第2课时多边形内角和定理；镶嵌
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| 名称 | 第2课时多边形内角和定理；镶嵌 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 309.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-07-17 18:02:00 | ||
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文档简介
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第七章 三角形
第7课时多边形内角和定理；镶嵌
本节内容是多边形及内角和，镶嵌等，由三角形的有关概念推广介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）探索并了解多边形的内角和、外角和公式。通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。镶嵌是重点；简单的平面镶嵌设计是难点
点击一：多边形及其相关的概念
1． 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.理解多边形的概念应注意两点：①在平面内，②线段首尾顺次连接.如图1，是一个多边形，这是一个六边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
图1 图2
2．正多边形：在平面内，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个多边形是正多边形应具备两个条件：①各个内角大小相等；②每条边长度一样.
3．多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角.如图1，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角.多边形内角的个数与边数相等.
4．多边形的内角和：多边形所有的内角的和叫做多边形的内角和.如图1中的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
5．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2，延长CD，则∠EDG是六边形的一个外角.在多边形的一个顶点处可画出两个外角.
6．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.如图3，六边形的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.
7．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.连接n边形的一个顶点和其它不相邻的各顶点，可得(n-3)条对角线.如图4，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线.
图3 图4
点击二：理解内角和公式的推导以及外角和的推导
1.多边形内角和公式的推导
多边形的内角和公式(n-2)·180°的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:
(1) 从一个顶点出发引n边形的(n-3)条对角线,把n边形分割成(n-2)个三角形,则这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,从而得到n边形的内角和为(n-2)·180°.
(2)在n边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割成n个三角形,这n个三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个周角360°,所以n边形的内角和为n×180°-360°=(n-2)·180°.
(3)在n边形的一边上取一点,把这点与多边形的个顶点连接,把n边形分割成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角的和比n边形的内角的和多出了一个平角即180°,所以n边形的内角和是(n-1)×180°-180°=(n-2)·180°.
2.多边形外角和的推导
n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 ,n边形的n个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n个角，这些角的总和为n·180°.这些总和就是n边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n·180°-(n-2)·180°=2×180°=360°.
需注意的几个问题：
1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,当知道n的值时可以直接求出n边形的内角和；当知道内角和时,可以根据公式构造方程,通过解方程求到边数,注意方程思想的应用.
2.对于多边形的外角和360°,应注意理解多边形的外角和与边数无关；解决多边形问题常把内角问题转化为外角问题解决,注意转化思想的应用.
针对练习：
1.. 在平面内由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接围成的图形叫做 ，边形有 条边， 个顶点， 个内角．
2.. 如图，是 边形，它的边是 ，顶点是 ，内角是 ，过点作出这个多边形的所有对角线，分别为 ．
3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形；②四边形；③四边形；④四边形．其中正确的有 （ ）
Ａ．1种 Ｂ．2种 Ｃ．3种 Ｄ．4种
4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是 （ ）
Ａ．四边形的边长 Ｂ．四边形的周长
Ｃ．四边形的某些角的大小 Ｄ．四边形的内角和
5. 由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形，如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长线的一侧，那么这样的多边形称为凸多边形，请根据上面定义判断下列图中不是凸多边形的是 （ ）
6. 一个七边形的内角和等于 ，十边形的内角和等于 ，边形的内角和等于 ．
7. 一个多边形的内角和等于1440°，则它的边数为 ．
8. 一个八边形，它的内角都相等，则每个内角的度数都等于 ．
9. 一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．
10. 若一个四边形的四个内角度数的比为，则这个四边形的四个内角的度数分别为 ．
11. 七边形的六个内角都等于130°，则第七个角的度数为 ．
12. 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角是 ．
13. 如果一个四边形的四个内角之比是，那么这个四边形的四个内角中 （ ）
Ａ．只有一个直角 Ｂ．只有一个锐角 Ｃ．有两个直角 Ｄ．一个锐角一个直角
14. 四边形，，，，的度数比为，则等于（ ）
Ａ．60° Ｂ．75° Ｃ．90° Ｄ．120°
15. 四边形中，如果，则（ ）
Ａ．20° Ｂ．90° Ｃ．170° Ｄ．80°
16. 当一个多边形的边数增加2时，它的内角和增加 度．
17. 如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8
18. 一个多边形的内角和不可能是 （ ）
Ａ．1800° Ｂ．540° Ｃ．720° Ｄ．810°
19. 一个多边形除了一个内角之外，其余各角的和为2750°，则这个内角是 （ ）
Ａ．130° Ｂ．140° Ｃ．155° Ｄ．120°
20. 四边形的四个内角 （ ）
Ａ．可以都是锐角 Ｂ．可以都是钝角
Ｃ．可以都是直角 Ｄ．必须有两个锐角
21. 一个四边形中锐角最多有 （ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
22. 已知两个多边形的内角和为1800°，且两多边形的边数之比为，求这两个多边形的边数．
23. 多边形边数增加1条时，其内角和增加 ．
24. 一个多边形截去一个角后，变为16边形，则原来的多边形的边数为 （ ）
Ａ．15或17 Ｂ．16或17 Ｃ．16或18 Ｄ．15或16或17
答案：1：多边形，，，．
2：六边形；，，，，，；点，，，，，；，，，，，；，，．
3：Ｂ．4：Ｃ．5：Ａ．6：；；．7：十．8：135°．
9：设这个多边形的边数为
10：60°，80°，100°，120°．11：120°．12：135°．13：Ａ．14：Ｃ．15：Ｄ．16：360．17：Ｃ．18：Ｄ．19：Ａ．20：Ｃ．21：Ｃ．
22：设两多边形的边数为和，
则它们的内角和分别为，
则
解得，，
因此这两个多边形分别为四边形和十边形．
23：180°．24：Ｄ．
点击三：多边形镶嵌
用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。在日常生活中，最常见的是正多边形的镶嵌。由于镶嵌的正多边形的边必与另一正多边形的边重合，所以镶嵌的正多边形的边都必须相等，且在每个顶点处镶嵌的各个正多边形的内角和为3600。主要有以下几种类型：
（一）用一种正多边形镶嵌
假设由个正边形恰好镶嵌，则这些铺在一个顶点处的个正边形的个内角和应等于3600，而正边形的每个内角的度数为HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
因此有，即，所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
因为、均为正整数，且≥3，所以只能取3、4、6，这时分别为6、4、3，
