第4课时 正方形概念、性质、判定

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第十九章 四边形
第12课时 正方形概念、性质、判定
本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义．
正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定．
学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的学习是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识．在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力．另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法．
（1）掌握正方形定义是学好本节的关键．正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．学习时要结合教科书中的内容，具体说明正方形与矩形、菱形的关系．这些关系是教学的一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚．这些概念重叠交错，不易搞清楚，在学习这些内容时进度可稍放慢些．
（2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以理解正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结．
点击一：正方形的定义
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意义：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
点击二：正方形的性质
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．要使学生熟悉这些最基本的内容．
点击三：正方形的判定
能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定．
类型之一：正方形的性质
例1： 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO、BO交于M、N．
求证：⑴BM = CN；⑵CN⊥BM．
解析：由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，故图形中存在着许多直角和相等的线段．又每条对角线平分一组对角，于是可证∠OAB =∠OBA=，从而可证OM = ON，这样就可以通过证三角形全等把问题解决．
证明：⑴在正方形ABCD中，
∵∠DAB =∠ABC=，OB = OA = OC，AC⊥BD，
∴∠CON=∠BOM =，∠OAB =∠OBA=，
∵MN∥AB，∴∠OMN =∠ONM=，
∴OM = ON．
∴△BOM≌△CON (SAS)，
∴BM = CN．
⑵∵∠1 =∠2，而∠1＋∠OMB =，∴∠2＋∠OMB =，
延长CN交BM于G，得∠CGM=，
∴CN⊥BM．
点评：证明此题⑵的难点在于BM、CN没有交点，表面上看，要证明CN⊥BM缺少条件．其实，垂直是两直线的相互关系，只要将CN延长交MB于G，它们的垂直关系就很明显了．两线段互相垂直，不论它们相交与否，延长后一定会交成角．
例2：如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE = CF．⑴求证：△BCE≌△DCF；⑵若∠BEC =，求∠EFD的度数．
解析：由正方形的性质，不难得到△BEC≌△DFC，欲求∠EFD的度数，这要靠三角形中角的关系求得．由∠DFC=∠BEC，只需知道∠BEC及∠EFC的大小即可求解．而∠BEC为已知，∠EFC可求得．
证明：⑴在正方形ABCD中，BC = DC，∠BCD =．
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵BC = DC，CE = CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．
⑵∵CE = CF，∴∠CEF=∠CFE，
∴∠EFC =(－) =，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠CFD =∠CEB=，
∴∠EFD =∠DFC－∠EFC=－=．
点评：解决本题的关键是由CE = CF，求得∠EFC．
例3： 如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EH⊥AC，垂足为H．求证：EH =FC．
解析：要证明EH =FC，由菱形AEFC知，FC = AC，只要能证EH =AC即可，再根据正方形的性质，BD = AC，OB =BD，再证EH = OB即得证出结论．
证明：在菱形AEFC中，FC = AC，AC∥EF．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC = BD，OB =BD，
∴OB =FC，∠EBO =．
∵EH⊥AC，∴∠BEH=∠EHO =，
∴∠BEH=∠EHO=∠EBO．
∴四边形OBEH为矩形，
∴OB = EH，即EH =FC．
点评：解此题充分利用特殊图形的特殊性质，通过一系列的等量代换，最后得出结论．
类型之二：正方形的判定
例：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
解析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵　 PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵　 PQ∥NM，
∴　 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴　 ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴　 ∠1+∠2=90°．
又　 ∠3+∠2=90°， ∴　 ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴　 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
类型之三：正方形的计算
例1：如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=15°，且AB=AE，则DE=______cm．
解析:根据∠ABE=15°，AB=AE,可得∠AEB=∠ABE=15°, 由此可得∠BAE=150°,
根据正方形的性质,∠BAD=90°,AB=DA,
这样可得∠DAE=60°,DA=EA,根据等边三角形的判定方法可得△ADE为等边三角形,由此可得DE=DA=3cm.
