第2课时平行线的判定和性质

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第五章 相交线、平行线
第2课时 平行线的判定、性质
由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）．由公理推出：内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理．
　　本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．
　　本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理．
平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。能用平行线的性质进行简单的推理和计算。理解平行线的判定方法和性质区别。
点击一：平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行
点击二：两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行
点击三：平行线的基本性质：
平行公理 ：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
点击四：平行线的判定方法
同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．
另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．
针对练习1:
1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )毛
A.平行或相交 B.垂直或相交; C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交
2.下列说法正确的是( )
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的 个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.过一点画已知直线的平行线,则( )
A.有且只有一条 B.有两条; C.不存在 D.不存在或只有一条
6.在同一平面内,____________________________________叫做平行线.
7.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.
8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;若两条直线平 行,则公共点的个数是_________.
9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.
10.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A, B,C三点________,理论根据是___________________________.
11.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
12.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E= 30°,试说明AB∥CD.
答案：1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.不相交的两条直线 7.CD EF 平行于同一条直线的两条直线平行 8 .1个 0个 9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行11. 解:∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠CAB,
又∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠2,
∴AB∥CD.
12.解:∵EG⊥AB,∠E=30°,
∴∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF,
∴AB∥CD.
点击五：平行线的性质：
两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．
过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．
点击六：平行线的距离
同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。
注意：夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则不叫两条平行线的距离
针对练习2：
1.如图１，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（ ）.
(A)30° (B)35° (C)20° (D)40°
2.如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则（ ）.
（A）只能求出其余3个角的度数 （B）只能求出其余5个角的度数
（C）只能求出其余6个角的度数 （D）只能求出其余7个角的度数
3.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
（A）第一次向左拐300，第二次向右拐300
（B）第一次向右拐500，第二次向左拐1300
（C）第一次向右拐500，第二次向右拐1300
（D）第一次向左拐500，第二次向左拐1300
4.如图,AB∥CD,∠B=230, ∠D=420,则∠E=( )
（A）230 （B）420 （C）650 （D）190
5.如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是 （ ）.
（A）60° （B）70° （C）80° （D）90°
6.一个合格的弯形管道，经两次拐弯后保持平行（即AB∥CD），如果∠C=60°，那么∠B的度数是__________.
7.如图，直线，被直线所截，∥，如果∠1=50°，那么∠2=____________度.
8.如图，直线a∥b，直线与，相交，若∠2=115°，则∠1=_____.
9.如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．
10.小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A=40°，∠1=70°，小明马上运用已学过的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠C=_________________.
