第2课时矩形概念、矩形的性质、判定
文档属性
| 名称 | 第2课时矩形概念、矩形的性质、判定 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 178.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-07-16 20:18:00 | ||
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文档简介
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第十九章 四边形
第10课时矩形概念、矩形的性质、判定
矩形是在平行四边形的前提下定义的．从定义出发，首先应该肯定，矩形是平行四边形，但它是特殊的平行四边形特殊之处就是有一个角是直角．
还要明确：（1）矩形是特殊的平行四边形，（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形；（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．从（1）边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质1等价）；（2）角：四个角是直角（性质1）；（3）对角钱：相等且互相平分（性质2）．
在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为由有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．学生应该理解（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
点击一：矩形概念
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
点击二：矩形的性质
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等．
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
针对练习1：
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
答案：1.（1）有一个角是直角；平行四边形.（2）60°，120°，60°，120°；（3）5，5，；；2.（1）C （2）C 3.解：在矩形ABCD中，AC=BD,又∵∠AOD=120°，OA=OB,∴AB=OB=BE，∴∠AOB=60°∠CBD=30°,∴∠BOE=75°, ∠AOE=135°, ∠EAO=∠EAD-∠CAD=45°-30°=15°,∴∠AEO=180°-135°-15°=30°.
点击三：矩形的判定
（1）对角钱相等的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
针对练习2：
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
答案：1.D；2.证明：∠C＝90°， CD为中线，∴AD=BD,又∵DE＝CD，∴四边形ACBE是平行四边形，又∠C＝90°，∴四边形ACBE是矩形。
类型之一：矩形的性质
例1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
解析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2：已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
解析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例3： 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
类型之二：矩形的判定
例1：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
例2 ：已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=（cm）．
例3 ： 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
解析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
一、判断题
1． 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
（ ）
2． 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．
（ ）
3． 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形．
（ ）
4． 有三个角都相等的四边形是矩形．
（ ）
二、选择题
1． 具备条件____的四边形是矩形．
[ ]
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
2． 能够判断一个四边形是矩形的条件是_________．
[ ]
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
3．已知矩形ABCD，A的平分线AE交BC于E，DE=6cm，EC=2cm，则矩形ABCE的周长是_________．
[ ]
A．4（4+1） B．3（4+1） C．8-8 D．16+2
4． 矩形两条对角线的夹角为60°，一条较短边长为5，则其对角线的长为_________．
[ ]
A．5 B．10 C．15 D．7．5
5． 如图，矩形ABCD中，∠DAE:∠BAE=3:1，AE⊥BD，则∠EAC等于_________．
[ ]
A．60° B．30° C．120° D．45°
三、填空题
1． 矩形的两条对角线的交角之一是60°，矩形的较短边与一条对角线的和的长是12cm，则对角线的长为_____cm，较长的边长为______cm．
2． 已知:矩形ABCD的周长为24厘米，M为BC的中点，∠AMD=90°，则矩形相邻两边分别是_______厘米和_______厘米．