解:因为AB=AE,∠ABE=15°,所以∠BAE=150°,
因为∠BAD=90°,所以∠DAE=60°,
又因为DA=AB=AE,
所以△ADE为正三角形,所以DE=DA=3cm.
点评:本题主要利用了正方形的性质,等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质,其关键是正方形性质的正确利用.
例2：如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方形EFGH，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2，则甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为___________cm．
解析： 甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，则△AEB、△BCF、△CGD、△DHA面积和为16cm2，而正方形EFGH面积等于△AEB、△BCF、△CGD、△DHA面积和加上正方形ABCD的面积，即16+20=36cm2，这样可以得到正方形EFGH边长为6cm，周长为6×4=24（cm），而甲、乙、丙、丁四个长方形的周长和恰好等于正方形EFGH周长2倍，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总
和为24×2=48（cm）.
解：因为甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，所以S△ABE+S△BFC+S△CGD+S△DAH=16cm2，
所以S正方形EFGH=S△ABE+S△BFC+S△CGD+S△DAH+S正方形ABCD=16+20=36（cm2），
所以正方形EFGH的边长等于6cm，周长等于24cm，
所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和2AE+2AH+2BE+2BF+2FC+2XG+2DG+2DH=2（EH+EF+FG+GH）=2×24=48（cm）
点评：本题主要利用正方形的四边相等这一性质，通过整体代换的方法解决问题的.
例3：如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD
相交于点O，过点O作OD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BD于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，…，依此类推．其中的OD1+D2D3+D4D5+D6D7= cm．
解析:根据正方形的对角线互相垂直平分且相等,可得△AOB是等腰直角三角形,由此可得AO=BO,∠AOB=90°,根据OD1⊥AB可得,△ADO和△BD1O等于等腰直角三角形,由此可得OD1=AB,
同样可得D2D3=,D4D5=,D6D7=
故OD1+D2D3+D4D5+D6D7=(cm).
解:填15.
点评:从正方形的性质出发,正确探究所求的线段的长与正方形边长之间的关系是解决问题的关键.
例4.如图⑶，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，
PC=3，试求∠APB的度数。
解析：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC
重合， 得△EBP是等腰直角三角形,
易证△ABP≌△CBE，∴BP=BE=2，
∴PE=2，在△CPE中，易证CE2+PE2=PC2，
∴∠CEP=90°，
∴∠APB=∠CEB=∠PEB+∠PEC=90°+45°=135°。
例5如图⑷，在△AEG中，∠EAG=45°，AF⊥EG于F，
GF=3，EF=2，求△AEG的面积。
解析：∵∠EAG=45°，AF⊥EG，分别将△AEF和△AGF以AE、AG为对称轴翻折180°，如图⑷，得ABCD是正方形，设AF=x，则CG=x－3，EC=x－2，在Rt△ECG中，由勾股定理得（x－3）2+（x－2）2=25，解得x=6，∴S△AEG=×（3+2）×6=15。
例6：在数学活动中，小明为了求的值
（结果用n表示），设计如图2－1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求
的值为__________．
（2）请你利用图7－2，再设计一个能求
的值的几何图形．
解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到，第二次把面积为的一个矩形等分得到，第三次把面积为的一个正方形等分得到，第四次把面积为的一个等腰直角三角形等分得到，…，最后把面积为的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个，从而易知=，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图3给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：
（1）．
（2）如图3－1或如图3－2或如图3－3或如图3－4等，图形正确．
例7如图⑸，已知在三角形ABC中,
AB=BC=8, ∠ABC=90°，E在BC边上，且BE=2，
D是AC边上一动点，求BD+DE的最小值。
解析：构造正方形AB′CB
∵求BD+DE的最小值，∵ E关于AC的对称点E′，
如图⑹，∵E′D= ED
∴BD+DE=BD+ E′D即B E′长
是最小值就可以,由两点之间,
线段最短可知, B,D, E′三点共线,
易求B E′=10。
类型之四：正方形探索题
例1： 如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.
(1) 观察猜想BE与DC之间的大小关系，并说明你的结论;
(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形 若存在，请说出旋转过程; 若不存在，请说明理由.
