第1课时平行四边形概念、平行四边形性质、判定

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第十九章 四边形
第9课时 平行四边形概念 平行四边形性质、判定
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．
点击一：平行四边形的定义
（1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形ABCD记作 ABCD
定义既是根本判定也是根本性质。一个四边形若两组对边分别平行则它是平行四边形；反之，一个四边形若是平行四边形，则它的两组对边分别平行。
（2）平行四边形的基本元素：
如图：邻边：AD与AB,AB与BC,BC与CD；CD与DA
对边：AD与BC;AB与DC
邻角：∠ABC与∠BCD; ∠BCD与∠CDA；
∠CDA与∠DAB；∠DAB与∠ABC
对角：∠ABC与∠CDA；∠DAB与∠BCD
对角线：AC；BD
点击二：平行四边形的性质
（1） 定义：两组对边分别平行
（2） 平行四边形的对边相等
（3） 平行四边形的对角相等
（4） 平行四边形的任何一组邻角都互补
（5） 平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点。
（6）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心
（7）夹在两条平行线间的平行线段相等
针对练习:
一、选择题
1.平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定
2.平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）
A.4，4，8，8 B.5，5，7，7
C.5.5，5.5，6.5，6.5 D.3，3，9，9
3. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°
.则∠ABC、∠CAB的度数分别为（ ）
A.28°，120° B.120°，28°
C.32°，120° D.120°，32°
4. 在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）D
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1
5下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A.对角互补 B.邻角互补 C.对角相等 D.对边相等.
6.在□ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=（ ）
A100° B.120° C.135° D.150°
二、填空题
7. .如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，
图中有 个平行四边形
8. 已知：平行四边形一边AB=12 cm,它的长是周长的，则BC=______ cm,CD=______ cm.
9.平行四边形的一组对角度数之和为200°，则平行四边形中较大的角为 .
10.. ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=________，∠B=________，
∠C=________，∠D=________.
11. 如图所示,,在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有________对
12.如图所示，在ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，CD至E，连结EF，则∠E+∠F=
三、解答题
13. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形.
14. 在□ABCD中, ∠A+∠C=160°, ,
求∠A,∠C,∠B,∠D的度数
15. .如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.
16. 如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.
答案：
一、1.B，提示：平行四边形的两邻角的和为180°，所以它们的角平分线的夹角为90°；2.B，提示：设相邻两边为根据题意得，解得；3. B，提示：根据平行四边形的性质对角相等得∠D＝∠ABC=120°邻角互补得∠CAB+∠CAD+∠D=180°，则∠CAB=180°-32°-120°=28°；4. D，提示：根据平行四边形的对角相等，得对角的比值相等故选D；5.A；6.B，由题意得∠A=60°，根据平行四边形的邻角互补，得∠B=180°-60°=120°；
二、7.3个即四边形ABCB′，C′BCA，ABA′C都是平行四边形；8.24 ，CD=12；9.100°，提示：先求出对角为100°，另一组对角为80°，所以较大的为100°；10.45°，135°，45°，135°11.4；15.70°，提示：根据平行四边形的对角互补得∠B=∠ADC=110°，则∠FDC=70°，再根据三角形的外角等于其不相邻的两个角的和，故为∠E+∠F=70°；
三、13. 证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°,又∵∠A＝∠C,∴∠C+∠D=180°,
∴AD∥CB, ∴四边形ABCD是平行四边形..
14.解:在□ABCD中, ∠A＝∠C,
又∵∠A+∠C=160°∴∠A＝∠C=80°
∵在□ABCD中AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,
∴∠B＝∠D=180°-∠A=180°-80°=100°
15. 解：∵ABCD,∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB= BD
∵BD⊥AD,∴BD===5
∴OB=
16. AE=CF；证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥CE，又∵AE∥CF
∴四边形AECF为平行四边形，AE=CF；
点击三：平行四边形的判定
（1）根据定义判定
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
注意:(1) 平行四边形判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当关系作为命题正确的构成条件
（2）这些判定方法既可作为判定一个四边形是否为平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据
针对练习2：
一、选择题
1.下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD，AB=CD
C.AB=CD ，AD∥BC D. AB∥CD，AD∥BC
2.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；② AB=CD, ③AD=BC，④∠A=∠C，⑤∠B=∠D，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同平行四边形的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（ ）
（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二、填空题
5.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，
需要增加条件 .（只需填上一个你认为正确的即可）.
