第3课时 菱形概念、性质、判定

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第十九章 四边形
第11课时 菱形概念、性质、判定
通过本节的学习需要掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
点击一：定义：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
点击二：菱形的性质
（1）具有平行四边形的性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分（2）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴的交点就是对称中心
针对练习：
1.如图1，已知菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=120°，求对角线BD和AC的长．
　　解析：知道了菱形的周长可以求到菱形的边长，再根据菱形的性质可得到△ABD是等边三角形，这样可求得对角线BD的长，最后借助勾股定理求得AC的长．
　　解：在菱形ABCD中，AB+BC+CD+AD=16cm，∠ABC=120°．
　　∴AB=AD=BC=CD=4cm．
　　由对角线BD平分∠ABC，得∠ABD=60°．
　　∴△ABD是等边三角形，BD=AB=4cm．
　　∵菱形的对角线互相垂直平分，∴OB=2cm．
　　在Rt△AOB中，（cm）．
　　∴（cm）．
点击三：菱形的判定
（1）定义
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四条边相等的四边形是菱形
针对练习：
1.如图4，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点D作DE∥AB交AC于点E，作DF∥AC交AB于点F，四边形AFDE是菱形吗？说说你的理由．
答案：先证四边形AFDE是平行四边形，再证邻边相等）
2. 如图2，的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=10，AO=8，OB=6．
　　（1）AC、BD互相垂直吗？为什么？
　　（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
　解析：（1）要判断AC与BD是否垂直，可以根据已知条件，看△AOB是否是直角三角形，为此需要利用勾股定理的逆定理来解决；
　　（2）此问的解决是建立在（1）的基础上的，解决了（1），此问也就解决了．
　　解：在△ABO中，
　　∵AB=10，OA=8，OB=6，62+82=102，
　　∴OA2+OB2=AB2．
　　∴△ABO是直角三角形．
　　且∠AOB为直角．
　　∴ AC⊥BD．
　　（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
　　∴四边形ABCD是菱形．
点击四：菱形的面积公式
菱形的面积公式是 （其中a、b是菱形的两条对角线分别的长）．即：“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”．当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高．
类型之一：菱形的性质
例1： 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　　求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵　四边形ABCD是菱形，
∴　 CB=CD， CA平分∠BCD．
∴　 ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴　 ∠CBE=∠CDE．
∵　在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴　∠AFD=∠CBE．
例2： 如图1,已知菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=120°,求对角线BD和AC及菱形的面积.
分析：菱形具有四边相等，对角线互相垂直平分并平分一组对角等性质.知道了周长可求到边长，根据∠ABC=120°可得到等边三角形，进而可求到对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求到面积.
解:在菱形ABCD中,AB+BC+CD+AD=16cm,
所以AB=AD=BC=CD=16×=4(cm),
由∠ABC=120°，对角线BD平分∠ABC,得∠ABD=60°,
又因为AD=AB，
所以△ABD是等边三角形,BD=AB=4cm,
因为菱形对角线互相垂直平分, 图1
所以OB=2cm,
在Rt△AOB中,
AO=
所以AC=2OA=2×2=4(cm).
所以S菱形ABCD=AC·BD=×2×4=4(cm2).
例3：如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°.求∠BDA、∠ABC的度数.
分析：根据菱形的对角线平分一组对角可知∠DCA=∠BCA=30°，所以∠ACB=60°，根据菱形的对角相等，对边平行可求到∠BAD和∠ABC的度数.
解：因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，
因为菱形的对角相等，所以∠DAB=∠DCB=60°.
因为CD//AB，所以∠DCB+∠ABC=180°，
所以∠ABC=180°-60°=120°.
点评：菱形有关的计算题，主要涉及计算周长，边长以及面积等，解决问题需要将菱形的性质与直角三角形或等边三角形相结合.
例4：例3 如图3，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE//BD，BE//AC，AE与BE相交于点E，试判断AD与EO是否平行？说说你的理由.