这说明只用一种正多边镶嵌可有3种选择：用6块正三角形，或用4块正方形，或用3块正六边形。
（二）用两种正多边形组合镶嵌
1、用正三角形和正方形组合镶嵌
设可用个正三角形和个正方形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，得到，整理得，因为、均为正整数，故满足条件的、的值只有=3、=2，这说明可用正三角形和正方形组合镶嵌，在一个顶点处需用3个正三角形和2个正方形。
2、用正三角形和正六边形组合镶嵌
设可用个正三角形和个正六边形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为600，正六边形的每个内角为1200，得到，整理得，同样因为、均为正整数，故满足条件的、的值有=4、=1，或=2、=2，这说明可用正三角形和正六边形组合镶嵌，在一个顶点处需用4个正三角形和1个正六边形，或用2个正三角形和2个正六边形
那么，还有哪两种正多边形可以组合镶嵌？设可用个正边形和个正边形进行组合镶嵌，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
整理得：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 其中:、、、均为正整数，,≥3、
1≤,＜6,通过枚举得到满足条件的、、、的值有:①=3、=4、=3、=2；
②=3、=6、=4、=1或者=3、=6、=2、=2；③=3、=12、=1、=2；④=4、=8、=1、=2；这说明除了可用正三角形和正方形以及正三角形和正六边形进行组合镶嵌外，还可用1个正三角形和2个正十二边形以及用1个正方形和2个正八边形进行组合镶嵌。
（三）用三种正多边形组合镶嵌
设所用三种正多边形的边数分别为，，，并设在每个顶点处每种正多边形只用1个，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
整理得：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （*）此式表明：若用三种正多边形组合镶嵌，且在每个顶点处每种正多边形只用1个，则所用多边形的边数应满足（*）式
（四）用四种正多边形组合镶嵌
设所用四种正多边形的边数分别为，，，，并设在每个顶点处每种正多边形只用1个，则
，
整理得： （**）此式表明：若用四种正多边形组合镶嵌，且在每个顶点处每种正多边形只用1个，则所用多边形的边数应满足（**）式
针对练习：
1、
2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个
时，就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种。
4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是
A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形
5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D正六边形
6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四
个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，
小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图
案需要这样的地板砖至少A 8块 B 9块 C 11块 D 12块
7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是
A、正三角形 B、正五边形 C、正六边形 D、正八边形
8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）
拼接符合原来的图案模式？（ ）
（图1）
A． B． C． D．
答案：1、16、 4n+4 2、周角 3、正三角形、正四边形、正六边形4、C 5、C
6、A 7、B，8、C
类型之一：多边形的内角和公式
例1：（1）多边形的内角和不可能为（ ）
A、180° B、680° C、1080° D、1980°
⑵如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝ ．
解析：⑴根据多边形的内角和公式为：(n-2)×180 ，其中n是大于或等于3的整数。可以知道三角形的内角和为180 的整数倍。而B中680°不能被180°整除。
⑵多边形的外角和是360 ，根据这个多边形的内角和等于外角和的2倍，可以得到该多边形的内角和为360 ×2=720 ，根据多边形的内角和公式：(n-2)×180 =720 ，解得n=6，
解：⑴选B；⑵n=6
类型之二：多边形的镶嵌
（一）用同一种正多边形镶嵌
例1：某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
（A）4种；（B）3种 ；（C）2种；（D）1种．
解析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．
解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C．
点评：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．
（二）用两种或两种以上正多边形组合镶嵌
例2：一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
解析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n1、n2、n3，则有 ( http: / / www.21cnjy.com / )＋＋=360°，整理得，＋＋=．
解：根据分析可知，＋＋=，即＋＋=．解得，n3=12．所以第三个正多边形的边数是12．
评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足 ( http: / / www.21cnjy.com / )＋＋=．
（三）运用镶嵌探索规律
例3：如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．
解析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．
解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：
完整圆的个数
第1个 1=12＋（1－1）2
第2个 5=22＋（2－1）2
第3个 13=32＋（3－1）2
第4个 25=42＋（4－1）2
… …
n个 n2＋（n－1）2
所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n2＋（n－1）2= 102＋（10－1）2=181．
点评：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．
一、耐心填一填，一锤定音！
1．将一个正方形砍去一个角，其内角和将变成______．
2．如图是正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分（其中有个“基本图形”），其间存有若干个小正方形空隙，边沿上有小三角形空隙，以及图案的个角的更小的三角形空隙．若密铺个“基本单位”的图案，并填充满空隙则需要______个小正方形，______个小三角形．（不含图案的个角）．
3．从边形的一个顶点出发的时角线有______条，可将多边形分成______个三角形．
4．一个多边形的每个外角都是，这个多边形是______边形，其内角和为______．
5．各内角都相等的多边形中，一个外角等于相邻内角的，则它的每一个内角都是______．
二、精心选一选，慧眼识金！
1．边形的内角和比边形的内角和多（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．下列图形不能进行密铺的是（ ）
Ａ．等边三角形 Ｂ．正方形
Ｃ．正五边形 Ｄ．正六边形
3．如果一个多边形的每个外角都相等，且小于，那么这个多边形的边数最少是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是，那么原多边形的边数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！
1．一个四边形的内角的度数的比是，求它的最大内角和最小外角的度数．
2．请你用一个任意四边形（两组对边都不平行）为“基本单位”，设计一个密铺图案．
3．一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个内角的大小．
4．如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是，那么原来的多边形的边数是多少？
参考答案
一、1．或或 2．， 3．， 4．五， 5．
二、1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｂ
三、1．最大内角为，最小外角为．
2．略．
3．．
4．．
一、相信你的选择！（每小题3分，共24分）
1. 下列命题：① 多边形的外角和小于内角和② 三角形的内角和等于外角和③ 多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2. 一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加【 】
(A)180° (B)90° (C) 360° (D)540°
3. 过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的【 】
(A)4倍 (B)5倍 (C)6倍 (D)3倍
4. 在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于【 】
（A）60° （B）75° （C）90° （D）120°?
