第1课时 三角形及相关概念
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| 名称 | 第1课时 三角形及相关概念 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 441.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-07-17 18:01:00 | ||
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文档简介
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第七章 三角形
第6课时 三角形及相关概念
本章主要内容有三角形的有关线段、角，三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。
通过本节课的学习要了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。会画出任意三角形的高、中线、角平分线。了解三角形的稳定性及其应用。了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
点击一：三角形三边关系
三角形的三边关系是：“三角形两边的和大于第三边”。这里的“两边的和”指的是“任意两边的和”，根据这一关系可判断已知的三条线段能否构成一个三角形。
方法：当线段a、b、c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a、b、c从小到大排列，只要满足a+b大于c便可构成三角形．
针对练习1：
1.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
2.如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．8 D．7
3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，
则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
4.已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．或
5.等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______．
答案：1.B2.A3.C4.C5.
点击二：与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形内角和等于360°
2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
三角形的外角必须满足三个条件：
（1） 顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）；
（2） 一边是三角形的一边（即共边）；
（3） 另一边是三角形一边的延长线（即共线）.
如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上.
1. 三角形外角的个数
一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角.
如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.
3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系.
2. 三角形的外角和是360°.
如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
针对练习：
1.锐角三角形的三个内角是．如果，那么这三个角中（ ）
A．没有锐角 B．有1个锐角 C．有2个锐角 D．有3个锐角
2.如图，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，已知，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4.在中，，则．
5.锐角三角形的三个内角是．如果
，那么这三个角中（ ）
A．没有锐角 B．有1个锐角 C．有2个锐角 D．有3个锐角
6.如图，为中边的延长线上一点，，，则___________．
7.如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示，则的形状是（ ）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形
Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰三角形
9.在中，，，则 ．
10.如右图，已知，，则 ， ．
11.如图，，则_________度．
12.如图所示，图中的= ．
13.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角_______度．
答案：1.A2.D3.Ａ4.5.A6.7.B8.Ｃ9.10.11.
12.13.
点击三：与三角形有关的线段
（一）三角形的高及其有关结论
1.画出三角形ABC的三条高.
三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.
2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.
3.因为S＝BC×AD=AC×BE=AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.
(二)三角形的中线及其有关结论
1.在三角形ABC中画出所有中线.
2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.
3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以S△ACF=S△BCF=S△ABD=S△ADC=S△ABE=S△BCE.
(三)三角形角平分线及其有关结论
1.画出△ABC所有的角平分线.
【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.
针对练习：
1、一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．7或3
2、已知三角形的两边长分别是3和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）
A．7或5 B．7 C．9 D．7或9
3、三角形两边的长分别为3和5 ，则周长的范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4、△ABC的三边长是、、且，若，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6、如图所示，△ABC中，∠C=900，D、E是AC上两点，
且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1= ∠2= ∠3
D．BC是△ABE的高
7、下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；④如果点P是△ABC中AC边的中点，则PB是△ABC的中线，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．①④ D．①②
8、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（3）（4）
9、已知AD、AE分别是△ABC的中线和角平分线，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.BC=2CD C. D.
10、有4根木条，它们的长度分别是12cm、10cm、8cm和4cm，选其中三根组成三角形，不同的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
答案：ADCBBCACDC
点击四：三角形的稳定性
三角形三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫作三角形的稳定性。
1.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性．
2.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（ ）
Ａ．2对 Ｂ．对 Ｃ．4对 Ｄ．6对
答案：1. 稳定2. Ｂ
类型之一：三角形三边关系应用
例1： 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
（1）6㎝，8㎝，10㎝； （2）5㎝，8㎝，2㎝；
（3）三条线段之比为4:5:6； （4）
解析：
解：（1）6㎝，8㎝，10㎝能组成三角形。
（2）5㎝，8㎝，2㎝不能组成三角形。
（3）设这三条线段为，所以三条线段的比为4:5:6时，能组成三角形。
（4）因为，所以能构成三角形。
归纳：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，只需看较小的两边之和是否大于第三边即可。
例2：用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．
解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b．
设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10．故第三条绳子的长应大于4m且小于10m．
例3：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．
由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形．即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C．
例4： 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？
解析 设较大边长为a，另两边长为b、c．因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜(a＋b＋c)．又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c．所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c)．所以，(a＋b＋c)＜a＜HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (a＋b＋c)．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ×24＜a＜×24．所以8＜a＜12．即a应为9，10，11．由三角形三边关系定理和推论讨论知：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
由此知符合条件的三角形一共有7个．
例5：一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．
解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x厘米，因为9-2例6： 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长．
解析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点．根据题意，得x+x＝12，且y+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12．解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5．显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm．
注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．
例7： 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．
解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号．
因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0．所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10．故b=5．
类型之二：三角形内角和定理及外角性质的应用
（一）求三角形的内角
例1：在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D．
例2：如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿．
解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，
∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，
由三角形内角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D． 图1
说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
（二）判断三角形的形状
例3：一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得
2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C．
（三）求角平分线的夹角
例4 ：已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．
解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=∠ABC；
由CO平分∠ACB，得∠2= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ACB．
所以∠1+∠2=(∠ABC +∠ACB)=(180°-∠A) 图2
=(180°-60°)=60°．
（四）求三角形的外角
例5 ：如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3．
由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．
图5 图6
说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．
例6： 如图：在ABC中 ，D是AC延长线上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 +=.答案为（C）.