解析:本题是一道和正方形有关的结论探索性试题.猜想BE与DC的大小关系,可结合正方形的性质及全等三角形的知识进行探讨. 图1
（1）BE=DC.证明 在△BCE和△DCG中，因为四边形ABCD和四边形ECGF是正方形，所以BC=DC，EC=GC，∠BCE=∠DCG=90°，所以△BCE≌△DCG，所以BE=DG.
（2）由（1）证明的过程知，存在，是Rt△BCE和Rt△DCG.将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可于Rt△DCG完全重合（或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°，可与Rt△BCE完全重合）
例2：如图2,设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…….
　　（1）记正方形ABCD的边长为a1＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，an，求出a2，a3，a4的值.
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式.
解析:本题是一道和正方形有关的数学结合试题.利用勾股定理可以计算出a2，a3，a4的值.从a2，a3，a4的值中发现规律. 图2
解：(1)在Rt△ABC中，因为∠B=90°，所以AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，同理AE=2，EH=2所以a2=AC=,a3=AE=2,a4=EH=2.
（2）因为a1=1=()0,a2=()1,a3=2=()2,a4=(2)=()3,所以an=()n-1
(n≥1,n为整数)
例3 ：如图3，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）m.
（A）36 （B）48 （C）96 （D）60 图3
解析:本题是一道设计新颖的探索性试题,根据正方形的性质,可以得到AO、O1O2、O2O3、O3O4的数量关系，通过设AB=a，利用勾股定理将几何问题转化为代数问题解决.
解：设AB=BO=a，根据勾股定理，得AO=a，所以001=，O1O2=，0203=，0304=.
由A0+001+0102+0203+0304=31，得，
所以，解得a=16，
即AB=B0=16，所以BC=32，
所以长方形花坛ABCD的周长是2(16+32)=96m.
例4：已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1,将PAE在正方形内按图4中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图5是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索：
若k=1时，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=____时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(2)若k=2,则n=______时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则n=_____时,顶点P第一次回到原来的起始位置.
(3)请你猜测:使顶点P第一次回到起始位置n与k之间的关系(请用含有k的代数式表示n)
图5
解析: (1)因为三角形有三条边,所以在翻转时,顶点P出现和原来方向相同应是三次一循环.当k=1时,△APE在正方形的每边翻转一次,翻转一周4次,需要翻转12次, 顶点P才能第一次回到原来的起始位置.
所以当k=1,n=12时, 顶点P第一次回到原来的起始位置.
(2)当k=2时,△APE沿正方形边翻转一周需要翻转8次,所以当翻转三周即24次时, 顶点P第一次回到原来的起始位置;当k=3时,△APE沿正方形的边翻转一周需要12次,恰好顶点P第一次回到原来的起始位置.
(3)通过以上翻转可以发现:
当k是3的倍数时,n=4k；当k不是3的倍数时,n=12k.