5. 从凸边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为【 】
(A) (B) (C) (D)
6. 在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是【 】
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10
7. 一个多边形除个内角外，其余各内角和为，则这个内角的度数为【 】
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
8. 如图，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于【 】
(A) (B) (C) (D)
二、试试你的身手！（每小题3分，共24分）
9. 一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 °.
10. 一个多边形的内角和角和是外角和的4倍，则这个多边形是 边形.
11. 已知等腰梯中，,若，则∠A的外角是 °.
12. 如图是一只爬虫在地面上经过的路线，所形成的、、、、、的和是 .
13. 用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形中，的度数为 .
14. 如图在中，是与的角平分线的交点，的延长线交于，且，则的度数为 .
15. 如图，在六边形中，，，且，，则的度数是 ，的度数是 ．
16. 一个七边形棋盘如图所示,7个顶点按顺时针从0到6编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,第次移动格，则不停留棋子的格子的编号有______.
三、挑战你的技能！（共40分）
17.小明和小方分别设计了一种求边形的内角和（为大于2的整数）的方案： 小明是在边形内取一点，然后分别连结、、、、…、（如图1）；小红是在边形的一边上任取一点，然后分别连结、…、（如图2）. 请你评判这两种方案是否可行？如果不行的话，请你说明理由；如果可行的话，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来.
图1 图2
18. 如图,一个六边形的六个内角都是，,,,求该六边形的周长.
19. 在数学实践课上，小明用橡塑泥做了一个多边形，然后用小刀切去一个角，得到一个新的多边形.
（1）如果原多边形是5边形，那么得到的新多边形的内角和可能是多少？
（2）如果得到的新多边形的内角和是，那么原多边形的边数是多少？
20.用几何画板工具可以很方便地画出正五角星(如图1所示).
(1) 图1中 .
(2)拖动点到图2和图3的位置时, 的值是否发生变化 说明你的理由.
图1 图2 图3
毛四、拓广探索，再接再厉！（共12分）
21. 探究：（1）如图①与有什么关系？为什么？
（2）把图①沿折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______ (填“”“”“”)，当时，______.
（3）如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则（） ＝ , 从而猜想与的关系为 .
图① 图② 图③
答案：一、相信你的选择！
1. B 2.C3.A 4.C 5.B6.C 7.A 8.A
二、试试你的身手！
9. 10.十 11. 12. 13. 14. 15. ,16. 2,3,5
三、挑战你的技能！
17. 两种方案均可行.（1）内角和为；
（2）内角和为.
18. 12
19.(1),, (2)8,9,10
20. （1）（2）值没有变化.连结，可得：.
四、拓广探索，再接再厉！
21.(1)相等 （2）， （3），，
1. 如图1、图2、图3中，点、分别是正、正四边形、正五边形中以点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且与能互相重合，延长线交于点.
（1）求图1中，的度数；
（2）图2中，的度数为_______，图3中，的度数为_______；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正边形情况.若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.
2. 多边形的每个内角都是156°，则它的边数是（ ）.
（A）10 （B）13 （C）15 （D）19
3. 如下左图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=_____________.
4.. 水泊花园社区里有一个五边形的小公园（如图2所示），王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95°，王老师沿公园边由A点经BCDE一直到F时，他在行程中共转过了多少度？（ ）
A.265° B.275° C.360° D.445°
答案：1. （1）（2），（3）能.理由：
.
2：C
3.解：如图，连接BE.
因为∠DPC=∠BPE，
所以∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB.
因为∠ABE=∠ABC＋∠CBE，∠FEB=∠FED＋DEB.
所以∠A＋∠F＋∠ABE＋∠FEB=∠A＋∠F＋∠ABC＋∠CBE＋∠FED＋∠DEB.
又因为∠A＋∠F＋∠ABE＋∠FEB=（4－2）×180°=360°，
所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F=360°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=360°
4：B
课时作业：
A等级
1、五边形的内角和为____________，外角和为_______________。
2、如果一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形每一个外角等于__________。
3、若一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是_____________边形，它的内角和等于_____________。
4、某多边形的内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数为___________.
5、要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉___________根木条。
6、若一凸多边形的内角和等于它的外角和的 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则它的边数是__________.
7、经过一个多边形的一个顶点共有9条对角线，则这个多边形的边数为______________.