3． 矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△AOB和△BOC的周长差是4cm，则矩形各边的长为______．
4． 如图所示:在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，则∠DOC=_______；∠COF=_______．
四、计算题
1． 已知：如图矩形ABCD中，O是对角线交点，OE⊥BC于E，且OE=2cm，
∠CAB=60°，求矩形ABCD的面积．
2．已知：如图，矩形ABCD中，E在DC上，AE⊥BE，BE=ABDE=3厘米，求AB的长．
3． 矩形ABCD的周长是56cm，对角线AC、BD的交点为O，△BOC与△AOB的周长差为4cm，求矩形的各边长．
4． 已知ABCD是矩形，E是AD上的点，且BE=BC=2CD．求∠ECD的度数．
五、证明题
1． 已知：如图矩形ABCD中，E是BC上的一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，
求证：CE=FE
2． 已知：如图，矩形ABCD中，E为矩形内一点．若EB=EC，
求证：EA=ED
答案
一、判断题
1． × 2． √ 3． √ 4． ×
二、选择题
1． D 2． C 3． A 4． B 5． D
三、填空题
1．8，4
2． 4，8
3． 12cm, 16cm, 12cm, 16cm
4． 60°，75°
四、计算题
1． 解:∵OE=2cm
∴AB=2OE=BO=4cm
BE=，BC=2BE=4
2． 解:设AD=x 则AE=2x 则4=+9 即3=9
∴x=
再设EC=y BE=2y 4=+3 即3=3 y=1
∴AB=DC=(3+1)厘米=4厘米
3． 解:设AD=x AB=y 2(x+y)=56 x+y=28
又∵（x+）-（y+）=4
x-y=4 2x=32 x=16 y=x-4=12
AD=16cm AB=12cm
4． 解:过E作EF⊥BC
∵DC=EF=BE
∴∠EBC=30° ∠BCE=150°÷2=75°
从而∠ECD=15°
五、证明题
1． 证明：∵∠AED=∠EDA=∠DEC ∴Rt△DEF≌Rt△DEC
连DE∴FE=CE
2． 证明：∵EB=EC 则∠1=∠2 由△ABE≌△DCE ∴EA=ED
一、试试你的身手
1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC中点，F在AB上，且BF＝2AF，则四边形AFEC的面积为 ．
2．矩形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠BOC＝60°，，则△ACE的周长为 ．
3．如图2，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝ ．
4.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
5.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.
6.矩形的面积公式是_________________.
7.已知矩形ABCD中，S矩形ABCD=24 cm2，若BC=6 cm，则对角线AC的长是________ cm.
8.已知矩形ABCD，若它的宽扩大2倍，则它的面积等于原面积的________；若宽不变长缩小倍，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________；若宽扩大2倍且长缩小，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________.
二、相信你的选择
1．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．1∶1
2．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
3．如图6，E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
4．如图7，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ ）
A． B． C． D．
5.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（ ）
A.45° B.30° C.60° D.75°
6.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A.16 B.22 C.26 D.22或26
7.已知E是矩形ABCD的边BC的中点，那么S△AED=________S矩形ABCD（ ）
A. B. C. D.
8.如图4矩形ABCD中，若AB=4，BC=9，E、F分别为BC，DA上的点，则S四边形AECF等于（ ）
A.12
B.24
C.36 图4
D.48
9.如图5，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.98 B.196 C.280 D.284
图5
三、挑战你的技能
1.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.
3.如图6，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
四、拓广探索
1．如图14，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，∠ACD的平分线于点F．
（1）证明：OE＝OF;
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形．（不必证明）
（3）当△ABC及点O满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（不必证明）
2．已知，如图15，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
参考答案：
一、1．2 2．5 3． 4. 10 5 5. 12 cm 16 cm
6.长×宽 7.2 8.2倍
二、1.B2.D3.C4.B 5.A 6.D7.A 8.B 9.C
三1.是矩形，连接AO，△ABC≌△CDA.
2.是矩形，OE=OF=OG=OH.