分析：要判断AD与EO是否平行，根据四边形ABCD是矩形，可知∠DAB=90°，如果OE⊥AB，则可说明AD//EO.而说明OE⊥AB，只要说明四边形AEBO是菱形即可.
解：AD//EO.
理由：因为AE//BD，BE//AC，所以四边形AEBO是平行四边形，
所以OA=BE，BO=EA，
因为O是矩形ABCD对角线的交点，所以OA=OB，
所以OA=AE=EB=BO， 图3
所以四边形AEBO是菱形.
所以OE⊥AB，
因为∠DAB=90°，所以DA⊥AB，
所以AD//EO.
例5：　如图3，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F．请你猜猜CE与CF的大小有什么关系？并试说明你的猜想．
　　分析：本题是一道结论猜想探索题，主要考查菱形的性质的应用．观察图形结合已知条件，可得CD=BC，∠CEB=∠CFD=90°，又根据菱形的对边平行，可得到∠CBE=∠DAB=∠FDC，借助三角形全等，可猜想CE=CF．
　　解： ∵四边形ABCD是菱形，
　　∴ BC=DC，AD∥BC，CD∥AB．
　　∴∠DAB=∠CBE，∠DAB=∠FDC．
　　∴∠CBE=∠FDC．
　　又CE⊥AE，CF⊥AF，
　　∴∠CEB=∠CFD=90°．
　　∴ Rt△BEC≌Rt△DFC．
　　∴ CE=CF．
类型之二：菱形的判定
例1：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF＝CE.求证：四边形ACEF是菱形.
解析：若四边形ACEF是菱形，又∠BAC＝60°,容易推得△ACE和△AEF都是等边三角形.反过来，要证明四边形ACEF是菱形，可从证明△ACE和△AEF都是等边三角形入手.
这样，容易证明四边形ACEF是有一组邻边相等的平行四边形.
证明：由∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,得∠B＝30°.
因为DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，
所以BE＝CE，∠ECB＝∠B＝30°.
所以∠ACE＝90°－∠ECB＝60°.
因为∠BAC＝60°,
所以△ACE是等边三角形，∠CEA＝60°,CE＝AE.
因为∠AEF＝∠BED＝90°－∠B＝60°，AF＝CE＝AE，
所以△AEF是等边三角形，∠EAF＝60°.
所以∠CEA ＝∠EAF，CE∥AF.
因为AF＝CE，
所以四边形ACEF是平行四边形.
因为AC＝CE，
四边形ACEF是菱形.
例2：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连结E.求证：四边形CDE是菱形.
解析：依题意，△CDE与△DE完全重合，即有CD＝D，CE＝E.要证明四边形CDE是菱形，可以考虑证明这个四边形的四条边都相等.
证明：由△CDE沿直线DE折叠能够与△DE重合，得△CDE≌△DE.
所以CD＝D，CE＝E，∠CDE＝∠DE.
因为AD∥BC，
所以∠CED＝∠DE.
所以∠CDE＝∠CED，CD＝CE.
所以CD＝D＝CE＝E.
所以四边形CDE的四条边都相等.
所以四边形CDE是菱形.
例3：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG、FH，与平行四边形ABCD各边相交于点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是菱形.
解析：注意到四边形EFGH的两条对角线互相垂直，那么要证明它是菱形，只要证明四边形EFGH是平行四边形.要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明OE＝OG，OF＝OH.
证明：由O是平行四边形ABCD的对角线的交点，得OA＝OC，OB＝OD.
因为AD∥BC，
所以∠EAO＝∠GCO，∠AEO＝∠CGO.
所以△AEO≌△CGO（AAS）.
所以OE＝OG.同理OF＝OH.
所以四边形EFGH是平行四边形.
因为EG⊥FH，
所以四边形EFGH是菱形.
类型之三：菱形与矩形的综合
1．开放型问题
例1：如图，在△中，为边的中点，过点分别作∥交于点，
∥交于点.