8、下列度数中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A 320° B 540° C 900° D 1260°
9、五边形的内角和与外角和之比为（ ）
A 1︰1 B 2︰1 C 3︰1 D 3︰2
10、某人到瓷砖店去购买一种多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A 正三角形 B 正四边形 C 正五边形 D 正六边形
11、若多边形的边数由3增加到n（n为正整数），则外角和的度数（ ）
A 增加 B 减少 C 不变 D 不能确定
12、能用镶嵌的道理铺满地面的正多边形组合是（ ）
A 正五边形和正十边形 B 正三边形和正八边形
C 正方形和正七边形 D 正六边形和正八边形
13、n边形的边数增加一倍，它的内角和增加（ ）
A 180° B 360° C （n-2）180° D n·180°
14、在多边形的内角中，锐角的个数不能多于（ ）
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
15、某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
16、如图，五边形ABCDE中，AE//CD，∠A=107°，∠ABC=121°，求∠C的度数（提示：考虑作平行线）
( http: / / www.21cnjy.com / )
17、已知一个多边形的的各个内角都相等，且每一个内角与它的外角的差为90°，求这个多边形的边数。
18、如果一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数。
B等级
1、用三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是正__________边形。
2、如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，（图案本身没有字母），5个角的顶点A、B、C、D、E把外面的圆5等分，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、如图，三角形ABC内有三个点D、E、F，现分别以A、B、C、D、E、F着六个点为顶点构建三角形，使得任意点不落在另一个三角形内部，则这些三角形的所有内角之和为_____
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、（）边形与边形的内角和相减等于____度，边形与的外角和相差____度。
5、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已经选好用正十二边形与正方形两种，还需要选用_____，使这三种组合在一起把便道铺满。
6、一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形是（ ）
A 七边形 B 八边形 C 九边形 D 十边形
7、一个多边形的每一个内角都相等，且外角小于45°，则这个多边形的边数最少是（ ）
A 7 B 8 C 9 D 10
8、用三块木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，恰好两块木板的边数都是8，则第三块木版的边数应是( )
A 4 B 5 C 6 D 7
9、在三角形ABC中，有一点，当、、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可以构成三个不重叠的小三角形。当三角形ABC内的点的个数不断增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况将怎样变化，并完成下表：
( http: / / www.21cnjy.com / )
三角形ABC的个数 1 2 3 … 1004
互不重叠的小三角形个数 3 5
10.观察下列图形，回答问题
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）四边形、五边形、六边形、各有几条对角线？从中你能得到什么规律？
（2）根据规律你知道七边形有多少条对角线吗？
（3）你知道n边形有多少条对角线吗？
11、各角相等的多边形中，每个内角都是它相邻外角的n倍，则此多边形是几边形？
C等级
1. 在下列条件中：①②③
④中，能确定是直角三角形的条件有【 】
（Ａ）①②（Ｂ）③④（Ｃ）①③④（Ｄ）①②③
2. 若正边形的一个内角与正边形的一个内角的和等于，则为【 】
（Ａ）７（Ｂ）６（Ｃ）５ （Ｄ）４
3.如图，，则下列各式中正确的是【 】
（A）∠1＋∠2＋∠3＝180°（B）∠1＋∠2－∠3＝90°
（C）∠1－∠2＋∠3＝90° （D）∠2＋∠3－∠1＝180°
4. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是【 】
（A）15或17（B）16或15 （C）15 （D）15或16或17
5. 一个多边形的内角中，锐角个数最多有 个.
6. 一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数是 .
7. 小华从A点出发向前直走50 m,向左转18°，继续向前走50 m,再左转18°，他以同样走法回到A点时，共走_____m .
8. 如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知六边形的周长是30cm,那么中间的小等边三角形的边长是 .
9. 如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题.
（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图 ① ② ③ ④
顶点数（V) 7
边数（E） 9
区域数（F） 3
（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数.
10.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为.
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式.
答：S= .
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积S 2 2.5 3 4 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S= .
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S= .
（4）利用你发现的规律求小猫图案的面积.
课时作业答案：
A等级答案：
1、540°、360°
2、60°
3、8、1080°
4、6
5、2
6、3
7、11
8、D
9、D
10、C
11、C
12、A
13、D
14、A
15、解：1125°÷180°=6…45°，所以他计算的9边形，少加的内角的度数为180°45°=135°。
16、解：过点B在B的右侧作BF//AE。因为BF//AE，∠A=70°，所以∠ABF=180°-107°=73°，因为∠B=121°，所以∠FBC=121°-∠ABF=48°，又AE//CD，BF//AE，所以BF//CD，所以∠C=180°-∠FBC=132°
17、解：设这个多边形的外角为x度，根据题意，列方程得，解得度，所以多边形的边数为
18、解：设多边形的边数为n，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得。
B等级答案：
1、6
2、180°
3、900°
4、360，0
5、正六边形
6、C
7、C
8、A
9、解：7、2009
10、解：（1）四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线；
（2）七边形有14条对角线；
（3）从多边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，n个顶点共有n(n-3)条对角线，但一半是重复的，所以n边形对角线数目为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
11、解：设多边形的外角是x，则相邻内角为nx，根据题意，得，则，由于n为正整数，n+1又能整除180，所以n只能为1，2，3，4，5，9，11，14，17。相应x分别为90°，60°，45°，30°，18°，15°，12°，10°。所以多边形的边数为=4，6，8，12，20，24，30，36。
C等级答案：
1. D 2.B 3.D4.D
5.3 6. 7.1000 8. 1
9.（1）4,6,3;8,12,5;10,15,6 (2)V+F=E+1 (3)E=V+F-1=20+11-1=30
10.（1）
（2）.
（3）通过画图操作，可以发现.
