶
当时，，
当偶数为24的勾股数：（24，143，145）
4、证明：四边形为直角梯形，
Rt Rt，.
.
（或：矩形绕点旋转，AC旋转到的位置，则）
.
.
5、分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角.
∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.
在Rt△ABF与△DAE中，∠BAF=∠ADE，AB=AD ∴△ABF≌△DAE(AAS).
6、解：（1）
（2）∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OA10＝
（3）
一、选择题
1、 如图，字母A所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ）
A、13 B、85 C、8 D、都不对
2、 在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
3、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
4、 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2:3:4 B、3:4:6 C、5:12:13 D、4:6:7
5、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（ ）
A、 B、 C、 D、
6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）
A、1:2:1 B、 C、1:4:1 D、12:1:2
7、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ）
A、81 B、82 C、83 D、84
8、若直角三角形中，有一个锐角为，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、12cm
9、如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（ ）
A、AC2+DC2=AD2 B、AD2－DE2＝AE2
C、AD2=DE2+AC2 D、BD2－BE2＝BC2
10.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）
A、6，4 B、62，4 C、62，4 D、6， 4
二、填空：
1、在△ABC中， ∠C＝90°，a，b，c分别为∠A ∠B ∠C的对边
（1）若a=6，c=10则b=
（2）若a=12，b=5 则c=
（3）若c=25，b=15则a=
（4）若a＝16，b=34则b=
2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.
3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是
4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为
5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，则图中阴影部分的面积是
6、在Rt△ABC中，且BC=136则AC=
7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为
8、 △ABC中， 则a:b:c=
9、 三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为
10、 有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围
三解答题
1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米
（1）求苗圃的占地面积
（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米
2、如图在四边形ABCD中，求正方形DCEF的面积
3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长
4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．
5、如图己知在△ABC中，垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．
6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？
参考答案：
一、1、A2、C3、B4、C5、C6、B7、D8、D9、D10、C
二、1、（1）8（2）13（3）20（4）30，
2、锐
3、24
4、50
5、
6、102
7、
8、
9、
10、
三、1、（1）48米2（2）60米2
2、169
3、15
4、
5、8cm
6、480元
1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.
2. 如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能验证勾股定理的图形。
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形验证勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形吗 请画出拼后的示意图(无需验证)
3．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边．”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”； 王华同学说: “第三边长是．” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
4．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m．这辆小汽车超速了吗？
答案：1. ∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，
∴∠BAC=∠BAC′. ∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+c2+ab=.
∴=. ∴a2+b2=c2.
2.(1)图形规范、正确 ， 写出是直角梯形即可；
(2) = (a＋b)2
==ab＋ c2
(a＋b)2=ab＋ c2 整理，得a2+b2=c2
(3)拼出能验证勾股定理的图形．可参照课本学习内容．常见的有以下几种：
3．分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为．（2）略．
4．AC=30，AB=50，则BC=
km/h>70km/h
即超速了．
课时作业：
A等级
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B. C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
B等级
1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则∠A、∠B、∠C的对边、、之间的关系是＝_______．
2．直角三角形两直角边的长分别为5和12，则斜边长是 ，斜边上的高长是 ．
3．放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是40米/分，小华15分钟到家，小夏20分钟到家，小华和小夏家的直线距离是______米．
4．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图
所示，地毯的长度至少需要___________m．
5．在△ABC中，∠C为直角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）a＝9，b＝12，求c；
（2）a＝9，c＝41，求b；
（3）a＝11，b＝13，求以c为边的正方形的面积．
6．如图，在四边形中，∠，∠，
AD＝1，AB＝2，CD＝，求BC的长.