例7： 如图，已知ABC中，，， BC边上的高为AD,求的度数？
解：如图，因，（已知），
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
（直角三角形，两锐角互余）.
例8： 如图，AF,AD 分别是ABC的高和角平分线,且,.求的度数.
解: 因为,，
所以( 三角形的内角和等于).
因为AD平分，所以 .
所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
因为，所以.
所以
点拨归纳:做题时，要善于从图形中看出几何元素的多重身份,如既是的外角,又是的外角; 既是的内角,又是与的差,解题时要从不同的角度去观察, 这样发现题中隐藏着的关系.
（五）比较角的大小
例9：下列四个图形中∠2大于∠1的是( )
A B C D
解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．
类型之三：三角形中线的应用
（一）求图形的面积
例1 ： 长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.
解析：连接CG，不难得出S△ＢＣＦ＝S△ＤＣＥ＝，从而S△ＢＥＧ＝S△ＤＦＧ，由E、F分别是BC和CD的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ＡＢＧＤ=.
（二）巧算式子的值
例2 ： 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计了如图2所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.
解析：根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形的面积等于1，也可以表示为，因此.
点评：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.
(三)巧分三角形
例3 : 已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2:3的三个三角形.
解析：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把△ABC分成面积之比为1：2:3的三个三角形（如图1）.
方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1：2: 3（如图2）.
想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？
类型之四：高于边垂直的性质应用
例1：已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．
【解析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．
解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．
【点评】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.
例2： 如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？
【解析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=BC·AD=AB·CE，解决十分方便.
解：S△ABC=BC·AD=AB·CE
×5×3=AB·4，解得AB=（cm）．
【点评】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．
例3：如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为 ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .
解：（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.
（2）因为S三角形ABD＝BD×AE，S三角形ACD＝CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.
例4：如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有（ ）.
（1）AD是三角形ABE的角平分线.
（2）BE是三角形ABD边AD上的中线.
（3）CH为三角形ACD边AD上的高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解：由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选A.
例5：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC=12cm，AC=5cm.（1）求三角形ABC的面积.（2）求CD的长.
【解析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S△=ab（a、b为两条直角边的长）；②S△=ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）.由此可知ab＝ch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.
解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC=12cm，AC=5cm，
所以S△ABC＝AC×BC＝30（cm2）.
（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC＝AB×CD，即×13×CD＝30.解得CD＝cm.
类型之五：数学思想方法的应用
（一）方程思想方法：
例1、已知：等腰三角形的周长是24cm，腰长是底边长的2倍，求腰长.
解析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm，可列方程为+2+2=24，解之即可.
解：(1)设底边长cm，则腰长为2cm
+2+2=24
=4.8
∴腰长=2=2×4.8=9.6 (cm)
点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.
（二）分类讨论的思想方法：
例2：已知斜三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数.
解析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.
解：∵△ABC为斜三角形，
∴△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，
（1） 当△ABC为锐角三角形时（如图1），
∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.
（2） 当△ABC为钝角三角形时（如图2），
H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.
（三）转化的数学思想方法：
例3：如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.
解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，
∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.
在△AMN中，由三角形内角和定理，得
∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，
∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，
∴∠3+∠4=∠B+∠E.
在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，
∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.
一、慧眼识金（每小题4分，共28分）
1、在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_____。
2、木匠师傅在作完门框后，常常在门框上钉两根斜拉的木条，这样做依据的数学道理为____.
3、在△ABC中，若∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数等于_____。
4、如图，∠A的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C等于_____。
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5、在△ACB中，∠C=90°，∠A=5∠B，则∠A等于_____。
6、如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=65°，则∠BOC=_____。
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7、如果一个三角形的三条高的交点恰好是该三角形的一个顶点，则该三角形的形状为___________.
