第1课时 二元一次方程（组）

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第八章 二元一次方程组
第8课时 二元一次方程组的概念
第8．1节首先从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和y 表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的方程．然后，教科书以这两个具体方程为例，让学生体验二元一次方程、二元一次方程组的特征，归纳出二元一次方程组及其解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解．
点击一：二元一次方程的概念
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程；二元一次方程具备以下四个特征：
①是方程；②有且只有两个未知数；③方程是整式方程，即各项都是整式；④各项的次数最高为1，如中，不是整式，所以就不是二元一次方程；像3x－5＝6，2x＋3y－z＝7，不是含有两个未知数，也不是二元一次方程；像xy＋6＝1，中，虽然含有两个未知数，但未知项次数不是1，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．
点击二：二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如，，都是二元一次方程组，如就不是二元一次方程组，因为有三个未知数．
点击三：二元一次方程的一个解
适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
一般地二元一次方程的解有无数个，例如x＋y＝2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解，如x＝3，y＝－1，就是该方程的解．
点击四：二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．
定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有唯一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解，如：就是的解．
注意：二元一次方程组的解是一对数，要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验，这对数要满足方程组中的每一个方程，这对数才能是这个方程组的解，而一元一次方程的解是一个数，这是它们之间的区别。
针对练习：
一、精心选一选
1．下列四组x，y的值中，哪一组是二元一次方程的解（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．如图1，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别是x，y，那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元．设刘刚买的1元贺卡有x张，2元贺卡有y张，则下面的方程组正确的是（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
二、细心填一填
1．在方程中，如果是它的一个解，那么的值为_____．
2．填下表，使上下每对x，y的值满足方程．
3．写出解是的一个二元一次方程组是_____．
4．如图2是小明用火柴搭的1条，2条，3条“金鱼”…，按照此规律，搭n条金鱼所需的火柴总数为S，那么以S，n为未知数的二元一次方程是_____．
三、耐心做一做
1．求的非负整数解．
2．图3中的天平处于平衡状态，设每个苹果的质量为x克，每个梨的质量为y克，你能根据图示列出关于x，y的方程组吗？
3．现有布料25米，要裁成大人和小孩的两种服装，已知大人每套用布2．4米，小孩每套用布1米，问各裁多少套恰好能把布用完？
答案：一、1．Ａ　　2．Ｂ　　3．Ｄ
二、1．　　2．，，，，，，，　　3．答案不惟一　　4．
三、1．
　　2．
　　3．大人套，小小套；或大人套，小孩套．（提示：设大人的套，小孩的套．根据题意，得，求其整数解即可）
类型之一：二元一次方程的概念
例1：若方程xa＿2+y4＿3b=1是关于字母x、y的二元一次方程，则a，b的值是多少？
解析：根据二元一次方程的定义可得，a－2=1，4－3b=1，解得：a=3，b=1。
类型之二：二元一次方程解的概念
例2：如果是二元一次方程kx－2y=0的一组解，那么k＝ 。
解析：根据二元一次方程解的定义，可得：k－2×2＝0，解得：k＝4。
例3：二元一次方程x+y=3的自然数解有几对？
解析：二元一次方程x+y=3的解有无数对。这里求的是自然数解，则x、y是自然数，所以x只能取0，1，2，3，相应的可以求出y的值，所以二元一次方程x+y=3的自然数解有4对。
类型之三：二元一次方程组的解
例4：如果二元一次方程组的解是，求a－b的值。
解析：根据二元一次方程组的解的定义，把代入原方程组得：，解这个方程组得：，所以a－b＝0。
例5：已知和都是方程y－ax=b的解，求a，b的值。
解析：根据方程解的定义，得，解这个方程组得：
例6：已知关于x、y的方程组和的解相同，求ax+by。
分析：因为x、y的两个方程组同解。因此可得这四个方程同解。将不含字母的方程联立得：，解这个方程组得。将其余两个方程联立得：。再将代入得，解这个方程组得。因此ax+by＝2＋3＝5。
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．
6．方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 的解与x与y的值相等，则k等于（ ）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A．
二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
10．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
19．二元一次方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 的解x，y的值相等，求k．
20．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？
21．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ．
22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23．方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 的解？
24．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
答案：
一、选择题
1．D 2．A
3．B 4．C 5．C 6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 10． －10
11．，2 12．－1
13．4 解析：由已知得x－1=0，2y+1=0，
∴x=1，y=－，把代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=1．
14．解：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4
15．x+y=12
16．1 4
三、解答题
17．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，
∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相同的解，
∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．
18．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，
∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1
解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．
（若系数为0，则该项就是0）
19．解：由题意可知x=y，∴4x+3y=7可化为4x+3x=7，
∴x=1，y=1．将x=1，y=1代入kx+（k－1）y=3中得k+k－1=3，
∴k=2 解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．
20．解：由（│x│－1）2+（2y+1）2=0，可得│x│－1=0且2y+1=0，∴x=±1，y=－．
当x=1，y=－时，x－y=1+=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ；
当x=－1，y=－时，x－y=－1+=－．
解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，
则这两非负数（│x│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│x│－1=0，2y+1=0．
21．解：经验算HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如x－y=3．
22．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得．
（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得．
23．解：满足，不一定．
解析：∵的解既是方程x+y=25的解，也满足2x－y=8，
∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2x－y=8的解有无数组，
如x=10，y=12，不满足方程组HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.DSMT4 ．
24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－mx=7，
∴当m=1时，x=－7；m=－1时，x=7；m=7时，x=－1；m=－7时x=1．
一、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1.在中，用x 的代数式表示y，则y=______________。
2.当m=______，n=______时，是二元一次方程。
3.已知是方程的一个解，则a的值是________。
4.如果那么
5.方程组的解是，则a=________，b=_________。
6.在方程组中，m与n互为相反数，则
7.甲数的60%与乙数的差是甲乙两数和的一半，设甲数的x，乙数为y，那么列方程是__________________________。
8.若，则x=___________，y=____________。
9.娃哈哈矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，那么一大箱有___________瓶，一小箱有__________瓶。