（1）证明：△≌△ ；
（2）如果给△添加一个条件，使四边形成为菱形，则该条是 ；
如果给△添加一个条件，使四边形成为矩形，则该条件是 .
（均不再增添辅助线） 请选择一个结论进行证明.
【解】（1）证明： ∵
∴ ）
∵ ∴
又∵∴≌
（2）或或；°或°或°
① 证明：∵ ∴四边形为平行四边形
又∵ ∴ ∴ ∴
由≌可得：
∴∴四边形为菱形
② 证明：同理可证四边形为平行四边形
∵∴四边形为矩形
【评注】本题一道探索条件、补充条件的开放型几何试题，它考查了矩形及菱形的判定及三角形全等的判定知识，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件
2．操作性问题
例2：将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图1所示的四边形ABCD．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
【解】（1）如图答2，因为．
所以四边形为平行四边形．
分别过点作，，垂足分别为点，
则．
因为，所以．
所以，所以四边形为菱形．
（2）存在最小值和最大值．（判断不准确，不得分）
①当时，菱形为正方形，周长最小值为8．
②当为矩形纸片的对角线时，设，如图答3，在中，
，．所以周长最大值为17．
【评注】这是一道探索结论试题．解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解．
3．方案设计型
例3：如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形是否为矩形（图乙供设计备用）．
解：方案如下：
①用卷尺分别比较与与的长度，当，且时，四边形为平行四边形；否则四边形不是平行四边形，从而不是矩形．
　　　　
②当四边形是平行四边形时，用卷尺比较对角线与的长度．当时，四边形是矩形；否则四边形不是矩形．　　
也可设计以下方案．
方案一：先用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，然后用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角，并给出判断；
方案二：先测量四边形是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，并给出判断．
【评注】这是一道几何型的方案设计题，解答此类题应善于联想相关图形性质，进行充分发散思维，经筛选比较，可找出较合适方案来．
4．综合探究型
例4：如图7，矩形纸片的边长分别为．将纸片任意翻折（如图8），折痕为．（在上），使顶点落在四边形内一点，的延长线交直线于，再将纸片的另一部分翻折，使落在直线上一点，且所在直线与所在直线重合（如图9）折痕为．
（1）猜想两折痕之间的位置关系，并加以证明．
（2）若的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕间的距离有何变化？请说明理由．
（3）若的角度在每次翻折的过程中都为（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形，及四边形的周长与有何关系，为什么？
【解】（1）
因为四边形是矩形，所以，且在直线上，则有
所以，由翻折可得：，
，所以，故．
（2）两折痕间的距离不变
过作，则，
因为的角度不变，所以的角度也不变，则所有的都是平行的
又因为，所以所有的都是相等的
又因为，故的长不变．
（3）当时，四边形是正方形，
四边形是矩形．
因为，，
所以矩形的周长为．
同理可得矩形的周长为，所以两个四边形的周长都为，与无关．
一、填空：
1．菱形具有而矩形不具有的性质有　　　　　　　　　　　　　．
2．菱形的两条对角线之比是3∶4，周长为60cm，则菱形的面积是　　　，高是　　　．
3．如图菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC的距离　　　．
4．矩形的邻边之比为3∶4，对角线长10cm，则矩形的面积为　　　；若矩形ABCD的对角线AC、BD相交点O，∠AOB＝2∠BOC，对角线AC＝20cm，则AD＝　　　；如果矩形一条边上的中点与对边两个端点的连线互相垂直，且矩形的周长为24cm，那么矩形的面积为　　　　；如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为　　　．
5、如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为300，则它们重叠部分的面积为 .
6、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为 .
二、选择：
1、不能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A、对角线互相平分且有一组邻边相等
B、四边相等
C、两组对角相等，且一条对角线平分一组对角
D、对角线互相垂直
2、一张矩形纸片纸对折(如图)，然后沿图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( )
A、三角形 B、矩形 C、菱形 D、梯形
3．菱形的对角线的平方和等于一边的(　　)
A．2倍　　　B．3倍　　　C．4倍　　　D．8倍
4．四个内角都相等的四边形一定是(　　)
A．任意四边形　　　B．矩形　　　C．菱形　　　D．正方形
5．下列命题中，正确的命题有(　　)
①对角线相等的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形
④一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
三、解答题：
1、已知:如图,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,
且交AB于E,交BC于点F，说明:四边形BFDE是菱形.