3.(1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO
又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC,同理OC=OF
∴OE=OF
(2)当O为AC中点时，AECF为矩形
∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF为平行四边形
又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴AECF为矩形
四、1．证明略．
（2）当点运动到中点时，四边形是矩形．
（3）当且点为中点时，四边形为正方形．
2．证明略．（提示：用面积证）
1．如图所示，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G．试探索线段PF，PG，AB之间的数量关系，并证明之．
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2.如图所示，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF．
（1）可以通过_______办法，使四边形BEFC变到四边形AEFO的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线a把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线a必经过点的坐标是_______．
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3. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；
（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；
（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．
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答案：
1．PF+PG=AB，提示：连结PE，S△BED=DE·PG+BE·PF=DE·AB
2. （1）旋转 （2）（6，） （3）（3，4）
3. （1）s=t （2）s=-t+35 （3）略
课时作业：
A等级
1．要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多可剪出（ ）．
（A）1张 （B）2张 （C）3张 （D）4张
2．如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
（1） (2) (3)
3．矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
4．已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，则它的对角线的长约为______cm（保留2个有效数字）．
5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则AC=______，BC=_______，矩形ABCD的面积为________．
6．如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
7．如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．
8．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
9．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，∠DAE=3∠BAE．你能求出∠DAE与∠BAE的度数吗？
10．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．
11．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，矩形的周长为80cm，四边形AECD的周长比△ABE的周长多20cm．求矩形各边的长．
B等级
1．如图，矩形ABCD沿AE折叠．使D点落在BC边上的F点处．若∠BAF=58°．则∠DAE等于( )
A．29° B. 32° C．16° D. 11°
2．下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )
A. 对角相等B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相垂直且相等 D. 对角线互相平分且相等
3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( )
A. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B. 有三个角都是直角
C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形
D. 一组对边平行，另一组对边相等．且两条对角线相等
4. 下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 角 B. 任意三角形 C. 矩形 D. 等腰三角形
5．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
6．一个平行四边形，如果一个内角等于_____时，这个平行四边形变成矩形．如果两条对角线_____时．这个平行四边形变成矩形。
7．如图．矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB=____cm
8．如果一个矩形较短的边长为5cm．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_____cm2.
9．四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是
A. AB=CD,AD=BC．∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=CO．AC=BD
C. ∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
10. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
11．已知一边长为acm的矩形面积与一个腰长为acm的等腰直角三角形的面积相等， 则矩形的周长为( ) A．2acm B. 3acm C. 4acm D．5acm
12. 如图，有一个矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED的DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( )
A 4 B 6 C 8 D10
13. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMRP的面积S1，与矩形QCNR的面积S2的大小关系是( )
A. S1>S2 B. S1=S2 C. S114. 如图，将矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，若 ，则折痕AE的长为 ( )
A.
15. 矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为____
16. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，则阴影部分的面积为___
17. 如图，是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色，若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是____
18. 如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕(对角线)BD，再折使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。
C等级
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
2．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．8cm2
3．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（ ）
A．29° B．32° C．22° D．61°
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4．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是（ ）
A．12 B．22 C．16 D．26
5．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（ ）
A． B．4 C．2 D．
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6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．内角都相等的四边形是矩形
7．矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（ ）
A．（1，-4） B．（-8，-4） C．（1，-3） D．（3，-4）
8．下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直
9．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的四边形 D．矩形
10．平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．一般四边形 C．对角线垂直的四边形 D．矩形
11.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数．
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12．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A孤延长线于点E，求证：AC=CE．
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13．如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD，E是BC的中点，求证：四边形ABED是矩形．
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14．如图所示，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD，DE，EB，求证：四边形BCDE是矩形．
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课时作业答案：
A等级答案：
1．C 2．C 3．2 4．3.5或3.6 5．6；3；9 6．am-ab 7．64 8．16
9．∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5° 10．（1）略 （2）cm
11．提示：C四边形ADCE-C△ABE=AD+EC-BE=2EC=20cm，故EC=10cm．
又AE平分∠A，易证AB=BE，可求得AB=15cm，BC=25cm
B等级答案：
1.C 2.D 3.D 4.C5. C 6. 90°，相等 7. 5cm 8. 9.C10 D 11B 12.C13. B14. C 15. 10cm或15cm 16. 17. 5
18. 过G作GA1⊥BD于A1，则△DAG≌△DA1G 设AG=x，则A1G=x
在Rt△BA1G中
C等级答案：
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D6．D 7．A 8．C9．B 10．D 11. 15°
12．证四边形BDCE是平行四边形，得CE=BD=AC 13．略 14．略
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第十九章 四边形
第10课时矩形概念、矩形的性质、判定
矩形是在平行四边形的前提下定义的．从定义出发，首先应该肯定，矩形是平行四边形，但它是特殊的平行四边形特殊之处就是有一个角是直角．
还要明确：（1）矩形是特殊的平行四边形，（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形；（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．从（1）边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质1等价）；（2）角：四个角是直角（性质1）；（3）对角钱：相等且互相平分（性质2）．
在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为由有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．学生应该理解（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
点击一：矩形概念
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
点击二：矩形的性质
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等．
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
针对练习1：
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
答案：1.（1）有一个角是直角；平行四边形.（2）60°，120°，60°，120°；（3）5，5，；；2.（1）C （2）C 3.解：在矩形ABCD中，AC=BD,又∵∠AOD=120°，OA=OB,∴AB=OB=BE，∴∠AOB=60°∠CBD=30°,∴∠BOE=75°, ∠AOE=135°, ∠EAO=∠EAD-∠CAD=45°-30°=15°,∴∠AEO=180°-135°-15°=30°.