1、 选择题：
1、 若菱形两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（ ）
A、5 B、10 C、20 D、40
2、 下列条件中，不能确定菱形的形状和大小的是（ ）
A、 己知菱形的两条对角线
B、 己知菱形的一边和一内角
C、 己知菱形的四条边
D、 己知菱形的周长和面积
3、 若菱形的高是其周长的，则菱形的内角（ ）
A B C D均为
4、如图，E为正方形ABCD外一点，AE=AD，BE交AD于点F，∠ADE=则∠AFB为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图，P为面积为1的正方形ABCD内一点，且△BCP为等边三角形，则BPD的面积等于（ ）
A、 B、 C、 D
6、己知菱形ABCD的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、 填空题
1、 菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠ADO比∠DAO大则∠ABC= ，∠BCD=
2、 菱形有一个内角为，有一条对角线长是8cm，那么菱形的边长是
3、 以正方形ABCD的边AB为边作等边△ABE，E点在正方形外部，∠DEC=
4、 在等边三角形ABE的外部作正方形ABCD，连结CE，则∠BFC=
5、 如图，边长都是1的正方形ABCD，EFGH，若点E与正方形ABCD的对角线的交点O重合，那么两个正方形重叠的阴影部分面积为
6、 如图，边长为a的正方形ABCD内，△PBC、△QAD都是正三角形，则四边形PMQN（阴影部分）的面积是
3、 解答题：
1、 如图正方形ABCD中，E是BC上的一点，F为CD边上一点，∠AEB=∠AEF，求∠EAF的度数
2、 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，EC=1，P在BD上，求PE+PC的最小值。
4、 证明题：
1、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E、交AC于F，求证四边形AEDF是菱形。
2、如图△ABC中，∠ACB=9，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形ACFG和正方形BCHE。求证：（1）AE=EF，（2）直线EC是线殷AF的垂直平分线
3、 正方形ABCD中，AC与BD交于点O，MN//AB交OA、OB于M、N求证BM⊥CN
参考答案：
一、1、C，2、C，3、C，4、D，5、D6、B
二、1、
2、8cm或
3、
4、
5、
6、
二、1、
2、
三、1、提示先证△AOE≌△AOF
2、提示先证△FCE≌△ACE
3、提示延长CN交MB于P,易证Rt△OMB≌Rt△ONC
一.选择题：
1、 如图正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE=3，那么∠ANM是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、 如图正方形ABCD的边长为a，ME⊥AC于E，MF⊥BD于F，则ME+MF=（ ）
A、a，B、C、D、
3、 如图△ABC中，M为BC中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，且AB=10，AC=16，则MN等于（ ）
A、2 B、2.5 C、3 D、3.5
4、 如图将正方形分成k个全等矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，别k的值为（ ）
A、6 B、8 C、10 D、12
1、 填空题
1、 如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=，∠BAE=2，那么图中能与△ABE全等的三角形是 ，△AEF是 三角形，∠CEF的度数为
2、 菱形的两条对角线分别是8cm和6cm，菱形的边长为 面积为 高为
3、 P是正方形ABCD内部一点，且PA=PD=AD，则∠BPC=
4、 如图，M为正方形ABCD的BC边的中点，将正方形析叠，使A点落在M处，EF为折痕，若正方形的面积为64，则△AEM的面积
2、 解答题
1、 菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=6，若∠BAE=2，求∠CEF的度数．
2、 如图：正方形ABCD边长为1，E、F分别是DC、BC上的点，若△AEF是等边三角形，求AF的值．
三、证明题：
1、 正方形ABCD中，AC与BD交于点O，MN//AB交OA、OB于M、N．求证：BN⊥CN
2、 如图在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=9，M为BD的中点，MN⊥AC交CM的平行线AN于点N
（1） 求证：四边形ANCM为菱形
（2） 若∠ADB=3，DBC=4，求菱形ANCM的相邻两角的度数？
3、 如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
（1） 求证：EO=FO
（2） 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论？
（3） 若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且AE=，BC=2，求B的大小．
参考答案：
一：1、B，2、D，3、C，4、B
二、1、△ACF，等边，
2、16，8，
3、
4、10
二、1、
2、
三、1、提示：延长CN交MB于P易证
2、（1）易证AM=CM（2）
3、（1）略（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形（3）
1.如图1，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为．你认为四边形是什么特殊四边形？请说出你的理由．
解析：解折叠问题的关键是抓住轴对称的性质：折起图形与被折图形是全等形．
四边形是正方形．
理由：因为四边形是矩形，所以．
由于与折叠后重合，所以．
所以四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
又因为，折叠后重合，．
所以四边形是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
2.在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图2①．
（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．
解析：这是一道结论探索题，可先借助刻度尺对三种情形分别进行测量，易发现①中存在关系式：BE=DF+EF；②中存在关系式：DF=BE+EF；③中存在关系式EF=BE+DF．下面以①中关系式为例予以证明：