2、如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．
(1)试说明四边形AECF是平行四边形．
(2)若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．
(3)当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形．
参考答案：
一、填空
1．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2．216 cm2，14.4 cm
3．2
4．48cm2 ;10cm; 32cm2; 2:1;
5．2
6．2.4
二、选择
1．D　　2．C　　3．C　　4．B　　5．A　　
三、1、因为BD平分∠ABC所以∠ABD=∠CBD因为EF是BD的垂直平分线所以BE=DE因为∠EBD=∠EDB ∠EDB=∠DAF易说明△EOD≌△FOB(AAS)从而BE=DE=DF=BF
2、(1)因为平行四边形ABCD所以AD//BC所以∠OAC=∠ACF易说明△AOE≌△COF(AAS)所以AE=CF因为AE//CF所以四边形AECF是平行四边形．
(2)由(1)知四边形AECF是平行四边形因为AC⊥EF所以四边形是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
(3)EF=AC时四边形AECF是矩形．
一.填空
1．我们把__________叫做菱形．
2．菱形是特殊的_________，所以它不但具有一般_________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）__________；（2）__________．
3．菱形既是_________图形，又是_________图形，它的______都是它的对称轴．
4．若菱形的周长为16cm，则此菱形的边长是______cm．
5．在菱形ABCD中，若∠ABD=72°，则∠ADC=_______，∠BAD=_______．
6．在菱形ABCD中，若对角线AC=6，BD=8，则CD=_______，此菱形的面积是______．
二.选择
7．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
8．如图1所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC=60°，则AC：BD等于（ ）
A．：1 B．1：2 C．：3 D．1：2
(1) (2)
9．若菱形ABCD的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
10．依次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．一般平行四边形 D．一般四边形
11．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，对角线AC=6，则菱形的周长是（ ）
A．4 B．24 C．8 D．24
12．如图2所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是（ ）
A． D．8
三解答
13．如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．
14．如图所示，在菱形OABC中，∠ABO=30°，OB=2，O是坐标原点，点A在x轴的负半轴上，求菱形OABC各顶点的坐标．
15．如图所示，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE，
求证：BE=AF．
16．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=108°，请将此菱形分割成四个等腰三角形．说明：（1）工具不限；（2）标出所画三角形的内角的度数；（3）用尽可能多的方法分割此菱形；（4）若有一条分割线不同，就是不同的分割方法．
答案:
1．一组邻边相等的平行四边形
2．平行四边形，平行四边形
（1）菱形的四条边相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分线一组对角
3．中心对称，轴对称，每一条对角线所在的直线
4．4 5．144°，36° 6．5，24
7．D 8．C 9．B 10．B 11．C 12．A
13．60°
14．O（0，0），A（-2，0），B（-3，），（-1，）
15．提示：设∠BAE=x，列方程5x=180°，得x=36° 16．略
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在直线AB上，且AE=AB=BF，连结CE，DF分别交AD，BC于点M，N．
（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；
（2）若要使四边形DMNC为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．
2.如图所示，在中，分别是，的平分线，和交于，试说明四边形的形状．
3. 如图所示，在平行四边形中，，以顶点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点．观察图形后，请你写出两个你所学过的特殊三角形或四边形．
4. 如图所示，两条同等宽的高速公路在某处交叉，已知，公路宽为60米，求交叉区域的面积．
答案：1. （1）略 （2）AD=2AB等，略
2.