8．如下图中分别以Rt△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径向外作半圆，以三边为边向外作正三角形，在第一个图形中，因为Rt△ABC三边满足，所以S1+S2＝S3；在第二个和第三个图形中，等式S1+S2＝S3还成立吗？为什么？
C等级
1．已知Rt△ABC中，＝25，：＝3︰4, 则＝ ，＝ ．
2．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，斜边的长是_______ cm．
3．等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为___________．
第4题
7．图中是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，请按要求连结正方形的顶点，在下列图中画出直角三角形，并注明各边的长度：
（1）请在第一个图形中画出一个直角三角形，使三边的长度都是有理数；
（2）请在第二个图形中画出一个直角三角形，使两条直角边长度是有理数，斜边的长度是无理数；
（3）请在第三个图形中画出一个直角三角形，使两条直角边长度是无理数，斜边的长度是有理数；
（4）请在第四个图形中画出一个直角三角形，使三边的长度都是无理数．
课时作业答案：
A等级答案：
1.D 2.B 3.C 4.5; 10; 13; 25 5.169 6.中空正方形的面积为，也可表示为，∴=，整理得. 7.100m2 8.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为.（2）略 9.28cm
B等级答案：
1． 2．13、 3．1000 4．17
5．（1）＝25；（2）＝40； （3）以c为边的正方形的面积是290
6．在Rt△DAB中，∵，AD＝1，AB＝2，∴＝＝5，
在Rt△DBC中，∵，＝5，CD＝，
∴BC＝＝＝5．
8．在第二个和第三个图形中，等式S1+S2＝S3仍然成立．
在第二个图形中，＝＝，＝＝，＝＝，∵，∴＋＝，∴S1+S2＝S3．
在第三个图形中，＝，＝，＝，∵，∴＋＝，∴S1+S2＝S3．
C等级答案：
1．15、20 2．25 3． 4．125
7．如图，答案不唯一
a
b
c
（图1）
（1）
（2）
（3）
A
B
C
a
b
c
l
A
B
图3⑴
A
B
C
图3⑵
图甲
图乙
3cm
3cm
0.5cm
eq \r(13)cm
1cm
1cm
0.5cm
3cm
2cm
eq \r(13)cm
2cm
60
120
140
B
60
A
C
第5题图7
a
b
c
ab
A
A
D
A
A
B
C
b
c
第4题图
B
C
D
A
C＇
B＇
a
b
c
D＇
第5题图
S1
S2
S3
3m
4m
20m
D
A
C
C
B
A
D
13m
5m
第4题
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
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第十八章 勾股定理
第7课时 勾股定理
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。
通过本节课的学习理解并掌握勾股定理及其证明；能够灵活地运用勾股定理及其计算；培养学生观察、比较、分析、推理的能力；通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。本节课的重点是勾股定理的证明和应用；难点是勾股定理的证明。
点击一：勾股定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2 = c2．
即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．
因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：
（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；
（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；
（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．
如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．
请读者证明．
如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab = 2ab．
由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2 =（b－a）2＋2ab，则a2＋b2 = c2问题得证．
请同学们自己证明图（2）、（3）．
点击三：在数轴上表示无理数
将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：
，，，
所以.即.
也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.
点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则
c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2,
点击六：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、、的点，即作出长为的线段．
针对练习:
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
A．-10 B．--10
C．2 D．-2
5．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
8．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）
（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55
9.已知直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线为1，求它的面积.
10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.
答案：1．D 2．C 3． C 4．D 5．A 6．C 7．C 8．C
9. 解：∵斜边上的中线为1，
∴斜边长为2，即，
∴.
∴.
10. 解：这里，.
∵，
=262＋4×120=1156.
又∵，
∴，
∴周长=.
11. 解：∵AC＋BC=17，AB=13.
∴，
又·，
∴（cm）.
类型之一：勾股定理
例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．
解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．
解：由勾股定理，得
132－52=144，所以另一条直角边的长为12．
所以这个直角三角形的面积是×12×5 = 30（cm2）．
例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到
顶点B,则它走过的最短路程为( )
A． B． C．3a D．
解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的
各棱长相等,因此只有一种展开图．
解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．
由图知AC=2a,BC=a．
根据勾股定理得
故选D．
类型之二：在数轴上表示无理数
例3：在数轴上作出表示的点．
解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．
解：以为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为的线段即可．
类型之三：勾股定理的证明与应用
例1：如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形证明勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
解析：本题第（1）问要求的构图实际上是美国第十七任总统加菲尔德首先提出的．此题是对学生的操作、探索、创新思维等能力的考查，属操作实验题，该题较好地体现新课改的精神，以学生为本；要求考生拼拼、画画后再证明结论，这样的考查方式比以往直接给出结论要求学生证明的方式更有意义，考生在拼拼、画画、证明结论的过程中，感受数学知识的形成与发展的过程，既考查了学生通过观察、操作、实验等合情推理的方式发现数学结论的能力，也让考生初步体会了科学发现的一些过程；第（3）问具有开放性，其解决过程和答案都是多元化的，通过具体问题情景的设置，对考生的创新精神、实践能力和探究能力进行考查，以此引导学生学会学习．
解：（1）图形要规范、正确．如图，写出是直角梯形．
（2）∵ S梯形 =， S梯形 =
∴. 整理，得 .