11.如图，直线，均与相交，形成∠1，∠2，…，∠8共8个角，请填上你认为适当的一个条件：_______，使得∥.
答案：1.B2.D3.A4.C5.B 6. 120°；7. 50；8. 65°；9. 22；10. 30°；11.略.
类型之一：平行线的判定
例1：　如图，由∠1＝∠2，可以判断
　　A．AB∥CD　　B．AD∥BC　　C．AB⊥CD　　D．AD⊥BC
　解析：从图形可以先猜想出可能是AB∥CD，也可能是AD∥BC，但是我们发现AD和BC与题目的已知条件无关，这是一种对图形的认识，那么怎么才能构造出我们判断平行的条件呢？这就需要对∠1、∠2进行等量代换．显然∠ABD＝∠1＝∠2，所以AB∥CD故选A
　　点评：在练习中看图、识图是一种能力，会大大提高解题的速度．当然，这道题目还有别的证明方法，三个判定定理都可以证出此题．
　　例2、完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示
　　∵∠ADE＝∠DEF(已知)
　　∴AD∥________(　　　　)
　　又∵∠EFD＝∠C(已知)
　　∴EF∥________(　　　　)
　　∴_____∥____ (　　　　)
　解析：图中∠ADE和∠DEF没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看∠ADE和∠DEF是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角．
　　解：EF 内错角相等，两直线平行
　　　　BC 同位角相等，两直线平行
　　AD BC 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
　　点评：在几何中经常要添加辅助线来帮助解题，本题中的辅助线是比较简单的．
　　例3、如图，若∠1＝∠2，∠2与∠3互补，试说明l1∥l2∥l3．
　　解析：要说明l1∥l2∥l3．由判定公理可知，必须存在相关的角的关系．因此有∠1＝∠2，∠2与∠3互补，从图形中不难发现．同位角和内错角之间的联系，因此只需确定它们的相等关系即可．
　　方法一：∵l是一条直线
　　　　　　∴∠1与∠6互补
　　　　　　∴∠1＋∠6＝180°
　　　　　　∵∠2与∠3互补(已知)
　　　　　　∴∠2＋∠3＝180°
　　　　　　∴∠3＝∠6
　　　　　　∴l1∥l3(同位角相等，两直线平行)
　　　　　　又∵∠1＝∠2，
　　　　　　∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)
　　　　　∴l1∥l2∥l3(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
　　　　互相平行)
　　方法二：∵l1与l3相交
　　　　　　∴∠1＝∠4(对顶角相等)
　　　　　　∴∠1＝∠2(已知)
　　　　　　∴∠2＝∠4
　　　　　　∵∠2与∠3互补(已知) 且∠7与∠3互补(邻补角)
　　　　　　∴∠2＋∠3＝∠7＋∠3
　　　　　　∴∠2＝∠7
　　　　　　∴∠4＝∠7
　　　　　　∴l1∥l3(内错角相等，两直线平行)
　　　　　　又∵∠1＝∠2(已知)
　　　　　　∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)
　　　　　　∴l1∥l2∥l3(平行公理推论)
　　点评：一题多解是提高几何能力的一种重要手段，要尝试使用多种方法解题，迁移到生活中呢？就是要多角度地去观察、分析、解决问题．
　　例4、如图所示，直线AB、BC、CD、DA相交于点A、B、C、D，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°．试判定：
　　(1)AB∥CD；(2)AD∥BC
　　解析：根据已知条件和图形，要判定两直线平行，必须从角的关系(相等或互补)来考虑应用哪一种判定方法．
　　解：(1)∵∠2＋∠5＝180°(邻补角)
　　　　∠2＋∠3＝180°(已知)
　　　　∴∠3＝∠5(等量代换)
　　　　∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)
　　(2)∵∠2＝∠4(对顶角相等)
　　　　∠1＝∠2(已知)
　　　　∴∠1＝∠4(等量代换)
　　　　∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)
类型之二：平行线的性质
例1：已知：如图1，l1∥l2，∠1=50°， 则∠2的度数是（ ）
A．135° B．130°C．50° D．40°
图1
解析：本题主要考查平行线特征的应用，观察图形可知∠1的同位角与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.
解：选C.
【点评】本题是一道比较简单的试题，解决问题的关键是根据平行线的特征以及对顶角的性质，找出∠1和∠2的关系.
例2：如图2，AB//CD，直线l平分∠AOE，∠1=40°，则∠2=_____.
图2
解析:根据两直线平行同旁内角互补，得∠1+∠FOB=180°，所以∠FOB=180°-40°=140°.
根据直线l平分∠AOE，得∠BOG=70°，再根据AB//CD，可得∠2=∠BOG=70°.
解:填70°.
【点评】本题主要是两直线平行同旁内角相等，以及两直线平行，内错角相等性质的应用.
例3： 如图3， AB//CD， 若∠ABE=120°， ∠DCE=35°， 则有∠BEC=__________度.
图3
解析:要求∠BEC的度数，可过E点作EF//AB，根据AB//CD，可得EF//CD，这样可借助平行线的性质找到∠BEC与∠ABE和∠DCE之间的关系.从而求出∠BEC的度数.
解:作EF//AB，因为AB//CD，所以EF//CD，
所以∠ABE+∠BEF=180°，∠FEC=∠C，所以∠BEC=∠ABE+∠DCE=120°+35°=155°.
【点评】当所求的角和两已知平行线没有直接关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决.
例4：已知:如图4，AB//DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是（ ）
A.135° B.115° C.65° D.35°
　　 图4
解析：要求∠B+∠C的度数，因为已知∠E=65°，为了得到∠B+∠C与E的关系，可过点C作AB的平行线.
解：过点C作CG//AB，因为AB//DE，所以CG//DE，
所以∠E+∠GCE=180°，∠GCB+∠B=180°，
所以∠B+∠ECB+∠GCE=180°，
所以∠E=65°，所以∠GCE=180°-65°=115°，
所以∠B+∠ECB=180°-115°=65°.
选C.
【点评】当图形中有两条平行线，且涉及到两直线外的角的计算问题时，往往需要作构造平行线.