二、画龙点睛（每小题4分，共28分）
1、三角形的角平分线是（ ）
A 射线 B 线段 C 直线 D 射线或直线
2、下面图形中∠1＜∠2的是（ ）
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3、现有两条线段，它们的长分别是12和15，若要组成一个三角形，则下列四条线段中，应选取（ ）
A 2 B 3 C 20 D 30
4、若三角形ABC的周长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（ ）
A 7 B 6 C 5 D 4
5、已知D、E分别为三角形ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A DE是△BDC的中线 B BD是△ABC的中线
C AD=DC，BE=EC D 图中∠C的对边是DE
6、下列说法错误的个数是（ ）
①钝角三角形三边上的高都在三角形的外部；
②三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角；
③三角形的一个外角等于它两个内角的和；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
⑤三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角的个数至少有2个。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
7、在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 形状无法确定
三、考考你的基本功（本大题共44分）
1、（10分）现有四根木棒，它们的长度分别是2cm、3cm、4cm、5cm，任取其中三根，可以组成几种不同的三角形？现将其一一列举出来。
2、（10分）用长度相等的火材棒拼成如图所示的图形，并填写下表。
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三角形的个数 1 2 3 4 5 … n
所用火材的根数 3 5 7 9 …
3、（12分）如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AC、BC、CA，使三角形ABC的面积为2个平方单位。
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4、（12分）如图,已知△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，请说明AD//BC。
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答案：一、慧眼识金
1、60°
2、三角形具有稳定性
3、75°
4、80°
5、75°
6、122.5°
7、直角三角形
二、画龙点睛
1、B
2、C
3、C
4、C
5、D
6、B
7、B
三、考考你的基本功
1、解：任取其中三根，可以组成3种不同的三角形：2cm、3cm、4cm，2cm、4cm、5cm，5cm、3cm、4cm，
2、解：11，
3、解：如下图
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4、证明：∵AD平分外角∠EAC，
∴∠DAC= ∠EAC
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠C
∴∠DAC=∠C
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
一、耐心填一填，一锤定音！（每小题6分，共30分）
1．如图1，的平分线交的平分线于，若，则_____．
2．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．
3．三角形两个外角的和等于第三个内角的倍，则第三个内角等于_____．
4．如图2，_____．
5．如图3，_____．
二、精心选一选，慧眼识金！（每小题6分，共30分）
1．三角形的三个外角之比为，则与之相应的三个内角之比为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．如图4，工人师傅砌门时，常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
Ａ．两点之间直线段最短 Ｂ．矩形的稳定性
Ｃ．矩形四个角都是直角 Ｄ．三角形的稳定性
3．如图5，，，，恒满足的关系式是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．如图6，等于（ ）
5．如图7，在中，是上的一点，是上一点，相交于，，，，则的度数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！（本大题共40分）
1．（本题13分）已知，如图8，点是中边上的一点，点是边延长线上一点，说明：．
2．（本题13分）已知，如图9，中，的平分线与的平分线交于点，若，求的度数．
3．（本题14分）如图10，已知折线，且．说明：．
参考答案
一、1． 2．， 3． 4． 5．
二、1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ｄ 4．Ｂ 5．Ａ
三、1．略．
2．．
3．提示：连结或作的延长线．
1.设计方案
一块大型模板如图所示，ABCD设计要求是：BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，请你设计一种具有一定操作性的方案，来说明模板的ABCD满足什么条件时，符合设计要求，并简要说明理由？
2.阅读题：
为了检查同学们对本节知识掌握的情况，薛老师写了这样的一道题让同学们讨论：
题目：一个等腰三角形的周长为28cm,有一边的长为8cm，则这个三角形各边的长是多少？
李明说应这样解：当8cm为底边时，设腰长为xcm,则2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形的各边长为10cm，10cm,8cm.
张纲说不对应该这样：当8cm长为腰长时，设底边长为xcm,则，解得x=12，所以这个三角形的三边长为8cm,8cm,12cm.
亲爱的读者，你认为他们的解法对吗？如果不对，正确的答案应是什么？你认为解答这一类题要注意运用数学中的什么思想方法？
答案：1、设BA与CD的延长线相交于点M，根据三角形的内角和定理，只要量出，就可以判定BA、CD相交成30°的角；同理只要，就可以判定DA、CB相交成20°的角
2、他们俩解的都不全面。正确的解法是：
（1）当8cm为底边时，设腰长为xcm,则2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形的各边长为10cm，10cm,8cm.
（2）当8cm长为腰长时，设底边长为xcm,则，解得x=12，所以这个三角形的三边长为8cm,8cm,12cm.
当边长为10cm，10cm,8cm.或边长为8cm,8cm,12cm，根据三边长必须满足两边之和大于第三边，所以都成立。所以边长为10cm，10cm,8cm.或边长为8cm,8cm,12cm。
解答这一类题要注意运用数学中的分类讨论的数学思想方法。
课时作业：
A等级
1、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，则x等于________
2、如图，从A处观察C处的仰角∠CAD=30°，从B处观察C处的仰角∠CBD=45°，从C处观察A、B两处的视角∠ACB等于______。
3、如图，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=__________.