（3）拼出能证明勾股定理的图形即可．下面举出三种拼图方法：
例2：（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开. 大会会标如图甲. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5. 求中间小正方形的面积.
（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形.
（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）
解析：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为a-b. 由题意得a+b=5①
由勾股定理，得a2+b2=13②.
①2 – ②，得 2ab=12.
∴(a-b)2 = a2+b2-2ab=13 –12 =1③.
即 所求的中间小正方形的面积为1.
（2）所拼成的正方形的面积为6.5×2= 13(cm2)，所以，可按照图甲制作.
由③，得a-b=1.
由①、③组成方程组解得 a=3，b=2.
结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为13-×3×2×4=13-12=1(cm2)，恰好等于中间的小正方形面积. 于是，得到以下分割拼合方法：
小结：例1拼合、例2分割相得益彰．
例3：据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
⑵根据⑴的规律，用(为奇数且≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
⑶继续观察4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用(为偶数且＞4)的代数式来表示他们的股和弦.
解析：本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明. 由题中给出的勾股数的构成形式，便可掌握勾股数的构成规律，从而得到勾股数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识．
解：(1)∵，；，；
∴7，24，25的股的算式为
弦的算式为
(2)当为奇数且≥3，勾、股、弦的代数式分别为：， ，.
例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：
证明关系式①：弦－股＝
或证明关系式②：
∴猜想得证．
(3)例如探索得，当为偶数且＞4时，股、弦的代数式分别为：
，
例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股.
即上一组为：， ，(为奇数且≥3)，
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：， ， (为奇数且≥3)，
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+ A2＝++()＝＝＝ B2.
或B1+ C2＝ B2+ C1(证略)等等.
例4：如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2 .
(1) S1=S2+S3 .
(2) S1=S2+S3 . 证明如下：
显然，S1=，S2=， S3=，
∴S2+S3==S1 .
(也可用三角形相似证明)
(3) 当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3 . 证明如下：
∵ 所作三个三角形相似， ∴
.
(4) 分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3
下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用
例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．
OA1 OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8
解：；；；；；；；；这8条线段的长的乘积是
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
（A）13 （B）19 （C）25 （D）169
解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.
由题意，得 (b-a)2=1 ②.
由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.
把①代入③，得 13-2ab=1
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.
因此，选C.
说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
赵爽在这本书中，画了一个弦图：
两个全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）.
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. ”开方除之是当时开方运算的术语. 上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2.
他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四. 以勾股之差自相乘中黄实. 加差实亦成弦实. ”
即2ab+（b-a）2=c2
化简便得出：a2+b2=c2
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1： 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
解析： 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC，再运用三角形面积公式得到，于是不难求CD.即本题的解题关键是先用勾股定理求AC，再用“面积法”求CD.
解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有
∴ ∠2＝∠C
又
∴
∴CD的长是2.4cm
（二）求面积
例2： （1）观察图形思考并回答问题
（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；
正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；
正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.
②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
（2）做一做：
①观察图1－3、图1－4，并填写下表：
②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
（3）议一议：
①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？
解析： 注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：
①9 9 9 9 18 18；
②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；
③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.
（2）①答案：
②答案：.
（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）
；
②，
.
③成立.
（三）作线段
例3 作长为、、的线段．
解析： 作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；
2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；
3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．
证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，
∵AB>0，
∴AB=．
其他同理可证．
点评 由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是．类似地也可作出……；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看．
（四）证明平方关系
例4： 已知：如图，在中，，是边上的中线，于，求证：.
解析： 根据勾股定理，在中，，在中，，在中，，
∴.
又∵，∴.
点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.
（五）实际应用
例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30 方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
解析 （1）由点A作AD⊥BC于D，
则AD就为城市A距台风中心的最短距离
在Rt△ABD中，∠B=30 ，AB＝220，
∴AD=AB=110.
由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．
故该城市会受到这次台风的影响．
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，
将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，
该城市都会受到这次台风的影响.
由勾股定理得
∴EF＝2DE＝60.
因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，
所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
一、 选择题
1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）
（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、12
2、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（ ）
A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，68
3、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）
（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米
5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S、S、S，则S、S、S之间的关系是（ ）
（A）S+S>S （B）S+S
二、填空题
1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.