例5：已知：如图5，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．
说明：∠P=90°．
图5
解析:根据AB∥CD，可得到∠BEF+∠EFD=180°，根据EP、FP分别是∠BEF和∠DFE的平分线，可得∠PEF+∠PFE=90°，进而∠EPF=90°.
解：因为AB∥CD，所以∠BEF+∠DFE=180°．
又因为∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
所以∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE．
所以∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．
因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°，所以∠P=90°．
【点评】本题在求解过程中，用到三角形的内角和等于180°这一性质.
类型之三：平行线的判定与性质再实际生活中的应用
一、在合理用料中的应用
例1 ：如图1，一块不规则的木料，只有AB一边成直线，木工师傅为了在此木料上截出有一组对边平行的一块木板，用角尺在ED处画了一条直线，然后又在PN处用角尺画了一条直线，画完后用锯沿ED，PN锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，你认为这样做有道理吗？并说明你的理由。
【解析】这样做有道理。根据角尺结构的特点可知，∠EDC＝∠PNM＝90°，即∠EDC＋∠PNM＝180°，所以PN∥EC（同旁内角互补，两直线平行）。所以木工师傅这样做是有道理的。
二、在“拐弯”中的应用
例2： 一位学员在广场上练习汽车驾驭，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．先向左拐30°，再向右拐30° B．先向右拐50°，再向左拐130°
C．先向右拐50°，再向左拐130° D．先向左拐50°，再向左拐130°
【解析】如图2，由题意：汽车两次拐弯后行驶方向相同，说明不但要求AB∥CD，而且方向朝同一方向，怎样才能使AB∥CD呢？则应满足平行的条件（同位角相等；内错角相等；或同旁内角互补）。因此可先将四个选项的图形准确地画出来，再观察判断。故选（A）．
三、物理光学上的应用
例3 ：如图所示，潜望镜中的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（它们的余角有∠1＝∠3，∠4＝∠6），请解释为什么进入潜望镜的光和离开潜望镜的光线是平行的？
【解析】因为镜子是平行的，所以可以把它们看成是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以∠3＝∠4，又因为∠1＝∠3，∠4＝∠6，所以∠1＝∠3＝∠4＝∠6，所以180°－（∠1＋∠3）＝180°－（∠4＋∠6），即∠2＝∠5．根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。
点评：本题从平行线的性质“两直线平行，内错角相等”出发，得出了平行线，再利用平行线的条件“内错角相等，两直线平行”判别两直线平行。
四、解决与方向角有关的问题
例4 ：如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东45°，如果甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的走向是什么？
【解析】因为正北方向的两条直线是平行的，即a∥b，所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）。又∠1＝45°，所以∠2＝45°，所以乙地开工的公路走向应为南偏西45°。
【点评】正确理解方向角的，利用平行线的性质是解此题的关键。
1．直线、、中，若，则、的位置关系是 ．
2．如图3所示，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，若∠1=∠2，则 ∥ ，若∠1=∠3，则 ∥ ．
3.如图4所示，若∠1=∠2，则 ∥ ；若∠２＝　　　　　，则BC∥B′C′；理由是 .