又是角平分线．
且平分．
，且是角平分线，
平分．
与垂直且互相平分．
四边形是菱形．
3.解：且，是等边三角形．
又且，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
4. 解：如图，由于，
四边形是平行四边形．由于，
又
．
四边形是菱形．
，且，
．
，设，则，
则．
．
．
课时作业：
A等级
1.选择题
（1）已知菱形两个邻角的比是1∶5，高是8 cm，则菱形的周长是（ ）
A.16 cm B.32 cm
C.64 cm D.128 cm
（2）已知菱形的周长为40 cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线的长分别是（ ）
A.6 cm，8 cm B.3 cm，4 cm
C.12 cm，16 cm D.24 cm，32 cm
（3）ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（ ）
A. AB=AD B. AC⊥BD
C.∠A=∠D D.CA平分∠BCD
（4）下列命题中，真命题是（ ）
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的矩形是菱形
D.菱形的对角线相等
（5）如图4－37，矩形ABCD中，M是矩形外一点，且MA=MD，MB、MC交AD于E、F，则图中共有全等三角形（ ）
图4—37
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
（6）如图4－38，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么∠EAF等于（ ）
图4—38
A.75° B.60°
C.45° D.30°
（7）如图4－39，△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）
图4—39
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
（8）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图4－40是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）
图4—40
A.顺时针旋转60°得到
B.顺时针旋转120°得到
C.逆时针旋转60°得到
D.逆时针旋转120°得到
2.填空题
（1）如图4－41，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，①图中有_____个等腰三角形，有_____个直角三角形；②若∠CAB=30°，则两条对角线相交所成的四个角分别为______.
图4—41
（2）直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是_____.
（3）两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是_____.
（4）矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，一条对角线与短边的和为15，则对角线长是_____，短边的长是_____.
（5）菱形的面积为24 cm2，一条对角线的长为6 cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm，高为_____cm.
（6）如图4－42，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，∠ABC=3∠A，且DE=5 cm，则AB=_____.
图4—42
（7）现有一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形纸片，如图4－43，要从中剪下长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出_____张.
图4—43
（8）在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且BE平分∠ABC，BE=BC，则∠CED=_____度.
3.如图4－44，四边形ABCD是矩形，四边形AECF是菱形，若AB=2 cm，BC=4 cm，求四边形AECF的面积.
图4—44
4.如图4－45，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.求证：
OE⊥DC.
图4—45
5.以下是一道题目及其解答过程：
已知：如图4－47，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂足分别是E、F、G、H.
求证：四边形EFGH是矩形.
图4—47
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，∠AOD=∠COD=90°. ①
又∵DO=DO，∴△AOD≌△COD. ②
∵OH、OG分别是Rt△AOD和Rt△COD斜边上的高，
∴OH=OG. ③
同理OH=OE，OE=OF，则OH=OE=OF=OG.
∴EG与HF相等且互相平分.
∴四边形EFGH是矩形. ④
以上证明过程中（ ）
A.①到②有错误 B.②到③有错误
C.③到④有错误 D.没有错误
B等级
1．判定一个四边形是菱形的方法有：
（1）菱形的定义：有一组邻边______的_______是菱形；
（2）四条边__________的四边形是菱形；
（3）对角线____的_________的是菱形．
2．在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB∥CD，请你添上一个条件：_________，使得四边形ABCD是菱形．
3．如图1所示，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连结DE，DF，EF，若使四边形ADFE是菱形，则需添加的条件是__________．
(1) (2) (3) (4)
4．如图2所示，点D，E，F分别是等边△ABC的边AB，AC，BC的中点，连结DE，DF，EF，则图中有______个菱形．
5．依次连结矩形四条边的中点所构成的四边形是________．