2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．
3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .
6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
7、如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160 m，则A、B两点之间的距离为 m（结果保留根号）
8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而
c2＝ ＋ ．化简后即为c2＝ ．
9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 ．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是 ．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 .
12、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.
13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝，12＝，24＝，…，若设某组数的第一个数为，则这组数为（， ， ）．
三、解答题
1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1） 分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：
a = ，b = ，c =
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
2、若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2 ，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：
根据以上规律，回答以下问题：
（1） 商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？
（2） 写出各数都大于30的两组商高数．
（3） 用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．
3、阅读并填空：
寻求某些勾股数的规律：
⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到和，……若把它扩大11倍，就得到 ，若把它扩大倍，就得到 ．
⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为，则有；
若勾股数为5，12，13，则有；
若勾股数为7，24，25，则有 ；……
若勾股数为(为奇数)，， ，则有 ，用来表示＝ ；
当时，则＝ ，此时勾股数为 ．
⑶对于大于4的偶数：
若勾股数为6，8，10，因为，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．
4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.
5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形. 证：△ABF≌△DAE
6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出的值．
【参考答案】
一、 选择题
1、C 2、D 3、B 4、B 5、C
二、填空题
1、3；2、6.5；3、判断一个三角形是直角三角形分类讨论8；4、6；5、100mm；6、10；7、80；8、，b2 – a2，a2+b2 ； 9、4，6；10、13；11、（或4096）12、③；13、，
三、解答题
1、解：（1）n2-1 2 n n2+1
（2）答：以a、b、c为边的三角形是直角三角形
证明：∵a2+ b2=(n2-1)2+4 n2= n4-2 n2+1+4 n2= n 4+2 n2+1=( n2+1)2=c2
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形
2、分析：由题中给出的五组商高数的构成形式，便可掌握商高数的构成规律，从而得到商高数的一般形式，这是一个由特殊到一般的思维过程．
解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数．
（2）（40，42，58，），（119，120，169）
（3）a = 2mn， b = m2 – n2， c = m2 + n2
证明：a2 +b2 = (2 m n)2+ ( m2 – n2)2
= 4m2n2 +m4 -2m2n24
= m4 +2m2n2+n4 = (m2+n2 )2
∴ a2+b2 = c2
3、⑴
⑵ 144 （17，144，145）
⑶
当时，，
当偶数为24的勾股数：（24，143，145）
4、证明：四边形为直角梯形，
Rt Rt，.
.
（或：矩形绕点旋转，AC旋转到的位置，则）
.
.
5、分析：在小学我们就知道，正方形的四条边相等，四个角都是直角.
∴∠BAF= 900-∠DAE=∠ADE.
在Rt△ABF与△DAE中，∠BAF=∠ADE，AB=AD ∴△ABF≌△DAE(AAS).
6、解：（1）
（2）∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，OA10＝
（3）
一、选择题
1、 如图，字母A所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ）
A、13 B、85 C、8 D、都不对
2、 在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
3、 等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ）
A、56 B、48 C、40 D、32
4、 若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（ ）
A、2:3:4 B、3:4:6 C、5:12:13 D、4:6:7
5、 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（ ）
A、 B、 C、 D、
6、 一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）
A、1:2:1 B、 C、1:4:1 D、12:1:2
7、 斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ）
A、81 B、82 C、83 D、84
8、若直角三角形中，有一个锐角为，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、12cm
9、如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（ ）
A、AC2+DC2=AD2 B、AD2－DE2＝AE2
C、AD2=DE2+AC2 D、BD2－BE2＝BC2
10.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是62和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ）
A、6，4 B、62，4 C、62，4 D、6， 4
二、填空：
1、在△ABC中， ∠C＝90°，a，b，c分别为∠A ∠B ∠C的对边
（1）若a=6，c=10则b=
（2）若a=12，b=5 则c=
（3）若c=25，b=15则a=
（4）若a＝16，b=34则b=
2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.
3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是
4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为
5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，则图中阴影部分的面积是
6、在Rt△ABC中，且BC=136则AC=
7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为
8、 △ABC中， 则a:b:c=
9、 三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为
10、 有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围
三解答题
1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米
（1）求苗圃的占地面积
（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米
2、如图在四边形ABCD中，求正方形DCEF的面积
3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长
4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．
5、如图己知在△ABC中，垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．
6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图米，BC=60米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？
参考答案：
一、1、A2、C3、B4、C5、C6、B7、D8、D9、D10、C
二、1、（1）8（2）13（3）20（4）30，
2、锐
3、24
4、50
5、
6、102
7、
8、
9、
10、
三、1、（1）48米2（2）60米2
2、169
3、15
4、
5、8cm
6、480元
1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.