6.如图所示，ABCD中，BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为
E、F，∠EBF=60°AF=3，CE=4.5，则∠C= ，
AB= ，BC= .
7.如图所示，在ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，
且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法
是根据 来证明.
8. 将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______.
三、解答题
9.已知：如图所示，在ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形.
10. 如图所示，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.
11. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形.
12. 如图，是平行四边形的对角线上的点，
．请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明：
答案：
一、1.C；2.B，提示：AD∥BC，添加条件①③④能使四边形ABCD成为平行四边形;3.C；4.B；
二、5. AD=BC（或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D）；6.30°，6，9；7.对角线互相平分；8. 3；
三、9.在ABCD中，AD=CB,AB=CD,∠D＝∠B，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF=BE，
又∵AB∥CD，AB=CD，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形.
10. 证明：∵ABCD
∴AB=CD,AB∥CD
∴∠1=∠2
AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF
∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF
∴AECF为平行四边形
11. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD
又∵AE=CF，∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形.
12. 猜想：，
证明：
证法一：如图第12－1．
四边形是平行四边形．
又
证法二：如图第12－2．
连结，交于点，连结，．
四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形
点击四：三角形中位线定理
连接三角形两边中点线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
类型之一：平行四边形的性质
例1：如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【关键词】平行四边形,等腰三角形的性质.
【解析】因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CED,所以CD=CE=6,则BE=2.
【答案】A.
【点评】以平行四边形为背景,重点考查了平行四边形和等腰三角形的性质.
例2：如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则ΔCEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
【关键词】等腰三角形的判定和性质,勾股定理,平行四边形的性质.
【解析】易知AB=BE=6,则CE=3.由平行四边形的性质可知CF=3.由勾股定理得AG=GE=2.又因为CE∥AD,所以EF=2,故周长可求。
【答案】A.
【点评】本题是个知识点的小综合题，在关注八年级的知识点的同时还要注意九年级的相似等有关知识的联想.
例3：如图，□ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： ．
【关键词】平行四边形的性质.
【解析】要使可以考虑证三角形ABF与三角形CDE全等或者证明四边形BEDF是平行四边形,所以答案不止一种.
【答案】
【点评】这是一道条件开放题,可以从不同的思考角度考虑来得到不同的答案,解这类题时要树立信心.
例4： 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，
∴　∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴　OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
例5：已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
解析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算
解略（参看教材P94）．
类型之二：平行四边形的判定
例1：如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）
A． B． C． D．
【关键词】平行四边形的判定。
【解析】对于D答案,可这样来推导:由容易得到AB∥CD和△CDE≌△BFE,进而得到CD=AB,故D正确.
【答案】D
【点评】要判定一个四边形是平行四边形,关键是要在掌握其判定定理的基础上再进行逐一选择.
例2：(2009年黄冈市)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．
【关键词】平行四边形的判定 直角三角形斜边上的中线
【答案】证明：∵点E为Rt△ABC的斜边中点，
∴EC＝EA＝EB
∴∠EAC＝∠ECA．
∵AF＝CE，CE＝EA
∴AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF．
∵∠ACB＝∠EDB＝90°
∴FD∥BC
∴∠AEF＝∠EAC
∴∠EAC＝∠ECA＝∠AFE＝∠AEF．
∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF＝180°－∠EAC－∠ECA＝∠AEC
∴AF∥CE
又∵AF＝CE
∴四边形ACEF是平行四边形
例3：已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴　∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴ B′C＝A′C．
同理　 B′A＝C′A， A′B＝C′B．
∴　△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例4：小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个
例5：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
解析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例6：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
解析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
类型之三：三角形中位线
例1：如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD．BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 ．
【关键词】平行四边形有关的计算
【解析】因为EF是△ABD的中位线，则AB＝6，又AB＝CD，所以CD＝6.