4．如图5所示，若∠1=2∠3，∠2=60°，则AB与CD的位置关系为 ．
5．如图1，若，则______．
6．如图2，，则______（填，，）．
7．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的度数之比是，那么这两个角的度数分别是______．
8．如图3，直线，则______．
9．如图4，，直线交于，平分，，则______．
10．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）
（A） 相交或垂直 （B）垂直或平行 （C）平行或相交 （D）不确定
11．如图10所示，下列条件中，能判断直线∥的是（ ）
（A）∠2=∠3 （B）∠1=∠3
（C）∠4＋∠5=180° （D）∠2=∠4
12．如图11所示，下列推理中正确的数目有（ ）
①因为∠1=∠4，所以BC∥AD．
②因为∠2=∠3，所以AB∥CD．
③因为∠BCD＋∠ADC=180°，所以AD∥BC．
④因为∠1＋∠2＋∠C=180°，所以BC∥AD．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
13．如图5，直线与直线相交，且，则下列结论：①；②；③中正确的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
14．如图6，已知是的平分线，，，则的度数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．如图7，直线Ａ，，则图中与互余的角有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
16．如图15所示，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2。试确定直线DF与AE的位置关系，并说明理由．
17．如图16所示，当∠BED与∠B，∠D满足 条件时，可以判断AB∥CD．
（1）在“ ”上填上一个条件；
（2）试说明你填写的条件的正确性．
18．如图8，点分别在上，且，，下面写出了说明“”的过程，请填写其中的空格．
因为，（已知），所以，（　　）
因为（已知），所以（　　）
又因为（已知），所以．
因为，所以．
19．如图9，已知，，说明．
答案：1．⊥2．DE∥AC，DF∥BC 3．AB∥A′B′，∠3，同位角相等，两直线平行 4．AB∥CD．5．　　6．　　7．，　　8．　9． 10．C 11．B 12．A 13．Ｄ　　14．Ａ　15．Ｃ16．DF∥AE，理由是：因为CD⊥DA，DA⊥AB，所以∠BAD=∠ADC=90°．又因为∠1=∠2，所以∠BAD－∠1=∠ADC－∠2，即∠4=∠3，所以DF∥AE．
17．（1）∠BED=∠B＋∠D；（2）理由是：过点E在∠BED的内部作一个角∠BEF=∠B，所以AB∥EF．又因为∠BED=∠B＋∠D，所以∠FED=∠D，所以EF∥CD，所以AB∥CD．
一、选择题:
1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是( )毛
A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2; C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD
(图1) (图2) (图3)
2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )
A.AD∥BC B.EF∥BC C.AB∥DC D.AD∥EF
3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )
A.∠A=∠ACE B.∠A=∠ECD C.∠B=∠BCA D.∠B=∠ACE
4.下列说法错误的是( )
A.同位角不一定相等 B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等 D.同旁内角互补,两直线平行
5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互( )
A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交
6.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )毛
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
(图1) (图2) (图3)
7.如图2所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠ BDC等于( )
A.78° B.90° C.88° D.92°
8.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内 错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是 ( )
A.① B.②和③ C.④ D.①和④
9.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( )
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交
10.如图3所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为( )
A.35° B.30° C.25° D.20°
11.如图4所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
(图4) (图5) (图6)
12.如图5所示,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
二、填空题:
1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.
2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.
3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
4.如图6所示,如果DE∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是 ______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.
5.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路 平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.
(图7) (图8) (图9)
6.如图8所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.
三、训练平台:
1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.
2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E= 30°,试说明AB∥CD.
3.如图9所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数.
4.如图所示,已知AB∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°,求∠BED的度数.
5.如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.
四、提高训练:
1.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗 为 什么
2.如图所示,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG的度数.
五、探索发现:
1. 如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.
2. 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你 从所得的四个关系中任选一个加以说明.
(1) (2) (3) (4)
六、中考题与竞赛题:
1.如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:①∠1=∠ 5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
2.如图a所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠B EF,若∠1=72°,则∠2=_______.
(a) (b)
3.如图b所示,已知直线AB,CD被直线EF所截,若∠1=∠2,则∠A EF+∠CFE=________.
答案:
一、1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.A 9.B 10.C 11.C 12.B
二、1.相交 2.平等 3.(1)AD BC 同位角相等,两直线平行 (2)DC AB  内错角相等,两直线平行4.∠AED ∠BDE 两直线平行,同旁内角互补 DF AC 内错角相等,两直 线平行 5.150° 6.60° 40°
三、1.解:∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠CAB,
又∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠2,
∴AB∥CD.
2.解:∵EG⊥AB,∠E=30°,
∴∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF,
∴AB∥CD.
3.∠ADC=118°
4.∠BED=78° 5.∠4=120°
四、1.解:平行.
∵∠1=∠2,
∴a∥b,
又∵∠3+∠4=180°,
∴b∥c,
∴a∥c.
2.∠DEG=100°
五、
1.∠1=∠6,∠2=∠5,∠3=∠8,∠4=∠7,∠3=∠6,∠4=∠5,∠3+∠5=180°∠ 4+∠6=180°
2. (1)∠P=360°-∠A-∠C,
(2)∠P=∠A+∠C,
(3)∠P=∠C-∠A,
(4)∠P=∠A-∠ C(说明略).