2. 如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能验证勾股定理的图形。
(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形验证勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形吗 请画出拼后的示意图(无需验证)
3．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边．”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”； 王华同学说: “第三边长是．” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
4．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m．这辆小汽车超速了吗？
答案：1. ∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.
∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，
∴∠BAC=∠BAC′. ∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+c2+ab=.
∴=. ∴a2+b2=c2.
2.(1)图形规范、正确 ， 写出是直角梯形即可；
(2) = (a＋b)2
==ab＋ c2
(a＋b)2=ab＋ c2 整理，得a2+b2=c2
(3)拼出能验证勾股定理的图形．可参照课本学习内容．常见的有以下几种：
3．分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为．（2）略．
4．AC=30，AB=50，则BC=
km/h>70km/h
即超速了．
课时作业：
A等级
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B. C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
B等级
1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则∠A、∠B、∠C的对边、、之间的关系是＝_______．
2．直角三角形两直角边的长分别为5和12，则斜边长是 ，斜边上的高长是 ．
3．放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是40米/分，小华15分钟到家，小夏20分钟到家，小华和小夏家的直线距离是______米．
4．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图
所示，地毯的长度至少需要___________m．
5．在△ABC中，∠C为直角，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）a＝9，b＝12，求c；
（2）a＝9，c＝41，求b；
（3）a＝11，b＝13，求以c为边的正方形的面积．
6．如图，在四边形中，∠，∠，
AD＝1，AB＝2，CD＝，求BC的长.
8．如下图中分别以Rt△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，以三边为直径向外作半圆，以三边为边向外作正三角形，在第一个图形中，因为Rt△ABC三边满足，所以S1+S2＝S3；在第二个和第三个图形中，等式S1+S2＝S3还成立吗？为什么？
C等级
1．已知Rt△ABC中，＝25，：＝3︰4, 则＝ ，＝ ．
2．若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，斜边的长是_______ cm．
3．等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5,则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为___________．
第4题
7．图中是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，请按要求连结正方形的顶点，在下列图中画出直角三角形，并注明各边的长度：
（1）请在第一个图形中画出一个直角三角形，使三边的长度都是有理数；
（2）请在第二个图形中画出一个直角三角形，使两条直角边长度是有理数，斜边的长度是无理数；
（3）请在第三个图形中画出一个直角三角形，使两条直角边长度是无理数，斜边的长度是有理数；
（4）请在第四个图形中画出一个直角三角形，使三边的长度都是无理数．
课时作业答案：
A等级答案：
1.D 2.B 3.C 4.5; 10; 13; 25 5.169 6.中空正方形的面积为，也可表示为，∴=，整理得. 7.100m2 8.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为.（2）略 9.28cm
B等级答案：
1． 2．13、 3．1000 4．17
5．（1）＝25；（2）＝40； （3）以c为边的正方形的面积是290
6．在Rt△DAB中，∵，AD＝1，AB＝2，∴＝＝5，
在Rt△DBC中，∵，＝5，CD＝，
∴BC＝＝＝5．
8．在第二个和第三个图形中，等式S1+S2＝S3仍然成立．
在第二个图形中，＝＝，＝＝，＝＝，∵，∴＋＝，∴S1+S2＝S3．
在第三个图形中，＝，＝，＝，∵，∴＋＝，∴S1+S2＝S3．
C等级答案：
1．15、20 2．25 3． 4．125
7．如图，答案不唯一
a
b
c
（图1）
（1）
（2）
（3）
A
B
C
a
b
c
l
A
B
图3⑴
A
B
C
图3⑵
图甲
图乙
3cm
3cm
0.5cm
eq \r(13)cm
1cm
1cm
0.5cm
3cm
2cm
eq \r(13)cm
2cm
60
120
140
B
60
A
C
第5题图7
a
b
c
ab
A
A
D
A
A
B
C
b
c
第4题图
B
C
D
A
C＇
B＇
a
b
c
D＇
第5题图
S1
S2
S3
3m
4m
20m
D
A
C
C
B
A
D
13m
5m
第4题
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
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