【答案】6.
例2：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
1..如图3,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)______________________.
2.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.
3.已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件，①AB∥CD，②AB＝DC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，⑤∠B＝∠C，能使四边形ABCD成为平行四边表的条件的序号是 .
4.已知，如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，则图中全等三角形共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
5.平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )
A. 66. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A. 一组对角相等； B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°
7.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（ ）B
（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种
8.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:
(1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(2)如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(4)如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形
其中正确的说法是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(3)(4) C.(2)(3) D.(2)(3)(4)
9.如图4，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形.
A.5 B.6 C.7 D.10
10.平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.
(1) 图中有哪些三角形全等 有哪些相等的线段
(2) 若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.
11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．
（1）求证：BE＝ DF；
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．
12．如图3,在格点图中，以格点A、B、C、D、E、F为顶点，你能画出多少个平行四边形？试在图中画出来．
13．如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明:四边形BFDE是平行四边形．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF=DE，则图中的平行四边形有哪些？说说你的理由．
15.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,E是边DA的延长线上一点, 且AE=AD,连结EC,分别交AB,BD于点F,G,证明:AF=BF.
16.（Ⅰ）已知：如图６，的对角线相交于
点，过点与分别相交于点．
求证：
（Ⅱ）请写出使如图７所示的四边形为平行四边形的
　条件（例如，填：且．在不添加辅
助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将
答案直接写在下面的横线上．）
答案
1.△AOD≌△COB等 2.68 3.①③⑤
4..A 5.D 6.B 7.B 8C 9D
10.(1) △ABD≌△CBD; △ADC≌△ABC; △AOD≌△COB;
△AOB≌△COD,AB=DC;AD=CB;OA=OC;OB=OD;(2)依题意知 AB+BC=10;AD-AB=BC-AB=6,联立方程组,解得AD=8;AB=2.
11.（1）在□ABCD中，因为AD∥BC,所以
又因为AO=CO,所以△AOF≌△COE,所以AF=CE,又因为AD=BC,所以AD－AF=BC－CE,即BE=DF;
(2)当E点与B点重合时,EF将□ABCD分成的四部分的面积相等.理由:由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等.同理, △ABO与△BOC的面积相等.,从而分成的四个三角形的面积相等
12．3个，ABEC，BDEC，BEFC
13．提示：说明OE=OF，OD=OB即可 
14．DBCF，ADCF，
提示：利用DE=FE，AE=CE可说明四边形ADCF为平行四边形；
利用BDCF可说明四边形DBCF为平行四边形．
15.解:在ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
又因为AE=AD,
所以AE∥BC,AE=BC.
四边形ACBE是平行四边形,
所以AF=BF.
16. （Ⅰ）：在中，
，．又，
．
．
（Ⅱ）(1)且（或两组对角分别相等）；
(2)且（或两组对边分别相等）；
(3)且（或是和的中点；或
与互相平分；或对角线互相平分）；
(4)且（或且；或一组对边平行且相等）．
(5) 且（或一组对边平行且一组对角相等）．
一、填空题
1、□ABCD中，∠A和∠B是一对邻角，如果∠A︰∠B=4︰5，那么∠A=_____，∠D=________.
2、一个菱形的边长与一个等腰直角三角形的直角边长相等，若菱形的一个内角为30°，则菱形的面积与等腰直角三角形的面积之比为________.
3、以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10为一腰，那么另一腰d的长度范围是________.
4、如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k=________.
5、已知：矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠BCE︰∠ECD=3︰1，那么∠ACE=________度.