10.写出一个关于x、y的二元一次方程组，这个方程组的解为，那么你所写的方程组是_____________________________。
二、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）
11.下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）
A. B. C. D.
12.方程组的解是 （ ）
A. B. C. D.
13.用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A.由①得代入② B.由①得代入②
C.由②得代入① D.由②得代入①
14.用加减法解方程组时，由②－①得 （ ）
A. B. C. D.
15.下列方程组中与具有相同的解的方程组是 （ ）
A. B. C. D.
16.已知与是同类项，则与的值分别是 ( )
A.4、1 B.1、4 C.0、8 D.8、0
17.在等式中，当时，；当时，，那么的值分别是 （ ）
A.2和0 B.0和2 C.6和－4 D.－4和6
18.关于二元一次方程的解，下列说法正确的是 （ ）
A.任意一对有理数都是它的解 B.有无数组解
C.只有一组解 D.只有两组解
三、解方程组（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分）
19. 20.
21. 22.
23. 24.
四、解答题（本大题满分8分）
25.已知方程的两个解为和，求的值。
五、列二元（或三元）一次方程组解应用题（本大题共3个小题，第26小题满分8分，第27、28小题每题10分，满分28分）
26.现有新版100元和20元人民币33张，总面额为1620元，问其中100元和20元人民币各多少张？
27.2002年全国甲A联赛的前12轮（场）的比赛后，前三名的比赛成绩如下表：问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？
胜（场） 平（场） 负（场） 积分
大连实德 9 2 1 29
深圳平安 7 4 1 25
北京国安 7 3 2 24
28.已知某铁路桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45秒，整列火车完全在桥上的时间是35秒，求火车的速度和长度。
参考答案
一、1.；
2.1，2；
3.-1；
4.3；
5.1，2；
6.；
7.；
8.2，1；
9.24，10；
10.略。
二、11～18 DDCA　　　CBAB。
三、19.；
20.；
21.；
22.；
23.；
24.。
四、25.；
五、26.100元的人民币12张，20元的人民币21张；
27.胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分；
28.火车的速度为20米/秒，火车长为100米。
1．下列四组x、y的值中，哪些是二元一次方程2x+y-46=0的解（ ）
(1) (2) (3) (4)
2. 小明、小敏、小新商量给老师办公室的4道窗户剪贴窗花来表达尊师之情，今年是农历狗年，他们设计了玉狗迎春的剪纸图案。小明说：“我来出一道数学题：把剪4只玉狗的任务分配给3个人，每人至少1只，有多少种分配方法 ”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4。”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解。”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．二元一次方程组的解是（ ）
A ． B． C． D．
4．如图，点O在直线AB上，OC为射线,∠1比∠2的3倍少10°，设∠1、∠2的度数分别是x、y,那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
5．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元。设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张，则下面的方程组正确的是( )
A． B． C． D．
6．在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那么a的值为 。
7．填表，使上下每对x，y的值满足方程3x+y＝4．
x -2 -1 -0.4 0
y -2 -1 0 11
8．写出解是的二元一次方程组是 （写一个即可）
9．如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，按照此规律，搭n条金鱼所需的火柴总数为S，那么以S、n为未知数的二元一次方程是 。
……
10．求2x+y=10的非负整数解。
11．下图中的天平处于平衡状态，设每个苹果的质量为x克，每个梨的质量为y克，你能根据图示列出求x、y的方程组吗？
12．现在布料25米，要裁成大人和小孩的两种服装，已知大人每套用布2.4米，小孩每套用布1米，问各裁多少套恰好能把布用完？
答案： 1）1 2）略3）如等 4）S-6n-2=0 5) (1)(4) 6)D 7)C 8)B 9)D10)
11) 12)大人5套，小孩15套；或者大人10套，小孩1套。
课时作业：
A等级
1． 下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．由，可以得到用表示的式子是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，如果2= 6，那么= 。
6．已知是方程的解，则= 。
7．若方程m + n = 6的两个解是，，则m = ，n = 。
8．如果，那么= ，= 。
9．
10．
11．用16元买了60分、80分两种邮票共22枚。60分与80分的邮票各买了多少枚？
12．已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底。
