第2课时 勾股定理逆定理

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第十八章 勾股定理
第8课时 勾股定理的逆定理
这节内容选自《人教版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十八章《勾股定理》的第二节，勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一个重要的方法。还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期。通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。掌握直角三角形的判别思想，会用勾股定理及逆定理解决实际问题。重点是理解并掌握勾股定理的逆定理并会应用；难点是理解勾股定理的逆定理的推导。
点击一： 勾股定理的逆定理
“如果直角三角形两直角边分别为a、b 、c，且满足 a＋b＝c ． 那么这个三角形是直角三角形．” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图1所示，在△ABC中，如果AC＋BC＝AB，那么△ABC就是直角三角形 ．
点击二．勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
联系：（1）两者都与a＋b＝c有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a＋b＝c”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a＋b＝c”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法 ．
特别说明：勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科学家们在实践中逐步发现和认识的，所以我们在学习勾股定理时，也应通过实践来认识和理解它 ． 如通过勾股数画图、剪纸、户外实践等活动认识和理解逆定理，这样才能使我们的印象深刻，认识清楚，理解透彻．
针对练习:
类型之一：勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想，在生产实践与现实生活中有着广泛的应用．
例1： 如图2所示，在△ABD中，∠A 是直角，AB＝3，AD ＝4，BC＝12，DC＝13，△DBC是直角三角形吗？为什么？
分析：要判断△DBC是不是直角三角形，首先要有它的三条边，而其中的BD边需要通过Rt△BAD得到，所以，解答这个问题的步骤应是，先由Rt△BAD中的AB、AD求得BD，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
解：是直角三角形 ．
理由：在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD＝AD＋AB＝33＋42＝25，所以BD＝5 ．
在△DBC中，BD＋BC＝25＋144＝169＝13＝CD ．
所以△DBC是直角三角形 ．
例2： 如图3所示，在某市的地图上有三个景点A、B、C，已知景点A、B之间的距离为0．4cm，景点C、D之间的距离为0．3cm，景点A、C之间的距离为0．5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
分析：要判别三角形是不是直角三角形只要验证AB＋BC＝AC即可 ．
解：因为0．3 ＋0．4＝0．5，所以这个三角形一定是直角三角形 ．
点评：在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数 ．
例3：如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
解析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.
解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.
又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.
又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，
则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，
∴CE=. ÷≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
1．在Rt△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论中正确的是（ ）．
A．∠C＝90° B．∠B＝90°
C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形
2．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( )．
A. 仍是直角三角形 B. 不可能是直角三角形
C. 是锐角三角形 D. 是钝角三角形
3．设一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边上的高为 ，斜边长为，则以 ，，为边的三角形的形状是（ ）．
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4．命题“互为相反数的两个数和为0”的逆命题是_________________________________．
5．已知三角形的三边长分别是，，，当＝________时，这个三角形是直角三角形．
6．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.
7．根据三角形的三边，，的长，判断三角形是不是直角三角形：
（1）＝11，＝60，＝61 （2）＝，＝1，＝
8．如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与
地面垂直，因此，从离地面6m的处向地面拉一条长6.5m的
钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5m，
请问：张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由．
9．如图，△ABC中，CD⊥AB于D， CD2＝AD·DB，
求证：△ABC是直角三角形．
10．如图所示，在四边形ABCD中，已知：
＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求的度数．
答案
第1课时
1．A 2．如果两个数和为0，这两个数是互为相反数
3．（1）∵＝3721，＝3721，∴，∴三角形是直角三角形；
（2）∵＝，＝，∴≠，∴三角形不是直角三角形．
4．张师傅的安装方法符合要求．
∵AB＝2.5m ，BC＝6m ，CA＝6.5m，∴，∴∠ABC＝90°．
第2课时
5．3 6．或 7．A 8．A
9．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2＋CD2 ①；
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝90°，∴BC2＝CD2＋BD2 ②；
①式＋②式得，AC2＋BC2＝2CD2＋AD2＋BD2
＝2AD·BD＋AD2＋BD2＝(AD＋BD)2＝AB2
∴△ABC是直角三角形．
10．设AB＝，则BC＝，CD＝，DA＝，
连结AC，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠B＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，
∴，
在△DAC中，∵，，
∴，
∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋45°＝135°．
一、选择题（本大题共8小题；每小题3分，共24分）
（下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填入题号后的括号内．）
1. 如图字母B所代表的正方形的面积是 （ ）
A. 12 B. 13
C. 144 D. 194
2. 观察下列几组数据：① 3, 4, 5；② 4, 5, 6；③6 ,8, 10；④7, 24, 25. 其中能作为直角三角三边长的有（ ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
3．如图小方格都是边长为1的正方形,四边形ABCD的面积（ ）
A. 25 B. 12.5　　 C. 9 D. 8.5
4．如果梯子的底端离建筑物AC的长度为5米，13米长的梯子可以达到该建筑物BC的高是 （ ）
A. 12米 B. 13 米 C. 14米 D. 15米
5．下列结论错误的是（ ）
A. 三个内角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形
B. 三条边长之比是3∶4∶5的三角形是直角三角形
C. 三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形
D. 三个内角之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形
6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A. 2n B. n+1 C. n2－1 D. n2+1
7．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆 B
柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短
的路线长是（ ）
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10cm A
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分）
把答案填在题中横线上．
9．如果直角三角形的直角边长为8k，斜边长为17k，那么另一条直角边长为 ．
10. 现有两根木棒，它们的长度分别是40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是
11. 如图在Rt中，CD是AB边上的高，
若AD=8，BD=2 ，则CD=
12．等腰三角形的周长是20cm,底边长是6cm,则
底边上的高是____________
13. 在Rt中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
AM=AC，BN=BC，则MN=_______
14．在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当 k=__________时，∠C=90°
三、解答题（本大题共6小题；共58分）
15．(8分) 小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗
16. (8分) 已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=。求：BC的长
17．(8分) 如图，生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的三分之一时，则梯子比较稳定．现有一长度为9m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米的墙头吗？
18. (10分) 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=6，AD=3，CD=4，求四边形ABCD的面积.