4、如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度
5、如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其展开，分成三角形与四边形两部分，则四边形中，最大角的度数为_____
6、如图，下列说法错误的是（ ）
A ∠B＞∠ACD B ∠B+∠ACB=180°-∠A C∠B+∠ACB＜180° D ∠HEC＞∠B
7、如图，在△ABC中，D、E分别是BC边上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A 4对 B 5对 C 6对 D 7对
8、已知AD是△ABC的一条高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为（ ）
A 50° B 60° C 90° D 50°或90°
9、如图，△ABC中，高AD与CE的长度分别为2cm、4cm，求AB与BC的长度比是多少？
10、三角形的两边长分别是4cm和8cm。
（1）若它的周长是一个奇数，则这样的三角形的周长有几种不同的情况？
（2）若它的周长是一个大于20的偶数，则这样的三角形的周长又有几种不同的情况？ 11、如图，在ABC中，两条外角平分线BD、CD相交于点D。
（1）若∠A=30°，则∠D=______
（2）若∠A=50°，则∠D=______
（3）你能发现∠A与∠D有怎样的大小关系？请说明理由。
B等级
1．两根木棒的长分别为和．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（）的范围是______．
2．如图1，______．
3．中，，，则周长的取值范围是______．
4．是中，，的对边，若，，，则的取值范围是______．
5．若为的三边，则______（填“＞，＝，＜”）．
6．如图2，以为公共边的三角形的个数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．若三条线段中，，为奇数，那么由为边组成的三角形共有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．无数多个 Ｄ．无法确定
8．如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ）
Ａ．，， Ｂ．，，
Ｃ．，， Ｄ．，，
10．已知有长为，，的线段若干条，任取其中样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知：如图3，，，，求的度数．
12．已知，如图4，，，垂足为，若，则为多少度？
13．已知，如图5，在中，是高和的交点，观察图形，试猜想和之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
C等级
1、五条线段长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成＿＿＿个三角形。
2．三角形的一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是 三角形．
3、 若a,b,c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且则a=______,b=______,c=______
4．如图，有 个三角形，∠l是 的外角，∠ADB是 的外角．
5.在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿。
6.如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝78°，点O为△ABC角平分线的交点，BO的延长线交AC于点D，则∠BDC的度数为＿＿＿＿＿。
7.如图，已知AD∥BC，且EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，则EA与EB的位置关系是＿＿。
8.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是＿＿＿＿。
9．如图所示，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是 ( )
A．DE是△BDC的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．图中∠C的对边是DE
10．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
11、等腰三角形的一边长为7，另一边长为4，则此三角形的周长是（ ）
A、18 B、15 C、18或15 D、无法确定。
12、适合条件的△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形
13、如图，点D、E分别是AB、AC上的点，连BE、CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是（ ）
A、∠ADC＞AEB B、∠ADC＝∠AEB C、∠ADC＜∠AEB D、不能确定
14、如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种。
A、3 B、4 C、5 D、6
16．把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1十∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是 ( )
A．∠A＝∠l＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1十∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
17、如图所示中的三个三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
18、如图，襄樊有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站。
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，AD这条线段是什么线段有？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
19.已知CM是△ABC的边AB边上的中线．
(1)请你作出△AMC中AM边上的高；
(2)若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；
(3)若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB长．
课时作业答案：
A等级答案：
1、140°
2、15°
3、220°
4、45°
5、125°
6、D
7、A
8、D
9、∵
∴2AB=BC。即
10、解：（1）若周长为奇数，则第三边一定为奇数，因为第三边长大于8-4=4cm，小于8+4=12cm，所以第三边长为5cm、7cm、9cm、11cm。则这样的周长有四种不同的情况。
（2）若周长为偶数，则第三边一定为偶数，又因为第三边长大于8-4=4cm，小于8+4=12cm，所以第三边长为6cm、8cm、10cm。又因为三角形的周长大于20，所以第三边长为10cm。则这样的周长有一种情况。
11、解：75° 65°
∠D= 90°-∠A
理由：∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A（三角形内角和是180°）
∵ BD、CD是外角平分线
∴∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠FCB，
∴∠DBC+∠DBC= （∠EBC+∠FCB）= （180°+∠A）=90°+∠A
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DBC）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A
B等级答案：
1． 2． 3． 4． 5．＜
6．Ｃ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ｄ 10．Ｂ
11． 12． 13．．证明略．
C等级答案：
1、3 2、钝角 3、4cm,8cm,6cm 4、8个，△BDC，△ADE 5、α＝β＋γ
6、77° 7、互相垂直 8、三角形的稳定性
9.D 10.C 11、A 12、B 13、B 14、A 15、B 16.B
17、图（1）中是两个锐角，图（2）中是两个锐角，图（3）中有两个锐角或一个直角一个锐角或一个钝角一个锐角。
18、（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线。此时△ABD与△ADC的面积相等。
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条。
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线。
19.
1
2
3
A
D
C
B
2
1
3
A
B
C
P
1
2
A
B
C
E
C
图1
D
C
B
A
第7题图
第8题图
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第七章 三角形
第6课时 三角形及相关概念
本章主要内容有三角形的有关线段、角，三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。
通过本节课的学习要了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。会画出任意三角形的高、中线、角平分线。了解三角形的稳定性及其应用。了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
点击一：三角形三边关系
三角形的三边关系是：“三角形两边的和大于第三边”。这里的“两边的和”指的是“任意两边的和”，根据这一关系可判断已知的三条线段能否构成一个三角形。
方法：当线段a、b、c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a、b、c从小到大排列，只要满足a+b大于c便可构成三角形．
针对练习1：
1.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
2.如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．8 D．7
3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，
则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
4.已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．或
5.等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为______．
答案：1.B2.A3.C4.C5.