六、1.A.毛
2.54° 3.180°毛
1.如图1，AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE=155°，则∠DBC的度数为（ ）
A．155° B．50° C．45° D．25°
解：因为AD∥BC （已知）
所以∠DBC=∠ADB （两直线平等，内错角相等）
又∠ADE=155° （已知）
所以∠ADB=180°－155°=25° （邻补角定义）
所以∠DBC=25°，故选D。
2.如图2，已知∠1=∠2，∠3=44°，求∠4的度数。
解：因为∠1=∠2 （已知）
所以l1∥l2（内错角相等，两直线平行）
所以∠3＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又因∠3=44°（已知）
所以∠4=180°－∠3=180°－44°=136°。
3.如图3，已知AB∥CD，∠C=75° ，∠A=25°，则∠E的度数为 。
解：过点F作FG∥AE。
因为AB∥CD（已知）
所以∠EFB=∠C=75°（两直线平行，同位角相等）
又FG∥AE
所以∠1=∠A=25°（两直线平行，同位角相等）
∠E=∠2（两直线平行，内错角相等）
又∠2=∠EFB－∠1=75°－25°=50°
所以∠E=50°
4.如图4，直线a∥b，则∠ACB= 。
解：此题同例3相仿，“画一线豁然开朗”。
过点C作CD∥a。
因为a∥b（已知）
所以CD∥b （平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠ACD =50° ，∠DCB=25°（两直线平行，内错角相等）
所以∠ACB= ∠ACD＋∠DCB=50°＋25°=75°。
5.如图1，已知OB⊥OA，直线CD过点0，且∠AOC=250．你能根据提供的条件求出∠BOD的度数吗
方法1：利用∠BOD=∠COD-∠BOC，由于∠COD是平角，只需求出∠BOC；
方法2：根据本题的特殊性，如果延长AO会得到一对对顶角，求∠BOD就转化为求∠DOE的问题了，而∠DOE与∠AOC是对顶角，所以问题得以解决.
解：方法一：因为OB⊥OA(已知)，
所以∠BOA=900 (垂直的定义)．
又因为∠AOC=250 (已知)，所以∠BOC=∠BOA-∠COA=650．
又因为直线CD过点0，∠COD是平角，即∠COD=1800，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=1150．
解法2：反向延长OA并在线上任取点E，
所以∠DOE=∠AOC=250 (对顶角相等)．
又因为直线AE过点0，∠AOE是平角，
即∠AOE=1800 (平角的定义)，所以∠BOE=900． 图1
所以∠BOD=∠BOE+∠DOE=900+250=1150．
6.已知：如图2所示，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC．∠1+∠2=1800．试判断BF与AC的关系，并说明理由．
解：因为∠AGF=∠ABC(已知)，
所以GF∥BC(同位角相等，两直线平行)．
所以∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)．
因为∠1+∠2=1800(已知)，所以∠3+∠2=1800．
所以BF∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠BFC=∠DEC(两直线平行，同位角相等)．直定义)．
点拨：说明两直线垂直，应该找直角．
课时作业：
A等级
1.如图，中，，过点且平行于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．答案：Ｃ
2.如图，中，的平分线相交于点，过作，若，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
答案：Ｃ
3.如图，已知AB∥CD，∠C=35°，BC平分∠ABE，则∠ABE的度数是（ ）
A. 17.5° B. 35° C. 70° D. 105°
答案：C
4.如图，直线c截二平行直线a、b，则下列式子中一定成立的是
A．∠1=∠5 B. ∠1=∠4
C. ∠1=∠3 D. ∠1=∠2
答案：C
5.如图所示，，∠E＝27°，∠C＝52°，则的度数为( )
A．25° B．63° C．79° D．101°
答案：C
6.一条公路两次转弯后又回到原来的方向（即，如图）．如果第一次转弯时的，那么，应是（ ）
A． B． C． D．
答案：Ａ
7.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，若∠FEB＝110°，则∠EFD等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．110°答案：C
8.如图，，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
9.如图，∥，若∠1=45°，则∠2的度数是（　　）
A．45° B．90°
C．30° D．135°
答案：A
10.学行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线
的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4) ）：
从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④答案：C
11.如图，直线a，b被直线c所截，已知，则的度数为（　　　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：C
12.如图，已知，要使，则须具备另一个条件（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