（4）小猫图案的面积看成两部分面积的和，则.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图1
图3
图2
图④
图②
图①
图③
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第七章 三角形
第7课时多边形内角和定理；镶嵌
本节内容是多边形及内角和，镶嵌等，由三角形的有关概念推广介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）探索并了解多边形的内角和、外角和公式。通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。镶嵌是重点；简单的平面镶嵌设计是难点
点击一：多边形及其相关的概念
1． 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.理解多边形的概念应注意两点：①在平面内，②线段首尾顺次连接.如图1，是一个多边形，这是一个六边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
图1 图2
2．正多边形：在平面内，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个多边形是正多边形应具备两个条件：①各个内角大小相等；②每条边长度一样.
3．多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角.如图1，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角.多边形内角的个数与边数相等.
4．多边形的内角和：多边形所有的内角的和叫做多边形的内角和.如图1中的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
5．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2，延长CD，则∠EDG是六边形的一个外角.在多边形的一个顶点处可画出两个外角.
6．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.如图3，六边形的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.
7．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.连接n边形的一个顶点和其它不相邻的各顶点，可得(n-3)条对角线.如图4，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线.
图3 图4
点击二：理解内角和公式的推导以及外角和的推导
1.多边形内角和公式的推导
多边形的内角和公式(n-2)·180°的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:
(1) 从一个顶点出发引n边形的(n-3)条对角线,把n边形分割成(n-2)个三角形,则这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,从而得到n边形的内角和为(n-2)·180°.
(2)在n边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割成n个三角形,这n个三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个周角360°,所以n边形的内角和为n×180°-360°=(n-2)·180°.
(3)在n边形的一边上取一点,把这点与多边形的个顶点连接,把n边形分割成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角的和比n边形的内角的和多出了一个平角即180°,所以n边形的内角和是(n-1)×180°-180°=(n-2)·180°.
2.多边形外角和的推导
n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 ,n边形的n个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n个角，这些角的总和为n·180°.这些总和就是n边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n·180°-(n-2)·180°=2×180°=360°.
需注意的几个问题：
1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,当知道n的值时可以直接求出n边形的内角和；当知道内角和时,可以根据公式构造方程,通过解方程求到边数,注意方程思想的应用.
2.对于多边形的外角和360°,应注意理解多边形的外角和与边数无关；解决多边形问题常把内角问题转化为外角问题解决,注意转化思想的应用.
针对练习：
1.. 在平面内由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接围成的图形叫做 ，边形有 条边， 个顶点， 个内角．
2.. 如图，是 边形，它的边是 ，顶点是 ，内角是 ，过点作出这个多边形的所有对角线，分别为 ．
3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形；②四边形；③四边形；④四边形．其中正确的有 （ ）
Ａ．1种 Ｂ．2种 Ｃ．3种 Ｄ．4种
4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是 （ ）
Ａ．四边形的边长 Ｂ．四边形的周长
Ｃ．四边形的某些角的大小 Ｄ．四边形的内角和
5. 由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形，如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长线的一侧，那么这样的多边形称为凸多边形，请根据上面定义判断下列图中不是凸多边形的是 （ ）
6. 一个七边形的内角和等于 ，十边形的内角和等于 ，边形的内角和等于 ．
7. 一个多边形的内角和等于1440°，则它的边数为 ．
8. 一个八边形，它的内角都相等，则每个内角的度数都等于 ．
9. 一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．
10. 若一个四边形的四个内角度数的比为，则这个四边形的四个内角的度数分别为 ．
11. 七边形的六个内角都等于130°，则第七个角的度数为 ．
12. 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角是 ．
13. 如果一个四边形的四个内角之比是，那么这个四边形的四个内角中 （ ）
Ａ．只有一个直角 Ｂ．只有一个锐角 Ｃ．有两个直角 Ｄ．一个锐角一个直角
14. 四边形，，，，的度数比为，则等于（ ）
Ａ．60° Ｂ．75° Ｃ．90° Ｄ．120°
15. 四边形中，如果，则（ ）
Ａ．20° Ｂ．90° Ｃ．170° Ｄ．80°
16. 当一个多边形的边数增加2时，它的内角和增加 度．
17. 如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8
18. 一个多边形的内角和不可能是 （ ）
Ａ．1800° Ｂ．540° Ｃ．720° Ｄ．810°
19. 一个多边形除了一个内角之外，其余各角的和为2750°，则这个内角是 （ ）
Ａ．130° Ｂ．140° Ｃ．155° Ｄ．120°
20. 四边形的四个内角 （ ）
Ａ．可以都是锐角 Ｂ．可以都是钝角
Ｃ．可以都是直角 Ｄ．必须有两个锐角
21. 一个四边形中锐角最多有 （ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
22. 已知两个多边形的内角和为1800°，且两多边形的边数之比为，求这两个多边形的边数．
23. 多边形边数增加1条时，其内角和增加 ．
24. 一个多边形截去一个角后，变为16边形，则原来的多边形的边数为 （ ）
Ａ．15或17 Ｂ．16或17 Ｃ．16或18 Ｄ．15或16或17
答案：1：多边形，，，．
2：六边形；，，，，，；点，，，，，；，，，，，；，，．
3：Ｂ．4：Ｃ．5：Ａ．6：；；．7：十．8：135°．
9：设这个多边形的边数为
10：60°，80°，100°，120°．11：120°．12：135°．13：Ａ．14：Ｃ．15：Ｄ．16：360．17：Ｃ．18：Ｄ．19：Ａ．20：Ｃ．21：Ｃ．
22：设两多边形的边数为和，
则它们的内角和分别为，
则
解得，，
因此这两个多边形分别为四边形和十边形．
23：180°．24：Ｄ．
点击三：多边形镶嵌
用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。在日常生活中，最常见的是正多边形的镶嵌。由于镶嵌的正多边形的边必与另一正多边形的边重合，所以镶嵌的正多边形的边都必须相等，且在每个顶点处镶嵌的各个正多边形的内角和为3600。主要有以下几种类型：
（一）用一种正多边形镶嵌
假设由个正边形恰好镶嵌，则这些铺在一个顶点处的个正边形的个内角和应等于3600，而正边形的每个内角的度数为HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
因此有，即，所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
因为、均为正整数，且≥3，所以只能取3、4、6，这时分别为6、4、3，
这说明只用一种正多边镶嵌可有3种选择：用6块正三角形，或用4块正方形，或用3块正六边形。
（二）用两种正多边形组合镶嵌
1、用正三角形和正方形组合镶嵌
设可用个正三角形和个正方形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，得到，整理得，因为、均为正整数，故满足条件的、的值只有=3、=2，这说明可用正三角形和正方形组合镶嵌，在一个顶点处需用3个正三角形和2个正方形。