点击二：与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形内角和等于360°
2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
三角形的外角必须满足三个条件：
（1） 顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）；
（2） 一边是三角形的一边（即共边）；
（3） 另一边是三角形一边的延长线（即共线）.
如图，∠ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上.
1. 三角形外角的个数
一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角.
如图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6都是三角形ABC的外角.
3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
如上图，∠1是三角形ABC的外角，∠1与∠A是邻补角.因为∠1＝∠B+∠C，所以∠1与∠B、∠1与∠C都是不等关系.
2. 三角形的外角和是360°.
如下图，因为∠1和∠BAC是邻补角，所以∠1＋∠BAC＝180°.同理∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠ACB＝180°.所以∠1＋∠BAC＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠ACB＝540°.
又因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.即三角形ABC的外角和是360°.
针对练习：
1.锐角三角形的三个内角是．如果，那么这三个角中（ ）
A．没有锐角 B．有1个锐角 C．有2个锐角 D．有3个锐角
2.如图，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，已知，则（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4.在中，，则．
5.锐角三角形的三个内角是．如果
，那么这三个角中（ ）
A．没有锐角 B．有1个锐角 C．有2个锐角 D．有3个锐角
6.如图，为中边的延长线上一点，，，则___________．
7.如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示，则的形状是（ ）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形
Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰三角形
9.在中，，，则 ．
10.如右图，已知，，则 ， ．
11.如图，，则_________度．
12.如图所示，图中的= ．
13.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角_______度．
答案：1.A2.D3.Ａ4.5.A6.7.B8.Ｃ9.10.11.
12.13.
点击三：与三角形有关的线段
（一）三角形的高及其有关结论
1.画出三角形ABC的三条高.
三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.
2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.
3.因为S＝BC×AD=AC×BE=AB×CF，所以BC×AD=AC×BE=AB×CF.
(二)三角形的中线及其有关结论
1.在三角形ABC中画出所有中线.
2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.
3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以S△ACF=S△BCF=S△ABD=S△ADC=S△ABE=S△BCE.
(三)三角形角平分线及其有关结论
1.画出△ABC所有的角平分线.
【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.
2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.
针对练习：
1、一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．7或3
2、已知三角形的两边长分别是3和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）
A．7或5 B．7 C．9 D．7或9
3、三角形两边的长分别为3和5 ，则周长的范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4、△ABC的三边长是、、且，若，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6、如图所示，△ABC中，∠C=900，D、E是AC上两点，
且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1= ∠2= ∠3
D．BC是△ABE的高
7、下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；④如果点P是△ABC中AC边的中点，则PB是△ABC的中线，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．①④ D．①②
8、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（3）（4）
9、已知AD、AE分别是△ABC的中线和角平分线，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.BC=2CD C. D.
10、有4根木条，它们的长度分别是12cm、10cm、8cm和4cm，选其中三根组成三角形，不同的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
答案：ADCBBCACDC
点击四：三角形的稳定性
三角形三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫作三角形的稳定性。
1.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性．
2.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（ ）
Ａ．2对 Ｂ．对 Ｃ．4对 Ｄ．6对
答案：1. 稳定2. Ｂ
类型之一：三角形三边关系应用
例1： 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
（1）6㎝，8㎝，10㎝； （2）5㎝，8㎝，2㎝；
（3）三条线段之比为4:5:6； （4）
解析：
解：（1）6㎝，8㎝，10㎝能组成三角形。
（2）5㎝，8㎝，2㎝不能组成三角形。
（3）设这三条线段为，所以三条线段的比为4:5:6时，能组成三角形。
（4）因为，所以能构成三角形。
归纳：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，只需看较小的两边之和是否大于第三边即可。
例2：用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．
解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|a－b|＜c＜a＋b．
设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10．故第三条绳子的长应大于4m且小于10m．
例3：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．
由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形．即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C．
例4： 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？
解析 设较大边长为a，另两边长为b、c．因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜(a＋b＋c)．又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c．所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c)．所以，(a＋b＋c)＜a＜HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 (a＋b＋c)．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ×24＜a＜×24．所以8＜a＜12．即a应为9，10，11．由三角形三边关系定理和推论讨论知：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
由此知符合条件的三角形一共有7个．
例5：一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．
解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x厘米，因为9-2
解析 如图1，设腰AB=xcm，底BC=ycm，D为AC边的中点．根据题意，得x+x＝12，且y+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 x＝21；或x+x＝21，且y+x＝12．解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5．显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm．
注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．
例7： 已知三角形三边长为a、b、c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|=10，求b的值．
解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号．
因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0．所以|a＋b－c|＋|a－b－c|= a＋b－c－(a－b－c)=2b=10．故b=5．
类型之二：三角形内角和定理及外角性质的应用
（一）求三角形的内角
例1：在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D．
例2：如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿．
解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，
∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，
由三角形内角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D． 图1
说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
（二）判断三角形的形状
例3：一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得
2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C．
（三）求角平分线的夹角
例4 ：已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．
解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=∠ABC；
由CO平分∠ACB，得∠2= ( http: / / www.21cnjy.com / )∠ACB．
所以∠1+∠2=(∠ABC +∠ACB)=(180°-∠A) 图2
=(180°-60°)=60°．
（四）求三角形的外角
例5 ：如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3．
由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．
图5 图6
说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．
例6： 如图：在ABC中 ，D是AC延长线上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得 +=.答案为（C）.