13．〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
14．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
B等级
1．若，，则y=_______________。
2．已知，则x=_______________。
3．把方程用含x的代数式表示y，则可得到____________。
4．数对，是关于字母x，y的二元一次方程的一个解
则a=__________________。
5．二元一次方程，有__________个解。
6．若与是同类项，则_____________。
7．已知且成立，则的值为（ ）
A、3 B、7 C、－3 D、5
8．下列方程组中，以为解的方程组是（ ）
A、 B、
C、 D、
9．如果方程组的代数式的值为10，那么k的值为（ ）
A、 B、3 C、－ D、－3
10．如果，，用x的代数式表示y 应为（ ）
A、
B、
C、
D、
11．一个两位数，十位数字和个位数字的和为3，这样的两位数有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、无数
12．甲、乙二人同时解方程组甲解对了，得，乙写
错了m，得，则原方程组中的a、b、m 分别是多少？
13．解方程组
14.列方程组解应用题
某工厂现向工商银行申请了甲乙两种贷款，共计35万元，每年需付出利息4.4万元。甲种贷款每年的利率是12%，乙种贷款每年的利率是13%。求这两种贷款的数额各是多少。
C等级
1．已知是方程5 x－( k－1)y－7 = 0的一个解，则k = 。
2．方程2 x + y = 5的正整数解为 。
3．已知方程组的解也是方程3x－2y = 0的解，则k = 。
4．若(2x－y)2与互为相反数，则(x－y)2003 = 。
5．已知方程组，则代数式的值为 。
6．有一个二位数，十位数字与个位数字之和等于9，且十位数字比个位数字的3倍大1，则此二位数为 。
7．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s
按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为 。
8．在 三对数中， 是方程3x＋y＝8的解； 是方程2x－y＝7的解； 是方程组的解（填序号即可）。
9．由2x－3y－4＝0，可以得到用x表示y的式子y＝ 。
10．已知是方程2x＋ay＝5的解，则a＝ 。
11．二元一次方程组的解是
12．是二元一次方程ax－2＝－by的一个解，则2a－b－6的值等于 。
13．已知3ab与－3ab是同类项，则x＝ ，y＝ 。
14．若3x＋4y＝2是关于x、y的二元一次方程，则的值等于 。
二．选择题：
1．甲比乙大15岁，五年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是（ ）
A 10 B 15 C 20 D 30
2．下列说法正确的是（ ）
A． 一元一次方程一定只有一个解； B. 二元一次方程x + y = 2有无数解；
C．方程2x = 3x没有解； D. 方程中未知数的值就是方程的解。
3．m表示一个两位数，n表示一个四位数，把m放在n的左边组成一个六位数，那么这个六位数可以表示成（ ）
A mn B 10000m+n C 100m+10000n D 100m+n
4．有一些装柑箱，若每只装柑25千克，则余40千克无处装；若每只装30千克，则余20只空箱，这些装柑箱有（ ）只。
A 12 B 60 C 112 D 128
5．一年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人无处坐；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室共有座位排数是（ ）
A 14 B 13 C 12 D 155
6．下列各方程哪个是二元一次方程（ ）
A、8x－y＝y B、xy＝3 C、2x2－y＝9 D、
7．二元一次方程3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
8．若二元一次方程3x－2y＝1有正整数解，则x的取值为 （ ）
A、0 B、偶数 C、奇数 D、奇数或偶数
9．已知方程组的解是，则2m+n的值为 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、0
10.下列属于二元一次方程组的是：（ ）
A：2x－y=1 B：2x+y=1 C：2x+y2=1 D：x+2y=1
xy=3 x+y=3 y+z=2
课时作业答案：
A等级答案：
1．A
2．C
3．B
4．D
5．1
6．3
7． 4，2．
8．3，2．
9．
10．
11．60分邮票8枚，80分邮票14枚。
12．上底是5cm，下底是9cm。
13．树上有7只，树下有5只。
14．每块长方形地砖的长是45cm，宽是15cm。
B等级答案：
1． 2．5 3． 4．－1 5．无数
6．0 7. A8. A9.A10.B11.C
12．解：由题意知，是方程组的解，而只是方程的解
所以 得
由②得m=－2
①+③ 得a=4
把a=4代入③得
b＝5
答：a=4，b=5，m=－2
13．解
化简方程组得
②－①×3得 x =350
把x=350代入①得
350+y=500
y=150
∴
14．解：设甲、乙两种贷款的数额分别是x万元，y万元
根据题意得
化简方程组得
①×13－②得x=15
把x=15代入①得15+y=35
y=20
∴
答：甲、乙两种贷款的数额分别是15万元、20万元。
C等级答案：
一．1．2；2.无数；3.-5;4.-1;5.;6.72;7.s=3n-3;
8.(1)(3),(3),(3);9.;10.1;11.;12.-4;13.;14.;
二．1．B；2.B;3.B;4.C;5.C;6.A;7.C;8.C;9.C;10.A.
1条
2条
3条
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