19．(10分)如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，
AB＝3cm，BC＝4cm．试说明△ABC是直角三角形．
20．(12分)如图，已知：等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12
求(1) △ABC的周长 (2) △ABC的面积
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B A C D C C
一、选择题
二、填充题
9．15k 10．30cm 11．4 12. 2 13．4 14．
三、解答题
15. 略 16. 24m
17．
点A为所求的对应点
18. 84 19. 略 20. 延长AD、BC相交于F，可求
21.
延长AC到E使CE=CA，延长BD到F使DF=AC，连结EF、BE交CD于M ，求得BE=50，总费用是150万.
1．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
3，4，5 32+42=52
5，12，13 52+122=132
7，24，25 72+242=252
9，40，41 92+402=412
… …
17，b，c 172+b2=c2
2．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．
（2）写出当a=17时，b，c的值．
3.已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.
4. 如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
答案：1．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形．
所以S△PBQ=BP·BQ=×（9－3）×6=18cm2．
2．（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），
则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．
证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），
∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，
∴m，n，（n+1）是一组勾股数．
（2）运用以上结论，当a=17时，
∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．
3. 证，用勾股定理逆定理得∠C=90°
4. 解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
课时作业：
A等级
1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（填“是”或“不是”）直角三角形．
2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
3．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=1
4．（分析判断题）在解答“判断由长为，2，的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：
解：设a=，b=2，c=．
因为a2+b2=（）2+22==c2．
所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？请说明理由．
5．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
7．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．
8．如果三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______．
9．A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示，则点C在点B的方位是_____．
10．如图所示，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2，CD=3，BC=5，求∠ADC的度数．
B等级
1.直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是___，斜边上的高是___。
2、等腰三角形的两边长为8cm和4cm，则底边上的高是_________，面积是______________。
3、已知等边三角形的边长为acm，则它的高是______________，面积是______________。
4、直角三角形两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为________________。
5、等腰三角形的周长为16，底边上的高为4，则此等腰三角形的面积为_____________。
6、三角形三边长分别a2+b2、2ab、a2-b2(a>b>0)，则这个三角形是（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
7、一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高之比为（ ）
A、3：4：5 B、5：4：3 C、20：15：12 D、10：8：3
8、以下列各组数为边长：①3、4、5；②10、12、13；③5、12、13；④3、5、7；⑤9、40、41，其中能构成直角三角形的仅有（ ）
A、①②③④⑤ B、①③⑤ C、①②③⑤ D、①③
9、下列三角形不是直角三角形的是（ ）
A、三角形三边长分别为5、12、13 B、三角形中有一边上的中线等于这边的一半
C、三角形的三个内角比为1：2：3 D、三角形的三边之比为
10、将直角三角形的三边长都扩大同样的倍数后，得到的三角形是（ ）
A、仍为直角三角形 B、可能是锐角三角形 C、可能是钝角三角形 D、不可能是直角三角形
11、△ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，D是AC上的一点，∠CDB=30°，BC=3cm，求AD、AC的长。
12、 如图3.17—3，△ABC的三边，且满足a2(c2-a2)=b2(c2-b2)，试判定此三角形的形状。
C等级
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8
2．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
7．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
课时作业答案：
A等级答案：
1．是 2．90° 点拨：BC2=AB2+AC2 3．C 点拨：计算两短边的平方和与最长边的平方比较．4．不正确．因为<2，<2，且（）2+（）2=22，即a2+c2=b2，
所以此三角形为直角三角形．5．B 点拨：有（1）（3）（4）三组． 6．C 7．直角三角形 点拨：BC2+AC2=AB2． 8． 9．正南方向
10．∵AB⊥AD，AB=2，AD=2，
∴BD=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 =4，
∴AB=BD，∠ADB=30°，
∵BD2+DC2=42+32=52，
∴BD2+DC2=BC2．
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．
B等级答案：
1、24cm2，4.8cm 2、 ， 3、 ， 4、 5、12 6、A 7、C 8、B 9、B 10、A 11、AD=BD=2BC=6cm 12、解： ∵ ，
∴BD⊥AC
∴
∵ ，
∴
∴ 。
C等级答案：
1.B 2.D 3.C 4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）
5.3或 6.120cm2 7.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故 △ABC的周长为2AB+BC=cm 8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD=km， ∴最低造价为120000元 9.设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米） 10．如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.
图1
C
B
A
图2
图3
A
M
E
N
C
B
B
A
C
A
C
B
N
M
A
B
C
D
L
M
E
F
D
B
C
A
B
12 5
C 路、 D..13 D 　A
B
A
C
D
.
A
C
P
B
A
C
P
B
E
第10题图
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网