例7： 如图，已知ABC中，，， BC边上的高为AD,求的度数？
解：如图，因，（已知），
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
（直角三角形，两锐角互余）.
例8： 如图，AF,AD 分别是ABC的高和角平分线,且,.求的度数.
解: 因为,，
所以( 三角形的内角和等于).
因为AD平分，所以 .
所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
因为，所以.
所以
点拨归纳:做题时，要善于从图形中看出几何元素的多重身份,如既是的外角,又是的外角; 既是的内角,又是与的差,解题时要从不同的角度去观察, 这样发现题中隐藏着的关系.
（五）比较角的大小
例9：下列四个图形中∠2大于∠1的是( )
A B C D
解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．
类型之三：三角形中线的应用
（一）求图形的面积
例1 ： 长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.
解析：连接CG，不难得出S△ＢＣＦ＝S△ＤＣＥ＝，从而S△ＢＥＧ＝S△ＤＦＧ，由E、F分别是BC和CD的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ＡＢＧＤ=.
（二）巧算式子的值
例2 ： 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计了如图2所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.
解析：根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形的面积等于1，也可以表示为，因此.
点评：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.
(三)巧分三角形
例3 : 已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2:3的三个三角形.
解析：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把△ABC分成面积之比为1：2:3的三个三角形（如图1）.
方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1：2: 3（如图2）.
想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？
类型之四：高于边垂直的性质应用
例1：已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．
【解析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．
解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．
【点评】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.
例2： 如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？
【解析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=BC·AD=AB·CE，解决十分方便.
解：S△ABC=BC·AD=AB·CE
×5×3=AB·4，解得AB=（cm）．
【点评】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．
例3：如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为 ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .
解：（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm）.
（2）因为S三角形ABD＝BD×AE，S三角形ACD＝CD×AE，而BD=CD，所以S三角形ABD＝S三角形ACD.
例4：如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有（ ）.
（1）AD是三角形ABE的角平分线.
（2）BE是三角形ABD边AD上的中线.
（3）CH为三角形ACD边AD上的高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解：由∠1＝∠2，知AD平分∠BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CH⊥AD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选A.
例5：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC=12cm，AC=5cm.（1）求三角形ABC的面积.（2）求CD的长.
【解析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S△=ab（a、b为两条直角边的长）；②S△=ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）.由此可知ab＝ch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.
解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC=12cm，AC=5cm，
所以S△ABC＝AC×BC＝30（cm2）.
（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC＝AB×CD，即×13×CD＝30.解得CD＝cm.
类型之五：数学思想方法的应用
（一）方程思想方法：
例1、已知：等腰三角形的周长是24cm，腰长是底边长的2倍，求腰长.
解析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm，可列方程为+2+2=24，解之即可.
解：(1)设底边长cm，则腰长为2cm
+2+2=24
=4.8
∴腰长=2=2×4.8=9.6 (cm)
点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.
（二）分类讨论的思想方法：
例2：已知斜三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数.
解析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.
解：∵△ABC为斜三角形，
∴△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，
（1） 当△ABC为锐角三角形时（如图1），
∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ADB=∠BEH=90°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.
（2） 当△ABC为钝角三角形时（如图2），
H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.
（三）转化的数学思想方法：
例3：如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.
解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，
∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.
在△AMN中，由三角形内角和定理，得
∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，
∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，
∴∠3+∠4=∠B+∠E.
在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，
∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.
一、慧眼识金（每小题4分，共28分）
1、在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_____。
2、木匠师傅在作完门框后，常常在门框上钉两根斜拉的木条，这样做依据的数学道理为____.
3、在△ABC中，若∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数等于_____。
4、如图，∠A的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C等于_____。
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5、在△ACB中，∠C=90°，∠A=5∠B，则∠A等于_____。
6、如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=65°，则∠BOC=_____。
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7、如果一个三角形的三条高的交点恰好是该三角形的一个顶点，则该三角形的形状为___________.