2、用正三角形和正六边形组合镶嵌
设可用个正三角形和个正六边形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为600，正六边形的每个内角为1200，得到，整理得，同样因为、均为正整数，故满足条件的、的值有=4、=1，或=2、=2，这说明可用正三角形和正六边形组合镶嵌，在一个顶点处需用4个正三角形和1个正六边形，或用2个正三角形和2个正六边形
那么，还有哪两种正多边形可以组合镶嵌？设可用个正边形和个正边形进行组合镶嵌，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
整理得：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 其中:、、、均为正整数，,≥3、
1≤,＜6,通过枚举得到满足条件的、、、的值有:①=3、=4、=3、=2；
②=3、=6、=4、=1或者=3、=6、=2、=2；③=3、=12、=1、=2；④=4、=8、=1、=2；这说明除了可用正三角形和正方形以及正三角形和正六边形进行组合镶嵌外，还可用1个正三角形和2个正十二边形以及用1个正方形和2个正八边形进行组合镶嵌。
（三）用三种正多边形组合镶嵌
设所用三种正多边形的边数分别为，，，并设在每个顶点处每种正多边形只用1个，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，
整理得：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 （*）此式表明：若用三种正多边形组合镶嵌，且在每个顶点处每种正多边形只用1个，则所用多边形的边数应满足（*）式
（四）用四种正多边形组合镶嵌
设所用四种正多边形的边数分别为，，，，并设在每个顶点处每种正多边形只用1个，则
，
整理得： （**）此式表明：若用四种正多边形组合镶嵌，且在每个顶点处每种正多边形只用1个，则所用多边形的边数应满足（**）式
针对练习：
1、
2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个
时，就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种。
4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是
A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形
5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D正六边形
6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四
个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，
小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图
案需要这样的地板砖至少A 8块 B 9块 C 11块 D 12块
7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是
A、正三角形 B、正五边形 C、正六边形 D、正八边形
8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）
拼接符合原来的图案模式？（ ）
（图1）
A． B． C． D．
答案：1、16、 4n+4 2、周角 3、正三角形、正四边形、正六边形4、C 5、C
6、A 7、B，8、C
类型之一：多边形的内角和公式
例1：（1）多边形的内角和不可能为（ ）
A、180° B、680° C、1080° D、1980°
⑵如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝ ．
解析：⑴根据多边形的内角和公式为：(n-2)×180 ，其中n是大于或等于3的整数。可以知道三角形的内角和为180 的整数倍。而B中680°不能被180°整除。
⑵多边形的外角和是360 ，根据这个多边形的内角和等于外角和的2倍，可以得到该多边形的内角和为360 ×2=720 ，根据多边形的内角和公式：(n-2)×180 =720 ，解得n=6，
解：⑴选B；⑵n=6
类型之二：多边形的镶嵌
（一）用同一种正多边形镶嵌
例1：某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
（A）4种；（B）3种 ；（C）2种；（D）1种．
解析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．
解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C．
点评：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．
（二）用两种或两种以上正多边形组合镶嵌
例2：一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
解析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n1、n2、n3，则有 ( http: / / www.21cnjy.com / )＋＋=360°，整理得，＋＋=．
解：根据分析可知，＋＋=，即＋＋=．解得，n3=12．所以第三个正多边形的边数是12．
评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足 ( http: / / www.21cnjy.com / )＋＋=．
（三）运用镶嵌探索规律
例3：如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．
解析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．
解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：
完整圆的个数
第1个 1=12＋（1－1）2
第2个 5=22＋（2－1）2
第3个 13=32＋（3－1）2
第4个 25=42＋（4－1）2
… …
n个 n2＋（n－1）2
所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n2＋（n－1）2= 102＋（10－1）2=181．
点评：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．
一、耐心填一填，一锤定音！
1．将一个正方形砍去一个角，其内角和将变成______．
2．如图是正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分（其中有个“基本图形”），其间存有若干个小正方形空隙，边沿上有小三角形空隙，以及图案的个角的更小的三角形空隙．若密铺个“基本单位”的图案，并填充满空隙则需要______个小正方形，______个小三角形．（不含图案的个角）．
3．从边形的一个顶点出发的时角线有______条，可将多边形分成______个三角形．
4．一个多边形的每个外角都是，这个多边形是______边形，其内角和为______．
5．各内角都相等的多边形中，一个外角等于相邻内角的，则它的每一个内角都是______．
二、精心选一选，慧眼识金！
1．边形的内角和比边形的内角和多（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．下列图形不能进行密铺的是（ ）
Ａ．等边三角形 Ｂ．正方形
Ｃ．正五边形 Ｄ．正六边形
3．如果一个多边形的每个外角都相等，且小于，那么这个多边形的边数最少是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，那么这个多边形的边数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是，那么原多边形的边数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、用心做一做，马到成功！
1．一个四边形的内角的度数的比是，求它的最大内角和最小外角的度数．
2．请你用一个任意四边形（两组对边都不平行）为“基本单位”，设计一个密铺图案．
3．一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个内角的大小．
4．如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是，那么原来的多边形的边数是多少？
参考答案
一、1．或或 2．， 3．， 4．五， 5．
二、1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｂ
三、1．最大内角为，最小外角为．
2．略．
3．．
4．．
一、相信你的选择！（每小题3分，共24分）
1. 下列命题：① 多边形的外角和小于内角和② 三角形的内角和等于外角和③ 多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有【 】
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2. 一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加【 】
(A)180° (B)90° (C) 360° (D)540°
3. 过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的【 】
(A)4倍 (B)5倍 (C)6倍 (D)3倍
4. 在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于【 】
（A）60° （B）75° （C）90° （D）120°?