二、选择题
6、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为 （ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
7、能够找到一点，使该点到各顶点的距离都相等的图形是（ ）
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④
8、等腰梯形ABCD中，对角线AC=BC＋AD，则∠DCB的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9、下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．角 B．任意三角形 C．矩形 D．等腰三角形
10、已知直角梯形的一条腰长为5厘米，这腰与底边成30°的角，则这梯形另一腰的长为（ ）
A．10厘米 B．5厘米 C．2.5厘米 D．7.5厘米
11、如图矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
12、已知一个四边形ABCD的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2＋b2＋c2＋d2=2ac＋2bd，则此四边形是（ ）
A．任意四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形 D．对角线相等的四边形
13、如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=40°，则∠ANM=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
14、如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）
A．ac＋bc－ab＋c2 B．ab－bc－ac＋c2 C．a2＋ab＋bc－ac D．b2－bc＋a2－ab
15、下图四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（3）
三、解答题
16、如图，若F为矩形ABCD外一点，且∠BFD=90°，求证：∠AFC=90°.
17、如图已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°，且AB=1，BC=CD=7，DE=3，求这个六边形的周长。
18、印刷一张矩形广告（如图），它的印刷面积为32平方分米，上下空白各1分米，两边空白各0.5分米，设印刷部分从上到下的长为x分米，四周空白处的面积为S平方分米。
写出S与x的关系式.
（2）当要求四周空白处的面积为18平方分米时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？
19、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，求BC于E，过F作FH∥AB，交BC于H.
求证： CE=BH.
20、已知，如图所示，正方形ABCD，E、M、F、N分别是AD、AB、BC、CD上的点，若EF⊥MN，求证：EF=MN.
参考答案
一 1 、 80° ， 100°
提示：利用邻角互补求解 .
2 、 1 ︰ 1
提示：设菱形边长为 x ，则面积:
　　　∴比为 1 ︰ 1.
3 、 7提示：如图，过 D 作 DE ∥ AB ，在△ DEC 中，可知 10 － 3即 74 、 8
5 、 45
提示：如图，连结 AC ，交 BD 于点 O ，则 OB=OC.
　　　由∠3 ＋∠2 ＋∠4=90 °，且∠3 ︰（∠2 ＋∠4 ） =1 ︰ 3
　　　可知∠3= ∠2= ∠1=22.5 °，∴ ∠4=2 × 22.5 ° =45 ° .
二.
6 、 C 　　7 、 D　　 8 、 C 　　9 、 C　　10 、 C　　
11 、A 　　12 、C 　　13 、C　　 14 、B 　　15 、D
10提示：如图，过 A 作 AE ∥ DC ，在 Rt△ABE 中易求，
∴ 选 C 。
11提示：易知△ ADE ≌△ AFE ，∴ ∠DAE= ∠FAE
　　　∠DEA= ∠FEA ，∵ ∠BAF=60°，易知∠AFB= ∠FEC=30°
　　　∴ ∠DEF=180°－ 30° =150°，故∠AED=75°
　　　∴ ∠DAE=15° .
13提示：由∠BCE=45°，可知∠CEB=50° .
　　　∴ ∠AEC=130°，又∠NAE=90°， MN ⊥ EC ，垂足设为 O.
　　　则∠EON=90°，易知∠ANO=180°－ 130° =50° .
14提示：∵ S□=bc ， S矩形 =ac ，又重叠部分的面积为 c2 ，∴ 应选 B 。
15.D
三．
16 连结 OF ，在 Rt△BDF 中， OF 为斜边 BD 上的中线， OF=BD ，所以 OF=AC ，即 OA=OC=OF ，从而可证得∠AFC=90 °。
17 解：如图，延长 FA 、 CB 相交于 G 点，延长 CD 、 FE 相交于 H 点，
由条件可知：
　　　△ABG 和△EDH 都是等边三角形 .