二、画龙点睛（每小题4分，共28分）
1、三角形的角平分线是（ ）
A 射线 B 线段 C 直线 D 射线或直线
2、下面图形中∠1＜∠2的是（ ）
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3、现有两条线段，它们的长分别是12和15，若要组成一个三角形，则下列四条线段中，应选取（ ）
A 2 B 3 C 20 D 30
4、若三角形ABC的周长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（ ）
A 7 B 6 C 5 D 4
5、已知D、E分别为三角形ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A DE是△BDC的中线 B BD是△ABC的中线
C AD=DC，BE=EC D 图中∠C的对边是DE
6、下列说法错误的个数是（ ）
①钝角三角形三边上的高都在三角形的外部；
②三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角；
③三角形的一个外角等于它两个内角的和；
④三角形的一个外角大于它的任何一个内角；
⑤三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角的个数至少有2个。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
7、在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 形状无法确定
三、考考你的基本功（本大题共44分）
1、（10分）现有四根木棒，它们的长度分别是2cm、3cm、4cm、5cm，任取其中三根，可以组成几种不同的三角形？现将其一一列举出来。
2、（10分）用长度相等的火材棒拼成如图所示的图形，并填写下表。
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三角形的个数 1 2 3 4 5 … n
所用火材的根数 3 5 7 9 …
3、（12分）如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AC、BC、CA，使三角形ABC的面积为2个平方单位。
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4、（12分）如图,已知△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC，请说明AD//BC。
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答案：一、慧眼识金
1、60°
2、三角形具有稳定性
3、75°
4、80°
5、75°
6、122.5°
7、直角三角形
二、画龙点睛
1、B
2、C
3、C
4、C
5、D
6、B
7、B
三、考考你的基本功
1、解：任取其中三根，可以组成3种不同的三角形：2cm、3cm、4cm，2cm、4cm、5cm，5cm、3cm、4cm，
2、解：11，
3、解：如下图
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4、证明：∵AD平分外角∠EAC，
∴∠DAC= ∠EAC
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠C
∴∠DAC=∠C
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
一、耐心填一填，一锤定音！（每小题6分，共30分）
1．如图1，的平分线交的平分线于，若，则_____．
2．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．
3．三角形两个外角的和等于第三个内角的倍，则第三个内角等于_____．
4．如图2，_____．
5．如图3，_____．
二、精心选一选，慧眼识金！（每小题6分，共30分）
1．三角形的三个外角之比为，则与之相应的三个内角之比为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．如图4，工人师傅砌门时，常用木条固定矩形门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
Ａ．两点之间直线段最短 Ｂ．矩形的稳定性
Ｃ．矩形四个角都是直角 Ｄ．三角形的稳定性
3．如图5，，，，恒满足的关系式是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．如图6，等于（ ）
5．如图7，在中，是上的一点，是上一点，相交于，，，，则的度数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！（本大题共40分）
1．（本题13分）已知，如图8，点是中边上的一点，点是边延长线上一点，说明：．
2．（本题13分）已知，如图9，中，的平分线与的平分线交于点，若，求的度数．
3．（本题14分）如图10，已知折线，且．说明：．
参考答案
一、1． 2．， 3． 4． 5．
二、1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ｄ 4．Ｂ 5．Ａ
三、1．略．
2．．
3．提示：连结或作的延长线．
1.设计方案
一块大型模板如图所示，ABCD设计要求是：BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，请你设计一种具有一定操作性的方案，来说明模板的ABCD满足什么条件时，符合设计要求，并简要说明理由？
2.阅读题：
为了检查同学们对本节知识掌握的情况，薛老师写了这样的一道题让同学们讨论：
题目：一个等腰三角形的周长为28cm,有一边的长为8cm，则这个三角形各边的长是多少？
李明说应这样解：当8cm为底边时，设腰长为xcm,则2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形的各边长为10cm，10cm,8cm.
张纲说不对应该这样：当8cm长为腰长时，设底边长为xcm,则，解得x=12，所以这个三角形的三边长为8cm,8cm,12cm.
亲爱的读者，你认为他们的解法对吗？如果不对，正确的答案应是什么？你认为解答这一类题要注意运用数学中的什么思想方法？
答案：1、设BA与CD的延长线相交于点M，根据三角形的内角和定理，只要量出，就可以判定BA、CD相交成30°的角；同理只要，就可以判定DA、CB相交成20°的角
2、他们俩解的都不全面。正确的解法是：
（1）当8cm为底边时，设腰长为xcm,则2x+8=28,解得x=10,所以这个三角形的各边长为10cm，10cm,8cm.
（2）当8cm长为腰长时，设底边长为xcm,则，解得x=12，所以这个三角形的三边长为8cm,8cm,12cm.
当边长为10cm，10cm,8cm.或边长为8cm,8cm,12cm，根据三边长必须满足两边之和大于第三边，所以都成立。所以边长为10cm，10cm,8cm.或边长为8cm,8cm,12cm。
解答这一类题要注意运用数学中的分类讨论的数学思想方法。
课时作业：
A等级
1、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，则x等于________
2、如图，从A处观察C处的仰角∠CAD=30°，从B处观察C处的仰角∠CBD=45°，从C处观察A、B两处的视角∠ACB等于______。
3、如图，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=__________.