5. 从凸边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为【 】
(A) (B) (C) (D)
6. 在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是【 】
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10
7. 一个多边形除个内角外，其余各内角和为，则这个内角的度数为【 】
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
8. 如图，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于【 】
(A) (B) (C) (D)
二、试试你的身手！（每小题3分，共24分）
9. 一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是 °.
10. 一个多边形的内角和角和是外角和的4倍，则这个多边形是 边形.
11. 已知等腰梯中，,若，则∠A的外角是 °.
12. 如图是一只爬虫在地面上经过的路线，所形成的、、、、、的和是 .
13. 用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形中，的度数为 .
14. 如图在中，是与的角平分线的交点，的延长线交于，且，则的度数为 .
15. 如图，在六边形中，，，且，，则的度数是 ，的度数是 ．
16. 一个七边形棋盘如图所示,7个顶点按顺时针从0到6编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,第次移动格，则不停留棋子的格子的编号有______.
三、挑战你的技能！（共40分）
17.小明和小方分别设计了一种求边形的内角和（为大于2的整数）的方案： 小明是在边形内取一点，然后分别连结、、、、…、（如图1）；小红是在边形的一边上任取一点，然后分别连结、…、（如图2）. 请你评判这两种方案是否可行？如果不行的话，请你说明理由；如果可行的话，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来.
图1 图2
18. 如图,一个六边形的六个内角都是，,,,求该六边形的周长.
19. 在数学实践课上，小明用橡塑泥做了一个多边形，然后用小刀切去一个角，得到一个新的多边形.
（1）如果原多边形是5边形，那么得到的新多边形的内角和可能是多少？
（2）如果得到的新多边形的内角和是，那么原多边形的边数是多少？
20.用几何画板工具可以很方便地画出正五角星(如图1所示).
(1) 图1中 .
(2)拖动点到图2和图3的位置时, 的值是否发生变化 说明你的理由.
图1 图2 图3
毛四、拓广探索，再接再厉！（共12分）
21. 探究：（1）如图①与有什么关系？为什么？
（2）把图①沿折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______ (填“”“”“”)，当时，______.
（3）如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则（） ＝ , 从而猜想与的关系为 .
图① 图② 图③
答案：一、相信你的选择！
1. B 2.C3.A 4.C 5.B6.C 7.A 8.A
二、试试你的身手！
9. 10.十 11. 12. 13. 14. 15. ,16. 2,3,5
三、挑战你的技能！
17. 两种方案均可行.（1）内角和为；
（2）内角和为.
18. 12
19.(1),, (2)8,9,10
20. （1）（2）值没有变化.连结，可得：.
四、拓广探索，再接再厉！
21.(1)相等 （2）， （3），，
1. 如图1、图2、图3中，点、分别是正、正四边形、正五边形中以点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且与能互相重合，延长线交于点.
（1）求图1中，的度数；
（2）图2中，的度数为_______，图3中，的度数为_______；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正边形情况.若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.
2. 多边形的每个内角都是156°，则它的边数是（ ）.
（A）10 （B）13 （C）15 （D）19
3. 如下左图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=_____________.
4.. 水泊花园社区里有一个五边形的小公园（如图2所示），王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95°，王老师沿公园边由A点经BCDE一直到F时，他在行程中共转过了多少度？（ ）
A.265° B.275° C.360° D.445°
答案：1. （1）（2），（3）能.理由：
.
2：C
3.解：如图，连接BE.
因为∠DPC=∠BPE，
所以∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB.
因为∠ABE=∠ABC＋∠CBE，∠FEB=∠FED＋DEB.
所以∠A＋∠F＋∠ABE＋∠FEB=∠A＋∠F＋∠ABC＋∠CBE＋∠FED＋∠DEB.
又因为∠A＋∠F＋∠ABE＋∠FEB=（4－2）×180°=360°，
所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F=360°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=360°
4：B
课时作业：
A等级
1、五边形的内角和为____________，外角和为_______________。
2、如果一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形每一个外角等于__________。
3、若一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是_____________边形，它的内角和等于_____________。
4、某多边形的内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数为___________.
5、要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉___________根木条。
6、若一凸多边形的内角和等于它的外角和的 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则它的边数是__________.
7、经过一个多边形的一个顶点共有9条对角线，则这个多边形的边数为______________.