点击三：矩形的判定
（1）对角钱相等的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
针对练习2：
1．（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
答案：1.D；2.证明：∠C＝90°， CD为中线，∴AD=BD,又∵DE＝CD，∴四边形ACBE是平行四边形，又∠C＝90°，∴四边形ACBE是矩形。
类型之一：矩形的性质
例1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
解析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2：已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
解析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例3： 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
类型之二：矩形的判定
例1：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
例2 ：已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
解析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=（cm）．
例3 ： 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
解析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
一、判断题
1． 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形．
（ ）
2． 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．
（ ）
3． 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形．
（ ）
4． 有三个角都相等的四边形是矩形．
（ ）
二、选择题
1． 具备条件____的四边形是矩形．
[ ]
A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直
C．一组对角是直角 D．有三个角是直角
2． 能够判断一个四边形是矩形的条件是_________．
[ ]
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
3．已知矩形ABCD，A的平分线AE交BC于E，DE=6cm，EC=2cm，则矩形ABCE的周长是_________．
[ ]
A．4（4+1） B．3（4+1） C．8-8 D．16+2
4． 矩形两条对角线的夹角为60°，一条较短边长为5，则其对角线的长为_________．
[ ]
A．5 B．10 C．15 D．7．5
5． 如图，矩形ABCD中，∠DAE:∠BAE=3:1，AE⊥BD，则∠EAC等于_________．
[ ]
A．60° B．30° C．120° D．45°
三、填空题
1． 矩形的两条对角线的交角之一是60°，矩形的较短边与一条对角线的和的长是12cm，则对角线的长为_____cm，较长的边长为______cm．
2． 已知:矩形ABCD的周长为24厘米，M为BC的中点，∠AMD=90°，则矩形相邻两边分别是_______厘米和_______厘米．
3． 矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，△AOB和△BOC的周长差是4cm，则矩形各边的长为______．
4． 如图所示:在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，则∠DOC=_______；∠COF=_______．
四、计算题
1． 已知：如图矩形ABCD中，O是对角线交点，OE⊥BC于E，且OE=2cm，
∠CAB=60°，求矩形ABCD的面积．
2．已知：如图，矩形ABCD中，E在DC上，AE⊥BE，BE=ABDE=3厘米，求AB的长．
3． 矩形ABCD的周长是56cm，对角线AC、BD的交点为O，△BOC与△AOB的周长差为4cm，求矩形的各边长．
4． 已知ABCD是矩形，E是AD上的点，且BE=BC=2CD．求∠ECD的度数．
五、证明题
1． 已知：如图矩形ABCD中，E是BC上的一点，DF⊥AE于F，若AE=BC，
求证：CE=FE
2． 已知：如图，矩形ABCD中，E为矩形内一点．若EB=EC，
求证：EA=ED
答案
一、判断题
1． × 2． √ 3． √ 4． ×
二、选择题
1． D 2． C 3． A 4． B 5． D
三、填空题
1．8，4