　　∴ ∠G= ∠H=60 °
　　∴ 四边形 CGFH 是平行四边形
　　∴ GF=CH=CD ＋ DH=CD ＋ DE=7 ＋ 3=10
　　∴ AF=GF － AG=GF － AB=10 － 1=9
　　同理 FE=5
　　∴ 六边形的周长为 1 ＋ 7 ＋ 7 ＋ 3 ＋ 9 ＋ 5=32
18 解：（1）设印刷部分长为 x 分米，于是其宽为分米，进而广告纸宽为.
　　　　∴ 空白部分面积.
　　　　这就是 S 与 x 的关系式 .
（2）当 S=18dm2 时，有，整理得 (x － 8)2=0 ， x=8.
　　∴ 广告纸的长为 x＋2=10(dm) ，宽为＋ 1=5(dm)
19 证明：过 F 作 FP ∥ BC 交 AB 于 P ，则四边形 FPBH 为平行四边形 .
　　　∴∠B=∠FPA.BH=FP （平行四边形对边相等）
　　　∵∠ACB=90 °， CD ⊥ AB.
　　　∴∠5 ＋∠ CAB=90 °，∠ B ＋∠ CAB=90 ° .
　　　∴∠5=∠B ，∴∠5=∠FPA.
　　　又∵∠1=∠2 ， AF=AF.
　　　∴ △ CAF ≌△ PAF.
　　　∴ CF=FP ，∵∠4=∠1 ＋∠ 5 ，∠ 3=∠2 ＋∠ B,
　　　∴∠3=∠4
　　　∴ CF=CE ，∴ CE=BH.
20 证明：作 DG∥EF 交 BC 于 G ，作 CH∥MN 交 AB 于 H.
　　　∵ CH∥MN ， DG∥EF ， FE ⊥ MN
　　　∴ CH ⊥ DG ，又 ∵ DC ⊥ BC
　　　∴∠BCH=∠CDG ，∵ BC=CD ，∠ HBC=∠GCD
　　　∴ △DCG 按顺时针旋转 90° 后再向左平移 .
　　　BC 的长可与△ CBH 重合 .
　　　∴ CH=DG ，又∵ AD∥BC,DG∥EF
　　　∴ 四边形 EFGD 为平行四边形，∴ EF=DG ，
　　　同理 CH=MN ，∴ MN=EF.
1.如图所示，已知D是等腰三角形ABC底边BC上的一点，点E，F分别在AC,AB上，且DE∥AB，DF∥AC
求证：DE+DF=AB
2. 如图，□ABCD O为D的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
3. 如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F
(1)求证：△ABE≌△DFE；
(2)试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
4. 如图所示，某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由.
5. 如图所示，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
(1)求证：CD∥AB；
(2)求证：△BDE≌△ACE；
(3)若O为AB中点，求证：OF=BE．
6.已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.
7. 如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
8.如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？
答案：
1.证明：∵DE∥AB，DF∥AC
∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF=AE，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC,∴∠B=∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴DF+DE=AE+CE=AC=AB.
2. 解：（1）有4对全等三角形．
分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
（2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∴∠EAM=∠NCF．
3.证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E是AD的中点，∴ AE=DE．
∴△ABE ≌△DFE．
(2)四边形ABDF是平行四边形．∵△ABE ≌△DFE
∴AB=DF 又AB∥CF．∴四边形ABDF是平行四边形．
4.解：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形
∴AB=DE，BD=AE，又EF=FC且AF∥BC，EC⊥BC，∴DE=DC，
∴EA+AE+EF=BD+DC+CF，∴二人同时到达F站.
5.证明：(1)∵BD=CD，∴∠BCD=∠1．∵ ∠l=∠2，∠BCD=∠2．∴CD∥AB．
(2) ∵ CD∥AB ∴∠CDA=∠3．
∠BCD=∠2=∠3．且BE=AE．且∠CDA=∠BCD．∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中， DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．∴△BDE≌△ACE
(3) ∵△BDE≌△ACE
∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°．
∴∠ACH=90°一∠BCH
又CH⊥AB，．∴ ∠2=90°一∠BCH
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4．AF=CF
∵∠AEC=90°一∠4，∠ECF=90°一∠ACH
∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF．CF=EF．∴ EF=AF
O为AB中点，OF为△ABE的中位线 ∴OF=BE
6. 线段AC与EF互相平分.理由是：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD,即AE∥CF，AB=CD，∵BE=DF，∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC与EF互相平分.