13.如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是 　（　　　）
（A）60° （B）70°
（C）80° （D）90°
答案：B
14.如图，，则图中、、关系一定成立的是
Ａ．　　　　Ｂ．
Ｃ．　　　　　　 Ｄ．
答案：Ｄ
15.探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡 发出的两束光线经灯碗反射以后平行射出．如果图中，则的度数为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：B
16.如图，两条直线、被第三条直线所截，如果，，那么的度数为 ( )
Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．
答案：A
17.已知：如图，，，则的度数是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
18.如图，直线，直线是截线，如果∠1=50°，那么∠2等于（　　）
A． 150° B． 140° C． 130° D． 120°
答案：C
19.如图，已知于
，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
20. 如图，，则（　　）
(A) (B)
(C) (D)
答案：C
B等级
21.如图，直线a，b被直线c所截，且，如果∠1=65°，那么∠2=　　　　．
答案：115°
22.如图，直线AB，CD被EF所截，且AB∥CD，如果∠1=135°，那么∠2= ．
答案：135°
23.如图，直线被直线所截，若，，则 ．
答案：
24.如图，请你填写一个适当的条件： ，使．
答案：如或或等，填对即可
25.如图，已知直线，，则的度数是 ．
答案：
26.如图，若，，则 ．
答案：130
27.如图，已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于E，F，∠MFD＝50o，EG平分∠MEB，那么∠MEG的大小是______________度．
答案：25
28.如图所示，，，则 ．
答案：
29.如图，已知，，
则
答案：110
30.如图，，，，则的度数为 ．
答案：（或）
31.已知：如图，与相交于点，．如果，，那么为 度．
答案：
32.如图，在不等边中，，，图中等于的角还有______．
答案：
33.如图，若，，则度．
答案：
34.如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公
路的走向是南偏西 度．
答案：
35.如图，已知，分别平分，则∠1+∠2= ．
答案：90°
36. 如图所示，直线∥，则∠= 度．
答案：22
37.如图，已知，分别交、于点、，，则的度数是　　　　　　．
答案：
38.已知：如图，直线，直线，，　　　　　　．
答案：
39.如图所示，，则＝　　　　　度．
答案：100
C等级
40.已知：如图，，，求的度数．
答案：解：∵，∴．　　
41.如图，，直线分别与交于点，，求的度数．
答案：解：，
．
，
．
42.如图，分别交于 平分．求的度数．
答案：解：
　　　　．
　　　　又
　　　　　．
　　　　而
　　　　．
43.如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．
答案：解：平分，．
　　　　．
　　　　
　　　　
44.如图，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
答案：（1）解法一：如图－1
延长交直线于点．
，．
，
．
解法二：如图－2
过点作．
．
，．
．
．
解法三：如图－3
，，
即．
又，
．
（2）不成立．
（3）（a）当动点在射线的右侧时，结论是．
（b）当动点在射线上，结论是，
或或，（任写一个即可）．
（c）当动点在射线的左侧时，结论是．
选择（a）证明：
如图－4，连接，连接交于．
，
．
又，
．
选择（b）证明：如图－5
点在射线上，．
，．
或
或，．
选择（c）证明：
如图－6，连接，连接交于．
，．
，
．
D
C
B
A
E
O
图1
A
B
C
E
D
图1
图2
D
B
C
A
图3
图4
D
C
B
A
（图5）
3
2
1
C
B
A
C'
B'
A'
(图4)
3
2
1
（图3）
F
E
D
C
B
A
3
2
1
（图10）
5
4
3
2
1
D
C
B
A
4
3
2
1
（图11）
（图15）
F
E
D
C
B
A
4
3
2
1
（图16）
E
D
C
B
A
图2
A
B
C
D
E
c
1
b
a
2
3
4
5
B
C
D
A
E
A
B
C
D
1
2
_
2
_
1
3
1
2
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｇ
Ｆ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
A
1
2
3
C
D
B
E
A
D
O
B
C
1
2
Ｃ
a
b
1
2
c
E
D
F
C
B
A
A
B
E
D
C
1
2
c
a
b
1
2
1
2
A
B
D
C
A
Ｂ
C
N
F
D
E
G
M
c
2
a
b
1
1
2
北
北
甲
乙
2
1
A
B
D
C
E
Ｆ
1
2
1
2
c
b
1
Ａ
Ｍ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
Ｇ
Ｎ
Ｆ
Ｃ
１
A
E
1
C
G
F
D
B
2
①
②
③
①
②
③
④
①
②
③
④
图
④
①
②
③
④
图－1
①
图－2
①
②
③
④
图－3
①
②
③
④
图－4
①
②
③
④
图－5
①
②
③
图－6
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