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=900，．
∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠AEB=∠DFA=900，∴∠ABE+∠BAE=900，∠BAE+∠DAF=900．
∴∠ABE=∠DAF，∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF，BE=AF．
而AF=AE+EF=DF+EF，∴BE=DF+EF．
3.如图3，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．
求证：PM = QM．
分析：欲证PM = QM，可证△MEQ≌△MFP，已具备条件
∠P = ∠Q＝，∠QME =
∠PMF，尚缺少一组对应边：PF = QE．
证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB＝∠PCD＝30°．
又∵BC＝CD，∠PBC＝∠QDC，
∴△EBC≌△FDC，∴CE = CF．
又∵CQ = CD = BC = CP，∴PF = QE．
又∵∠P = ∠Q，∠QME = ∠PMF，
∴△MEQ≌△MFP，∴PM = QM．
∴△MEQ≌△MFP，∴PM = QM．
4.如图4，为正方形
边的中点，是延长线上的一点，
，且交的平分线于．
（1）求证：；
（2）若将上述条件中的“为边的中点”改为“为边上任意一点”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
分析：易知，故本题的解题关键是添加适当的辅助线，构造出一个内角为与全等的三角形．
证明：（1）取的中点，连结．
易证，
．
（2）结论“”仍成立．
证明如下：如图5，
在上截取，连结．
，．
，．
又，
．．
5.如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图6－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．
解：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ，∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．
6.．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，
再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，
将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（１）方案1．　　　　　　　　　　方案２．
（２）方案1．　　　　　　　　　　　方案２．
课时作业：
A等级
1. 已知正方形的边长为10㎝，则其对角线长为 ㎝，面积为 cm2。
2. 用长为7㎝，宽为5㎝的矩形剪成一个最大的正方形，其面积为 cm2。
3. 用长为30㎝，宽为20㎝的长方形瓷砖96快，切好贴满一块正方形的墙面，这个正方形的墙面的边长为 ㎝。
4. 正方形具有而矩形不具有的性质为（ ）
A. 对边平行且相等 B. 对角线相互垂直平分
C. 四个角都相等 D. 既是中心对称图形又是轴对称图形
5. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 四边相等 B. 四角相等
C. 对角线相互垂直平分 D. 既是中心对称图形又是轴对称图形
6. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形 AEFC，则∠FAB为（ ）
A. 22.5° B. 45°
C. 30° D135°
7. 在正方形ABCD外以CD为边作等边△CDE，求∠ADE的度数。
8. 如图，已知P为正方形ABCD对角线BD上任一点，四边形PECF为矩形。
求证：PA＝EF
9. 如图，已知四边形ABCD为正方形。P为BC上一点，BF⊥AP。
（1）求证：BF＝AP；
（2）若平移直线BF，使它和AB相交于点E，判断EF和AP的数量关系，并证明你的结论。
10. 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，点F在CD，且CE＝CF。
求证：（1）BF＝DE；（2）BF⊥DE。
11. 取一张正方形纸片ABCD，按下列步骤折纸。
（1）对折，E为BC中点；
（2）连结DE沿DE将DC翻折到DF位置；
（3）翻折AD，使AD与DF重合。
若正方形边长为10㎝，求EC、BG、AG的长。
B等级
1. 有一组 相等的矩形使正方形，有一个角是 的菱形是正方形。
2. 已知：四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于一点。
若AC＝BD，则平行四边形ABCD是 。
若∠A＝90°，则平行四边形ABCD是 。
若AC＝BD且AC⊥BD，则平行四边形ABCD是 。
3. 如图，四边形ABCD为正方形，AC、BD相交于点O，P为AB上任一点，PE⊥AO于E，PE⊥BO于F，则四边形PEOF为 形。当P点为 时，四边形PEOF为正方形。
4. 如第3题图，若正方形ABCD的边长为10㎝，则四边形PEOF的周长为 ㎝。
5. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，求证：四边形CEDF是正方形。
6. 如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且BF＝CE。
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当△ABC还满足什么条件时。四边形AFDE是正方形？说明理由。
7. 已知：四边形ABCD为正方形，对角线相交于点O，OA′B′C′也为正方形，且绕P点旋转，OA′交AB于E，OC′交BC于F。
（1）求证：BE＋BF＝AB；
（2）若AE＝4，FC＝3，求EF的长；
（3）若正方形ABCD边长为4，求重合部分的面积。
8. 一块长为5㎝，宽为2㎝的长方形纸板，一块长为4㎝，宽为1㎝的长方形纸板，一块正方形以及两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，如图。问大正方形的面积是多少？
9. P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A。
（1）不管滚动多长时间，求证：四边形PQRS为正方形；
（2）连结对角线AC、BD、PR、SQ，你发现四条对角线有何关系？
（3）根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边问c，你能否根据面积推导出勾股定理？
C等级
1.已知：如图1，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
图1
2. 正方形的面积是，则其对角线长是________.
3. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A.12+12 B.12+6
C.12+ D.24+6
4. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.
5.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.
6. 如图4，四边形ABCD为正方形，为等边三角形．为正方形的对角线，则 度．
.
7.如图5，正方形ABCD的边长为，MN//BC分别交AB,CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ．
图5
8..E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
9.如图，正方形ABCD，AB=a，M为AB的中点，ED=3AE，（1）求ME的长；（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？
10.以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF，
（1）试探索BE和CF的关系？并说明理由.
（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角.
课时作业答案：
A等级答案：
1. 10 100 2. 25 3. 240 4. B 5. B 6. A 7. 15° 8. 连结PC，先证明PC＝PA，再证PC＝EF。 9.（1）证明△ABP≌△BCF （2）作EH⊥CD于H，证△ABP≌△EHF 10.（1）证△BFC≌△DEC （2）∠FBC＝∠EDC，∵∠EDC+∠E＝90°，∴∠FBC+∠E＝90°。∴BF⊥DE。 11. EC为5㎝，AG为㎝，BG为㎝
B等级答案：
1. 邻边 直角 2. 矩形 菱形 矩形 正方形 3. 矩形 AB中点 4. 10 5. 先证CEDF为句子能够，再证FC＝CE 6.（1）证明△BDF≌△CDE 则∠B＝∠C （2）当∠A＝90°时 7.（1）证明△BOE≌△COF，∴BE＝CF。 （2）EF为5 （3）4 8. 36cm2 9.（1）先证明△APS≌△DSR，从而PS＝RS且PS⊥RS。 （2）交于一点 （3）略
C等级答案：
1. 22.5 67.5° 2. 3.A 4.3 5. 6． 105°； 7.8
8. 15°9.(1) a (2)△EMC是直角三角形 理由略
10.（1）BE=CF，BE⊥CF
（2）△ABE和△AFC可以通过旋转而相互得到，旋转中心是A，旋转角为90°.
A
B
C
D
O
G
N
M
1
2
C
A
B
D
F
E
A
B
C
D
O
E
F
H
…
A
B
C
D
O
D1
D3
D2
D4
A
B
C
D
P
E
图⑶
B
C
D
E
G
A
⑷
F
图2-1
图2-2
图3－1
图3－2
图3－3
图3－4
A
B
C
D
E
⑸
E′
A
B
C
B′
D
⑹
图4
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
A
D
C
B
图1
图2
图3
图4
图3
图5
图6－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图6－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图6－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
②
①
①
②
图7（1）
图7（2）
①
①
中点
中点
中点
中点
①
①
②
②
①
①
中点
中点
中点
中点
②
①
②
①
D
第6题
E
F
C
B
A
第8题
D
F
C
E
P
B
A
D
P
C
B
第9题
B
P
A
F
D
F
E
C
A
C
D
E
B
F
A
第10题
E
F
第11题
G
D
C
B
A
P
第3题
F
E
O
D
B
C
A
E
F
第5题
D
C
B
A
第6题
F
E
D
C
B
A
B′
A′
C
D
B
F
O
第7题
E
C′
A
2㎝
4㎝
第8题
5㎝
1㎝
第9题
Q
P
S
C
R
D
B
A
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
图4
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