7.是平行四边形,△AOE≌△COF.
8.是平行四边形，四边形AMCN、BMDN是平行四边形.
课时作业：
A等级
1. 如图1,在平行四边形ABCD中，∠A=58°，BC=1.5cm ，则∠B= ，AD= ．
2. 如图2, D,E,F分别在△ABC的三边BC,AC,AB上,且DE∥AB, DF∥AC, EF∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_________ _ _____________________．
3. 如图3，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，边AB可以看成由_____________平移得来的，△ABC可以看成由__________绕点O旋转______________得来．
4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形．
5. 如图4,平行四边形ABCD中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH是_________________．
6. 如图5，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 ．
7. □ABCD中，如果∠B=100°，那么∠A、∠D的值分别是 （ ）
（A）∠A=80°，∠D=100° （B）∠A=100°，∠D=80°
（C）∠B=80°，∠D=80° （D）∠A=100°，∠D=100°
8. 若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为 （ ）
（A）11cm （B） 5.5cm （C）4cm （D）3cm
9. 在给定的条件中，能作出平行四边形的是 （ ）
（A）以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边
（B）以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边
（C）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边
（D）以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边
10. 四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？ AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=AD （ ）
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）6组
11. 求作平行四边形ABCD，使AB=2cm,对角线为AC,BD,AC+BD=6cm，点O为对角线交点，且∠AOB=60 ,那么这样的平行四边形能作 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
12. （08潍坊市）在平行四边形中，点，，，和，，，分别是和的五等分点，点，和，分别是和的三等分点，已知四边形的面积为1，则平行四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
13. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是 （ ）
（A）1：2：3：4 （B） 3：4：4：3 （C） 3：3：4：4 （D） 3：4：3：4
14. 下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是 （　　）
（A）1：2：3：4　（B）2：2：3：3 （C）2；3：2：3 （D）2：3：3：2
B等级
15. 如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形．
16. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B的距离的办法：引两条直线AC,BC相交于点C,在BC上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G作EF∥AB,GH∥AB,交AC于F,H.测出EF=8m, GH=3m,她就得出了结论: 池塘的宽AB为11m .你认为她说的对吗
17. 李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树，李大伯开挖池塘，使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动，如果要求新池塘成平行四边形的形状．请问李大伯愿望能否实现 若能，请画出你的设计；若不能，请说明理由．
18.如图11，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和.
图11
19.如图12,在□ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形.
图12
20.如图13 ,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
图13
21.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）⊿AFD≌⊿CEB．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
图14
C等级
1.如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB， DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是 ( ).
(A)AC=DE (B)AB=AC (C)AD=EC (D)OA=OE
图1 图2
2.如图2，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形 （ ）.
(A)AE=CF (B)DE= BF (C)∠ADE=∠CBF (D)∠AED=∠CFB
3.已知点A（2，0）、点B（－，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在 （ ）.
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4.如图3，O为□ABCD对角线AC、BD的交点，EF过点O且与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中全等的三角形最多有 （ ）.
(A)2对 (B)3对 (C)5对 (D)6对
图3
5.如图4，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为_______．
图4 图5
6.已知如图5，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= ___cm .
7.如图6,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于D,DE=2,则EB=_____.
图6 图7
8. 如图7，□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_______.
9.请写出使如图8所示的四边形ABCD为平行四边形的条件（例如，填：AB//CD且AD//BC，在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件.
图8
10.工人师傅现在需要把一块三角形的铁板(如图9)，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形，你能帮助他设计一种可行的方案吗 请在图中画出焊接线，并说明你的理由．
图9
11.如图10， □ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，请你自行规定E、F在边AD、BC上的位置，然后补充题设、提出结论并证明（要求：至少编制两个正确的命题，且补充题设不能相同）.