8、下列度数中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A 320° B 540° C 900° D 1260°
9、五边形的内角和与外角和之比为（ ）
A 1︰1 B 2︰1 C 3︰1 D 3︰2
10、某人到瓷砖店去购买一种多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A 正三角形 B 正四边形 C 正五边形 D 正六边形
11、若多边形的边数由3增加到n（n为正整数），则外角和的度数（ ）
A 增加 B 减少 C 不变 D 不能确定
12、能用镶嵌的道理铺满地面的正多边形组合是（ ）
A 正五边形和正十边形 B 正三边形和正八边形
C 正方形和正七边形 D 正六边形和正八边形
13、n边形的边数增加一倍，它的内角和增加（ ）
A 180° B 360° C （n-2）180° D n·180°
14、在多边形的内角中，锐角的个数不能多于（ ）
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
15、某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
16、如图，五边形ABCDE中，AE//CD，∠A=107°，∠ABC=121°，求∠C的度数（提示：考虑作平行线）
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17、已知一个多边形的的各个内角都相等，且每一个内角与它的外角的差为90°，求这个多边形的边数。
18、如果一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数。
B等级
1、用三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是正__________边形。
2、如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，（图案本身没有字母），5个角的顶点A、B、C、D、E把外面的圆5等分，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________
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3、如图，三角形ABC内有三个点D、E、F，现分别以A、B、C、D、E、F着六个点为顶点构建三角形，使得任意点不落在另一个三角形内部，则这些三角形的所有内角之和为_____
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4、（）边形与边形的内角和相减等于____度，边形与的外角和相差____度。
5、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已经选好用正十二边形与正方形两种，还需要选用_____，使这三种组合在一起把便道铺满。
6、一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形是（ ）
A 七边形 B 八边形 C 九边形 D 十边形
7、一个多边形的每一个内角都相等，且外角小于45°，则这个多边形的边数最少是（ ）
A 7 B 8 C 9 D 10
8、用三块木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，恰好两块木板的边数都是8，则第三块木版的边数应是( )
A 4 B 5 C 6 D 7
9、在三角形ABC中，有一点，当、、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可以构成三个不重叠的小三角形。当三角形ABC内的点的个数不断增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况将怎样变化，并完成下表：
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三角形ABC的个数 1 2 3 … 1004
互不重叠的小三角形个数 3 5
10.观察下列图形，回答问题
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（1）四边形、五边形、六边形、各有几条对角线？从中你能得到什么规律？
（2）根据规律你知道七边形有多少条对角线吗？
（3）你知道n边形有多少条对角线吗？
11、各角相等的多边形中，每个内角都是它相邻外角的n倍，则此多边形是几边形？
C等级
1. 在下列条件中：①②③
④中，能确定是直角三角形的条件有【 】
（Ａ）①②（Ｂ）③④（Ｃ）①③④（Ｄ）①②③
2. 若正边形的一个内角与正边形的一个内角的和等于，则为【 】
（Ａ）７（Ｂ）６（Ｃ）５ （Ｄ）４
3.如图，，则下列各式中正确的是【 】
（A）∠1＋∠2＋∠3＝180°（B）∠1＋∠2－∠3＝90°
（C）∠1－∠2＋∠3＝90° （D）∠2＋∠3－∠1＝180°
4. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是【 】
（A）15或17（B）16或15 （C）15 （D）15或16或17
5. 一个多边形的内角中，锐角个数最多有 个.
6. 一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数是 .
7. 小华从A点出发向前直走50 m,向左转18°，继续向前走50 m,再左转18°，他以同样走法回到A点时，共走_____m .
8. 如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知六边形的周长是30cm,那么中间的小等边三角形的边长是 .
9. 如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题.
（1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表：
图 ① ② ③ ④
顶点数（V) 7
边数（E） 9
区域数（F） 3
（2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数.
10.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为.
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式.
答：S= .
多边形的序号 ① ② ③ ④ …
多边形的面积S 2 2.5 3 4 …
各边上格点的个数和 4 5 6 8 …
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S= .
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S= .
（4）利用你发现的规律求小猫图案的面积.
课时作业答案：
A等级答案：
1、540°、360°
2、60°
3、8、1080°
4、6
5、2
6、3
7、11
8、D
9、D
10、C
11、C
12、A
13、D
14、A
15、解：1125°÷180°=6…45°，所以他计算的9边形，少加的内角的度数为180°45°=135°。
16、解：过点B在B的右侧作BF//AE。因为BF//AE，∠A=70°，所以∠ABF=180°-107°=73°，因为∠B=121°，所以∠FBC=121°-∠ABF=48°，又AE//CD，BF//AE，所以BF//CD，所以∠C=180°-∠FBC=132°
17、解：设这个多边形的外角为x度，根据题意，列方程得，解得度，所以多边形的边数为
18、解：设多边形的边数为n，由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得。
B等级答案：
1、6
2、180°
3、900°
4、360，0
5、正六边形
6、C
7、C
8、A
9、解：7、2009
10、解：（1）四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线；
（2）七边形有14条对角线；
（3）从多边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，n个顶点共有n(n-3)条对角线，但一半是重复的，所以n边形对角线数目为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
11、解：设多边形的外角是x，则相邻内角为nx，根据题意，得，则，由于n为正整数，n+1又能整除180，所以n只能为1，2，3，4，5，9，11，14，17。相应x分别为90°，60°，45°，30°，18°，15°，12°，10°。所以多边形的边数为=4，6，8，12，20，24，30，36。
C等级答案：
1. D 2.B 3.D4.D
5.3 6. 7.1000 8. 1
9.（1）4,6,3;8,12,5;10,15,6 (2)V+F=E+1 (3)E=V+F-1=20+11-1=30
10.（1）
（2）.
（3）通过画图操作，可以发现.
（4）小猫图案的面积看成两部分面积的和，则.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图1
图3
图2
图④
图②
图①
图③
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