6．如图3所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________．
7．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD
8．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且相互垂直
9．若依次连结四边形各条边的中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．对角线相等的四边形
10．右图4是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A，B之间的距离为20cm，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．135° C．108° D．150°
11．在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），C（0，），若使以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则符合条件的点D的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AB=，CO=2，BD=2．
（1）直线AC与BD垂直吗？为什么？（2）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A，D作AE∥BD，DE∥AC交于点E，求证：四边形AODE是菱形．
14．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于E，F，O，求证：四边形AFCE是菱形．
C等级
1. 菱形的相邻两角之比为1：2，那么它所对的对角线与边长之比为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2. 在菱形中，的平分线与之间的关系是（　　）
Ａ．相等 Ｂ．互相垂直但不平分
Ｃ．垂直平分 Ｄ．互相平分但不垂直
3. 在菱形中，，且分别是的中点，那么（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4. 菱形的两条对角线长是8和6，则菱形的周长是　　　　，面积是　　　　．
5. 菱形中，为垂足，，则　　　　　．
6. 若四边形为平行四边形，请补充条件　　　　　　（一个即可）使四边形为菱形．
7. 已知菱形的两对角线长为6cm和8cm，则菱形的周长为　　　　　　，面积是　　　　　．
8. 已知菱形的面积为，对角线，则菱形边长为　　　　　．
9. 已知：如图所示，中，分别是上的点，且，．要使是一个菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是　　　　．
10. 菱形是轴对称图形，它的对称轴有（　　）
Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条
11. 在菱形中，对角线相交于点，则图形中有（　　）对全等的直角三角形．
Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
12. 能判别四边形是菱形的条件是（　　）
Ａ．四边形的对角线相等
Ｂ．四边形的两条对角线互相垂直
Ｃ．四边形的对角线相等且互相垂直
Ｄ．四边形的两条对角线互相垂直平分
13. 下列条件能判断四边形是菱形的条件是（　　）
Ａ．对角线互相平分 Ｂ．对角线互相垂直
Ｃ．邻边相等 Ｄ．对角线互相垂直且平分
14. 已知菱形中，相交于点，如图所示，并且若，求菱形的面积．
15. 如图所示，是中的的平分线，交于．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如果，，求菱形的面积．
．
16. 已知是等腰三角形，如图所示，是底边上的中点，且交于，交于，试说明与的关系．
课时作业答案：
A等级答案：
1.（1）C （2）C （3）C （4）C （5）B （6）B （7）C （8）D
2.（1）①4 4 ②120° 60° 120° 60° （2）6.5 （3）矩形 （4）10 5
（5）8 5 （6）5 cm （7）3 （8）67.5
3.5 cm2.提示：设菱形的边长为x cm，则AE=x cm，BE=（4－x） cm，由AB2+BE2=AE2，得22+（4－x）2=x2.
4.提示：证四边形OCED是菱形.
5.C
B等级答案：
1．（1）邻边相等，平行四边形 （2）相等 （3）相等，平行四边形
2．AB=CD或AD∥BC 3．AB=AC 4．3 5．菱形 6．
7．C 8．D 9．D 10．A 11．C
12．（1）AC⊥BD，略 （2）菱形，略 13．略 14．略
C等级答案：
1：Ｄ2：Ｃ3：Ｄ4：20，245：6：7：20cm 8：cm
9：答：可以是是的角平分线，
其中的一个．
10：Ｂ11：D12：Ｄ13：Ｄ
14：解：设，
则，
．
即：．．
．
15：解：（1），
四边形是平行四边形．
四边形是菱形．
（2）由于，
则为等边三角形，
，连结与相交于，则，
．
．
16：解：与互相垂直平分，理由如下：
四边形是平行四边形．
四边形是菱形．
与互相垂直平分．
A
B
C
D
（图1）
A
B
C
D
（图答2）
F
E
A
B
C
D
（图答3）
C
G
（图甲）
（图乙）
A
M
D
Q
C
P
B
M
D
Q
C
P
Ａ
B
N
M
D
Q
C
P
Ａ
B
N
A
D
C
B
a
b
图7
图8
图9
图10
M
D
Q
C
P
Ａ
B
N
H
30°
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｆ
Ｄ
Ｇ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
F
Ｃ
Ｂ
E
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｏ
Ｃ
Ａ
E
B
C
F
D
1
2
Ａ
Ａ
Ｅ
Ｆ
Ｏ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
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