图10
课时作业答案：
A等级答案：
1. 122°，1.5cm 2. 3, □AEDF □BDEF □DCEF 3. 边DC,△CDA,180°
4. 平行四边 5. 平行四边形 6. 10 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C
B等级答案：
15. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC, AD∥BC
又因为AE=CF,所以ED=FB,四边形AFCE是平行四边形
所以AF∥EC．同理：BE∥FD．所以四边形MFNE是平行四边形．
16. 我认为她说的对．理由略．
17. 能实现．如图：□EFGH是要求的图形
18.解：因为△AOB的周长为25，
所以OA+BO+AB=25，
又AB=12，所以AO+OB=25-12=13，
因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
19.解:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD//BC,
因为点E在AD上,点F在BC上,
所以AE//CF,
又因为AE=CF,
所以四边形AFCE是平行四边形.
20. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO=AC，OB=OD．
因为BD⊥AB，所以在Rt△ABO中，AB=12cm，AO=13cm．
所以BO=．所以BD=2B0=10cm．
所以在Rt△ABD中，AB=12cm，BD=10cm．
所以AD=(cm)．
21.（1）因为DF∥BE， 所以∠AFD＝∠CEB． 又因为AF=CE， DF=BE，
所以△AFD≌⊿CEB．
（2）由(1)△AFD≌⊿CEB知AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， 所以AD∥BC ，
所以四边形ABCD是平行四边形．
C等级答案：
1. B 2.B 3.C 4.D
5.8cm; 6.3; 7.2; 8.7
9. (1)∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）；
　(2)AB=CD且AD=BC（或两组对边分别相等）；
　(3)OA=OC且OD=OB（或O是AC和BD的中点；或AC与BD互相平分；或对角线互相平分）；
(4)AD//BC且AD=BC（或AB//DC且AB=DC；或一组对边平行且相等）．
(5) AB//CD且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等）
10. 设计的方案如图所示，可分别取AB、AC边的中点D、E，连接DE，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于F，把△ABC切割后，补在△CFE的位置上，就可焊接成□BCFD．理由如下：
因为E是AC的中点， 所以AE=CE.
因为CF∥AB， 所以∠ADF＝∠F．
又因为∠AED＝∠CEF， 所以△ADE≌△CFE, 所以AD=CF．
因为D是AB的中点, 所以AD=BD，故BD=CF，
又因为CF∥AB，所以四边形BCFD是平行四边形．
11. ①设AE=CF,如图(1),
已知□ABCD,AE=CF(补充条件)
求证:四边形EBFD是平行四边形(提出结论)
证明:连结BE、FD，
在□ABCD中，AD//BC，AD=BC，
又AE=CF，
所以ED//BF，ED=BF (1)
所以四边形EBFD是平行四边形.
②设AE=BF.如图(2),
已知□ABFE是平行四边形,AE=BF(补充条件)
求证:四边形ABFE是平行四边形.
证明:连结EF.
因为四边形ABCD是平行四边形,
又AE=BF,
所以四边形ABEF是平行四边形.
A
D
C
B
O
第3题图
第7题图
第12题图
第11题图
第14题图
第15题图
第16题图
第6题图
第7题图
第9题图
第10题图
第11题图
A
B
C
D
E
F
第12题图
A
B
C
D
E
F
第12-1
2
3
4
1
A
B
C
D
E
F
第12-2
Ｏ
A
B
C
D
E
A
B
C
E
D
F
E
B
A
F
C
D
D
A
E
C
F
O
B
1
3
2
4
D
A
C
O
B
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
第6题图
第7题图
第10题图
第8题图
图1
D
C
B
A
图2
F
E
D
C
B
A
O
D
C
B
A
图3
图4
H
G
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
图5
D
D1
D2
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
C
C2
C1
C3
C4
B
N
M
F
E
A
B
C
D
F
E
C
B
A
H
G
E
A
B
C
D
H
G
F
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网