2． 4，8
3． 12cm, 16cm, 12cm, 16cm
4． 60°，75°
四、计算题
1． 解:∵OE=2cm
∴AB=2OE=BO=4cm
BE=，BC=2BE=4
2． 解:设AD=x 则AE=2x 则4=+9 即3=9
∴x=
再设EC=y BE=2y 4=+3 即3=3 y=1
∴AB=DC=(3+1)厘米=4厘米
3． 解:设AD=x AB=y 2(x+y)=56 x+y=28
又∵（x+）-（y+）=4
x-y=4 2x=32 x=16 y=x-4=12
AD=16cm AB=12cm
4． 解:过E作EF⊥BC
∵DC=EF=BE
∴∠EBC=30° ∠BCE=150°÷2=75°
从而∠ECD=15°
五、证明题
1． 证明：∵∠AED=∠EDA=∠DEC ∴Rt△DEF≌Rt△DEC
连DE∴FE=CE
2． 证明：∵EB=EC 则∠1=∠2 由△ABE≌△DCE ∴EA=ED
一、试试你的身手
1．如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC中点，F在AB上，且BF＝2AF，则四边形AFEC的面积为 ．
2．矩形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠BOC＝60°，，则△ACE的周长为 ．
3．如图2，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE＝ ．
4.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
5.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.
6.矩形的面积公式是_________________.
7.已知矩形ABCD中，S矩形ABCD=24 cm2，若BC=6 cm，则对角线AC的长是________ cm.
8.已知矩形ABCD，若它的宽扩大2倍，则它的面积等于原面积的________；若宽不变长缩小倍，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________；若宽扩大2倍且长缩小，那么新矩形的面积等于原矩形面积的________.
二、相信你的选择
1．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．1∶1
2．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
3．如图6，E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
4．如图7，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ ）
A． B． C． D．
5.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（ ）
A.45° B.30° C.60° D.75°
6.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A.16 B.22 C.26 D.22或26
7.已知E是矩形ABCD的边BC的中点，那么S△AED=________S矩形ABCD（ ）
A. B. C. D.
8.如图4矩形ABCD中，若AB=4，BC=9，E、F分别为BC，DA上的点，则S四边形AECF等于（ ）
A.12
B.24
C.36 图4
D.48
9.如图5，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.98 B.196 C.280 D.284
图5
三、挑战你的技能
1.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.
3.如图6，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
四、拓广探索
1．如图14，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，∠ACD的平分线于点F．
（1）证明：OE＝OF;
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形．（不必证明）
（3）当△ABC及点O满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（不必证明）
2．已知，如图15，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
参考答案：
一、1．2 2．5 3． 4. 10 5 5. 12 cm 16 cm
6.长×宽 7.2 8.2倍
二、1.B2.D3.C4.B 5.A 6.D7.A 8.B 9.C
三1.是矩形，连接AO，△ABC≌△CDA.
2.是矩形，OE=OF=OG=OH.