4、如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度
5、如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其展开，分成三角形与四边形两部分，则四边形中，最大角的度数为_____
6、如图，下列说法错误的是（ ）
A ∠B＞∠ACD B ∠B+∠ACB=180°-∠A C∠B+∠ACB＜180° D ∠HEC＞∠B
7、如图，在△ABC中，D、E分别是BC边上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ ）
A 4对 B 5对 C 6对 D 7对
8、已知AD是△ABC的一条高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为（ ）
A 50° B 60° C 90° D 50°或90°
9、如图，△ABC中，高AD与CE的长度分别为2cm、4cm，求AB与BC的长度比是多少？
10、三角形的两边长分别是4cm和8cm。
（1）若它的周长是一个奇数，则这样的三角形的周长有几种不同的情况？
（2）若它的周长是一个大于20的偶数，则这样的三角形的周长又有几种不同的情况？ 11、如图，在ABC中，两条外角平分线BD、CD相交于点D。
（1）若∠A=30°，则∠D=______
（2）若∠A=50°，则∠D=______
（3）你能发现∠A与∠D有怎样的大小关系？请说明理由。
B等级
1．两根木棒的长分别为和．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（）的范围是______．
2．如图1，______．
3．中，，，则周长的取值范围是______．
4．是中，，的对边，若，，，则的取值范围是______．
5．若为的三边，则______（填“＞，＝，＜”）．
6．如图2，以为公共边的三角形的个数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．若三条线段中，，为奇数，那么由为边组成的三角形共有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．无数多个 Ｄ．无法确定
8．如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ）
Ａ．，， Ｂ．，，
Ｃ．，， Ｄ．，，
10．已知有长为，，的线段若干条，任取其中样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．已知：如图3，，，，求的度数．
12．已知，如图4，，，垂足为，若，则为多少度？
13．已知，如图5，在中，是高和的交点，观察图形，试猜想和之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
C等级
1、五条线段长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成＿＿＿个三角形。
2．三角形的一个外角小于它相邻的内角，这个三角形是 三角形．
3、 若a,b,c为三角形的三边长，此三角形周长为18cm，且则a=______,b=______,c=______
4．如图，有 个三角形，∠l是 的外角，∠ADB是 的外角．
5.在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿。
6.如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝78°，点O为△ABC角平分线的交点，BO的延长线交AC于点D，则∠BDC的度数为＿＿＿＿＿。
7.如图，已知AD∥BC，且EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，则EA与EB的位置关系是＿＿。
8.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是＿＿＿＿。
9．如图所示，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是 ( )
A．DE是△BDC的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．图中∠C的对边是DE
10．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
11、等腰三角形的一边长为7，另一边长为4，则此三角形的周长是（ ）
A、18 B、15 C、18或15 D、无法确定。
12、适合条件的△ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形
13、如图，点D、E分别是AB、AC上的点，连BE、CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是（ ）
A、∠ADC＞AEB B、∠ADC＝∠AEB C、∠ADC＜∠AEB D、不能确定
14、如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是（ ）
A、 B、 C、 D、
15、两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种。
A、3 B、4 C、5 D、6
16．把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1十∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是 ( )
A．∠A＝∠l＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1十∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
17、如图所示中的三个三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
18、如图，襄樊有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站。
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连结线段AD，AD这条线段是什么线段有？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
19.已知CM是△ABC的边AB边上的中线．
(1)请你作出△AMC中AM边上的高；
(2)若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；
(3)若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB长．
课时作业答案：
A等级答案：
1、140°
2、15°
3、220°
4、45°
5、125°
6、D
7、A
8、D
9、∵
∴2AB=BC。即
10、解：（1）若周长为奇数，则第三边一定为奇数，因为第三边长大于8-4=4cm，小于8+4=12cm，所以第三边长为5cm、7cm、9cm、11cm。则这样的周长有四种不同的情况。
（2）若周长为偶数，则第三边一定为偶数，又因为第三边长大于8-4=4cm，小于8+4=12cm，所以第三边长为6cm、8cm、10cm。又因为三角形的周长大于20，所以第三边长为10cm。则这样的周长有一种情况。
11、解：75° 65°
∠D= 90°-∠A
理由：∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠EBC+∠FCB=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A（三角形内角和是180°）
∵ BD、CD是外角平分线
∴∠DBC= ∠EBC，∠DCB= ∠FCB，
∴∠DBC+∠DBC= （∠EBC+∠FCB）= （180°+∠A）=90°+∠A
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DBC）=180°-（90°+∠A）=90°-∠A
B等级答案：
1． 2． 3． 4． 5．＜
6．Ｃ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ｄ 10．Ｂ
11． 12． 13．．证明略．
C等级答案：
1、3 2、钝角 3、4cm,8cm,6cm 4、8个，△BDC，△ADE 5、α＝β＋γ
6、77° 7、互相垂直 8、三角形的稳定性
9.D 10.C 11、A 12、B 13、B 14、A 15、B 16.B
17、图（1）中是两个锐角，图（2）中是两个锐角，图（3）中有两个锐角或一个直角一个锐角或一个钝角一个锐角。
18、（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线。此时△ABD与△ADC的面积相等。
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条。
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线。
19.
1
2
3
A
D
C
B
2
1
3
A
B
C
P
1
2
A
B
C
E
C
图1
D
C
B
A
第7题图
第8题图
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