3.(1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO
又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC,同理OC=OF
∴OE=OF
(2)当O为AC中点时，AECF为矩形
∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF为平行四边形
又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴AECF为矩形
四、1．证明略．
（2）当点运动到中点时，四边形是矩形．
（3）当且点为中点时，四边形为正方形．
2．证明略．（提示：用面积证）
1．如图所示，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G．试探索线段PF，PG，AB之间的数量关系，并证明之．
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2.如图所示，把矩形OABC放置在直角坐标系中，OA=6，OC=8，若将矩形折叠，使点B与O重合，得到折痕EF．
（1）可以通过_______办法，使四边形BEFC变到四边形AEFO的位置（填“平移”、“旋转”或“翻转”）；
（2）求点E的坐标；
（3）若直线a把矩形OABC的面积分成相等的两部分，则直线a必经过点的坐标是_______．
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3. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．
（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；
（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；
（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．
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答案：
1．PF+PG=AB，提示：连结PE，S△BED=DE·PG+BE·PF=DE·AB
2. （1）旋转 （2）（6，） （3）（3，4）
3. （1）s=t （2）s=-t+35 （3）略
课时作业：
A等级
1．要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多可剪出（ ）．
（A）1张 （B）2张 （C）3张 （D）4张
2．如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
（A）98 （B）196 （C）280 （D）284
（1） (2) (3)
3．矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．
4．已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，则它的对角线的长约为______cm（保留2个有效数字）．
5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，则AC=______，BC=_______，矩形ABCD的面积为________．
6．如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
7．如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______cm2．
8．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．
9．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，∠DAE=3∠BAE．你能求出∠DAE与∠BAE的度数吗？
10．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．
11．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，矩形的周长为80cm，四边形AECD的周长比△ABE的周长多20cm．求矩形各边的长．
B等级
1．如图，矩形ABCD沿AE折叠．使D点落在BC边上的F点处．若∠BAF=58°．则∠DAE等于( )
A．29° B. 32° C．16° D. 11°
2．下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )
A. 对角相等B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相垂直且相等 D. 对角线互相平分且相等
3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( )
A. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B. 有三个角都是直角
C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形
D. 一组对边平行，另一组对边相等．且两条对角线相等
4. 下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 角 B. 任意三角形 C. 矩形 D. 等腰三角形
5．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分
6．一个平行四边形，如果一个内角等于_____时，这个平行四边形变成矩形．如果两条对角线_____时．这个平行四边形变成矩形。
7．如图．矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB=____cm
8．如果一个矩形较短的边长为5cm．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_____cm2.
9．四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是
A. AB=CD,AD=BC．∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=CO．AC=BD
C. ∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D. ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
10. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
11．已知一边长为acm的矩形面积与一个腰长为acm的等腰直角三角形的面积相等， 则矩形的周长为( ) A．2acm B. 3acm C. 4acm D．5acm
12. 如图，有一个矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED的DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( )
A 4 B 6 C 8 D10
13. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMRP的面积S1，与矩形QCNR的面积S2的大小关系是( )
A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1
A.
15. 矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为____
16. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，则阴影部分的面积为___
17. 如图，是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色，若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是____
18. 如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕(对角线)BD，再折使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长。
C等级
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
2．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ）
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．8cm2
3．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（ ）
A．29° B．32° C．22° D．61°
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4．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是（ ）
A．12 B．22 C．16 D．26
5．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（ ）
A． B．4 C．2 D．
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6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．内角都相等的四边形是矩形
7．矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（ ）
A．（1，-4） B．（-8，-4） C．（1，-3） D．（3，-4）
8．下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直
9．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的四边形 D．矩形
10．平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形 B．一般四边形 C．对角线垂直的四边形 D．矩形
11.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数．
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12．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A孤延长线于点E，求证：AC=CE．
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13．如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD，E是BC的中点，求证：四边形ABED是矩形．
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14．如图所示，延长等腰△ABC的腰BA至点D，使AD=BA，延长腰CA至点E，使AE=CA，连结CD，DE，EB，求证：四边形BCDE是矩形．
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课时作业答案：
A等级答案：
1．C 2．C 3．2 4．3.5或3.6 5．6；3；9 6．am-ab 7．64 8．16
9．∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5° 10．（1）略 （2）cm
11．提示：C四边形ADCE-C△ABE=AD+EC-BE=2EC=20cm，故EC=10cm．
又AE平分∠A，易证AB=BE，可求得AB=15cm，BC=25cm
B等级答案：
1.C 2.D 3.D 4.C5. C 6. 90°，相等 7. 5cm 8. 9.C10 D 11B 12.C13. B14. C 15. 10cm或15cm 16. 17. 5
18. 过G作GA1⊥BD于A1，则△DAG≌△DA1G 设AG=x，则A1G=x
在Rt△BA1G中
C等级答案：
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D6．D 7．A 8．C9．B 10．D 11. 15°
12．证四边形BDCE是平行四边形，得CE=BD=AC 13．略 14．略
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